非球面面型檢測新原理及誤差源分析建模研究

郝 芯，吳翠紅，于 博

（1.長春電子科技學(xué)院機電工程學(xué)院，吉林長春 130012；2.長春工程學(xué)院機電工程學(xué)院，吉林長春 130012）

1 引言

非球面光學(xué)元件相比于球面元件具有諸多優(yōu)越性能，使用非球面光學(xué)元件，不僅可以校正光學(xué)像差，減少其光能損失，而且可以獲得高質(zhì)量的圖像效果和高品質(zhì)的光學(xué)特性，同時，其還具有提高系統(tǒng)鑒別能力，增大作用間距，簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，降低系統(tǒng)重量等優(yōu)點，所以，非球面光學(xué)元件被廣泛應(yīng)用于光學(xué)系統(tǒng)中。但是，由于非球面光學(xué)元件的制造存在較大困難，致使其應(yīng)用范圍在一定程度上受到了限制[1?5]。非球面光學(xué)元件的制造技術(shù)主要包括加工和檢測兩個方面。曾經(jīng)有專家這樣說過：沒有高精度的檢測技術(shù)就制造不出高精度的非球面元件，因此，非球面元件的檢測對其高質(zhì)量的制造來說具有重要的意義。

針對當(dāng)前非球面檢測設(shè)備系統(tǒng)調(diào)節(jié)復(fù)雜、通用性能差、測量周期長和造價成本高等問題，提出了一種基于最接近圓法的非球面面型檢測新原理，該原理以非球面理論面型與其最接近圓的軌跡差值為基準(zhǔn)，對實際面型與其最接近圓的軌跡差值進行校核，進而可以得到被測非球面的面型誤差。這種原理相比于現(xiàn)行的非球面檢測設(shè)備，具有：理論誤差小、成本造價低、通用性能強、應(yīng)用范圍廣等優(yōu)點，因此，該原理具有很好的實用價值和發(fā)展前景。

2 非球面面型檢測新原理

球面面型的特性是具有無數(shù)條對稱軸線，其面型輪廓由球面半徑?jīng)Q定；而與球面對應(yīng)的非球面是指僅具有一條旋轉(zhuǎn)對稱軸，面型輪廓由很多個參數(shù)決定，其曲線方程，如式（1）所示：

式中：c—非球面頂點曲率；k—二次曲線常數(shù)；A、B—非球面高次項系數(shù)。如果非球面的大小尺寸已知，則其口徑D大小已知。

構(gòu)思了一種最接近圓法的非球面面型檢測新原理，如圖1所示。

圖1 非球面最接近圓的定義Fig.1 The Definition of an Aspheric Surface that is Closest to a Circle

曲線OPiPmax為待檢測非球面元件的輪廓線，曲線OPi′Pmax是待檢測非球面的最接近球面線，O′為最接近球面的球心，R為最接近球面的半徑，Pi為非球面上的任意點，其橫縱坐標(biāo)分別為xpi和ypi，Pi′為直線O′Pi延長至最接近圓上的一點，其橫縱坐標(biāo)分別為xp′i和yp′i，Pmax為非球面元件的上端點，其橫縱坐標(biāo)分別為xmax和ymax，分別過點Pi和點Pmax向做X軸做垂線，交X軸分別于點F和點E。

對于待測元件，要想檢測其面型誤差，應(yīng)先已知其曲線方程，如算式（1）所示，待測元件參數(shù)c，k，A，B應(yīng)已知，且待測元件的口徑D大小已知。由待測元件的口徑D，可以確定待測元件的Y向最大值：ymax=D/2，將ymax帶入非球面曲線式（1）中，可以計算得到對應(yīng)的xmax。

在ΔPmaxO′E中，可以建立式（2）：

將算式（2）變換可得到式（3）：

將ymax和xmax帶入式（3）中，可以計算得到待測元件的最接近圓半徑R的大小；根據(jù)光學(xué)設(shè)計給定非球面曲線方程的等分段數(shù)N，可以得到對應(yīng)的等分Y值的大?。簓1、y2、y3、…、yi，那么，經(jīng)Y向等分值帶入式（1）中，可計算得到對應(yīng)的X向等分值：x1、x2、x3、…、xi，因此，待測元件面型曲線上的對應(yīng)點P1、P2、P3、…、Pi的坐標(biāo)值可知。由圖1中直線O′Pi和O′Pi′的關(guān)系可知：

將計算得到的y1、y2、y3、…、yi和x1、x2、x3、…、xi帶入算式（8）中，即可計算得到與偏離量Pi′Pi一一對應(yīng)的角度θi。

所求得的Pi′Pi和θi值就可以作為最接近圓法檢測非球面面型的理論依據(jù)，即把工件曲面頂點置于最接近圓半徑R的端點上，直線量儀的探針與曲面頂點接觸，之后使工件向左或向右擺動，就可以檢測到實際非球面曲線與最接近圓的差值，那么得到的差值與理論差值之間相減，即可得到非球面曲線的真實誤差值。這就是最接近圓法實現(xiàn)非球面光學(xué)元件面型檢測的基本原理。

3 檢測儀總體結(jié)構(gòu)設(shè)計

檢測原理的樣機示意圖，如圖2所示。1為床身；2為旋轉(zhuǎn)手輪；3 為軸承端坐；4 為力矩電機；5 為Z向運動托架；6 位回轉(zhuǎn)托架；7為直線量儀；8為待測非球面元件；9為X向運動平臺；10為Y向伺服電機；11為Y向運動平臺；12為X向伺服電機。

圖2 原理樣機結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Schematic Diagram of the Principle Prototype

力矩電機通過軸端法蘭盤與床身相連，軸承端座通過螺栓與床身相連，回轉(zhuǎn)托架通過聯(lián)軸器與力矩電機直接相接，Z向運動托架通過導(dǎo)軌滑塊與回轉(zhuǎn)托架相連，Y向運動平臺通過導(dǎo)軌滑塊與Z向運動托架相連，X向運動平臺通過導(dǎo)軌滑塊與Y向運動平臺相連，直線量儀直接固定于床身上。

通過驅(qū)動Y向伺服電機可以實現(xiàn)Y向運動平臺沿Z向運動托架的滑軌做Y向直線運動，通過驅(qū)動X向伺服電機可以實現(xiàn)X向運動平臺沿Y向運動平臺的滑軌做X向直線運動，通過旋轉(zhuǎn)手輪可以實現(xiàn)Z向運動托架沿回轉(zhuǎn)托架的滑軌做上下移動，當(dāng)檢測凸型非球面時，旋轉(zhuǎn)手輪將Z向運動托架運動到力矩電機中軸線的上方，當(dāng)檢測凹型非球面時，旋轉(zhuǎn)手輪將Z向運動托架運動運動到力矩電機中軸線的下方。

檢測實施的具體步驟如下：首先，通過調(diào)整力矩電機的回轉(zhuǎn)方位角，使X、Y向運動平臺處于水平狀態(tài)；然后，通過驅(qū)動X、Y方向伺服電機，調(diào)整X、Y運動平臺使直線量儀在Z方向上的測點指向被測非球面的最高點；最后，驅(qū)動力矩電機，使其按照前文計算的角度θi轉(zhuǎn)動，同時直線量儀實時采集轉(zhuǎn)動θ對應(yīng)的距離值，并記錄保存。

對應(yīng)圖1和圖2所示的原理樣機檢測軌跡，如圖3所示。其中，曲線OPiPmax為待檢測的非球面輪廓曲線，直線OPi′Pmax是待檢測非球面的最接近球面軌跡，O′為最接近球面的球心，R為最接近球面的半徑，θ為上文所述力矩電機的轉(zhuǎn)動角度。

如果待檢測的非球面件面形誤差為0，則直線量儀所檢測的軌跡應(yīng)是曲線OPiPmax，但是，在實際檢測中，由于待測非球面面形誤差的存在，使得直線量儀所測量的軌跡由曲線OPiPmax變成了曲線OPPmax，而曲線OPiPmax與曲線OPPmax在縱方向的距離差值就是所求的待測非球面元件的面型誤差值。

4 誤差源分析

4.1 誤差源分析

至目前為止，影響檢測儀器檢測精度的誤差種類被普遍認為有以下幾種[6?8]：幾何誤差、熱變形誤差、力誤差、控制系統(tǒng)誤差、其他誤差。

在上述誤差中，幾何誤差所占權(quán)重最大，所以，普遍認為幾何誤差決定了檢測儀器的檢測精度。因此，若想全面提升非球面檢測儀的檢測精度，必須全面的考慮其具有的幾何誤差。針對研究對象，對其具有的幾何誤差源進行了詳細分析，并建立相關(guān)的誤差補償模型，從而可以有效地提高其檢測精度。

4.2 幾何誤差元素

幾何誤差是指由各組成部件的幾何量值所引起的運動誤差，所以，幾何誤差有時也被稱為運動誤差。根據(jù)運動學(xué)原理知[9?11]：三維空間中的任何物體均由6個自由度來確定其位置和方向，包括3個平移自由度和3個旋轉(zhuǎn)自由度，因此，檢測儀器的任意移動副和轉(zhuǎn)動副均有6項空間幾何誤差，并且移動副與移動副之間，移動副和轉(zhuǎn)動副之間還存在其他類別的關(guān)聯(lián)誤差。

（1）移動副的幾何誤差

三維空間中的移動副共具有6項幾何誤差，其中包括：3項平動位移誤差和3項旋轉(zhuǎn)角位移誤差，如圖4所示，以任意移動副為例分析（稱之為X軸），該移動副的3 項平動位移誤差分別為：δx（x）、δy（x）、δz（x），三項旋轉(zhuǎn)角位移誤差分別為εx（x）、εy（x）、εz（x），上述符號的下標(biāo)字母表示誤差的方向，括號內(nèi)的字母表示該誤差量值是沿X軸向運動時與移動距離x相關(guān)的函數(shù)。

圖4 空間移動副的6項幾何誤差分布圖Fig.4 Distribution of 6 Geometric Errors of Spatial Movement Pairs

根據(jù)上述分析知：對于具有三個平動軸（X軸、Y軸、Z軸）的非球面檢測儀，應(yīng)具有18項幾何誤差，其中6項X軸的幾何誤差：δx（x）、δy（x）、δz（x）、εx（x）、εy（x）、εz（x）；6項Y軸的幾何誤差：δx（y）、δy（y）、δz（y）、εx（y）、εy（y）、εz（y）；6項Z軸的幾何誤差：δx（z）、δy（z）、δz（z）、εx（z）、εy（z）、εz（z）；再加上三個平動軸（X軸、Y軸、Z軸）之間的垂直度誤差Sxy、Sxz、Syz，因此，對于具有三個平動軸的非球面面型檢測儀，應(yīng)具有21項平動幾何誤差。

（2）轉(zhuǎn)動副的幾何誤差

三維空間中的任意轉(zhuǎn)動副同樣也具有6項幾何誤差，其中包括：3項平動誤差和3項轉(zhuǎn)角誤差，如圖5所示。以任意轉(zhuǎn)動副為例分析（稱之為C軸），描述該轉(zhuǎn)動副的三項平動誤差分別為：δx（c）、δy（c）、δz（c），三項轉(zhuǎn)角誤差分別為：εx（c）、εy（c）、εz（c），其中c為旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)角，上述符號的下標(biāo)字母表示誤差的方向，括號內(nèi)字母表示該誤差值是與轉(zhuǎn)角c相關(guān)的函數(shù)。

圖5 空間轉(zhuǎn)動副的6項幾何誤差分布圖Fig.5 Distribution of 6 Geometric Errors of Spatial Rotation Pair

根據(jù)上述分析：對于具有一個轉(zhuǎn)動軸（C軸）的非球面面型檢測儀，應(yīng)存在6項幾何誤差，其分別為3項平動誤差：δx（c）、δy（c）、δz（c）和3項轉(zhuǎn)角誤差：εx（c）、εy（c）、εz（c），至此，非球面面型檢測儀共具有27項幾何誤差。

5 綜合誤差建模

非球面檢測儀其檢測過程的實質(zhì)是直線量儀與工件之間的相對運動，即：直線量儀檢測點在工件坐標(biāo)系中生成的運動軌跡。應(yīng)用多體系統(tǒng)理論，通過相鄰體間的坐標(biāo)變換矩陣，建立直線量儀檢測點在工件坐標(biāo)系中的零級運動方程，可以實現(xiàn)數(shù)控機床綜合運動誤差的建模。

5.1 建立拓撲結(jié)構(gòu)及低序體陳列

對于非球面面型檢測儀而言，根據(jù)運動鏈的組成結(jié)構(gòu)，可將其工藝系統(tǒng)分為床身（R）、回轉(zhuǎn)托架（C）、Z向運動托架（Z）、Y向運動托架（Y）、X向運動托架（X）、工件（M）、直線量儀（L）、共7個部件，則非球面面型檢測儀的總體運動鏈可以表示為：M→X→Y→Z→C→R←L，其中包含兩條支鏈：包括R在內(nèi)的左半部分稱為“工件運動鏈”，即：“M→X→Y→Z→C→R”，表示從工件到床身的坐標(biāo)系變換；包括R在內(nèi)的右半部分稱為“檢測運動鏈”，即：R←L，表示從直線量儀到床身的坐標(biāo)系變換，因此，非球面面型檢測儀工藝系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)是一個由兩條支鏈組成的封閉環(huán)。非球面面型檢測儀的拓撲結(jié)構(gòu)，如圖6所示。

圖6 非球面面型檢測儀的拓撲結(jié)構(gòu)Fig.6 Topological Structure of Aspheric Surface Detector

5.2 設(shè)定坐標(biāo)系

檢測儀工藝系統(tǒng)的坐標(biāo)系設(shè)置，應(yīng)將組成工藝系統(tǒng)的所有部件均看成個體，在所有個體上均設(shè)置一個子坐標(biāo)系，并將床身上的子坐標(biāo)系作為其參考坐標(biāo)系。為了簡化坐標(biāo)變換的表達式，根據(jù)工藝系統(tǒng)的特征，可將各子坐標(biāo)系的初始位姿設(shè)置相同，即：初始原點相同、初始坐標(biāo)軸重疊。

假定，在初始狀態(tài)下，創(chuàng)建床身上的參考坐標(biāo)系為OR，在回轉(zhuǎn)軸—C、平動軸—Z、平動軸—Y、平動軸—X分別創(chuàng)建子坐標(biāo)系OC、OZ、OY、OX，與參考坐標(biāo)系OR初始點相同、初始坐標(biāo)軸重疊；設(shè)置直線量儀子坐標(biāo)系OL的初始點為檢測點，工件的子坐標(biāo)系OM與OL初始點相同、初始坐標(biāo)軸重疊，直線量儀坐標(biāo)系的初始點在床身坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（Dx、Dy、Dz），如圖7所示。

圖7 非球面面型檢測儀的坐標(biāo)系設(shè)置Fig.7 Coordinate System Setting of Aspheric Surface Type Detector

5.3 建立理想變換矩陣

應(yīng)用多體系統(tǒng)理論法，針對非球面面型檢測儀的部件間自由度分布及已設(shè)定的廣義坐標(biāo)系，建立非球面面型檢測儀相鄰體間的理想變換矩陣，如表1所示。其中x、y、z、C分別表示X軸、Y軸、Z軸、回轉(zhuǎn)軸C相對于初始位置的變動量，I4×4為4階單位矩陣。

表1 各相鄰部件間的理想變化矩陣Tab.1 Ideal Change Matrix Between Adjacent Parts

理想狀態(tài)下，直線量儀檢測點與目標(biāo)工件上的理論檢測點在空間中始終重合，由已設(shè)置的坐標(biāo)系及空間點齊次坐標(biāo)的表述知，直線量儀檢測點在直線量儀坐標(biāo)系中的齊次坐標(biāo)為：ol=[0 0 0 1]T，根據(jù)多體系統(tǒng)理論可建立直線量儀檢測點在工件坐標(biāo)系中的零級運動方程如下所示。

式中：直線量儀檢測相對于工件目標(biāo)點的坐標(biāo)變換，其中：Tij=Tijp·Tijs；Tijp—靜止變換矩陣；Tijs—運動變換矩陣。

5.4 綜合誤差建模

在實際工況下，受檢測過程中空間誤差因素的影響，實際的檢測運動相比理想的加工運動會存在一定的偏差，使得直線量儀檢測點與工件上的理論檢測點在空間上處于分離狀態(tài)，從而產(chǎn)生零件的檢測誤差。以前文分析的誤差參數(shù)為基礎(chǔ)，建立了非球面面型檢測儀的綜合誤差模型，該模型可以綜合反映空間誤差因素對檢測精度的具體影響。

（1）直線量儀OL坐標(biāo)系

由于直線量儀在安裝過程中存在安裝誤差：ΔxT、ΔyT、ΔzT，因此，直線量儀坐標(biāo)系OL相對于床身坐標(biāo)系OR的實際變換矩陣為：

（2）床身坐標(biāo)系

由于所建立的廣義坐標(biāo)系以床身作為其參考坐標(biāo)系，因此，認為床身坐標(biāo)系不存在誤差。

（3）回轉(zhuǎn)軸OC坐標(biāo)系

經(jīng)前文分析，回轉(zhuǎn)軸C在加工過程中應(yīng)具有8項誤差，分別為：δx（C）、δy（C）、δz（C）、εx（C）、εy（C）、εz（C）、ηxC、ηzC。因此，回轉(zhuǎn)軸C坐標(biāo)系OC相對平動軸X坐標(biāo)系OX的實際運動變換矩陣為：

式中:s=sin；c=cos

（4）平動軸OZ坐標(biāo)系

經(jīng)前文分析，平動軸Z在加工過程中應(yīng)具有7項誤差，分別為：δx（X）、δy（X）、δz（X）、εx（X）、εy（X）、εz（X）、Sxy。因此平動軸Z坐標(biāo)系OZ相對回轉(zhuǎn)軸C坐標(biāo)系OC的實際運動變換矩陣為：

（5）平動軸OY坐標(biāo)系

經(jīng)前文分析，平動軸Y在加工過程中應(yīng)具有7項誤差，分別為：δx（Y，T）、δy（Y，T）、δz（Y，T）、εx（Y，T）、εy（Y，T）、εz（Y，T）、Sxz。因此，平動軸Y坐標(biāo)系OY相對于平動軸Z坐標(biāo)系OZ的實際運動變換矩陣為：

（6）平動軸OX坐標(biāo)系

經(jīng)前文分析，平動軸X在加工過程中應(yīng)具有8項誤差，分別為：δx（X，T）、δy（X，T）、δz（X，T）、εx（X，T）、εy（X，T）、εz（X，T）、δx（p）、Sxy。因此平動軸X坐標(biāo)系OX相對平動軸Y坐標(biāo)系OY的實際運動變換矩陣為：

（7）工件OM坐標(biāo)系

由于工件在安裝過程中會存在安裝誤差：ΔxM、ΔyM、ΔzM、ΔαM、ΔβM、ΔγM，因此，工件坐標(biāo)系OM相對于夾具坐標(biāo)系OM的實際變換矩陣為：

分析完成實際運動的變換矩陣后，可以建立實際運動過程中，直線量儀檢測點在工件坐標(biāo)系中的零級運動方程為：

式（16）的實際意義為直線量儀檢測點相對于工件目標(biāo)檢測點的坐標(biāo)變換，其中：T′ij=T′ijp·T′ijs，T′ijp—靜止誤差變換矩陣，T′ijs—運動誤差變換矩陣。

在誤差存在的情況下，可以認為直線量儀的實際檢測點om′與理想檢測點om的關(guān)系是在理想狀態(tài)下疊加了一個誤差運動矩陣E，即：

聯(lián)立算式（15）～式（17）如下所示：

由式（18），可推出誤差運動矩陣E的求解算式如下所示：

基于小誤差假設(shè)，誤差運動變換矩陣E可作如下假定：

式中：θx、θy、θz—直線量儀實際檢測點相對于理想檢測點的方向誤差；Δx、Δy、Δz—直線量儀實際檢測點相對于理想檢測點的位置誤差。

由此可得：

5.5 建模結(jié)果

對式（21）進行矩陣乘積、求逆運算，將表1 及算式（10）～式（15）帶入其中，對二階以上的高階小量進行省略處理，可以得到實際檢測任意時刻儀器在6個自由度上的誤差分量（算式較大，此處不展開討論），其運算得到的因變量θx、θy、θz、Δx、Δy、Δz就是所求的非球面面型檢測時的面型檢測誤差，算式中的自變量就是前文分析的運動軸的進給量以及在其運動過程中產(chǎn)生幾何誤差的誤差分量，由此可知，當(dāng)一一求解幾何誤差后，將其全部帶入上述算式中，就可以直接得到面型檢測儀的運動誤差，并可以進一步得到理論上的檢測精度。

6 數(shù)模驗證分析

為驗證綜合誤差模型的正確性，采用實驗室采購的雷尼紹XL?80型雙頻激光干涉儀進行原理樣機誤差數(shù)據(jù)采集，并以此為誤差模型輸入量，通過綜合誤差模型可以求取模型運動軸X、Y和C軸各節(jié)點定位誤差輸出量。同時，采用當(dāng)前廣泛應(yīng)用的機床誤差“12線辨識法”為參考進行誤差數(shù)據(jù)比對分析。

誤差模型輸出量數(shù)據(jù)與機床誤差“12線辨識法”數(shù)據(jù)校準(zhǔn)對比分析，如圖8所示。由圖分析可知：（1）原理樣機中3個運動軸X、Y和C軸在各自運動行程上定位誤差增減性始終處于單調(diào)狀態(tài)，此屬性有利于實施精密誤差補償；（2）經(jīng)機床誤差“12線辨識法”辨識后的誤差數(shù)據(jù)對綜合誤差模型輸出量校準(zhǔn)后，校準(zhǔn)后誤差數(shù)據(jù)始終在誤差零線附近波動，說明文中建立的誤差綜合模型準(zhǔn)確；（3）原理樣機中3個運動軸校準(zhǔn)后誤差數(shù)據(jù)在零線附近波動，但未與零線誤差數(shù)據(jù)重合，說明綜合誤差建模的涉及因素眾多，少數(shù)因素是機床誤差“12線辨識法”中未考慮涉及的，間接說明文中建立的綜合誤差模型更全面的體現(xiàn)了運動軸空間運動的真實狀態(tài)。

圖8 誤差數(shù)據(jù)比對分析圖Fig.8 Error Data Comparison Analysis Chart

7 總結(jié)

（1）針對當(dāng)前非球面檢測設(shè)備系統(tǒng)調(diào)節(jié)復(fù)雜、通用性能差、測量周期長和造價成本高等問題，提出了一種基于最接近圓法的非球面面型檢測新原理，并以新原理為核心設(shè)計了檢測儀器的原理樣機結(jié)構(gòu)，同時，進行了原理樣機的檢測軌跡分析。（2）針對原理樣機的總體結(jié)構(gòu)進行了影響檢測精度的誤差源分析，基于多提系統(tǒng)理論建立了檢測儀器的拓撲結(jié)構(gòu)、相鄰體的理想變換矩陣和實際運動變換矩陣，并最終建立檢測儀的綜合誤差模型。（3）使用雷尼紹XL?80型雙頻激光干涉儀對原理樣機進行了誤差數(shù)據(jù)采集，應(yīng)用綜合誤差模型求解了原理樣機3個運動軸在各自運動行程的定位誤差，以機床誤差“12線辨識法”為參考，對綜合誤差模型進行了校準(zhǔn)分析，通過校準(zhǔn)結(jié)果論證了文中建立綜合誤差模型的正確性，同時，也進一步掌握了原理樣機3個運動軸的定位誤差屬性，為原理樣機下一步誤差補償?shù)於藞詫嵒A(chǔ)。