脈沖測(cè)度泛函微分方程的李雅譜諾夫逆定理 ①

李寶麟, 郭林峰

(西北師范大學(xué)，甘肅 蘭州 730070)

1 引 言

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論是俄國(guó)數(shù)學(xué)家和力學(xué)家A.M李雅普諾夫在1892年所創(chuàng)立的用于分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論.文獻(xiàn)[1]給出了隨機(jī)半穩(wěn)定非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的李雅普諾夫定理及李雅普諾夫逆定理,文獻(xiàn)[2]得到了在緊集上具有擾動(dòng)取值的離散時(shí)間系統(tǒng)的李雅普諾夫逆定理.文獻(xiàn)[3]考慮了Caratheodory型的廣義常微分方程系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性的逆定理.文獻(xiàn)[4]通過(guò)測(cè)度泛函微分方程與廣義常微分方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,依據(jù)廣義常微分方程的李雅譜諾夫定理得到了測(cè)度泛函微分方程的李雅普諾夫定理.

本文利用脈沖測(cè)度泛函微分方程與測(cè)度泛函微分方程的等價(jià)關(guān)系,依據(jù)廣義常微分方程的李雅普諾夫逆定理得到了脈沖測(cè)度泛函微分方程

(1)

的李雅譜諾夫逆定理.其中J0=[t0,t1],Jk=(tk,tk+1],k∈Z+,{tk}k∈Z+是遞增的正實(shí)序列,

(2)

2 預(yù)備知識(shí)

引理2.2[6]令m∈N,{tk}k∈Z+為遞增序列, 且t1≥t0,B?Rn,I1,…,Im:B→Rn,

P=G([-r,0],B).f:P×[t0,t0+σ]→Rn假定g:[t0,+∞]→R左連續(xù), 在t1,…,tm處連續(xù). 對(duì)每個(gè)y∈P定義

則x∈G([t0-r,t0+σ],B)是脈沖泛函微分方程

的解當(dāng)且僅當(dāng)它是測(cè)度泛函微分方程

(3)

的解.

3 主要結(jié)果

定理3.1設(shè)f:S×[t0,+∞)→Rn,g:[t0,+∞)→R,Ik:B→Rn滿足以下條件

(B1) 對(duì)每個(gè)y∈O,f(yt,t)相對(duì)于g是Kurzweil 可積的.

(B2)存在相對(duì)于g局部 Kurzweil 可積函數(shù)m:[t0,+∞)→R使得對(duì)所有的y∈O,s1,s2∈[t0,+∞)有

‖ys-zs‖[t0,+∞)m(s)dg(s)

(B3)對(duì)每個(gè)k∈Z+,s∈[t0,+∞),存在常數(shù)mk≥0使得

‖Ik(y(tk))‖≤mk,

‖Ik(y(tk))-Ik(z(tk))‖≤‖ys-zs‖[t0,+∞)mk

VOCs中的氣體以微量存在，但具有毒性、強(qiáng)刺激性、致癌性和特殊的氣味性，會(huì)強(qiáng)烈地影響皮膚和黏膜，對(duì)人體產(chǎn)生急性損害；VOCs通過(guò)氧化、吸附、凝結(jié)等與空氣中的氧化劑、硝酸、臭氧發(fā)生反應(yīng),生成包含PM2.5和PM10的二次有機(jī)顆粒物，是大氣污染的重要來(lái)源之一；當(dāng)VOCs通過(guò)光照與氮氧化物、一氧化氮、二氧化氮發(fā)生反應(yīng)后，產(chǎn)生的臭氧及俗稱(chēng)的光化學(xué)煙霧是夏季污染的重要成分?？傊?，VOCs是一類(lèi)重要的空氣污染物，對(duì)人類(lèi)身體健康和環(huán)境都有巨大的危害，減少VOCs的排放和有效地對(duì)其進(jìn)行凈化處理是涂料行業(yè)的當(dāng)務(wù)之急。

由引理 2.1 和引理2.2及對(duì)s1,s2∈[t0,+∞),y,z∈O, 有

類(lèi)似地, 有

定理3.2設(shè)f,Ij滿足條件(B1)-(B3), 若脈沖測(cè)度泛函微分方程(1)的平凡解y≡0是積分穩(wěn)定的, 則存在一個(gè)相對(duì)于脈沖測(cè)度泛函微分方程(1)的李雅普諾夫泛函U:[t0,+∞)×S→R滿足

(a)存在一個(gè)連續(xù)遞增函數(shù)a:R+→R+滿足a(0)=0, 使得對(duì)所有的ψ∈S,t∈[t0,+∞)有

U(t,ψ)≤a(‖ψ‖)

(b)對(duì)所有的t∈[t0,+∞),U(t,0)=0.

(c)函數(shù)[s-r,+∞)t→U(t,yt(s,ψ))沿方程滿足初始條件ys=ψ的每個(gè)解y:[s-r,+∞)→Rn是不增的.