考慮裂紋閉合效應(yīng)的疲勞裂紋擴(kuò)展有限元分析

賴(lài)森華，孫維光，田洪雷，于洋洋

（中車(chē)青島四方機(jī)車(chē)車(chē)輛股份有限公司，山東青島 266111）

1 引言

周期性載荷下結(jié)構(gòu)疲勞失效機(jī)理和壽命預(yù)測(cè)一直是工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)。當(dāng)工程結(jié)構(gòu)承受典型循環(huán)拉伸載荷時(shí)，將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)內(nèi)部損傷的產(chǎn)生和疲勞裂紋擴(kuò)展，此時(shí)裂紋尖端會(huì)形成兩種不同的塑性區(qū)，其中，裂尖后端的反向塑性區(qū)將阻止低應(yīng)力下裂紋面的閉合，使外載不再對(duì)裂紋尖端做功，即塑性誘發(fā)的裂紋閉合效應(yīng)。文獻(xiàn)[1]最先提出此概念，并給出有效應(yīng)力強(qiáng)度因子對(duì)裂紋擴(kuò)展速率進(jìn)行預(yù)測(cè)。

裂紋面閉合后，僅當(dāng)外載大于裂紋張開(kāi)應(yīng)力時(shí)，裂紋才能張開(kāi)并發(fā)生裂紋擴(kuò)展，因此裂紋擴(kuò)展速率和壽命預(yù)測(cè)與裂紋張開(kāi)應(yīng)力密切相關(guān)。對(duì)于此方面的研究眾多學(xué)者采用經(jīng)驗(yàn)公式[2?3]、理論分析[4?5]和數(shù)值計(jì)算[6?7]的方法給出裂紋張開(kāi)應(yīng)力。文獻(xiàn)[7]對(duì)鑄造鈦合金ZTC4進(jìn)行了疲勞試驗(yàn)，結(jié)合斷口分析研究了裂紋擴(kuò)展行為，基于小裂紋理論對(duì)ZTC4的疲勞壽命進(jìn)行了預(yù)測(cè)，但經(jīng)驗(yàn)公式容易受限于試驗(yàn)條件以及一定的材料和應(yīng)力比范圍。理論分析雖然可獲得精確的張開(kāi)應(yīng)力，但需要基于假設(shè)條件，局限于較為簡(jiǎn)單的裂紋幾何構(gòu)型上的應(yīng)用。

對(duì)于復(fù)雜裂紋幾何或外載條件，采用有限元法分析塑性誘發(fā)的裂紋閉合效應(yīng)是一種有效手段[9]。其基本流程是通過(guò)建立一個(gè)帶有初始裂紋的有限元模型，外加載荷作用于模型的遠(yuǎn)端。在恒幅加載條件下，載荷循環(huán)于最大外加載荷和最小外加載荷之間，在循環(huán)外載作用下，裂紋按照某種指定的方式向前擴(kuò)展，導(dǎo)致在裂紋尖端后方形成一條塑性尾跡區(qū)。

現(xiàn)有的分析方法大都采用此流程，但影響裂紋閉合效應(yīng)的因素很多，例如，文獻(xiàn)[5]對(duì)網(wǎng)格精細(xì)程度進(jìn)行了詳細(xì)探討，給出了建議網(wǎng)格尺寸；對(duì)裂紋閉合效應(yīng)的處理也有節(jié)點(diǎn)約束和上下表面建立接觸等方式模擬[10?11]。

對(duì)于裂紋擴(kuò)展時(shí)機(jī)，文獻(xiàn)[12]的研究表明擴(kuò)展時(shí)機(jī)不同會(huì)導(dǎo)致張開(kāi)應(yīng)力明顯不同，也有學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)減小裂紋尖端網(wǎng)格尺寸對(duì)不同裂紋擴(kuò)展時(shí)機(jī)影響很小。

針對(duì)緊湊拉伸試樣，通過(guò)構(gòu)建其平面有限元模型，同時(shí)考慮塑性誘發(fā)的裂紋閉合效應(yīng)，研究了網(wǎng)格尺寸、裂紋擴(kuò)展時(shí)機(jī)、裂紋張開(kāi)點(diǎn)的確定等關(guān)鍵因素對(duì)裂紋張開(kāi)應(yīng)力的影響，并采用節(jié)點(diǎn)反力線性插值的方法，給出了穩(wěn)定的裂紋張開(kāi)載荷判斷方式，為復(fù)雜疲勞裂紋擴(kuò)展行為分析和壽命預(yù)測(cè)提供有益參考。

2 有限元模型及分析流程

對(duì)于緊湊拉伸試樣（CT，Compact Tension），由于裂紋貫穿試件并且試樣幾何尺寸和邊界條件具有對(duì)稱(chēng)性，因此，采用二分之一對(duì)稱(chēng)平面模型，并對(duì)裂紋尖端網(wǎng)格進(jìn)行加密處理以滿(mǎn)足塑性區(qū)要求，如圖1所示。其中，模型中材料本構(gòu)為理想彈塑性模型，具體參數(shù)為：E=200GPa，μ=0.3，σ0=230MPa。

圖1 CT試樣有限元模型Fig.1 Numerical Model of CT Specimen

考慮裂紋閉合效應(yīng)的疲勞裂紋擴(kuò)展分析是一個(gè)非線性的分析過(guò)程，需采用等幅循環(huán)外載，在每一次循環(huán)外載內(nèi)為等值增量加載，裂紋擴(kuò)展計(jì)算過(guò)程具體為：在每一次循環(huán)外載的最大載荷處釋放一個(gè)節(jié)點(diǎn)約束，此時(shí)裂紋尖端擴(kuò)展一個(gè)單元格長(zhǎng)度Δa，形成新的裂紋面；裂紋發(fā)生擴(kuò)展后，監(jiān)測(cè)每一增量步裂紋擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)裂紋尖端后的節(jié)點(diǎn)y向位移值，當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移為負(fù)時(shí)，則約束節(jié)點(diǎn)y向位移以阻止裂紋面的穿透，此時(shí)對(duì)應(yīng)的外載為裂紋閉合載荷；在隨后的加載過(guò)程中，監(jiān)測(cè)閉合節(jié)點(diǎn)的反力，當(dāng)節(jié)點(diǎn)反力由壓力轉(zhuǎn)變?yōu)槔r(shí)，去除該節(jié)點(diǎn)y向約束，當(dāng)裂紋擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)距離裂紋尖端最近的節(jié)點(diǎn)y向約束解除時(shí)，此時(shí)外載對(duì)應(yīng)為裂紋的張開(kāi)載荷；當(dāng)相鄰循環(huán)外載下，裂紋張開(kāi)載荷基本保持不變，此時(shí)確定為穩(wěn)定擴(kuò)展階段的裂紋張開(kāi)載荷，獲得穩(wěn)定的裂紋擴(kuò)展張開(kāi)載荷或裂紋擴(kuò)展一定長(zhǎng)度后，程序結(jié)束。疲勞裂紋擴(kuò)展的計(jì)算分析流程圖，如圖2所示。

圖2 疲勞裂紋擴(kuò)展分析流程圖Fig.2 The Flow Chart of Fatigue Crack Growth Analysis

3 結(jié)果與討論

3.1 模型驗(yàn)證與網(wǎng)格劃分尺寸

由于應(yīng)用有限元法來(lái)分析疲勞裂紋擴(kuò)展是在每一次外載循環(huán)過(guò)程中，裂紋擴(kuò)展一個(gè)單元格長(zhǎng)度Δa，因此有限元網(wǎng)格劃分的精細(xì)化程度對(duì)計(jì)算結(jié)果有很大的影響。為了提高計(jì)算效率，不適宜把網(wǎng)格劃的過(guò)分精細(xì)，但是，如果網(wǎng)格質(zhì)量比較粗糙，將會(huì)造成不準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。

參考文獻(xiàn)[5]中給的建議，以裂紋尖端塑性區(qū)尺寸為參照，討論網(wǎng)格尺寸對(duì)穩(wěn)定的裂紋擴(kuò)展張開(kāi)載荷影響，塑性區(qū)尺寸rf計(jì)算公式為：

式中：平面應(yīng)力α=1，平面應(yīng)變?chǔ)?3，Kmax—峰值載荷時(shí)最大應(yīng)力強(qiáng)度因子。

在上述驗(yàn)證有限元計(jì)算流程的基礎(chǔ)上，對(duì)CT試樣進(jìn)行分析，歸一化的裂紋張開(kāi)外載隨載荷循環(huán)次數(shù)的變化，如圖3所示。由圖可見(jiàn)，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，導(dǎo)致裂紋張開(kāi)的外載逐漸增大并趨于穩(wěn)定，并且由計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[5]所得結(jié)果相比較，彼此符合良好，說(shuō)明了所采用計(jì)算方法的有效性。下面進(jìn)一步對(duì)CT試樣進(jìn)行參數(shù)討論。

圖3 裂紋張開(kāi)外載隨循環(huán)次數(shù)變化Fig.3 Crack Opening Load Varies with Number of Cycles

給出CT試樣的裂紋張開(kāi)載荷隨網(wǎng)格尺寸變化規(guī)律，圖中不同曲線為裂尖網(wǎng)格尺寸與塑性區(qū)的比值，如圖4 所示。由圖可見(jiàn)，網(wǎng)格尺寸相對(duì)較大時(shí)，穩(wěn)定的裂紋張開(kāi)載荷較小，隨著網(wǎng)格尺寸的減小，穩(wěn)定的裂紋張開(kāi)載荷逐漸增加并趨于穩(wěn)定，此時(shí)繼續(xù)增加網(wǎng)格密度不但增加整體網(wǎng)格數(shù)量，同時(shí)由于單元格長(zhǎng)度較小，需要更多的循環(huán)次數(shù)才能達(dá)到裂紋張開(kāi)載荷的穩(wěn)定狀態(tài)。

圖4 裂紋張開(kāi)載荷隨網(wǎng)格尺寸變化Fig.4 Crack Opening Load Varies with Mesh Size

3.2 黏連節(jié)點(diǎn)釋放

疲勞裂紋擴(kuò)展是在外加循環(huán)外載下裂紋尖端按某種規(guī)律逐步向前擴(kuò)展。有限元分析中最常見(jiàn)的處理方法是逐步釋放裂尖節(jié)點(diǎn)約束，使裂紋每次以一個(gè)網(wǎng)格寬度的增量向前擴(kuò)展。

當(dāng)采用釋放裂尖節(jié)點(diǎn)約束的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)裂紋擴(kuò)展時(shí)，究竟應(yīng)該在循環(huán)外載的什么時(shí)機(jī)釋放節(jié)點(diǎn)對(duì)還是一個(gè)有待明確的問(wèn)題。

目前，針對(duì)節(jié)點(diǎn)釋放時(shí)機(jī)，主要有如下三類(lèi)處理方式：

（1）在最大外載時(shí)刻釋放節(jié)點(diǎn)；

（2）在最小外載時(shí)刻釋放節(jié)點(diǎn)；

（3）在第二次循環(huán)中最大外載時(shí)刻釋放。

上述三種情況下裂紋張開(kāi)載荷的變化情況下的計(jì)算結(jié)果，如圖5所示。由圖可知，裂尖節(jié)點(diǎn)在最小外載時(shí)釋放，張開(kāi)載荷略小于節(jié)點(diǎn)在最大外載釋放的值；節(jié)點(diǎn)在第二次循環(huán)中釋放，此時(shí)對(duì)應(yīng)的裂紋張開(kāi)載荷變化不大，但需要指出的是節(jié)點(diǎn)在第二次循環(huán)中釋放增加了一倍的計(jì)算量。

圖5 不同時(shí)刻節(jié)點(diǎn)釋放對(duì)比Fig.5 Comparison Diagram of Node Release at Different Time Points

3.3 裂紋張開(kāi)/閉合點(diǎn)的確定

對(duì)于裂紋張開(kāi)/閉合載荷的確定是通過(guò)對(duì)裂紋擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)反力/位移進(jìn)行判斷，目前大多數(shù)學(xué)者在有限元分析中是在每次載荷循環(huán)對(duì)裂尖后的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行反力/位移的監(jiān)測(cè)，為了對(duì)比監(jiān)測(cè)不同節(jié)點(diǎn)時(shí)對(duì)裂紋張開(kāi)載荷的影響，同時(shí)對(duì)裂紋尖端后第二個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了監(jiān)測(cè)，將所確定的裂紋張開(kāi)載荷與監(jiān)測(cè)裂尖后第一個(gè)節(jié)點(diǎn)確定的裂紋張開(kāi)載荷進(jìn)行對(duì)比，如圖6所示。

由圖6可見(jiàn)，當(dāng)監(jiān)測(cè)裂紋尖端后第二個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，所得到的裂紋張開(kāi)載荷要明顯小于監(jiān)測(cè)第一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)得到的值，說(shuō)明當(dāng)裂尖后第二個(gè)節(jié)點(diǎn)張開(kāi)時(shí)，已擴(kuò)展裂紋仍處于閉合狀態(tài)，因此監(jiān)測(cè)第二個(gè)節(jié)點(diǎn)不能真實(shí)描述裂紋張開(kāi)/閉合點(diǎn)的位置。

圖6 監(jiān)測(cè)不同節(jié)點(diǎn)對(duì)裂紋張開(kāi)載荷的影響Fig.6 The Influence of Different Monitored Node on Crack Opening Load

3.4 穩(wěn)定的裂紋張開(kāi)載荷

在恒幅加載情況下，裂紋張開(kāi)載荷隨著裂紋擴(kuò)展的進(jìn)行而逐漸趨于一穩(wěn)定的數(shù)值，此時(shí)裂紋需完全穿透初始的裂紋尖端單調(diào)塑性區(qū)才能形成一個(gè)穩(wěn)定的塑性尾跡區(qū)，得到穩(wěn)定的裂紋張開(kāi)載荷。

在此需要進(jìn)一步探討的是對(duì)于穩(wěn)定的裂紋張開(kāi)載荷的判斷，由于每一次循環(huán)外載是通過(guò)等值增量步進(jìn)行加載，在研究中發(fā)現(xiàn)，所確定的裂紋張開(kāi)載荷和加載增量步數(shù)相關(guān)。

對(duì)于前后兩次循環(huán)外載，通常將裂紋張開(kāi)載荷為相同增量步數(shù)時(shí)確定為穩(wěn)定的裂紋張開(kāi)載荷，但在后續(xù)的循環(huán)外載作用下，裂紋張開(kāi)載荷又有所增加，此時(shí)難以對(duì)穩(wěn)定的裂紋張開(kāi)載荷進(jìn)行精確判斷。

為了獲得更加精確真實(shí)的穩(wěn)定裂紋張開(kāi)載荷，可采用2種方案以改善計(jì)算結(jié)果，具體為：

（1）增加增量步數(shù)，可以對(duì)每次循環(huán)外載下裂紋張開(kāi)載荷進(jìn)行更加精確的判斷，但此方法將導(dǎo)致計(jì)算量大幅增加且增量步數(shù)仍無(wú)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)；

（2）采用線性插值的方法，即對(duì)裂尖后節(jié)點(diǎn)的監(jiān)測(cè)時(shí)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)反力由壓力轉(zhuǎn)變?yōu)槔?，認(rèn)為節(jié)點(diǎn)反力呈現(xiàn)線性變化，通過(guò)線性插值來(lái)確定節(jié)點(diǎn)反力為0時(shí)所對(duì)應(yīng)的裂紋張開(kāi)載荷。

相同增量步數(shù)時(shí)，線性插值與普通增量步對(duì)裂紋張開(kāi)載荷的影響，如圖7所示。

圖7 裂紋張開(kāi)載荷計(jì)算Fig.7 Crack Opening Load Calculation

由圖可知隨著外載循環(huán)次數(shù)的增加，當(dāng)采用普通增量步進(jìn)行計(jì)算時(shí)，裂紋張開(kāi)載荷呈現(xiàn)一定的階躍狀態(tài)，容易出現(xiàn)幾個(gè)相鄰循環(huán)步均為相同裂紋張開(kāi)載荷，無(wú)法精確判斷穩(wěn)定的裂紋張開(kāi)載荷。

當(dāng)采用線性插值后，裂紋張開(kāi)載荷曲線更加平滑，此時(shí)穩(wěn)定的裂紋張開(kāi)載荷判斷將更加精確。

不同增量步數(shù)對(duì)裂紋張開(kāi)載荷的影響，每一次循環(huán)加載增量數(shù)分別為80、120和160，即當(dāng)每次循環(huán)加載增量步數(shù)為160時(shí)，每增量步加載/卸載為0.0125Pmax，如圖8所示。

圖8 增量步數(shù)對(duì)裂紋張開(kāi)載荷的影響Fig.8 Effect of Increment Step Number on Crack Opening Load

由圖可見(jiàn)，當(dāng)采用線性插值方法時(shí)，不同加載子步數(shù)對(duì)裂紋張開(kāi)載荷影響不大。

為了得到穩(wěn)定的裂紋張開(kāi)載荷，于分析過(guò)程中，在保證裂紋完全穿透初始的裂紋尖端的單調(diào)塑性區(qū)后，當(dāng)前后兩次裂紋張開(kāi)載荷計(jì)算結(jié)果之間的相對(duì)差別不超過(guò)1%時(shí)為穩(wěn)定的裂紋張開(kāi)載荷，即若網(wǎng)格尺寸Δa/rf=0.05，外載循環(huán)次數(shù)需超過(guò)20次后再進(jìn)行穩(wěn)定的裂紋張開(kāi)載荷判斷。

4 結(jié)論

針對(duì)緊湊拉伸試樣，采用有限元法對(duì)其考慮裂紋閉合效應(yīng)的疲勞裂紋擴(kuò)展進(jìn)行分析，研究了網(wǎng)格尺寸、節(jié)點(diǎn)釋放時(shí)刻、監(jiān)測(cè)不同的節(jié)點(diǎn)等對(duì)裂紋張開(kāi)載荷的影響，得到以下結(jié)論：

（1）裂紋張開(kāi)載荷隨著網(wǎng)格尺寸減小逐漸增加，并趨于穩(wěn)定，但過(guò)小的網(wǎng)格尺寸會(huì)顯著降低計(jì)算效率；

（2）在研究閉合效應(yīng)時(shí)，無(wú)論在最大還是最小外載處釋放節(jié)點(diǎn)都不會(huì)導(dǎo)致結(jié)果產(chǎn)生明顯不同；裂紋擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)監(jiān)測(cè)距裂尖最近的節(jié)點(diǎn)更加符合實(shí)際裂紋張開(kāi)/閉合狀態(tài)；

（3）對(duì)監(jiān)測(cè)節(jié)點(diǎn)的反力采用線性插值可以使裂紋張開(kāi)載荷曲線更加平滑，能夠更精確地判斷穩(wěn)定的裂紋張開(kāi)載荷。