例談初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中發(fā)散性思維的培養(yǎng)

滕莉祥

［摘要］ 發(fā)散性思維是創(chuàng)造性思維的核心。在數(shù)學(xué)課堂中訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的關(guān)鍵。筆者在初中幾何教學(xué)中通過訓(xùn)練學(xué)生思維的變通性、流暢性、聯(lián)想性、廣闊性來培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力，從而讓學(xué)生輕松地掌握數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，更好地認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)。

［關(guān)鍵詞］ 創(chuàng)新能力；發(fā)散性思維；幾何教學(xué)

一、轉(zhuǎn)換思維角度，訓(xùn)練思維的變通性

發(fā)散性思維活動的展開需要突破學(xué)生固有的思維定式，從多方位及不同的角度去思考問題、解決問題。初中生的抽象思維正處于發(fā)展階段，囿于固有思維方式，遇到新問題不能很好地轉(zhuǎn)化和運用，因此教師要通過訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性和變通性來逐步培養(yǎng)和發(fā)展思維變通能力，使學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中逐漸形成具有多角度、全方位的思維視角和思維習(xí)慣。在執(zhí)教蘇教版八年級下冊幾何復(fù)習(xí)課時設(shè)計了這樣一道題：

如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，DC上的點，且AF⊥BE，求證：AF=BE。

變式：如圖2，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA上的點，且MP⊥NQ。那么MP與NQ是否相等？并說明理由。

多數(shù)學(xué)生都可以快速地完成第一小問，因為這是通法。要證AF=BE，只需把這兩條線段對應(yīng)放到△DAF和△ABE中，通過尋找證明三角形全等的條件：∠BAE=∠ADF；∠ABE=∠DAF；AB=AD，證明△ABE≌△DAF即可解決。緊接著，在課堂教學(xué)過程中引出該題變式圖2，保持垂直條件不變，使點M，P，N，Q與正方形的四個頂點不重合。此時，教師適時介入，學(xué)生們想到了多種方法：

法一：如圖3，過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，通過平移線段將圖2的問題轉(zhuǎn)化為圖1的問題，將未知問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，充分利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法提升學(xué)生的變通能力。

法二：如圖4，類比第一小題構(gòu)造直角三角形，分別過Q作BC的垂線交BC于點E，過P作AB的垂線交AB于點F，類比圖1轉(zhuǎn)化為證明△NQE≌△MPF來解決。從解題優(yōu)化的視角來分析，我們發(fā)現(xiàn)法一比法二更簡潔方便。

二、一題多變，訓(xùn)練思維的流暢性

思維的流暢性是創(chuàng)造性思維的又一特征。在解決問題的過程中思維不受阻礙，能融會貫通，在較短的時間內(nèi)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。為了幫助學(xué)生實現(xiàn)這樣的效果，在幾何教學(xué)過程中反復(fù)進(jìn)行一題多解、一題多變的訓(xùn)練，是行之有效的方法。在八年級下冊第九章中心對稱圖形（第一課時）時設(shè)計的教學(xué)例題：

如圖5，在四邊形P中，點E，F(xiàn)在BD上且BE=DF，若四邊形ABCD是平行四邊形，求證：四邊形AECF是平行四邊形。

本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，判定四邊形AECF是平行四邊形的方法有很多。法一：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明△ABE≌△CDF，得AE=FC，∠BEA=∠DFC，推出AE∥FC。利用AE平行且等于FC判定四邊形AECF是平行四邊形。法二：根據(jù)平行四邊形性質(zhì)證明△ABE≌△CDF和△ADF≌△CBE，從而推出AE=FC，AF=CE。利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定。法三：由全等證明AE∥FC，AF∥CE判定平行四邊形。法四：連接對角線AC，利用對角線AC，EF互相平分來判定。

在一題多解的教學(xué)過程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和提煉解題方法，優(yōu)化方法尋找最優(yōu)解。在接下來的教學(xué)過程中，筆者又繼續(xù)設(shè)計了如下變式：

變式1：在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)在BD上且BE=DF，若四邊形AECF是平行四邊形，則四邊形ABCD是平行四邊形嗎？

變式2：如果在原條件基礎(chǔ)上增加AB=AD，那么四邊形AECF是什么圖形？

變式3：在原條件基礎(chǔ)上增加什么條件可使四邊形AECF變成一個矩形？

變式1改變條件和結(jié)論繼續(xù)鞏固平行四邊形的判定方法，深刻理解直接條件和間接條件間的相互轉(zhuǎn)化，變式2和變式3通過強(qiáng)化條件鞏固矩形和菱形的判定和性質(zhì)，理解平行四邊形、矩形、菱形間的內(nèi)在聯(lián)系。通過這樣的變式訓(xùn)練，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，緊緊圍繞一個例題展開把平行四邊形的性質(zhì)和判定、矩形菱形的性質(zhì)判定呈現(xiàn)出來，既鞏固數(shù)學(xué)知識又鍛煉思維能力，使學(xué)生思維流暢性得到發(fā)展。通過訓(xùn)練，讓學(xué)生不斷地探索解題的捷徑，培養(yǎng)發(fā)散性思維能力。

三、善于聯(lián)想，訓(xùn)練思維的聯(lián)想性

聯(lián)想思維是發(fā)散思維的顯著標(biāo)志。聯(lián)想是發(fā)散的基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生善于聯(lián)想的習(xí)慣是提升學(xué)生發(fā)散性思維的重要途徑。通過廣闊思維的訓(xùn)練，學(xué)生的思維可達(dá)到一定廣度，通過聯(lián)想思維的訓(xùn)練，學(xué)生的思維可達(dá)到一定深度。在聯(lián)想的過程中，不斷豐富學(xué)生的內(nèi)在世界，提升思維水平。筆者就如何添加輔助線作如下教學(xué)嘗試：

已知：如圖6，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分線，求證：∠B=∠E。

根據(jù)條件中的垂直平分線聯(lián)想垂直平分線定理，自然連接AC，AD（如圖7），得AC=AD，要證明∠B=∠E，只需證明△ABC≌△AED解決問題。突破這道題的關(guān)鍵是從已知條件垂直平分聯(lián)想到與之相關(guān)的定理和知識點，本題中利用定理垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。初中幾何教學(xué)中需要培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想與關(guān)聯(lián)的思維，學(xué)生對數(shù)學(xué)定理及定理間的關(guān)聯(lián)越熟悉，解題的效率就越高。

在幾何教學(xué)中，教師可以基于某些特定的關(guān)鍵詞激發(fā)學(xué)生的聯(lián)想能力，如聯(lián)想相關(guān)知識點、相關(guān)定理、聯(lián)想相似的模型和圖形，聯(lián)想曾經(jīng)見過的類似題目等。通過這樣的聯(lián)想訓(xùn)練，學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容有了整體把握，使所學(xué)的知識點形成一個結(jié)構(gòu)體系，學(xué)會融會貫通、舉一反三，促進(jìn)創(chuàng)新思維的生長和發(fā)展。通過不斷開發(fā)學(xué)生潛能，增強(qiáng)學(xué)生的發(fā)散思維意識。

四、基于單元整體強(qiáng)化條件，訓(xùn)練思維的廣闊性

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，教師應(yīng)重視從單元整體的視角訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維。通過數(shù)學(xué)單元整體知識點間的系統(tǒng)聯(lián)系和條件把握，以問題驅(qū)動促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，強(qiáng)化和弱化某些條件，挖掘題目中條件和結(jié)論之間的關(guān)系來解決問題。豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和廣闊性。筆者在執(zhí)教蘇科版八年級下冊“中心對稱圖形”復(fù)習(xí)課（第二課時）設(shè)計了如下例題：

如圖8，已知任意四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別為邊AD，BC的中點，G，H分別為對角線BD，AC的中點，順次連接E，G，F(xiàn)，H，判斷四邊形EGFH的形狀。

仔細(xì)分析題干中給出的條件最突出的就是“中點”二字，在一個任意的四邊形中存在多個中點，其指向性明確地引導(dǎo)我們要考慮使用三角形的中位線定理解決問題。該定理從數(shù)量和位置兩個角度刻畫兩條線段的關(guān)系，在△DAB中，GE平行且等于AB；在△CAB中HF平行且等于AB，推出GE平行且等于HF，因此

證明四邊形EGFH是平行四邊形。接下來，我們通過強(qiáng)化條件關(guān)聯(lián)整個單元的核心知識點。

強(qiáng)化條件1：當(dāng)四邊形ABCD具備什么條件時，四邊形EGFH是菱形？關(guān)聯(lián)點1：從平行四邊形到菱形的路徑有哪些？數(shù)量關(guān)系：一組鄰邊相等；位置關(guān)系：對角線互相垂直。根據(jù)已知條件，最后選擇關(guān)聯(lián)1中的數(shù)量關(guān)系解決問題。強(qiáng)化條件2：當(dāng)四邊形ABCD具備什么條件時，四邊形EGFH是矩形？關(guān)聯(lián)點2：從平行四邊形到矩形的路徑有哪些？數(shù)量關(guān)系：對角線相等；位置關(guān)系：有一個角是直角。根據(jù)題目中的已知條件，選擇關(guān)聯(lián)2中的位置關(guān)系解決即當(dāng)邊AB與邊CD是垂直關(guān)系時。強(qiáng)化條件3：當(dāng)四邊形ABCD具備什么條件，四邊形EGFH是正方形？關(guān)聯(lián)點3：從平行四邊形到正方形、從矩形到正方形、從菱形到正方形的路徑是什么？也可以理解為強(qiáng)化2與強(qiáng)化3的條件融合。

基于單元整體，強(qiáng)化條件，關(guān)聯(lián)單元核心知識點，從數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩種角度分析思維，始終做到前后一致，邏輯連貫，一以貫之，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和廣闊性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)力和創(chuàng)造力。