基于虛擬陣列擴展的改進加權(quán)空間平滑算法

孫志國, 柏喬森, 白永珍, 孫溶辰

(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

波達方向(direction of arrival,DOA)估計是陣列信號處理領(lǐng)域的一個重要分支,經(jīng)典的波達方向估計方法,如多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)算法[1]和基于旋轉(zhuǎn)不變性的信號估計(estimating signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)算法[2]等,均假設目標信源為點信源,信號的能量被視為集中在離散的一個或多個角度[3]。但在現(xiàn)實復雜的通信環(huán)境中,信號的傳播由于障礙物的阻擋產(chǎn)生反射或折射,導致信號能量在空間中擴散,最終到達接收端時呈現(xiàn)一定范圍的角度擴展,若采用基于傳統(tǒng)點信源模型的估計算法會導致估計性能的嚴重惡化。對于這種空間分布式信源[4-5],由于信號在一定角度范圍內(nèi)具有特定的統(tǒng)計分布特性,因此可以通過另一個估計參數(shù)擴展角度來描述信號的空間分布特性。相干分布源[6]的空間擴散特性可由確定性角信號密度函數(shù)描述,在已知角信號密度函數(shù)類型的前提下,文獻[7]提出一種基于MUSIC的分布信號參數(shù)估計(distributed signal parameter estimator,DSPE)算法,該算法通過多維參數(shù)搜索得到目標信源的中心方位角,具有良好的估計精度,但是計算復雜度也比較高。文獻[8]提出一種針對分布式信源模型的ESPRIT算法,利用均勻線陣的旋轉(zhuǎn)不變性構(gòu)造估計矩陣,然后通過特征分解得到估計參數(shù)。文獻[9]提出一種基于傳播算子的方法,該方法避免了特征分解,具有較好的實時性。

當信號源之間相干時,協(xié)方差矩陣的秩小于信源數(shù),導致傳統(tǒng)的空間譜估計算法失效。如何恢復協(xié)方差矩陣的秩,正確估計出信源的數(shù)目,是相干信源估計中的一個重要問題。空間平滑算法是一種有效的解決信源相干問題的方法[10-11],該算法能有效分辨信號的入射角度,但是以犧牲陣列孔徑和估計精度為代價的[12]。2003年,王布宏等提出一種加權(quán)空間平滑(weighted spatial smoothing,WSS)算法,該算法利用子陣輸出的自相關(guān)和互相關(guān)信息,具有更好的角度分辨力和更低的信噪比門限,但是其角度估計精度受加權(quán)因子的優(yōu)劣影響較大[13]。文獻[14]提出了改進WSS (improved WSS,IWSS)算法,該算法通過兩次空間平滑,獲得了較好的解相干性能和估計精度。文獻[15]提出一種二次WSS (main WSS,MWSS)算法,該算法的核心思想是對加權(quán)矩陣進行空間平滑,以此獲得權(quán)值更準確的加權(quán)矩陣,從而提高對相干信源的估計精度。文獻[16]提出一種增強的空間平滑技術(shù)，該方法利用單個子陣列的協(xié)方差矩陣和不同子陣的互協(xié)方差矩陣，相比傳統(tǒng)空間平滑技術(shù)的解相平相干能力更好。文獻[17]提出一種基于特征空間多重信號分類的空間平滑估計算法,提高了小能量信號的成功估計概率。文獻[18-20]考慮到計算復雜度的問題,提出針對相干信源的快速算法。2018年,Inoue等提出一種利用克羅內(nèi)克子空間的估計算法[21],該算法將入射信號的自相關(guān)和互相關(guān)都視為虛擬源信號,在不改變陣元數(shù)的前提下,可以處理更多的相干信號。2020年,Fang等提出一種采用改進的稀疏表示方法的相干信號DOA估計算法[22],利用設計的權(quán)值向量增強信號的稀疏性,從而確定信號的入射角度,該算法在低信噪比環(huán)境下具有良好的估計性能。Jin和Zhang提出一種改進的二維Toeplitz矩陣重構(gòu)算法[23],實現(xiàn)了二維相干信源的角度估計。同年,Dakulagi等利用Toeplitz矩陣的聯(lián)合對角化結(jié)構(gòu)[24],構(gòu)造了一個無需信源數(shù)先驗信息的代價函數(shù),通過修正后的導向矢量代替導向矢量的投影權(quán)重來重構(gòu)信號子空間與噪聲子空間的功率譜。2021年,Fathtabar等提出一種針對寬帶相干信源的DOA估計算法[25],該算法無需信源數(shù)和角度預估計等先驗知識。為了解決脈沖噪聲背景下相干源的角度估計問題[26],Gong和Guo提出一種基于無限范數(shù)歸一化預處理和稀疏表示的估計算法。為了提高相干信源在低信噪比條件下的估計性能,Wu等提出一種基于協(xié)方差矩陣恢復的無網(wǎng)格DOA估計算法[27]。

本文在相干分布式信源模型下,提出一種基于虛擬陣列擴展的WSS (virtual WSS,VWSS)算法。由于空間平滑需要劃分子陣,導致陣列孔徑損失以及可估計信源數(shù)目減少,本文通過共軛虛擬陣列擴展增大陣列孔徑,從而彌補空間平滑造成的影響,并且將Toeplitz矩陣重構(gòu)算法和改進的加權(quán)空間平滑算法進行結(jié)合,提高算法的估計精度。首先通過Toeplitz算法進行預估計,并根據(jù)協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)對構(gòu)建的加權(quán)矩陣平滑處理,使加權(quán)因子更加準確,然后利用改進加權(quán)空間平滑算法得到中心DOA的估計值,從而進一步提高對相干信源的估計性能。通過仿真實驗,驗證了該算法對相干信源具有更高的分辨能力和估計精度。

1 陣列信號模型

1.1 相干分布源模型

如圖1所示的均勻線陣,具有M個陣元,相鄰陣元間距為d?？紤]有K個相干分布式信源入射到陣列中,并且滿足遠場窄帶的假設,其中θi和σi(i=1,2,…,K)分別表示第i個分布式信源的中心方位角和角度擴展。在t時刻,陣列接收信號[7]可以表示為

(1)

圖1 線性陣列結(jié)構(gòu)Fig.1 Linear array structure

對于相干分布式信源,其角信號密度函數(shù)[7]可以表示為

(2)

(3)

因此,信號模型可以進一步簡化為

x(t)=Bs(t)+n(t)

(4)

式中:B為分布源陣列流型[28],表示為

B=[b(θ1,σ1),b(θ2,σ2),…,b(θK,σK)]

(5)

其中,

(6)

高斯分布是相干分布式信源中最常見的一種分布形式[29-30],其角信號密度函數(shù)可以表示為

(7)

1.2 共軛虛擬陣列

利用共軛陣列擴展的方法,在虛擬域上構(gòu)造一個增廣的虛擬陣列。

如圖2所示,真實陣元的位置為U1={nd|0≤n≤M-1},虛擬陣元的位置為U2={md|-M+1≤m≤-1},則經(jīng)過擴展后的陣元位置為U=[U2,U1],陣元的總數(shù)變?yōu)镹=2M-1。

圖2 虛擬陣列結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of virtual array

定義第n個真實陣元的信號接收矢量為

xn(t)=bns(t)+nn(t)

(8)

式中:bn表示第n個陣元的導向矢量;nn(t)表示第n個陣元接收的噪聲,n=0,1,…,M-1。

通過共軛陣列擴展的方式構(gòu)造虛擬陣列,則第-n個虛擬陣元的信號接收矢量表示為

(9)

合并真實陣元和虛擬陣元的信號接收矢量,則總的陣列接收信號為

x(t)=[x-M+1(t),x-M(t),…,x0(t),…,xM-1(t)]=

(10)

其中,

(11)

式(10)即為擴展共軛陣列的接收數(shù)據(jù)模型,由圖2可以看出,加入虛擬陣元之后,陣列孔徑相應增加。

2 算法原理

2.1 空間平滑算法

空間平滑算法是應對相干信號的經(jīng)典方法,其核心思想是:將均勻線陣分成L個子陣,然后對所有子陣的自協(xié)方差矩陣求平均,從而使得平滑后得到的協(xié)方差矩陣的秩等于信號源的個數(shù)。

若每個子陣包含m(m>K)個陣元,且子陣個數(shù)滿足L=N-m+1(L≥K), 分別計算每個子陣的自協(xié)方差矩陣,然后進行算術(shù)平均得到前向平滑的陣列協(xié)方差矩陣Rf：

(12)

式中:Fk=[0m×(k-1)|Im|0m×(N-k-m+1)]。

前后向空間平滑(forward-backward spatial smoothing, FBSS)算法是在陣列前向平滑的基礎上,同時考慮了均勻線陣的旋轉(zhuǎn)不變性。因此,定義FBSS協(xié)方差矩陣為

(13)

文獻[14]提出的WSS算法,其核心思想是通過兩次不同的方法劃分原陣列,保證第一次劃分的子陣數(shù)等于第二次劃分的子陣的陣元數(shù),因此第一次劃分的子陣陣元數(shù)等于第二次劃分的子陣數(shù)。具體實現(xiàn)步驟如下。

(1) 第一次平滑,劃分子陣的陣元數(shù)目為m, 子陣個數(shù)為L=N-m+1,并且m,L>K。采用FBSS算法:

(14)

式中:R1為平滑后的協(xié)方差矩陣,用來求加權(quán)矩陣W,即W=(R1)*;J是與R同維數(shù)的置換矩陣;(·)*表示共軛。

(2) 第二次平滑,取子陣陣元數(shù)為L,子陣數(shù)為m,滿足m=N-L+1,利用第一次平滑所求的加權(quán)矩陣W對m2個自、互相關(guān)矩陣應用WSS算法可得

(15)

式中:wij表示加權(quán)矩陣W第i行第j列的元素。

2.2 基于虛擬陣列擴展的VWSS算法

通過Toeplitz矩陣重構(gòu)方法進行預估計,以圖2中虛擬陣列擴展后第一個陣元為參考陣元,定義接收數(shù)據(jù)的互相關(guān)矩陣:

(16)

式中:k=1,2,…,N;x1,xk分別表示第一個陣元和第k個陣元的接收數(shù)據(jù);B(1),B(k)分別對應陣列流型矩陣的第1行和第k行。將式(16)定義的所有互相關(guān)函數(shù)組成互相關(guān)矢量可得

r=[r11,r12,…,r1N]=B(1)RS[BH(1),BH(2),…,BH(N)]

(17)

式中:r包含所有入射信源的信息,由r張成一個Toeplitz矩陣,可以保證入射信源信息無丟失,其結(jié)構(gòu)如下:

(18)

構(gòu)造加權(quán)矩陣并進行平滑處理,構(gòu)造加權(quán)矩陣W：

W=(B·B)+

(19)

(20)

利用平滑處理后的加權(quán)矩陣WS,對前后向陣列協(xié)方差矩陣Rij進行加權(quán),得到新的協(xié)方差矩陣Rm wf：

(21)

式中:wsij表示加權(quán)矩陣WS中第i行第j列的元素。

采用傳播因子算法(propagation method, PM)進行分布源的中心DOA估計。PM無需特征值分解,因此復雜度較低,具體步驟如下:

將分布源方向矩陣B分塊:

(22)

式中:B1是K×K維的矩陣;B2是(N-K)×K維的矩陣,兩個矩陣之間存在一個線性算子,可以表示為

B2=PcB1

(23)

(24)

定義矩陣P為

(25)

根據(jù)式(22)～式(25)可得

(26)

分別用Pa和Pb表示P的前N-1和后N-1行;用Ba和Bb表示B的前N-1和后N-1行。式(26)可以表示為

(27)

則存在以下關(guān)系：

(28)

(29)

式中:λk表示Φ的第k個特征值。估計出相干分布源中心DOA后,同樣用傳播算子估計出分布源的角度擴展：

[PH,-IN-K]B=QHB=0

(30)

根據(jù)式(30)構(gòu)建空間譜函數(shù):

(31)

(32)

本文算法的基本步驟可歸納總結(jié)為:

(1) 利用共軛虛擬陣列擴展技術(shù)構(gòu)造新的信號模型;

(2) 通過Toeplitz矩陣重構(gòu)方法對目標方位進行預估計;

(3) 根據(jù)預估計值建立加權(quán)矩陣W,并通過式(20)對加權(quán)矩陣進行平滑處理;

(4) 通過式(21)構(gòu)造協(xié)方差矩陣Rmwf;

(5) 采用PM估計信源的中心POA和角度擴展。

3 算法仿真及性能分析

本節(jié)對FBSS算法、IWSS算法、MWSS算法以及本文算法進行比較,并分析了4種算法的解相干能力,估計精度和計算復雜度。實驗中均設置均勻線陣的陣元數(shù)為8,子陣陣元數(shù)為5,陣元間距為半波長,空間分布方式為高斯分布,假設信源之間完全相干,仿真實驗結(jié)果均由300次蒙特卡羅實驗得出。

定義均方根誤差(root mean square error， RMSE)作為衡量估計精度的指標,RMSE的計算公式如下:

(33)

實驗 1算法的解相干性能對比

設置快拍數(shù)為100,信噪比變化范圍為-10 dB至20 dB,變化間隔為5 dB,假設空間中存在兩個相干分布源,信號入射中心DOA為30°和40°,角度擴展分別為1°和2°,仿真實驗結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同算法的分辨成功率Fig.3 Resolution success rate of different algorithms

根據(jù)圖3可知,信噪比越高,每個算法的分辨成功率越高。其中IWSS-PM算法和MWSS-PM算法的解相干能力相同,都高于FBSS-PM算法。而本文算法由于具有更大的陣列孔徑,并且充分利用的子陣的自相關(guān)與互相關(guān)信息,因此分辨成功率明顯高于其他算法,在低信噪比時也有不錯的解相干性能。

實驗 2不同信噪比條件下的算法性能

設置快拍數(shù)為300,信噪比變化范圍為-10 dB至10 dB,假設空間中存在3個相干分布式信源,入射角度分別為-30°,-10°和40°,角度擴展分別為1°,3°和2°。圖4為信噪比對4種算法估計精度的影響。

圖4 不同算法RMSE隨信噪比變化Fig.4 RMSE of different algorithms varies with signal to noise ratio

根據(jù)圖4可知,信噪比增加,4種算法的估計精度均有提升,本文算法相比于其他3種算法的RMSE更低,說明其估計精度更高,在低于0 dB的信噪比條件下也能較好地估計目標方位,RMSE小于3°,抗噪魯棒性較強。

實驗 3不同快拍數(shù)條件下的算法性能

設置信噪比為-10 dB,入射角度分別為-30°,-10°和40°,角度擴展分別為1°,3°和2°,總陣元數(shù)為8,快拍數(shù)變化范圍為300～1 000,圖5為快拍數(shù)對4種算法估計精度的影響。

圖5 不同算法RMSE隨快拍數(shù)變化Fig.5 RMSE of different algorithms varies with snapshots

由圖5可知,在信噪比不變的情況下,快拍數(shù)增加,4種算法的測向精度隨之提升。在快拍數(shù)量一定時,本文算法的RMSE明顯小于其他算法,具有更優(yōu)的估計精度。

實驗 4角度擴展對算法性能的影響

設置信噪比為0 dB,快拍數(shù)為300,入射角度分別為-30°,-10°和40°,陣元數(shù)為8,角度擴展變化范圍為1°至10°,圖6表示了角度擴展對4種算法估計精度的影響。

圖6 不同算法RMSE隨角度擴展變化Fig.6 RMSE of different algorithms varies with spread angular

由圖6可知,4種算法的估計精度均隨擴展角度的增大而降低。其中,IWSS-PM算法和MWSS-PM算法受角度擴展的影響較大,FBSS-PM算法的估計精度最低,本文所提算法的估計精度隨角度擴展變化曲線平穩(wěn),由于通過共軛陣列擴展,增大了陣列孔徑,并對加權(quán)矩陣進行修正,有效降低了信號多徑的影響,因此受角度擴展影響較小。

實驗 5計算復雜度比較

假設真實陣元總數(shù)為M,通過共軛虛擬陣列擴展后的陣元總數(shù)為N=2M-1,快拍數(shù)為T,真實子陣的陣元數(shù)為m1,則子陣個數(shù)為L1=M-m+1,經(jīng)過共軛虛擬擴展后的子陣陣元為m2=2m1,則子陣個數(shù)為L2=N-m2+1,計算復雜度如表1所示。

表1 計算復雜度

設置信噪比為-10 dB,空間中存在3個相干分布源,入射角度分別為-30°,-10°和40°,角度擴展分別為1°,3°和2°,設置信噪比為0 dB,子陣列的陣元數(shù)為4。圖7表示了4種算法在不同陣元時的計算復雜度。

圖7 不同算法計算復雜度對比Fig.7 Computational complexity comparison of different algorithms

如圖7所示,FBSS-PM算法只進行了空間平滑處理,因此計算復雜度最低;IWSS-PM算法計算了權(quán)值,復雜度略高于FBSS-PM算法;而MWSS-PM算法由于進行了二次加權(quán)平滑,所以計算復雜度比前兩種算法更高;本文算法基于MWSS-PM算法,擴展了陣列孔徑,同時增加了Toeplitz矩陣重構(gòu)方法的預估計,提高了估計精度,但是卻增加了計算的復雜度,運行時間是4種算法中最長的。

4 結(jié) 論

針對相干信源,現(xiàn)有的空間平滑類算法陣列孔徑損失嚴重,在低信噪比時估計性能較差。本文在相干分布源模型下,提出一種基于虛擬陣列擴展的VWSS算法,來彌補子陣劃分造成的陣列孔徑損失,并充分利用子陣的自相關(guān)和互相關(guān)信息,更有效地建立加權(quán)矩陣的權(quán)值,提高了角度估計精度。計算機仿真結(jié)果證明,本文算法具有更好的估計性能,在低信噪比時具有較好的魯棒性,并且受角度擴展的影響較小,但是計算復雜度相比傳統(tǒng)算法更大,因此運行時間更長。