基于李雅普諾夫函數(shù)的帶鎖相環(huán)的VSC大擾動穩(wěn)定性判據(jù)

李宇駿，華鳳林，陸藝源，張 謙，杜正春

基于李雅普諾夫函數(shù)的帶鎖相環(huán)的VSC大擾動穩(wěn)定性判據(jù)

李宇駿1，華鳳林1，陸藝源1，張 謙2，杜正春1

(1.西安交通大學(xué)電力工程系，陜西 西安 710049；2.國網(wǎng)山西省電力公司電力科學(xué)研究院，山西 太原 030001)

對于帶鎖相環(huán)的并網(wǎng)VSC大擾動穩(wěn)定性問題，首先依據(jù)VSC的內(nèi)環(huán)電流控制和外環(huán)功率控制響應(yīng)速度差異得到簡化二階非線性模型，然后分別定義了兩個李雅普諾夫函數(shù)。第一個李雅普諾夫函數(shù)具有清晰的動能和勢能概念，但推導(dǎo)的穩(wěn)定域較小，第二個李雅普諾夫函數(shù)推導(dǎo)的穩(wěn)定域較大但缺乏清晰的物理概念。最后結(jié)合這兩個李雅普諾夫函數(shù)，得到實用的穩(wěn)定性判據(jù)，兼具明確的物理意義和較寬的穩(wěn)定域。如果在系統(tǒng)最后一次動作時已知鎖相環(huán)狀態(tài)量，則可以預(yù)測系統(tǒng)穩(wěn)定性。仿真結(jié)果驗證了該判據(jù)的正確性。

并網(wǎng)VSC；鎖相環(huán)；大擾動穩(wěn)定性；Lyapunov函數(shù)

0 引言

以太陽能和風(fēng)能為代表的可再生能源在電力系統(tǒng)中的占比不斷增大。可再生能源通常是換流器接入的發(fā)電設(shè)備(converter interfaced generation, CIG)，與同步發(fā)電機不同，CIG運行狀態(tài)與其控制模式密切相關(guān)，這可能導(dǎo)致系統(tǒng)在遭受干擾時的運動軌跡與傳統(tǒng)的運動軌跡有很大的不同[1]。VSC的控制主要包括內(nèi)環(huán)電流控制、外環(huán)功率控制和鎖相環(huán)(phase-locked loop, PLL)控制三部分，已有研究發(fā)現(xiàn)，在小擾動或因故障等原因引起的大擾動下，PLL可能會導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩，嚴重威脅高比例可再生能源電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性[2-3]。文獻[4]發(fā)現(xiàn)當(dāng)PLL無法跟蹤電網(wǎng)相位時，風(fēng)電場可能在嚴重短路故障下跳閘。因此，研究PLL影響下的VSC并網(wǎng)系統(tǒng)穩(wěn)定性具有重要的意義。

研究含CIG的電力系統(tǒng)大擾動同步穩(wěn)定性是十分困難的，因為其動力學(xué)行為由高階非線性微分-代數(shù)方程描述，然而高階系統(tǒng)的分析方法一般通過數(shù)值仿真獲得時域解，以此分析VSC的運動趨勢是失去同步還是保持穩(wěn)定。但數(shù)值仿真的方法具有無法解析的固有缺點。文獻[5]提出研究機電暫態(tài)時可以忽略新能源發(fā)電功率調(diào)節(jié)的快動態(tài)，認為功率能夠快速達到控制策略的目標(biāo)穩(wěn)態(tài)。文獻[6]提出了一種受PLL影響的VSC大干擾穩(wěn)定性分析簡化模型，其主要思想是忽略了VSC的快速內(nèi)部電流控制和網(wǎng)絡(luò)動態(tài)方程，只保留PLL控制方程。

現(xiàn)有文獻中CIG的大擾動同步穩(wěn)定分析方法主要有等面積判據(jù)(equal area criterion, EAC)法、相平面法和李雅普諾夫函數(shù)分析法等。EAC是以同步發(fā)電機組為主的傳統(tǒng)電力系統(tǒng)進行大干擾穩(wěn)定性分析的有效方法，文獻[7]基于PLL方程和同步發(fā)電機組轉(zhuǎn)子運動方程的相似性，利用EAC對系統(tǒng)的同步穩(wěn)定性進行分析。文獻[8]結(jié)合EAC和仿真計算進一步研究了快速電流控制對大擾動穩(wěn)定性的影響。文獻[9]計及虛擬慣量控制與低電壓穿越，使用EAC分析了光伏暫態(tài)穩(wěn)定性的影響因素。文獻[10]采用EAC的思想，對基于PLL的多風(fēng)電機組的暫態(tài)穩(wěn)定性進行了分析。但由于PI控制器的比例環(huán)節(jié)會引入一個不定阻尼項，采用EAC進行分析時忽略了該項，可能導(dǎo)致估計的穩(wěn)定域過于樂觀[11]。

此外相平面圖也是進行大擾動穩(wěn)定性分析的有效工具，它包含了某一系統(tǒng)運行軌跡的速度變化和角度等信息，且可以刻畫系統(tǒng)的穩(wěn)定性邊界。文獻[12]采用相平面法對基于模塊化多電平變流器的風(fēng)電場在交流故障期間的大擾動穩(wěn)定性進行了分析。文獻[13]提出了一種利用Dommel-Sato迭代求解電力系統(tǒng)暫態(tài)網(wǎng)絡(luò)電壓封閉解的解析方法。然而，相平面法依賴大量的數(shù)值仿真以獲得系統(tǒng)的軌跡。

李雅普諾夫方法被認為是分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性最有效的方法之一[14]。通過構(gòu)造李雅普諾夫正定函數(shù)，無需依賴數(shù)值積分即可導(dǎo)出系統(tǒng)解析的保守穩(wěn)定域。對于經(jīng)典的兩同步發(fā)電機系統(tǒng)，文獻[15]證明了EAC和李雅普諾夫方法的一致性，其穩(wěn)定邊界由系統(tǒng)不穩(wěn)定平衡點(unstable equilibrium point, UEP)的穩(wěn)定流形確定。文獻[16-17]基于同步發(fā)電機和VSC動力學(xué)特征的相似性，建立了適用于構(gòu)網(wǎng)型換流器并網(wǎng)系統(tǒng)同步穩(wěn)定性分析的李雅普諾夫函數(shù)。然而對于跟網(wǎng)型換流器并網(wǎng)系統(tǒng)而言，由于非線性阻尼項的存在，尋找正定李雅普諾夫函數(shù)較為困難。文獻[18]基于李雅普諾夫理論導(dǎo)出了跟網(wǎng)型換流器并網(wǎng)系統(tǒng)的較小保守穩(wěn)定域，文獻[19]通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)導(dǎo)出更大的系統(tǒng)保守穩(wěn)定域。為滿足李雅普諾夫定理的約束，文獻[20]將系統(tǒng)穩(wěn)定域的估計轉(zhuǎn)化為半正定優(yōu)化問題，進而獲得更大的系統(tǒng)保守穩(wěn)定域。應(yīng)用李雅普諾夫理論分析帶PLL的并網(wǎng)VSC系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究雖然較多，但它們所導(dǎo)出的系統(tǒng)穩(wěn)定域往往較小，保守性較大，難以應(yīng)用于工程實際。因此，如何構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)，進而導(dǎo)出保守性較小的更大系統(tǒng)穩(wěn)定域是一個挑戰(zhàn)。

本文通過建模分析和時域仿真方法，根據(jù)VSC的內(nèi)環(huán)電流控制響應(yīng)速度遠高于外環(huán)功率控制響應(yīng)速度的特點，得到了研究大干擾穩(wěn)定性的簡化二階非線性模型，考慮了不定阻尼項的影響，構(gòu)造解析的李雅普諾夫函數(shù)計算得到保守的系統(tǒng)穩(wěn)定域，且該域接近系統(tǒng)的真實穩(wěn)定域。該穩(wěn)定性判據(jù)反映了系統(tǒng)穩(wěn)定域與PLL控制參數(shù)、VSC與無窮大系統(tǒng)的電氣距離、系統(tǒng)工作點之間的解析關(guān)系。最后通過軟件仿真驗證了結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 VSC并網(wǎng)模型

1.1 主電路模型

圖1 VSC經(jīng)傳輸線連接到無窮大母線的電路圖

根據(jù)圖1列寫出靜止abc三相坐標(biāo)系下主電路的動態(tài)方程。

圖2 矢量空間中不同坐標(biāo)系間的關(guān)系

將靜止abc坐標(biāo)系下主電路的動態(tài)方程變換到坐標(biāo)系下的動態(tài)方程。

聯(lián)立式(3)、式(4)可得式(5)。

坐標(biāo)系下S點處的電壓如式(6)所示。

將式(6)代入式(4)得到式(7)。

在坐標(biāo)系下，VSC的有功功率和無功功率為

1.2 鎖相環(huán)動態(tài)方程

PLL跟蹤PCC點的相位，使得穩(wěn)態(tài)時PCC點電壓的軸分量為0，鎖相環(huán)模型如圖3所示。

根據(jù)圖3寫出PLL的動態(tài)方程[21]。

式中：；與有關(guān)。

1.3 內(nèi)環(huán)電流控制動態(tài)方程

并網(wǎng)VSC的典型內(nèi)環(huán)電流控制模型如圖4所示，其控制需要變換到坐標(biāo)下進行，變換角度由PLL提供。

圖4 并網(wǎng)型VSC的內(nèi)環(huán)電流控制模型

內(nèi)環(huán)電流控制的動態(tài)方程如式(10)、式(11)所示[22]。

1.4 系統(tǒng)整體模型

將式(10)代入式(5)得到式(12)。

將式(12)代入式(7)得到式(13)。

綜上所述，微分方程式(9)、式(11)、式(12)和代數(shù)方程式(13)構(gòu)成了本文研究系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

2 穩(wěn)定性分析模型

2.1 系統(tǒng)的平衡點

穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)運行在平衡點，此時系統(tǒng)模型中的微分方程式(9)、式(11)和式(12)兩邊的值均為0。用下標(biāo)(0)表示穩(wěn)態(tài)值。

2.2 穩(wěn)定性分析模型的簡化

由于外環(huán)控制的響應(yīng)速度遠低于PLL控制的響應(yīng)速度[23-24]，當(dāng)分析PLL對并網(wǎng)VSC大擾動穩(wěn)定性的影響時，外環(huán)控制參數(shù)可視為恒定的。

另一方面，電流內(nèi)環(huán)的動態(tài)過程要遠快于PLL的動態(tài)過程，因此可假設(shè)VSC輸出的電流已達到參考值且穩(wěn)定不變。

基于以上簡化得到式(20)。

將式(21)代入式(9)，可得大擾動穩(wěn)定性分析的簡化模型。

式(23)描述的模型在文獻[7]中已有出現(xiàn)，該模型與同步電機旋轉(zhuǎn)方程有著相似的結(jié)構(gòu)，因此可以采用EAC法、相平面法以及李雅普諾夫直接法分析其大擾動穩(wěn)定性。

3 大擾動穩(wěn)定性分析

3.1 李雅普諾夫函數(shù)I

使其保持正定的定義域，如式(25)所示。

對式(24)的時間進行求導(dǎo)：

將式(22)代入式(27)得到

這種形式的李雅普諾夫函數(shù)具有明確的物理意義，式(24)中第一項類似于系統(tǒng)的動能，第二項類似于系統(tǒng)的勢能。

3.2 李雅普諾夫函數(shù)II

不同的李雅普諾夫函數(shù)得到的系統(tǒng)穩(wěn)定域不同，為了盡可能地接近真實的穩(wěn)定域，本文提出一個新的李雅普諾夫函數(shù)。改寫式(22)得到式(30)。

則式(22)可改寫為

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)：

使其保持正定的定義域，如式(25)所示。

對式(33)的時間進行求導(dǎo)：

將式(32)代入式(34)可得

類似地，根據(jù)李雅普諾夫定理，得到系統(tǒng)在平衡點處穩(wěn)定的條件。

結(jié)合式(37)、式(38)，由該李雅普諾夫函數(shù)推導(dǎo)得到的系統(tǒng)穩(wěn)定域如式(39)所示。

圖5比較了系統(tǒng)參數(shù)變化下兩種李雅普諾夫函數(shù)導(dǎo)出的穩(wěn)定域大小。圖5(a)比較了不同PLL參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定域的影響，增大PLL的比例系數(shù)，可以增加系統(tǒng)穩(wěn)定域，同時，減小PLL的積分系數(shù)，亦可增大系統(tǒng)穩(wěn)定域。圖5(b)比較了不同有功參考值和線路電感對系統(tǒng)穩(wěn)定域的影響，從圖中可知，減小有功參考值或線路電感，均可以增加系統(tǒng)穩(wěn)定域。

此外，從圖5中可清晰地看出，由第二個李雅普諾夫函數(shù)導(dǎo)出的穩(wěn)定域比第一個李雅普諾夫函數(shù)導(dǎo)出的穩(wěn)定域大，故李雅普諾夫函數(shù)II導(dǎo)出的穩(wěn)定域保守性更弱。

圖5 不同參數(shù)下兩種李雅普諾夫函數(shù)導(dǎo)出的系統(tǒng)穩(wěn)定域

綜上所述，首先利用李雅普諾夫函數(shù)II導(dǎo)出保守性較小的穩(wěn)定域，然后用信號獲取方便、物理意義明確的李雅普諾夫函數(shù)I進行穩(wěn)定性判斷。

4 仿真計算

在PSCAD仿真軟件中對上文所述的大擾動情況進行仿真計算。仿真模型采用圖1所示的VSC經(jīng)傳輸線接入無窮大母線的模型，傳輸線采用經(jīng)典RL模型。系統(tǒng)參數(shù)的選取如表1所示。

表1 并網(wǎng)VSC系統(tǒng)的參數(shù)選取

圖7比較了簡化模型和全階模型在不同的故障切除時間下故障期間的動態(tài)過程，實線為本文提出模型的動態(tài)過程，虛線為詳細模型的動態(tài)過程。由圖7(a)、圖7(b)可知，當(dāng)故障被及時切除，兩種模型下系統(tǒng)均能保持穩(wěn)定，隨著故障切除時間的延長，振蕩幅度不斷增大，振蕩的衰減速度不斷減小，逐漸增大故障切除時間至系統(tǒng)失穩(wěn)，失穩(wěn)系統(tǒng)的動態(tài)過程如圖7(c)、圖7(d)所示。二者的阻尼振蕩相似，由此驗證了該模型在大干擾穩(wěn)定性分析問題中的準(zhǔn)確性。

圖6 仿真算例下兩種李雅普諾夫函數(shù)導(dǎo)出的系統(tǒng)穩(wěn)定域

圖8 電壓突降情況下的相平面圖

表2 系統(tǒng)的極限值

表3 李雅普諾夫函數(shù)的極限值

5 結(jié)論

本文通過李雅普諾夫直接法分析單VSC接口電源通過傳輸線連接到無窮大母線系統(tǒng)的大擾動同步穩(wěn)定性。在合理考慮VSC內(nèi)部電流控制和外部功率控制的時間尺度差異的基礎(chǔ)上，對并網(wǎng)VSC的全階模型進行了降階，得到一種包含阻尼項的簡化二階非線性模型?？紤]阻尼項，提出了一種新的李雅普諾夫函數(shù)，與以往的李雅普諾夫函數(shù)相比，得到了保守程度更低的穩(wěn)定域。在系統(tǒng)最后一次動作時已知鎖相環(huán)狀態(tài)量的情況下，可以保守預(yù)測系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

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Large disturbance stability criterion for a VSC with phase-locked loop based on a Lyapunov function

LI Yujun1, HUA Fenglin1, LU Yiyuan1, ZHANG Qian2, DU Zhengchun1

(1. Department of Electrical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi'an 710049, China; 2. Electric Power Research Institute of State Grid Shanxi Electric Power Company, Taiyuan 030001, China)

To study the large disturbance stability of a grid-connected VSC with phase-locked loop, a simplified second order nonlinear model of a VSC is established based on the difference of response speed between inner loop current control and outer loop power control, and two Lyapunov functions are separately defined. The first Lyapunov function has clear kinetic energy and potential energy concepts but a small stable region, while the second Lyapunov function has a wider stable region but lacks clear physical concepts. Combining the two Lyapunov functions, a practical stability criterion is obtained, one which has both clear physical concepts and a relatively large stable region.If the state of the phase-locked loop is known at the time of the system’s last operation, the stability can be predicted. The simulation results well verify the accuracy of the derived stability criterion.

grid-connected VSC; phase-locked loop; large disturbance stability; Lyapunov function

10.19783/j.cnki.pspc.220262

國家電網(wǎng)有限公司總部科技項目資助(5100- 202055389A-0-0-00)

This work is supported by the Science and Technology Project of the Headquarters of State Grid Corporation of China (No. 5100-202055389A-0-0-00).

2022-03-03；

2022-06-05

李宇駿(1990—)，男，通信作者，博士，副教授，研究方向為高比例新能源電力系統(tǒng)大擾動穩(wěn)定性分析；E-mail: yujunli@xjtu.edu.cn

華鳳林(1998—)，女，碩士，研究方向為電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析；E-mail: huafenglinv@stu.xjtu.edu.cn

陸藝源(1996—)，男，博士，研究方向為電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。E-mail: luyiyuan961015@stu.xjtu.edu.cn

(編輯 許 威)