關(guān)于結(jié)點(diǎn)電壓法的教學(xué)探討

史 強(qiáng) 程鴻韻 楊 冰 王秋國(guó)

聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院 山東聊城 252000

“電路”課程是電子、電氣等電類專業(yè)必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，通過(guò)學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握電路的基本理論知識(shí)、基本分析方法和初步實(shí)驗(yàn)技能，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)課程打下基礎(chǔ)。結(jié)點(diǎn)電壓法是“電路”課程中重要的，也是常用的和有效的電路分析方法之一。然而，在多年的教學(xué)過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生運(yùn)用結(jié)點(diǎn)電壓法分析電路時(shí)，不能正確列寫電路方程，其主要原因是沒(méi)有真正理解結(jié)點(diǎn)電壓方程的實(shí)質(zhì)，而是機(jī)械的套用結(jié)點(diǎn)電壓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，從而列出錯(cuò)誤的方程。因此，本文針對(duì)教學(xué)中出現(xiàn)的常見(jiàn)問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)分析，并給出了解決的辦法；同時(shí)利用電源等效變換方法對(duì)結(jié)點(diǎn)電壓法的教學(xué)給予探討，并對(duì)結(jié)點(diǎn)電壓方程標(biāo)準(zhǔn)形式的解釋進(jìn)行改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)教學(xué)效果的提高。

1 結(jié)點(diǎn)電壓法

在具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的電路中，任意選擇其中一個(gè)結(jié)點(diǎn)為參考結(jié)點(diǎn)，其余(n-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)與該參考結(jié)點(diǎn)之間的電壓稱為結(jié)點(diǎn)電壓。利用這(n-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)電壓與元件VCR特性表示出各支路電流，再將這些支路電流代入(n-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)的KCL方程中，就得到變量為(n-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)電壓的獨(dú)立的電壓方程，通過(guò)方程組求得各結(jié)點(diǎn)電壓，進(jìn)而得到所需的電壓和電流，這就是結(jié)點(diǎn)電壓法。

獨(dú)立結(jié)點(diǎn)k的電壓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：

Gk1un1+Gk2un2+…+Gkkunk+…+Gk(n-1)un(n-1)=iskk

(1)

式中Gkk為自電導(dǎo)，等于與此結(jié)點(diǎn)相連的所有支路的電導(dǎo)之和，總為正值；Gki(k≠i)為互電導(dǎo)，等于結(jié)點(diǎn)k與結(jié)點(diǎn)i之間的所有支路電導(dǎo)之和，總為負(fù)值；iskk為流入結(jié)點(diǎn)k的所有電流源電流的代數(shù)和[1-2]。為方便列寫方程，標(biāo)準(zhǔn)形式方程左側(cè)可以看成兩部分組成，一部分是獨(dú)立結(jié)點(diǎn)電壓項(xiàng)，即Gkkunk，為獨(dú)立結(jié)點(diǎn)k的結(jié)點(diǎn)電壓與其自電導(dǎo)的乘積；另一部分是與獨(dú)立結(jié)點(diǎn)k相鄰的結(jié)點(diǎn)電壓項(xiàng)，即方程左側(cè)剩余部分Gk1un1+…+Gk(k-1)un(k-1)+Gk(k+1)un(k+1)…+Gk(n-1)un(n-1)，為與獨(dú)立結(jié)點(diǎn)k相鄰的結(jié)點(diǎn)電壓與其自電導(dǎo)乘積之和。

2 常見(jiàn)問(wèn)題分析

在對(duì)結(jié)點(diǎn)電壓法教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生常出現(xiàn)的問(wèn)題有：

(1)標(biāo)準(zhǔn)形式方程右側(cè)為電流的代數(shù)和，常常被認(rèn)為是簡(jiǎn)單的相加。其實(shí)正負(fù)號(hào)的選取與電流的參考方向有關(guān)，流入結(jié)點(diǎn)的電流取正號(hào)，流出結(jié)點(diǎn)的電流取負(fù)號(hào)。

(2)按照上面對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式方程的解釋，方程右側(cè)iskk為流入結(jié)點(diǎn)k的所有電流源電流的代數(shù)和。無(wú)電阻(電導(dǎo))與之串聯(lián)的電流源稱為無(wú)伴電流源，如果與結(jié)點(diǎn)相連的支路中存在非無(wú)伴電流源支路時(shí)，容易列出錯(cuò)誤的方程，這是教學(xué)中一種非常常見(jiàn)的錯(cuò)誤。

圖1

對(duì)于含獨(dú)立源支路，又可分為四種情況：

當(dāng)含獨(dú)立源支路為無(wú)伴電流源支路時(shí)，電流源的電流可直接列寫方程。如圖1中結(jié)點(diǎn)1和參考結(jié)點(diǎn)0之間的支路，列寫結(jié)點(diǎn)1的電壓方程時(shí)is1可直接參與列寫方程，不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

當(dāng)含獨(dú)立源支路為無(wú)伴電壓源支路時(shí)，即無(wú)電阻(電導(dǎo))與之串聯(lián)的電壓源時(shí)，該支路的電阻為零，電導(dǎo)為無(wú)窮大，支路的電流無(wú)法通過(guò)支路電壓去表示，則結(jié)點(diǎn)的電壓方程列寫就遇到困難。當(dāng)遇到這種情況時(shí)，解決的方法有三種：

一是增設(shè)無(wú)伴電壓源支路的電流。把此電流作為附加變量列入方程，同時(shí)增補(bǔ)一個(gè)結(jié)點(diǎn)電壓與無(wú)伴電壓源電壓之間的約束關(guān)系方程。如圖1所示，無(wú)伴電壓源us3兩端結(jié)點(diǎn)④和⑤在列寫方程時(shí)，可以增設(shè)電壓源us3的電流i2作為附加變量，如圖2所示，圖2為圖1等效變換后的電路。同時(shí)需增補(bǔ)一個(gè)方程，即us3與結(jié)點(diǎn)電壓之間的關(guān)系方程。結(jié)點(diǎn)④和⑤的電壓方程及增補(bǔ)方程如下：

-G4un3+(G4+G5)un4=G5us2+i2

(2)

G6un5-G6un6=βi-i2

(3)

un4-un5=us3

(4)

二是廣義結(jié)點(diǎn)(超結(jié)點(diǎn))法[4]。如圖1中所示，如果將無(wú)伴電壓源us3兩端結(jié)點(diǎn)④和⑤作為一個(gè)廣義結(jié)點(diǎn)(超結(jié)點(diǎn))，如圖1、圖2中虛線圓所示。在這個(gè)廣義結(jié)點(diǎn)上，以流出為正，列寫廣義KCL方程，注意使用的結(jié)點(diǎn)電壓依然是具體的結(jié)點(diǎn)電壓un4或un5，則方程為：

G4(un4-un3)un1+G6(un5-un6)+G5(un4-us2)-βi=0

(5)

整理可得：

(G4+G5)un4+G6un5-G4un3-G6un6=G5us2+βi

(6)

式中(G4+G5)un4+G6un5為廣義結(jié)點(diǎn)中內(nèi)部結(jié)點(diǎn)電壓與其自電導(dǎo)乘積之和；-G4un3-G6un6為與廣義結(jié)點(diǎn)相鄰的結(jié)點(diǎn)電壓與其自電導(dǎo)乘積之和。方程(6)與標(biāo)準(zhǔn)形式的電壓方程(1)在形式上是完全一致的。不難看出，方程(6)就是方程(2)和(3)相加所得。

顯然，對(duì)比上述三種解決方法，對(duì)于無(wú)伴電壓源支路的處理，最簡(jiǎn)單的辦法為靈活選擇參考結(jié)點(diǎn)，即以無(wú)伴電壓源的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之一作為參考結(jié)點(diǎn)去處理。

圖2

對(duì)于含受控源支路：把受控源看作獨(dú)立源一樣對(duì)待，由于增加了控制量這一附加變量，因此需要增補(bǔ)控制量與結(jié)點(diǎn)電壓之間的關(guān)系方程。如圖1中結(jié)點(diǎn)⑤列寫電壓方程時(shí)，受控電流源的βi直接參與列寫方程，同時(shí)要增補(bǔ)控制量i與結(jié)點(diǎn)電壓之間的關(guān)系方程[6]。

對(duì)于導(dǎo)線支路：由于導(dǎo)線支路可以等效為電壓為0的無(wú)伴電壓源支路，所以解決方法同無(wú)伴電壓源支路情況。如圖1中結(jié)點(diǎn)①和⑥之間的支路，等效后變?yōu)閳D2所示。

3 對(duì)iskk解釋的改進(jìn)

結(jié)合以上分析，針對(duì)支路為非無(wú)伴電流源支路時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因在于沒(méi)有真正理解結(jié)點(diǎn)電壓方程的實(shí)質(zhì)是KCL的體現(xiàn)，而是機(jī)械地按照標(biāo)準(zhǔn)形式方程的解釋去列寫方程，但是，如果把iskk的解釋“流入結(jié)點(diǎn)k的所有電流源電流的代數(shù)和”改進(jìn)為“流入結(jié)點(diǎn)k的所有無(wú)伴電源電流的代數(shù)和”，則可避免出現(xiàn)錯(cuò)誤，提高列寫方程的準(zhǔn)確度。即對(duì)于支路的三種情況(含獨(dú)立源支路、含受控源支路和導(dǎo)線支路)，解決的方法為：先進(jìn)行電源等效變換轉(zhuǎn)換為無(wú)伴電源支路或/和純電導(dǎo)支路，再列寫標(biāo)準(zhǔn)形式電壓方程。若是無(wú)伴電流源支路，其電流可直接參與列寫方程；若是無(wú)伴電壓源支路，按照改進(jìn)的解釋可增補(bǔ)其電流為附加變量參與列寫方程，同時(shí)增補(bǔ)相應(yīng)方程；對(duì)于純電阻(電導(dǎo))支路的電阻可直接參與列寫方程，其中導(dǎo)線支路可以等效為us=0的無(wú)伴電壓源支路，則可轉(zhuǎn)換為含獨(dú)立源支路情況[7]。

按照上述分析，對(duì)圖1所示電路，列寫結(jié)點(diǎn)電壓方程時(shí)，首先對(duì)于非純電阻(電導(dǎo))支路要進(jìn)行電源等效變換，再列寫標(biāo)準(zhǔn)形式方程。等效變換后如圖2所示。需要附加變量i1，i2，i，故需增補(bǔ)3個(gè)方程，列寫的結(jié)點(diǎn)電壓方程如下：

G1un1-G1un2=is1+i1

(7)

-G1un1+(G1+G3)un2-G3un3=is2

(8)

un3=us1

(9)

-G4un3+(G4+G5)un4=G5us2+i2

(10)

G6un5-G6un6=βi-i2

(11)

-G6un5+(G6+G7)un6=-i1

(12)

增補(bǔ)方程為：

G4(un3-un4)=i

(13)

un4-un5=us3

(14)

un1-un6=0

(15)

根據(jù)以上討論，結(jié)點(diǎn)電壓法的解題步驟歸納如下：

(1)利用電源等效變換將所有支路轉(zhuǎn)換為無(wú)伴電源支路或/和純電導(dǎo)支路；

(2)選定參考結(jié)點(diǎn)，其余結(jié)點(diǎn)對(duì)參考結(jié)點(diǎn)的電壓即為結(jié)點(diǎn)電壓，同時(shí)標(biāo)定其余n-1個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)；

(3)對(duì)n-1個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)，以結(jié)點(diǎn)電壓為未知量，列寫結(jié)點(diǎn)電壓方程(KCL)；

(4)求解上述方程，得到n-1個(gè)結(jié)點(diǎn)電壓；

(5)通過(guò)結(jié)點(diǎn)電壓求各支路電流等其他電量。

同時(shí)要注意：

(1)結(jié)點(diǎn)電壓的參考極性是以參考結(jié)點(diǎn)為負(fù)；

(2)自電導(dǎo)取正，互電導(dǎo)取負(fù)；

(3)不直接相鄰的結(jié)點(diǎn)之間的互電導(dǎo)為零；

(4)方程右側(cè)流入結(jié)點(diǎn)的電流取正，流出結(jié)點(diǎn)的電流取負(fù)；

(5)對(duì)于受控源支路，把受控源看作獨(dú)立源一樣進(jìn)行處理，同時(shí)增補(bǔ)控制量與結(jié)點(diǎn)電壓之間的關(guān)系方程。

結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)結(jié)點(diǎn)電壓法教學(xué)中出現(xiàn)的幾種常見(jiàn)問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)分析，同時(shí)利用電源等效變換對(duì)結(jié)點(diǎn)電壓法教學(xué)給予探討。為了使學(xué)生理解結(jié)點(diǎn)電壓法的實(shí)質(zhì)，從而正確列寫結(jié)點(diǎn)電壓方程，在教學(xué)過(guò)程中對(duì)結(jié)點(diǎn)電壓方程標(biāo)準(zhǔn)形式右側(cè)的iskk的解釋“流入結(jié)點(diǎn)k的所有電流源電流的代數(shù)和”改進(jìn)為“流入結(jié)點(diǎn)k的所有無(wú)伴電源電流的代數(shù)和”，即對(duì)于含獨(dú)立源支路、含受控源支路和導(dǎo)線支路，先進(jìn)行電源等效變換轉(zhuǎn)換為無(wú)伴電源支路或/和純電導(dǎo)支路，再列寫標(biāo)準(zhǔn)形式電壓方程，可以提高列寫方程的準(zhǔn)確度，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)教學(xué)效果的提高。