基于魯棒精確微分器的分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

陸浩然, 鄭 偉, 常曉華

(1. 國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院, 湖南 長沙 410073; 2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所, 北京 100076)

0 引 言

制導(dǎo)律是影響導(dǎo)彈制導(dǎo)精度的關(guān)鍵因素之一,導(dǎo)彈根據(jù)實(shí)時獲取的制導(dǎo)信息,通過制導(dǎo)律生成制導(dǎo)指令,導(dǎo)引導(dǎo)彈飛向目標(biāo),制導(dǎo)律的性能一定程度上決定了導(dǎo)彈對目標(biāo)的毀傷效果。

比例導(dǎo)引及其變形形式是目前研究與應(yīng)用最為廣泛的制導(dǎo)律[1-3]。但由于日益增強(qiáng)的目標(biāo)機(jī)動能力,日益復(fù)雜的戰(zhàn)場干擾環(huán)境,以及對制導(dǎo)性能的更高追求,以比例導(dǎo)引為代表的經(jīng)典制導(dǎo)律越來越難以滿足作戰(zhàn)需求。

為了提高制導(dǎo)律的魯棒性,或滿足落角等一系列終端約束,現(xiàn)代控制方法越來越多地被應(yīng)用于制導(dǎo)問題的研究,形成了現(xiàn)代制導(dǎo)律的研究分支。常見的現(xiàn)代制導(dǎo)律主要有最優(yōu)制導(dǎo)律[3-5]、微分對策制導(dǎo)律[6-7]、滑模制導(dǎo)律等。最優(yōu)制導(dǎo)律通常采用線性二次型狀態(tài)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì),可在約束終端視線角的同時實(shí)現(xiàn)性能指標(biāo)最優(yōu)(如能量最優(yōu))。微分對策制導(dǎo)律是一種博弈制導(dǎo)律,其認(rèn)為目標(biāo)以“最優(yōu)策略”機(jī)動,其實(shí)質(zhì)是解決雙邊最優(yōu)的問題。然而，最優(yōu)制導(dǎo)律與微分對策制導(dǎo)律均需要精確獲得大量信息,否則其最優(yōu)性難以保證,且魯棒性較差,難以獲得實(shí)際工程應(yīng)用。

滑模制導(dǎo)律具有對擾動的魯棒性以及快速動態(tài)響應(yīng)特性,是近年來的熱點(diǎn)研究問題。特別地，滑模面跟蹤誤差有限時間收斂的終端滑模制導(dǎo)律,更是學(xué)者研究的重點(diǎn)。Zhang等[8]基于終端滑模面推導(dǎo)了有限時間收斂的制導(dǎo)律,使制導(dǎo)律具有較高的實(shí)用意義。Song等[9]基于非奇異快速終端滑?？刂坪妥赃m應(yīng)控制理論,提出了帶有終端角度約束的自適應(yīng)非奇異快速終端滑模制導(dǎo)方法。Kumar等[10]設(shè)計(jì)了有限時間收斂的非奇異終端滑模制導(dǎo)律,在保證制導(dǎo)精度的同時可以滿足碰撞角約束。Hu等[11]提出了一種帶有碰撞時間約束的終端滑模制導(dǎo)律。Zhao等[12]考慮二階自動駕駛儀特性,提出了一種反饋連續(xù)終端滑模制導(dǎo)方法,該制導(dǎo)方法可以保證控制動作的連續(xù)性。楊芳等[13]基于改進(jìn)的超螺旋算法,提出了一種非奇異快速終端滑模制導(dǎo)律,并采用參數(shù)自適應(yīng)方法補(bǔ)償未知干擾。Zhou等[14]提出了一種改進(jìn)的非奇異快速終端滑模制導(dǎo)方法,該方法采用了一種雙冪次趨近律,提升了制導(dǎo)律的全局收斂性,并設(shè)計(jì)了擴(kuò)張狀態(tài)觀測器以進(jìn)行目標(biāo)機(jī)動補(bǔ)償。

滑模制導(dǎo)律的一個主要缺點(diǎn)是由于系統(tǒng)延遲與慣性的存在,可能會導(dǎo)致出現(xiàn)抖振現(xiàn)象,為工程實(shí)現(xiàn)帶來了困難。因此,如何減弱或消除滑模抖振,一直是滑?？刂蒲芯康闹攸c(diǎn)。常用的消除滑模抖振的方法有邊界層法[15]、高階滑模[16]法、智能控制[17]法、觀測器法[18]等。分?jǐn)?shù)階滑?？刂剖墙陙硌芯康囊粋€熱門方向,由于分?jǐn)?shù)階微積分獨(dú)特的“記憶性”,分?jǐn)?shù)階滑模控制可以有效提升系統(tǒng)的控制性能,這為抑制滑模抖振提供了新思路。Zhang等[19]從收斂率的角度分析了分?jǐn)?shù)階線性滑模面減弱抖振的原理。Golestani等[20]設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階終端滑模制導(dǎo)律,但并未對其收斂性進(jìn)行證明。劉清楷等[21]設(shè)計(jì)了三維分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律,采用自適應(yīng)趨近律避免在靠近滑模面時產(chǎn)生較大抖振,但其設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律并非有限時間收斂的制導(dǎo)律。周慧波[22]利用分?jǐn)?shù)階微積分理論,設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律,并分析了分?jǐn)?shù)階線性滑模制導(dǎo)律在穩(wěn)定域和制導(dǎo)性能方面的優(yōu)勢。目前，對于分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律的研究成果較少,值得開展進(jìn)一步研究。

本文針對帶有碰撞角度約束的大機(jī)動目標(biāo)攔截問題開展了研究，建立了二維平面內(nèi)導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動模型,基于分?jǐn)?shù)階滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階雙冪次滑模面,在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了有限時間收斂的分?jǐn)?shù)階終端滑模制導(dǎo)律,并基于Lyapunov理論證明了其穩(wěn)定性。分?jǐn)?shù)階雙冪次滑模面的引入可使本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律相比于現(xiàn)有分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律具有更快的收斂速度。同時，為了提高制導(dǎo)律攔截強(qiáng)機(jī)動目標(biāo)的制導(dǎo)性能,提出了一種基于魯棒精確微分器的目標(biāo)機(jī)動加速度估計(jì)方法,以實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)機(jī)動的觀測補(bǔ)償。最后，通過與相關(guān)制導(dǎo)律的對比仿真,驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)方法具有良好的動態(tài)特性和制導(dǎo)性能。

1 分?jǐn)?shù)階微積分簡介

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分算子

分?jǐn)?shù)階微積分將微分和積分兩種運(yùn)算進(jìn)行了結(jié)合,并通過統(tǒng)一的分?jǐn)?shù)階算子表示[23]:

(1)

式中:t0和t分別為分?jǐn)?shù)階微積分的下限和上限;α為分?jǐn)?shù)階微積分的階次,可取為任意的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù);Re(·)代表實(shí)部。在本文的研究過程中,限定階次α為實(shí)數(shù)。從其定義式(1)可以看出,當(dāng)α>0時,分?jǐn)?shù)階微積分算子表示微分;當(dāng)α<0時,分?jǐn)?shù)階微積分算子表示積分。

1.2 分?jǐn)?shù)階微積分定義

對于分?jǐn)?shù)階微積分的定義,目前被廣泛接受的有3種:Riemann-Liouville(RL)定義、Grunwald-Letnikov(GL)定義和Caputo(C)定義。下面分別對3種分?jǐn)?shù)階微積分定義進(jìn)行介紹[24-25]:

定義 1RL型分?jǐn)?shù)階微積分的形式為

(2)

定義 2GL型分?jǐn)?shù)階微積分的形式為：

(3)

(4)

定義 3C型分?jǐn)?shù)階微積分的形式為

(5)

式中:m的取值方式與RL型相同。

由上述分?jǐn)?shù)階微積分定義可知,分?jǐn)?shù)階微積分在計(jì)算時要用到所有的歷史數(shù)據(jù),即其具有“記憶性”。將其引入滑模設(shè)計(jì)中,由于其“記憶性”的作用,當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時，收斂速度大;當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)靠近滑模面時，收斂速度較小,可以使滑模面更平滑地收斂,達(dá)到減小抖振的效果。

1.3 分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)

分?jǐn)?shù)階微積分具有以下性質(zhì)[24-25]:

(1) 交換律

Dα(Dβf(t))=Dβ(Dαf(t))

(6)

值得注意的是,“先積分再微分”與“先微分再積分”的計(jì)算結(jié)果并不是相同的,當(dāng)α>0時,有

(7)

(8)

因此,對于同時存在分?jǐn)?shù)階積分和微分的情況,不能隨意地使用交換律。

(2) 結(jié)合律

Dα(Dβf(t))=Dα+βf(t)

(9)

Dα(D-βf(t))=Dα-βf(t),α>0;β>0

(10)

(3) 線性性質(zhì)

Dα(λf(t)+μg(t))=λDαf(t)+μDαg(t)

(11)

2 相對運(yùn)動建模

圖1 彈目相對運(yùn)動幾何關(guān)系示意圖Fig.1 Geometric relationship illustration of relative motion between missile and target

彈目相對運(yùn)動關(guān)系可表示為

(12)

(13)

(14)

(15)

對式(12)和式(13)求導(dǎo),可得

(16)

(17)

式中:ur和uq分別為導(dǎo)彈在視線方向和視線法向的加速度;wr和wq分別為目標(biāo)在視線方向和視線法向的加速度。其表達(dá)式為

wr=aTsin(q-θT)

(18)

ur=aMsin(q-θM)

(19)

wq=aTcos(q-θT)

(20)

uq=aMcos(q-θM)

(21)

通常而言，導(dǎo)彈無法對相對速度進(jìn)行有效控制,因此制導(dǎo)問題只關(guān)注彈目視線角的變化,式(17)即為制導(dǎo)問題研究的彈目相對運(yùn)動模型。

3 基于魯棒精確微分器的目標(biāo)機(jī)動估計(jì)

對于目標(biāo)機(jī)動加速度較小的情況,依靠滑模制導(dǎo)律的魯棒性即可對其進(jìn)行克服。然而對于強(qiáng)機(jī)動目標(biāo),單純依賴滑模魯棒性會造成劇烈抖振,此時需要采用一定的手段進(jìn)行目標(biāo)機(jī)動估計(jì)補(bǔ)償。在目標(biāo)機(jī)動估計(jì)方法中,觀測器方法由于具備結(jié)構(gòu)簡單、無需建立目標(biāo)機(jī)動模型等優(yōu)點(diǎn),受到了廣泛應(yīng)用。本文基于魯棒精確微分器估計(jì)目標(biāo)機(jī)動狀態(tài)。

(22)

文獻(xiàn)[27]設(shè)計(jì)了n-1階魯棒精確微分器:

(23)

(24)

式中:δ是一個大于0的小量;Tu為任意大于0的切換時間。

文獻(xiàn)[26]已證明,只要魯棒精確微分器的增益系數(shù)ki使得矩陣

是赫爾維茨的,則魯棒精確微分器是穩(wěn)定的,且在固定時間內(nèi)收斂。

Yn=τXn+(1-τ)Yn-1

(25)

式中:Xn為第n次采樣時的濾波器輸入;Yn為第n次采樣時的濾波器輸出;τ為濾波器時間常數(shù)。

圖2 目標(biāo)加速度估計(jì)流程圖Fig.2 Diagram of target acceleration estimation process

4 分?jǐn)?shù)階終端滑模制導(dǎo)律

4.1 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

(26)

選取分?jǐn)?shù)階滑模面為

(27)

式中:0<α<1;k1>0;k2>0;p1,q1為正奇數(shù),且q1

選擇分?jǐn)?shù)階趨近律：

D1-α(S)=-k3Sq2/pp2-k4Sp2/q2-k5sign(S)

(28)

式中:k3>0；k4>0；k5>0；p2,q2為正奇數(shù),且q2

設(shè)計(jì)滑模制導(dǎo)律：

(29)

式中:目標(biāo)機(jī)動加速度wq可通過第3節(jié)設(shè)計(jì)的目標(biāo)機(jī)動估計(jì)方法得到。

4.2 穩(wěn)定性證明

選取Lyapunov函數(shù):

(30)

對式(30)求導(dǎo)得

(31)

根據(jù)文獻(xiàn)[27],當(dāng)-1<α<1時,有

sign(Dα(sign(S)))=sign(S)

根據(jù)式(31),易得

sign(S)[sign(-k3|S|q2/p2)sign(S)+sign(-k4|S|p2/q2)sign(S)+sign(-k5)sign(S)]=

[sign(-k3|S|q2/p2)+sign(-k4|S|p2/q2)+sign(-k5)][sign(S)]2<0

(32)

由式(28)可知

-k3Dα(Sq2/p2)-k4Dα(Sp2/q2)

(33)

由RL型分?jǐn)?shù)階微積分的定義可得

(34)

式中:t0為初始時刻,tr表示滑模面收斂時刻,有tr≥t0,則有0<(t-τ)α≤(tr-t0)α。

因此,有

(35)

同理,

(36)

因此,有

(37)

又因?yàn)镾(tr)=0,對式(37)兩邊同時積分可得

(38)

由于滑模面S在區(qū)間[t0,tr]上連續(xù),由積分中值定理可知,存在ξ1,ξ2∈[t0,tr]使得

(39)

(40)

因此有

(41)

有

(42)

因此有

(43)

綜上所述,系統(tǒng)狀態(tài)可在有限時間收斂到滑模面上。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)收斂到滑模面之后,根據(jù)式(27)有

(44)

對式(44)同時進(jìn)行分?jǐn)?shù)階積分,得

-k1D-α(x1q1/p1)-k2D-α(x1p1/q1)

(45)

由于0<α<1,根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分的定義可知

(46)

因此,式(45)變?yōu)?/p>

(47)

由RL型分?jǐn)?shù)階微積分的定義可得

(48)

(49)

因此,式(47)變?yōu)?/p>

(50)

以tf表示狀態(tài)變量收斂到0的時刻,即x1(tf)=0。對式(50)求積分,得

(51)

由于0<(t-τ)1-α≤(tf-tr)1-α,式(51)可寫為

(52)

由于滑模面S在區(qū)間[tr,tf]上連續(xù),由積分中值定理可知,存在ξ3,ξ4∈[tr,tf]使得

(53)

由式(53)可得

(54)

由式(54)可知,狀態(tài)變量可在有限時間內(nèi)收斂到0。至此,本文所提制導(dǎo)律的穩(wěn)定性及有限時間收斂性得證。

5 仿真結(jié)果及分析

設(shè)置導(dǎo)彈位置x=0 m,y=0 m,速度為V=1 000 m/s;目標(biāo)位置xt=1 000 m,yt=500 m,目標(biāo)速度Vt=900 m/s;導(dǎo)彈與目標(biāo)的彈道傾角為θ=θt=10°;目標(biāo)作余弦機(jī)動at=40 cos(πt/4);設(shè)置終端期望碰撞角qd=0°。為了對本文提出的制導(dǎo)律性能進(jìn)行分析,在無偏差條件下采用式(29)所示的分?jǐn)?shù)階終端滑模制導(dǎo)律(fractional order terminal sliding-mode guidance, FOTSG)、文獻(xiàn)[28]所提出的整數(shù)階終端滑模制導(dǎo)律(integer order terminal sliding-mode guidance, IOTSG):

以及文獻(xiàn)[29]所提出的分?jǐn)?shù)階終端滑模制導(dǎo)律(DOTSG2)：

進(jìn)行對比仿真,分析3種制導(dǎo)律的制導(dǎo)性能。設(shè)置DOTSG1制導(dǎo)律參數(shù)為:k1=2,k2=4,k3=0.6,k4=0.6,k5=0.05,p1=p2=7,q1=q2=5,α=0.1;設(shè)置IOTSG制導(dǎo)律參數(shù)為:k6=3,γ=0.5,β1=2,η=0.6;設(shè)置DOTSG2制導(dǎo)律參數(shù)為:k7=3,β2=0.8,ε=0.2,α1=0.5,p=7,q=5。假設(shè)導(dǎo)彈可以測量彈目距離和視線角信息,采用本文所述的基于魯棒精確微分器的目標(biāo)機(jī)動加速度估計(jì)方法對目標(biāo)機(jī)動進(jìn)行觀測補(bǔ)償,設(shè)置Tu=0.8 s,δ=0.1,魯棒精確微分器系數(shù)參見文獻(xiàn)[31],設(shè)置低通濾波器的時間常數(shù)為τ=0.5 s,仿真結(jié)果如圖3～圖14所示。

圖3 導(dǎo)彈目標(biāo)運(yùn)動軌跡圖Fig.3 Diagram of motion trajectory of missile and target motion

圖4 彈目距離隨時間變化圖Fig.4 Distance between missile and target change with time

圖5 滑模面隨時間變化圖Fig.5 Sliding surface change with time

圖6 加速度指令隨時間變化圖Fig.6 Acceleration command change with time

圖7 視線角隨時間變化圖Fig.7 Line-of-sight angle change with time

圖8 視線角速率隨時間變化圖Fig.8 Line-of-sight angular rate change with time

圖9 視線角估計(jì)值隨時間變化圖Fig.9 Estimated value of line-of-sight angle change with time

圖10 視線角速率估計(jì)值隨時間變化圖Fig.10 Estimation value of line-of-sight angle rate change with time

圖11 視線角加速度估計(jì)值隨時間變化圖Fig.11 Estimation value of line-of-sight angular acceleration change with time

圖12 彈目距離估計(jì)值隨時間變化圖Fig.12 Estimation value of relative distance between missile and target change with time

圖13 彈目距離變化率估計(jì)值隨時間變化Fig.13 Estimation value of change rate of distance between missile and target change with time

圖14 目標(biāo)機(jī)動加速度估計(jì)值隨時間變化圖Fig.14 Estimation value of target maneuver accelation change with time

從以上仿真結(jié)果可知,魯棒精確微分器可以對彈目距離、彈目距離變化率、視線角、視線角速率、視線角加速度等狀態(tài)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確估計(jì)。利用本文提出的目標(biāo)機(jī)動狀態(tài)估計(jì)方法可以快速準(zhǔn)確地觀測補(bǔ)償目標(biāo)機(jī)動加速度。本文設(shè)計(jì)的DOTSG1脫靶量為0.012 m,終端碰撞角為0.035°;IOTSG脫靶量為0.125 m,終端碰撞角為0.012°;DOTSG2脫靶量為0.18 m,終端碰撞角為0.021°。相比于IOTSG和DOTSG2,DOTSG1具有更快的收斂速度、更高的制導(dǎo)精度,且明顯抑制了滑模抖振以及IOTSG出現(xiàn)的制導(dǎo)律奇異現(xiàn)象的發(fā)生。以上仿真驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律具有良好的動態(tài)特性。

為驗(yàn)證制導(dǎo)律的抗干擾能力,加入如表1所示的正態(tài)分布測量偏差,進(jìn)行500次打靶仿真,得到的仿真結(jié)果如圖15～圖18所示。

表1 測量偏差表Table 1 Measurement deviation

圖15 脫靶量散點(diǎn)圖Fig.15 Scatter plot of miss distance

圖16 脫靶量直方圖Fig.16 Histogram of miss distance

圖17 終端視線角散點(diǎn)圖Fig.17 Scatter plot of terminal line-of-sight angle

圖18 終端視線角直方圖Fig.18 Histogram of terminal line-of-sight angle

由以上仿真結(jié)果可得,脫靶量平均值為0.246 m,且脫靶量均在0.6 m以內(nèi);終端視線角平均值為0.013°,且絕大多數(shù)終端視線角的絕對值誤差在3°范圍內(nèi)。

綜上所述,本文提出的分?jǐn)?shù)階終端滑模制導(dǎo)方法是有效的,具有較高的魯棒性,且相比于整數(shù)階制導(dǎo)律與現(xiàn)有的分?jǐn)?shù)階制導(dǎo)律，具有更好的動態(tài)性能。

6 結(jié) 論

本文針對帶碰撞角度約束的制導(dǎo)問題,提出了一種分?jǐn)?shù)階終端滑模制導(dǎo)律,通過理論證明了制導(dǎo)律的有限時間收斂性。同時，提出了一種基于魯棒精確微分器的目標(biāo)機(jī)動加速度估計(jì)方法,實(shí)現(xiàn)了對目標(biāo)機(jī)動加速度的估計(jì)補(bǔ)償。仿真結(jié)果表明,本文所提的制導(dǎo)方法和加速度估計(jì)方法均具有較高的精度,可有效抑制抖振和滑模面奇異現(xiàn)象,同時對于目標(biāo)機(jī)動以及量測誤差具有較高的魯棒性。