磁懸浮軸承非線性支承特性的研究

田 聰，王念先，王東雄，徐 波

（1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢 430081；2.武漢科技大學(xué)湖北省機(jī)械傳動(dòng)與制造工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢 430081；3.東風(fēng)越野車有限公司，湖北武漢 430058）

1 引言

磁懸浮軸承是利用電磁鐵產(chǎn)生可控支承力將轉(zhuǎn)子無接觸地穩(wěn)定懸浮的一種新型軸承。與普通機(jī)械接觸式軸承相比，磁懸浮軸承具有無摩擦、無磨損、長壽命、無需潤滑以及剛度阻尼可調(diào)等優(yōu)點(diǎn)，這使得運(yùn)動(dòng)部件能夠高速度、高精度、低功耗、無噪聲地運(yùn)行[1?2]。

目前關(guān)于磁懸浮軸承支承特性的研究所采用的模型大多是在平衡位置對非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行線性化。

文獻(xiàn)[3]對線性磁懸浮軸承系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真，對磁懸浮軸承支承特性的影響因素進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[4]采用了磁懸浮軸承的線性模型對支承特性的主動(dòng)可控性進(jìn)行了研究。然而磁懸浮軸承系統(tǒng)具有典型的非線性特性，動(dòng)態(tài)性能復(fù)雜，將磁懸浮軸承抽象成為一個(gè)線性系統(tǒng)，會使整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析存在偏差。另一方面，關(guān)于磁懸浮軸承支承特性的研究所采用的系統(tǒng)模型是忽略漏磁及磁飽和的非線性支承力模型，文獻(xiàn)[5]采用非線性支承力模型（忽略磁飽和、漏磁等）結(jié)合PD控制，研究了磁懸浮軸承支承剛度與控制器參數(shù)之間的非線性關(guān)系。然而，當(dāng)磁飽和發(fā)生時(shí)，軟磁性材料的磁阻顯著增加，同時(shí)漏磁也是不可忽視的，文獻(xiàn)[6]針對邊緣磁通、漏磁及磁飽和等主要因素建立了磁懸浮軸承的承載力模型，并驗(yàn)證了承載力模型的正確性；文獻(xiàn)[7]對磁化非線性進(jìn)行精確建模，考慮了磁飽和問題，以實(shí)現(xiàn)控制器的開發(fā)；文獻(xiàn)[7]建立了一個(gè)三極磁懸浮軸承模型，其中飽和效應(yīng)被建模為氣隙的不平衡增加，以研究磁飽和的影響。

以上對磁懸浮軸承支承特性研究，所采用的是在平衡位置附近進(jìn)行線性處理的線性支承力模型或者忽略漏磁及磁飽和的非線性支承力模型，在一定的情況下可以達(dá)到較高的精度。

然而磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性影響因素是不可忽視的，此外，基于漏磁及磁飽和等影響因素的磁懸浮軸承支承特性的研究還比較少。

基于上述原因，綜合考慮了軟磁材料的磁阻、漏磁等因素的影響并建立了磁懸浮軸承的非線性支承力模型；通過Simulink進(jìn)行非線性系統(tǒng)在單自由度方向上的動(dòng)態(tài)仿真，對考慮了非線性影響因素的磁懸浮軸承的支承特性進(jìn)行了研究。

2 線性支承力模型

研究磁極分布為NNSS 型的八磁極主動(dòng)磁懸浮軸承。磁懸浮軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示。徑向磁懸浮軸承的結(jié)構(gòu)原理圖及單極對的等效磁路圖，如圖1所示。圖中：D—定子內(nèi)徑；g—?dú)庀堕L度；h和Wp—磁極高度和寬度；Wy—磁軛寬度；Wr—轉(zhuǎn)子磁路寬度；F1和F2—線圈的磁動(dòng)勢；Rg1和Rg2—一個(gè)極對中兩個(gè)磁極的氣隙磁阻，Rk—漏磁磁阻，Ry，Rp和Rr—定子磁軛、磁極和轉(zhuǎn)子的磁阻。

表1 磁懸浮軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Parameters of Magnetic Bearing

圖1 磁懸浮軸承結(jié)構(gòu)簡圖和單極對的等效磁路圖Fig.1 Schematic Diagram of Magnetic Bearing and Equivalent Magnetic Circuit Model of One Pole?Pair

圖1（a）所示的徑向磁懸浮軸承的結(jié)構(gòu)可以解耦為水平方向和垂直方向之間的磁耦合，為了簡化分析，以豎直方向上單自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)為例，考慮到磁懸浮軸承采用差動(dòng)勵(lì)磁的方式，可得到磁懸浮軸承線性支承力模型為上下磁極對轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的吸力之差[2]，即：

式中：Ib—線圈偏置電流；iy—線圈控制電流；y0—平衡位置時(shí)的氣隙；y—相對平衡位置的位移。

3 非線性支承力模型

根據(jù)圖1（b）采用等效磁路法建立磁懸浮軸承非線性支承力模型[9?10]，得上下電磁鐵對轉(zhuǎn)子合力的一般表達(dá)式為：

式中：Φg1和Φg3—穿過上極對和下極對的磁通量；μ0—真空磁導(dǎo)率；Ap—磁極面積；Ib—線圈偏置電流；iy—線圈控制電流；Rg3和Rg4—另一極對的氣隙磁阻。

3.1 氣隙磁通模型

采用磁場劃分法[11]，首先確定了磁極間氣隙磁場的分布規(guī)律，將氣隙磁場劃分為一定形狀的磁通管，用解析法計(jì)算各磁通管的磁導(dǎo)，最后根據(jù)這些磁通管的串聯(lián)或并聯(lián)，得到氣隙的總磁導(dǎo)或磁阻。將氣隙磁場分為磁通管a和磁通管b，磁通管的原理圖，如圖2（a）所示。假設(shè)磁感線是由一系列的圓弧和切線組成，磁感線的一部分穿過氣隙流入轉(zhuǎn)子，O點(diǎn)是定子中心，OE是兩個(gè)相鄰磁極的中心線，直線OF是磁極的中心線。

圖2 軟磁材料的磁通和磁阻模型Fig.2 Models of Magnetic Flux and Reluctances in Soft Magnetic Materials

磁通管a以B點(diǎn)為中心，從AB線開始，在定子內(nèi)徑處終止的弧形磁感線。其中最大半徑的弧形磁感線與OE線相切，因此所有的圓弧都不能越過OE線；磁通管b從磁通管a圓弧末端開始，在轉(zhuǎn)子表面終止，恰好是轉(zhuǎn)子與磁極弧面之間的氣隙。磁通管a和磁通管b的磁導(dǎo)為：

式中：r—最大圓弧的半徑；?—圓弧所對應(yīng)的圓心角。

3.2 漏磁模型

同樣將漏磁場劃分成磁通管1、磁通管2和磁通管3，如圖2（b）所示。

磁通管1的每條路徑被認(rèn)為是由三段弧組成，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別為第一段弧和第三段弧的中心，第二段弧平行于轉(zhuǎn)子表面，同時(shí)與第一弧和第三弧相切。

磁通管2的路徑為環(huán)形弧，其公共中心是BC和EF的交點(diǎn)。磁通管1與2之間的面積為磁通管3，呈新月形。

磁通管1、磁通管2和磁通管3的磁導(dǎo)分別為：

式中：R1和R2—環(huán)形區(qū)域的內(nèi)半徑和外半徑；θ1和θ2—新月形內(nèi)弧與外弧的中心角：

3.3 軟磁材料的非線性磁阻

為了考慮磁飽和，對軟磁材料的磁阻進(jìn)行了計(jì)算，其中一個(gè)極對的幾何模型，如圖2（c）所示，其中磁極、磁軛和轉(zhuǎn)子的磁阻分別為：

式中：μp、μy、μr—磁極、磁軛和轉(zhuǎn)子的磁導(dǎo)率。

工程實(shí)踐中軟磁材料的外磁場強(qiáng)度約（0～7000）A/m，在此范圍內(nèi)，采用冪函數(shù)擬合軟磁材料的磁化曲線點(diǎn)[5]。

擬合曲線公式為：

式中：a=?8.253，b=?0.5009，c=1.807。其擬合指數(shù)R2—0.9944，擬合精度較高。

根據(jù)式（9），磁導(dǎo)率μ和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的關(guān)系表示為：

根據(jù)飽和磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算出磁導(dǎo)率μ，并近似認(rèn)為磁極、磁軛和轉(zhuǎn)子的磁導(dǎo)率μp、μy、μr都為μ。然后根據(jù)式（9）確定相應(yīng)的軟磁材料磁阻，將上述各磁阻代入式（2）～式（4），可得到了磁懸浮軸承的非線性支承力的數(shù)學(xué)模型。

同時(shí)定義磁懸浮軸承的支承剛度K為某方向上單位位移變化所需支承力的增量，定義磁懸浮軸承的電流剛度Ki為單位電流變化所需支承力的增量，即為：

有限元模型考慮了磁懸浮軸承的漏磁及磁飽和的現(xiàn)象，其計(jì)算結(jié)果更接近磁懸浮軸承的實(shí)際情況，以下將以有限元的計(jì)算結(jié)果作為參考[6，10]。

分別使轉(zhuǎn)子偏離磁懸浮軸承中心0mm、0.025mm和0.150mm，非線性模型、線性模型和有限元模型在這三種偏離位置下的支承力曲線，如圖3所示。

圖3 不同偏離位置下支承力對比Fig.3 Comparison of Bearing Capacity at Different Deviation Positions

由圖3可得知，選擇不同的模型時(shí)系統(tǒng)的支承特性有較大的區(qū)別，非線性支承力模型與有限元模型的相似度較好，因此考慮了非線性因素的非線性支承力模型具有更高的精度，更能滿足實(shí)際情況的描述。

由以上分析可知，兩種模型支承特性的區(qū)別主要發(fā)生在系統(tǒng)控制電流過大和轉(zhuǎn)子偏離軸承中心這兩種情況，因此，以下將基于非線性支承力模型，通過simulink搭建仿真模型，對系統(tǒng)在這兩種情況下進(jìn)行磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真，分析在非線性因素影響下磁懸浮軸承的支承特性。

4 磁懸浮軸承非線性特性仿真分析

磁懸浮軸承是一個(gè)典型的非線性系統(tǒng)，以磁懸浮軸承在垂直方向上的控制系統(tǒng)為例，研究在非線性因素影響下磁懸浮軸承的支承特性。單自由度磁懸浮軸承控制系統(tǒng)由位移傳感器Gs（s）、控制器Gc（s）、功率放大器Gp（s）和被控對象模型G（s）等組成。其Simulink仿真模型，如圖4所示，取比例系數(shù)kp=3.5，積分系數(shù)為ki=300，微分系數(shù)為kd=0.016，微分時(shí)間常數(shù)Td=2×10?5；傳感器增益As=8000；滯后時(shí)間常數(shù)Ts=5×10?4；功放增益以Aa=0.6；衰減時(shí)間常數(shù)Ta=2×10?5。

圖4 單自由度磁懸浮軸承的Simulink仿真模型Fig.4 Simulink Simulation Model of Single?Degree?of?Freedom Magnetic Bearing

4.1 系統(tǒng)處于較大控制電流時(shí)的研究

現(xiàn)對轉(zhuǎn)子在平衡點(diǎn)附近（y≈0）但控制電流較大的情況進(jìn)行分析。無負(fù)載時(shí)，此時(shí)兩種模型在穩(wěn)定時(shí)的控制電流非常小，在系統(tǒng)穩(wěn)定后給線性模型和非線性模型都施加0.5A的直流擾動(dòng)，兩種模型的支承力、支承剛度K和電流剛度Ki，如表2所示。

表2 控制電流較小時(shí)兩種模型的數(shù)據(jù)對比Tab.2 Data Comparison of Two Models with Small Control Current

此時(shí)轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)，如圖5（a）所示。支承力變化，如圖6（a）所示。兩種模型都施加60N的負(fù)載，此時(shí)兩種模型在穩(wěn)定時(shí)的控制電流較大，系統(tǒng)穩(wěn)定后再給兩種模型都施加0.5A的直流擾動(dòng)，兩種模型的支承力、支承剛度K和電流剛度Ki，如表3所示。此時(shí)轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)，如圖5（b）所示。支承力變化，如圖6（b）所示。根據(jù)定義和式（11），電流剛度Ki可判斷系統(tǒng)是否出現(xiàn)了非線性及支承力隨電流變化速度的快慢。

表3 控制電流較大時(shí)兩種模型的數(shù)據(jù)對比Tab.3 Data Comparison of Two Models with Large Control Current

圖5 兩種模型的轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)圖Fig.5 Comparison of Rotor Displacement Rresponse of the Two Models

圖6 兩種模型支承力變化圖Fig.6 Changes in Bearing Capacity of the Two Model

從圖5（a）和圖6（a）可知，當(dāng)控制電流非常小時(shí)，兩種系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和支承力變化基本一樣；由圖5（b）和圖6（b）可知，當(dāng)控制電流較大時(shí)，相較線性系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)響應(yīng)的最大幅值增加了7.8%，達(dá)到最大幅值的時(shí)間增加了10.8%，支承力變化速度更慢且最大支承力減小了5%。具體從表2和表3可知，當(dāng)控制電流較小時(shí)，采用兩種支承力模型的系統(tǒng)表現(xiàn)基本一樣；當(dāng)控制電流較大時(shí)，采用非線性支承力模型的系統(tǒng)提供的支承力和支承剛度更小。隨著控制電流的增大，兩種模型的支承力之差也越來越大（在0.5A時(shí)相差1.02%，在2.3A時(shí)相差8.52%）。

造成這種結(jié)果的主要原因是系統(tǒng)控制電流越大，非線性因素的影響越大，因此考慮了非線性因素的磁懸浮軸承系統(tǒng)在抵御干擾時(shí)的支承表現(xiàn)較差。

通過仿真分析可知，即使轉(zhuǎn)子在平衡點(diǎn)附近，但隨著控制電流的增大，非線性因素的影響不可忽視，如果外界干擾造成控制電流過大，考慮了非線性因素的磁懸浮軸承系統(tǒng)將無法提供足夠的支承剛度而率先失穩(wěn)。因此采用非線性支承力模型對磁懸浮軸承系統(tǒng)的實(shí)際工作狀況更具有指導(dǎo)意義。

4.2 轉(zhuǎn)子偏離軸承中心的研究

現(xiàn)對轉(zhuǎn)子偏離平衡點(diǎn)的情況進(jìn)行分析。使非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)子分別偏離中心位置0.150mm 和0.025mm，記錄為位置一和位置二。兩種偏離位置下的轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)，如圖7所示。兩種偏離位置下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)，如表4所示。兩種偏離位置下非線性模型的支承剛度K和電流剛度Ki，如表5所示。

從圖7、表4和表5可以看出，當(dāng)轉(zhuǎn)子偏離磁懸浮軸承中心較遠(yuǎn)時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)出現(xiàn)了惡化，其主要原因是轉(zhuǎn)子在偏離較遠(yuǎn)位置的過程中，系統(tǒng)的支承剛度不足而導(dǎo)致的。在控制電流較小時(shí)，兩種偏離位置下系統(tǒng)的支承剛度相差較小（如在0.50A時(shí)相差64.71%）；在電流很大時(shí)，兩種偏離位置下系統(tǒng)的支承剛度則相差很大（如在3.0A時(shí)相差207.69%）。

圖7 兩種偏離位置下轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)Fig.7 Comparison of Rotor Displacement Responses at Two Different Positions

表4 不同偏離位置下系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)Tab.4 System Response Index at Different Deviation Positions

表5 非線性模型在不同偏離位置下的數(shù)據(jù)對比Tab.5 Data Comparison of Nonlinear Models at Different Deviation Positions

通過仿真分析可知，轉(zhuǎn)子發(fā)生偏移會造成控制電流增大而導(dǎo)致非線性因素的影響加重。轉(zhuǎn)子偏離軸承中心越遠(yuǎn)，漏磁及磁飽和現(xiàn)象會更嚴(yán)重，此時(shí)系統(tǒng)能提供的支承剛度更小，因此系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間等動(dòng)態(tài)響應(yīng)變差。如果轉(zhuǎn)子偏離軸承中心太遠(yuǎn)，系統(tǒng)將無法提供足夠的支承剛度而失穩(wěn)。

5 小結(jié)

通過磁場分割法，建立了考慮漏磁及磁飽和的非線性支承力模型。基于此，采用Simulink搭建了PID 控制仿真模型，對采用非線性支承力模型的磁懸浮軸承系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)仿真，對于系統(tǒng)控制電流過大和轉(zhuǎn)子偏離軸承中心的這兩種情況進(jìn)行了分析。通過仿真分析可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子在平衡位置附近時(shí)，只要控制電流夠大，非線性因素就會影響磁懸浮軸承系統(tǒng)的支承特性，考慮了非線性因素的磁懸浮軸承系統(tǒng)提供的支承剛度較小、抵御干擾的能力較差。當(dāng)轉(zhuǎn)子偏移變大時(shí)，會造成系統(tǒng)控制電流增大而導(dǎo)致漏磁及磁飽和會更嚴(yán)重，系統(tǒng)的支承剛度更小，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)更差。通過對考慮了非線性因素的磁懸浮軸承系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真分析，可為磁懸浮軸承在非線性下的實(shí)際研究提供基礎(chǔ)。