基于嶺回歸正則極限學(xué)習(xí)機(jī)的OFDM系統(tǒng)信道估計(jì)

袁偉康，解志斌，陳 磊，楊紫薇

(江蘇科技大學(xué) 海洋學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

0 引言

正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)是在頻域內(nèi)將信道分成若干正交子信道，將串行數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成許多并行的數(shù)據(jù)信號(hào)流，并分別調(diào)制到每個(gè)子信道上進(jìn)行傳輸?shù)囊环N傳輸方式。目前，通常需要執(zhí)行高階調(diào)制，以達(dá)到提高傳輸速率的目的，這對(duì)于OFDM系統(tǒng)的信道估計(jì)的時(shí)效性和精確性提出了更高的要求。

現(xiàn)有的OFDM系統(tǒng)信道估計(jì)方法主要有非盲信道估計(jì)和盲(半盲)信道估計(jì)。在非盲信道估計(jì)的方法中，最小二乘(Least Squares, LS)算法計(jì)算簡(jiǎn)單、復(fù)雜度低，不需要信道的任何先驗(yàn)信道信息，在實(shí)際中被廣泛使用[1]。然而，由于需要通過(guò)插值獲取信道狀態(tài)，導(dǎo)致LS算法的估計(jì)性能較差。文獻(xiàn)[2]提出的線性最小均方誤差(Linear Minimum Mean Square Error, LMMSE)算法優(yōu)于LS算法，但是需要信道的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)信息，且計(jì)算復(fù)雜度較高?；趬嚎s感知的信道估計(jì)方法，則被廣泛認(rèn)為可以從稀疏性角度優(yōu)化導(dǎo)頻資源的同時(shí)，保證信道估計(jì)的MSE性能[3-4]。在盲(半盲)信道估計(jì)方法中，為了減少資源的開(kāi)銷，文獻(xiàn)[5]提出一種基于預(yù)編碼的修正聯(lián)合盲信道估計(jì)算法，文獻(xiàn)[6]則提出一種基于變分貝葉斯推斷的半盲信道估計(jì)算法。盲與半盲信道估計(jì)的方法相比，節(jié)省了頻譜資源，但是估計(jì)性能較差。

近年來(lái)，利用不同神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行信道估計(jì)的方法也成為研究熱點(diǎn)。信道估計(jì)在系統(tǒng)的角度來(lái)看，可作為一個(gè)尋找非線性回歸的問(wèn)題，并將信號(hào)國(guó)通信道傳輸視為一個(gè)數(shù)學(xué)過(guò)程。同時(shí)，多徑信道的系統(tǒng)可以建模為一個(gè)自回歸問(wèn)題，并且這個(gè)問(wèn)題可以很好地適用于頻域選擇性衰落的信道模型[7]。因此，信道估計(jì)的問(wèn)題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庾曰貧w系數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)確定網(wǎng)絡(luò)自回歸系數(shù)，進(jìn)而得到網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行信道估計(jì)。文獻(xiàn)[8]采用長(zhǎng)短時(shí)記憶網(wǎng)絡(luò)(Long Short-term Memory, LSTM)，在信道估計(jì)中學(xué)習(xí)信號(hào)之間相關(guān)性并進(jìn)行預(yù)測(cè)，達(dá)到提高整體估計(jì)性能的目的，但是存在估計(jì)速度慢的不足。文獻(xiàn)[9]提出了一種利用極限學(xué)習(xí)機(jī)進(jìn)行信道估計(jì)的方法，解決了其他神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的迭代時(shí)間過(guò)長(zhǎng)等問(wèn)題，但是會(huì)產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)權(quán)值矩陣無(wú)法求解的情況。

本文提出了一種基于嶺回歸正則極限學(xué)習(xí)機(jī)(Regularization Extreme Learning Machine, RELM)的OFDM信道估計(jì)算法，改進(jìn)了一個(gè)基于極限學(xué)習(xí)機(jī)的信道估計(jì)網(wǎng)絡(luò)模型，在損失函數(shù)中增加L2范數(shù)，使損失函數(shù)正則化，再利用嶺回歸算法求解極限學(xué)習(xí)機(jī)的輸出層狀態(tài)參數(shù)，得到一個(gè)適用于信道估計(jì)網(wǎng)絡(luò)的回歸模型，從而避免發(fā)生權(quán)值矩陣無(wú)法求解的情況。同時(shí)，與反向傳播網(wǎng)絡(luò)相比，省去訓(xùn)練過(guò)程中迭代的大量時(shí)間。同時(shí)利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以學(xué)習(xí)得到回歸模型權(quán)值矩陣的最優(yōu)解。

1 系統(tǒng)模型

1.1 OFDM系統(tǒng)模型

考慮設(shè)計(jì)一個(gè)OFDM系統(tǒng)，如圖1所示。假定導(dǎo)頻信號(hào)及其狀態(tài)已知。

圖1 OFDM系統(tǒng)框圖

在一個(gè)OFDM符號(hào)時(shí)間內(nèi)，令子載波上導(dǎo)頻處信道響應(yīng)向量為h=[h(1),h(2),…,h(Np)]T。其中，第k個(gè)子載波上導(dǎo)頻的符號(hào)為x(k)，令發(fā)送矩陣為X=diag[x(1),x(2),…,x(Np)]，此時(shí)，接收符號(hào)向量為：

y=X·h+z，

(1)

式中，z表示高斯白噪聲，服從N(0，σ2)分布。

1.2 網(wǎng)絡(luò)模型

極限學(xué)習(xí)機(jī)(Extreme Learning Machine, ELM)屬于一種新型的單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有學(xué)習(xí)速度快、泛化性好、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)[10-12]，其基本原理圖如圖 2 所示。

圖2 ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型圖

針對(duì)一個(gè)含有n個(gè)輸入神經(jīng)元，i個(gè)隱含層神經(jīng)元和m個(gè)輸出層神經(jīng)元的單隱層網(wǎng)絡(luò)，其數(shù)學(xué)模型可以表示為：

Hβ=T，

(2)

式中，

(3)

式中，H為隨機(jī)特征映射矩陣，wi=[ωi1,ωi2,…,ωin]T是隱含層神經(jīng)元的連接權(quán)值，bi是隱含層神經(jīng)元的偏差(bias)，βi=[βi1,βi2,…,βim]T表示隱含層與輸出層之間的的權(quán)值權(quán)重，T表示理想輸出，g(x)為激活函數(shù)。

隱含層神經(jīng)元參數(shù)(wi，bi)通過(guò)任意概率分布隨機(jī)生成，因此，隱含層的輸出矩陣H實(shí)際上是已知的，且在保持不變。式(1)轉(zhuǎn)化成了求解線性方程Hβ=Τ的最小二乘解：

(4)

式中，H?表示隱含層輸出矩陣H的廣義逆。

2 基于嶺回歸RELM的信道估計(jì)

本節(jié)提出了一種基于嶺回歸RELM的OFDM信道估計(jì)算法，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 嶺回歸RELM信道估計(jì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型圖

訓(xùn)練階段根據(jù)映射數(shù)據(jù)確定初始的訓(xùn)練集：

Di={(xi,ti)|xi∈Rn,ti∈Rn}，其中xi表示導(dǎo)頻發(fā)送信號(hào)，ti表示接收端導(dǎo)頻信號(hào)，i=1,2,…,n。本文選用Sigmiod函數(shù)為激活函數(shù)，表達(dá)式為:

(5)

在訓(xùn)練過(guò)程中，由系統(tǒng)隨機(jī)產(chǎn)生輸出層和隱含層之間的連接權(quán)值矩陣wi和隱藏層節(jié)點(diǎn)的偏置矩陣bi，對(duì)于輸入的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可以通過(guò)βi，wi，bi，xn表示為：

(6)

常規(guī)極限學(xué)習(xí)機(jī)隱含層到輸出層間的權(quán)值矩陣常采用求逆解出，但由于傳輸矩陣可能出現(xiàn)不滿秩，從而產(chǎn)生對(duì)傳輸矩陣無(wú)法求逆等情況，影響網(wǎng)絡(luò)權(quán)值矩陣的求解[13-15]。針對(duì)這一問(wèn)題，本文在單隱層至輸出層的環(huán)節(jié)增加L2范數(shù)，使其損失函數(shù)正則化，從而取得更符合實(shí)際、更可靠的回歸矩陣，對(duì)于病態(tài)數(shù)據(jù)的擬合更強(qiáng)。

傳統(tǒng)極限學(xué)習(xí)機(jī)的輸出層損失函數(shù)為:

(7)

通過(guò)加入懲罰因子構(gòu)成的L2范數(shù)α‖β‖2，得到正則化損失函數(shù)為：

(8)

式中，α為懲罰因子，α∈(0,1)。令式(8)為0，此時(shí)所需輸出層傳遞矩陣β*可以表示為：

(9)

利用嶺回歸方法，對(duì)式(8)進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到：

(10)

當(dāng)式(10)等于0時(shí)，可以得到：

β*=(XTX+αI)-1XTT，

(11)

式中，β*為適合該信道估計(jì)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)輸出矩陣權(quán)值。

(12)

式中，Φ表示信道估計(jì)網(wǎng)絡(luò)對(duì)信號(hào)的處理過(guò)程。

3 評(píng)估準(zhǔn)則與復(fù)雜度分析

3.1 評(píng)估準(zhǔn)則

本文通過(guò)誤碼率(Bit Error Rate, BER)以及信道估計(jì)均方誤差(Mean Square Error, MSE)來(lái)評(píng)價(jià)所提算法估計(jì)質(zhì)量[16]。令H*表示信號(hào)的實(shí)際狀態(tài)矩陣，則信道估計(jì)均方誤差表達(dá)式為：

(13)

3.2 算法復(fù)雜度分析

表1對(duì)LS信道估計(jì)算法、LMMSE信道估計(jì)算法、基于BP的信道估計(jì)算法以及基于嶺回歸RELM的信道估計(jì)算法在一個(gè)OFDM符號(hào)時(shí)間的信道估計(jì)過(guò)程中的復(fù)雜度進(jìn)行了比較，其計(jì)算以進(jìn)行一次乘積運(yùn)算的次數(shù)為參考[17]。

表1 算法復(fù)雜度比較表

由表1可以看出，基于BP和嶺回歸RELM的信道估計(jì)算法在各連接層之間只需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的乘法運(yùn)算，復(fù)雜度與LS信道估計(jì)算法相當(dāng)，但均低于LMMSE信道估計(jì)算法[18]。特別地，對(duì)比基于BP與基于RELM的信道估計(jì)算法，由于BP算法需要通過(guò)迭代對(duì)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值進(jìn)行修正，從而達(dá)到設(shè)定的閾值并結(jié)束訓(xùn)練。而嶺回歸RELM算法可以在給定隨機(jī)生成初始值的情況下直接求解得到網(wǎng)絡(luò)的信道參數(shù)，因此，其訓(xùn)練時(shí)間遠(yuǎn)低于BP算法。

4 仿真與分析

為了評(píng)估所提算法性能，本節(jié)將不同網(wǎng)絡(luò)參數(shù)下的嶺回歸RELM網(wǎng)絡(luò)信道估計(jì)BER與MSE性能進(jìn)行仿真分析，同時(shí)還選取了基于嶺回歸RELM、ELM、BP的信道估計(jì)算法，以及傳統(tǒng)LS信道估計(jì)算法，在相同仿真參數(shù)下對(duì)于BER和MSE性能進(jìn)行進(jìn)一步對(duì)比，本文在Matlab 2020a環(huán)境下進(jìn)行仿真。

本文所構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)模型層數(shù)為3層：輸入層、隱含層和輸出層，每層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)為分別為16、128、16。系統(tǒng)樣本數(shù)量為30 000，其中80%作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，20%作為測(cè)試數(shù)據(jù)集。系統(tǒng)的仿真參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置表

圖4展示了LS算法，基于ELM、BP以及嶺回歸RELM的信道估計(jì)算法在不同信噪比下的MSE性能。

圖4 不同信道估計(jì)方法的MSE性能對(duì)比圖

由圖4可以看出，不同估計(jì)方法的MSE性能隨著SNR的增加都呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)，其中，本文所提出的基于嶺回歸RELM的信道估計(jì)算法MSE性能具有明顯的優(yōu)勢(shì)，而LS算法性能最差。由分析可知， LS算法信道估計(jì)過(guò)程中是忽略了噪聲的影響，所提算法與基于BP的信道估計(jì)算法相比，可以獲得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出層權(quán)值函數(shù)的全局最優(yōu)解，因此估計(jì)階段可以取得更優(yōu)的估計(jì)性能。本文所提算法在訓(xùn)練階段利用L2正則化，與基于ELM的信道估計(jì)算法相比，可以實(shí)現(xiàn)更高魯棒性，更好地?cái)M合出回歸模型，因此具有最好的估計(jì)性能。

圖5給出了不同信噪比情況下，4種信道估計(jì)方法的BER性能圖。由圖5可知，隨著信噪比的提高，誤碼率均呈現(xiàn)出下降的趨勢(shì)。在高信噪比的情況下，本文提出的信道估計(jì)算法具有明顯的優(yōu)勢(shì)。在20 dB時(shí)，本文所提出算法誤碼率為1×10-3，而LS算法則為3.5×10-2，基于BP的信道估計(jì)算法為0.6×10-2，基于ELM的信道估計(jì)算法為1×10-2。

圖5 不同估計(jì)方法下的BER性能對(duì)比圖

由圖6可以看出，在改變導(dǎo)頻數(shù)量的情況下，本文所提算法的MSE性能均隨著信噪比的提高而提高。同時(shí)，導(dǎo)頻數(shù)量越多，本文所提算法在相同信噪比的情況下，MSE性能越好。但導(dǎo)頻數(shù)量的增加也會(huì)引起頻譜資源占用過(guò)多的情況。

圖6 不同導(dǎo)頻數(shù)量時(shí)的MSE性能對(duì)比圖

圖7展示了導(dǎo)頻數(shù)量分別為8、12、16情況下本文所提算法的誤碼率情況，從圖中可以看出，隨著導(dǎo)頻數(shù)量的增多，所提算法誤碼率降低。但是，導(dǎo)頻數(shù)量過(guò)多會(huì)導(dǎo)致頻帶利用率下降。因此，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，需要對(duì)BER的性能要求和頻帶利用率進(jìn)行綜合考量。

圖7 不同導(dǎo)頻數(shù)量時(shí)的BER性能對(duì)比圖

5 結(jié)束語(yǔ)

為了進(jìn)一步改善OFDM信道估計(jì)性能，本文提出了一種基于嶺回歸RELM的信道估計(jì)算法。改進(jìn)算法可以解決傳統(tǒng)極限學(xué)習(xí)機(jī)權(quán)值參數(shù)無(wú)法求解的問(wèn)題。同時(shí)，所提算法通過(guò)嶺回歸優(yōu)化極限學(xué)習(xí)機(jī)，取得最優(yōu)的輸出矩陣權(quán)值參數(shù)，進(jìn)而完成信道估計(jì)。由仿真結(jié)果可以明顯看出，相較于LS算法、基于BP的信道估計(jì)算法以及基于ELM的信道估計(jì)算法，本文所提算法可以實(shí)現(xiàn)更低的系統(tǒng)均方誤差，達(dá)到更低的誤碼率，具有更高的估計(jì)準(zhǔn)確度。