貝爾數(shù)理論推導(dǎo)與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的分析研究

蘇德照 岑 嵐 黃 艷 楊承濤 鐘春堅(jiān)

1.百色學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 廣西百色 533000；2.百色學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 廣西百色 533000

貝爾數(shù)是用在組合數(shù)學(xué)中的一組整數(shù)數(shù)列構(gòu)成，是以埃里克坦普爾貝爾而命名的[1]。楊勝彬等[2]2015年為建筑工程總公司對(duì)基站建設(shè)方案進(jìn)行研究，采用隨機(jī)窮舉算法探索出了最優(yōu)化的污水處理站建設(shè)方法，將貝爾集合劃分運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中去。付秋菊[3]2019年以代數(shù)的視角來(lái)研究并探索集分類的問(wèn)題，具體來(lái)說(shuō)，就是在有限域上成立了一個(gè)能夠把所有集合都劃分在零維仿射代數(shù)上的映射，并且對(duì)這些映射的代數(shù)性質(zhì)進(jìn)行深入研究。王爽[1]2012年系統(tǒng)研究Stirling變換公式在Bell多項(xiàng)式與錯(cuò)排多項(xiàng)式、調(diào)和數(shù)中的運(yùn)用。我們基于貝爾數(shù)各類的函數(shù)關(guān)系式和遞推公式，對(duì)貝爾數(shù)理論進(jìn)行推導(dǎo)和貝爾數(shù)與集合劃分的進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題研究，結(jié)合三種度量進(jìn)行研究。

一、貝爾數(shù)定義及其理論推導(dǎo)

(一)貝爾數(shù)定義

在組合數(shù)學(xué)里，將一個(gè)n元集合劃分的組合總個(gè)數(shù)稱為貝爾數(shù)，記作為Bn；設(shè)n元集合的所有貝爾劃分集合為B(n)。集合S的另一個(gè)重要?jiǎng)澐指拍钍菍⒓蟂劃分成非空子集且兩兩互不相交的并集[3]，B0是1。

(二)貝爾數(shù)的推導(dǎo)規(guī)律

由它的集合劃分可以總結(jié)出一些結(jié)論：

當(dāng)n=1時(shí)，第一列第一項(xiàng)的貝爾數(shù)為a(1，1)=1；

當(dāng)n>1時(shí)，第n行第一項(xiàng)的貝爾數(shù)為a(n，1)=a(n-1，n-1)；

當(dāng)n>1，m>1時(shí)，則有第n行第m項(xiàng)的數(shù)值為a(n，m)=a(n-1，m-1)+a(n，m-1)。

由上述結(jié)論得出的結(jié)果，將所得到的數(shù)值繪制成數(shù)表(結(jié)果見表1)，稱為L(zhǎng)型貝爾數(shù)運(yùn)算表，由于此運(yùn)算方式與L類似將其定義為L(zhǎng)型運(yùn)算，該數(shù)表每行的首項(xiàng)為貝爾數(shù)[4]。

表1 L型貝爾數(shù)運(yùn)算表

(三)貝爾數(shù)適用的遞推公式及證明

證明：由于Bn+1是含有n+1個(gè)元素的集合劃分個(gè)數(shù)，設(shè)Dn的集合為{b1，b2，...，bn}，Dn+1的集合為{b1，b2，…，bn，bn+1}，那么可以認(rèn)為集合Dn+1是在集合Dn的基礎(chǔ)上添加一個(gè)元素bn+1產(chǎn)生的，接下來(lái)可以單獨(dú)考慮第bn+1個(gè)元素。

(1)可以假設(shè)當(dāng)bn+1元素被單獨(dú)分配到一類時(shí)，剩下有n個(gè)元素，所以在這種情形下有(nn)Bn劃分個(gè)數(shù)；

(2)可以假設(shè)當(dāng)bn+1元素和剩余的n個(gè)元素中的一個(gè)元素劃分為一類時(shí)，那么還剩下n-1個(gè)元素，這種情形下有(nn-1)Bn-1劃分個(gè)數(shù)；

(3)可以假設(shè)當(dāng)bn+1元素和剩余的n個(gè)元素中的兩個(gè)元素劃分為一類時(shí)，那么還剩下n-2個(gè)元素，這種情形下有(nn-2)Bn-2劃分個(gè)數(shù)；

任意的貝爾數(shù)都是對(duì)應(yīng)“第二類Stirling數(shù)[1，3]”的和。

二、豪斯多夫距離的基本原理

豪斯多夫距離是匹配二點(diǎn)特征的一個(gè)距離方式，它并不要求建立點(diǎn)和點(diǎn)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，僅要求算出這兩個(gè)點(diǎn)集間的相似度(或最大距離)，從而能夠更高效地處理一般特征點(diǎn)的情況[5]。

把距離函數(shù)定義成兩個(gè)空間的距離推測(cè)，目的是描述兩個(gè)有限封閉的集合之間的相似度的一種度量。以下是對(duì)豪斯多夫距離的定義：

定義2.1 假設(shè)該空間上存在有兩個(gè)點(diǎn)集A和B，那么H(A，B)表示集合A與集合B之間的豪斯多夫距離，則其數(shù)學(xué)定義為H(A，B)=max(h(A，B)，h(B，A))。為A集合與B集合間的雙向豪斯多夫距離[5-6]。

范數(shù)是對(duì)函數(shù)、向量和矩陣定義的一種度量形式，同時(shí)也是數(shù)學(xué)中的一種基本概念。其在泛函分析中，它定義在賦范線性空間中，并需要滿足一定的條件，即①非負(fù)性：||x||≥0且||x||=0?x=0；②齊次性：||cx||=|c|||x||；③次可加性：||x+y||≤||x||+||y||。范數(shù)經(jīng)常被用來(lái)度量某一個(gè)向量空間(或矩陣)中的每一個(gè)向量的長(zhǎng)度或者大小。上述的||·||稱為x上的一個(gè)范數(shù)。

三、三種度量方法介紹

在論文中用N來(lái)代表每個(gè)自然數(shù)的集合，用R表示每個(gè)實(shí)數(shù)值的集合，用R+代表每個(gè)正實(shí)數(shù)值的集合。對(duì)所有集合，用|A|表示該集合的基數(shù)，P(A)表示該集合的冪集[7]，冪集是原集合中所有的子集(其中也包括全集和空集)所構(gòu)成的集合族。

(一)三種度量定義及介紹

度量很好地繼承了數(shù)學(xué)中的公理化性質(zhì)和測(cè)量點(diǎn)或結(jié)構(gòu)距離的直觀性質(zhì)。在這里介紹各種度量，以進(jìn)一步設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)機(jī)制。

秩度量的應(yīng)用相對(duì)是比較容易，但由于它過(guò)于簡(jiǎn)單，而且主要取決于對(duì)分區(qū)組進(jìn)行排序的要求，在某些數(shù)據(jù)類型中，有可能無(wú)法滿足這一要求。為了克服這一缺點(diǎn)，可以通過(guò)豪斯多夫度量和改進(jìn)后的豪斯多夫度量來(lái)實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)在來(lái)介紹這兩個(gè)度量。

設(shè)α：S×S→R為距離函數(shù)，其中S?N為有限集。設(shè)GOα(或α：S×S)表示α的距離矩陣。設(shè)B(S)是S的所有貝爾劃分的集合。設(shè)?P，Q∈D(S)，?p∈P，?q∈Q，其中P表示劃分矩陣行，Q表示劃分矩陣列。定義距離矩陣行式最小值查找函數(shù)為Cn(p，Q)=min{α(p，q)，qQ}，即為了尋找出每個(gè)集合劃分的距離矩陣的每一行最小值；定義距離矩陣列式最小值查找函數(shù)為Cm(P，q)=min{α(p，q)，pP}，即為了尋找出每個(gè)集合劃分的距離矩陣的每一列最小值。定義行式最小值中的最大值查找函數(shù)FCn(P，Q)=max{Cn(p，Q)，pP}，即是尋找出所有行中最小值中的最大值。定義列式最小值中的最大值查找函數(shù)FCm(P，Q)=max{Cm(P，q)，qQ}，即是尋找出所有列中最小值中的最大值。定義行式最小值中的平均值查找函數(shù)即是尋找出所有行中最小值中的平均值。定義列式最小值中的平均值查找函數(shù)即是尋找出所有列的最小值中的平均值。

基于定義2.1和定義2.2有如下定義。

定義3.2(豪斯多夫度量[5-6])由dF：P(S)×P(S)→N，有dF(P，Q)=max{FCn(P，Q)，F(xiàn)Cm(P，Q)}，用GOF來(lái)表示其相關(guān)的距離矩陣。

定義3.3(改進(jìn)后的豪斯多夫度量[5-6])由dA：P(S)×P(S)→R，有dA(P，Q)=max{ACn(P，Q)，ACm(P，Q)，用GOA表示其相關(guān)的距離矩陣。

(二)三種度量標(biāo)準(zhǔn)和范數(shù)定義及介紹

根據(jù)上述定義的度量，下面將設(shè)計(jì)能夠反映出客觀性轉(zhuǎn)換程度的相應(yīng)度量標(biāo)準(zhǔn)和范數(shù)。

定義3.5(秩度量標(biāo)準(zhǔn))由定義3.1(秩度量)得到:

當(dāng)且僅當(dāng)|P∪Q|=1且drm(P，Q)=0時(shí)，分母等于0，默認(rèn)它是忠實(shí)地轉(zhuǎn)換的，因此該定義是合理的。以下定義同理。

定義3.6(秩度量范數(shù))對(duì)于Hr*：D(S)→R+，有Hr*(I)=∑PI∑QIHr(P，Q)。

如果對(duì)分母進(jìn)行分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它代表了客觀性心理過(guò)程之前的結(jié)構(gòu)距離，分子表示處理后的主觀性,這個(gè)比率揭示了主觀性相對(duì)于客觀性的相對(duì)程度。以下定義同理。

定義3.7(豪斯多夫度量標(biāo)準(zhǔn))由定義3.2(豪斯多夫度量)得到：

定義3.8(豪斯多夫度量范數(shù))對(duì)于HF*：D(S)→R+，有HF*(I)=∑PI∑QIHF(P，Q)。

定義3.9(改進(jìn)后的豪斯多夫度量標(biāo)準(zhǔn))由定義3.3(改進(jìn)后的豪斯多夫度量)得到

定義3.10(改進(jìn)后的豪斯多夫度量范數(shù))對(duì)于HA*：D(S)→R+，有HA*(I)=∑PI∑QIHA(P，Q)。

(三)分區(qū)指標(biāo)定義及介紹

設(shè)?E，F(xiàn)∈B(S)，基于上述定義，設(shè)計(jì)了以下分區(qū)度量。

定義3.11(秩度量分區(qū))有Tr：B(S)×B(S)→R，得到Tr(E，F(xiàn))=|Hr*(E)-Hr*(F)|。

定義3.12(豪斯多夫度量分區(qū))有TF：B(S)×B(S)→R，得到TF(E，F(xiàn))=|HF*(E)-HF*(F)|。

定義3.13(改進(jìn)后的豪斯多夫度量分區(qū))有TA：B(S)×B(S)→R，得到TA(E，F(xiàn))=|HA*(E)-HA*(F)|。

以上分區(qū)(劃分)均基于絕對(duì)值度量。

四、度量在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用

論文主要利用三種度量進(jìn)行客觀性和主觀性機(jī)理轉(zhuǎn)換，該論文旨在客觀性到主觀性的轉(zhuǎn)換機(jī)制，主要利用集合劃分的概念進(jìn)行引入，可以模擬得到客觀性到主觀性的轉(zhuǎn)換中應(yīng)用該劃分。下面對(duì)于高中學(xué)生考試成績(jī)的客觀性預(yù)測(cè)評(píng)估，在此已知該次考試的分?jǐn)?shù)區(qū)間為[0，150]，根據(jù)新課改政策的要求，可以將各個(gè)學(xué)科考試成績(jī)分為5個(gè)等級(jí)，即為A等[127.5，150]、B等[105，127.5)、C等[90，105)、D等[60，90)、E等[0，60)。

現(xiàn)假如八名學(xué)生是通過(guò)正常排序行為感知客觀性，即根據(jù)正態(tài)分布進(jìn)行排序，評(píng)估結(jié)果是由該名學(xué)生平時(shí)表現(xiàn)客觀性評(píng)價(jià)得出，那么八名學(xué)生對(duì)另一名學(xué)生的某一次考試成績(jī)進(jìn)行分?jǐn)?shù)評(píng)估結(jié)果，具體結(jié)果詳見表2。

表2 八名學(xué)生對(duì)另一名學(xué)生的某一次考試成績(jī)分?jǐn)?shù)評(píng)估

(一)三種度量的實(shí)際應(yīng)用

表3 客觀性相關(guān)距離相關(guān)矩陣

表4 由度量產(chǎn)生的相關(guān)距離矩陣

(二)度量標(biāo)準(zhǔn)和范數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1.三種度量標(biāo)準(zhǔn)的應(yīng)用

表5 由度量標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生的相關(guān)距離矩陣

2.三種度量范數(shù)的應(yīng)用

由秩度量范數(shù)求得結(jié)果為6.32；由豪斯多夫度量范數(shù)求得結(jié)果為8.56；由改進(jìn)后的豪斯多夫度量范數(shù)求得結(jié)果為8.04。

(三)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

1.W檢驗(yàn)

由相關(guān)距離矩陣GOr、MORMS數(shù)據(jù)檢驗(yàn)得到p-value=0.0255、0.0135<0.05，說(shuō)明數(shù)據(jù)正態(tài)性比較差；由相關(guān)距離矩陣GOF、GOA數(shù)據(jù)檢驗(yàn)得到p-value=0.0957、0.0614>0.05，說(shuō)明數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的特征，數(shù)據(jù)正態(tài)性較好。

2.卡方檢驗(yàn)

通過(guò)對(duì)三個(gè)度量產(chǎn)生的相關(guān)距離矩陣(GOr、GOF、GOA)的數(shù)據(jù)進(jìn)行雙尾檢驗(yàn)，選擇通過(guò)顯著性水平為5%，卡方檢驗(yàn)結(jié)果詳見表6。由檢驗(yàn)結(jié)果得出以下結(jié)論，如果采用秩度量，則會(huì)拒接原假設(shè)；如果采用豪斯多夫度量和改進(jìn)后的豪斯多夫度量，則會(huì)接受零假設(shè)。說(shuō)明了采用豪斯多夫度量和改進(jìn)后的豪斯多夫度量得到的結(jié)果與主觀性具有一致性，并同時(shí)說(shuō)明方法具有可行性。

表6 雙尾檢驗(yàn)95%置信區(qū)間、方差、p-value

五、說(shuō)明

(1)首先假設(shè)受試者具有隨機(jī)性，由受試者得到的數(shù)據(jù)具有可用性。

(2)假設(shè)客觀狀態(tài)到主觀狀態(tài)的心理轉(zhuǎn)換是基于給定數(shù)據(jù)的正態(tài)分布，在后續(xù)產(chǎn)生的相關(guān)距離矩陣進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)(W檢驗(yàn))，在一定程度上保證了數(shù)據(jù)的正態(tài)性。

(4)當(dāng)從客觀性到主觀性的轉(zhuǎn)換用整數(shù)來(lái)近似時(shí)，如果一個(gè)人的自身能力能夠處理更精細(xì)的結(jié)果，那么得到的數(shù)據(jù)將更加符合受試者的意愿，可以采用更細(xì)的標(biāo)度，從而客觀性轉(zhuǎn)換也可以提高精確度。

(5)在進(jìn)行非參數(shù)測(cè)試時(shí)，通過(guò)參數(shù)限制樣本空間?？紤]的貝爾分區(qū)只是一部分，并限制在帶有固定類別(組)的貝爾分區(qū)的子類別。

結(jié)語(yǔ)

由于學(xué)生每次考試成績(jī)是受多方面因素影響，在學(xué)生考試成績(jī)的預(yù)估中，由檢驗(yàn)結(jié)果可以得出以下結(jié)論。如果采用秩度量，則會(huì)拒接原假設(shè)；如果采用豪斯多夫度量和改進(jìn)后的豪斯多夫度量，則會(huì)接受零假設(shè)。說(shuō)明在客觀性和主觀性進(jìn)行機(jī)理轉(zhuǎn)換中，采用豪斯多夫度量和改進(jìn)后的豪斯多夫度量可以很好地將客觀性轉(zhuǎn)換到主觀性，可以預(yù)估出學(xué)生主觀性的猜測(cè)。該方法還可以將應(yīng)用于其他領(lǐng)域進(jìn)行研究，比如經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域、投資領(lǐng)域等。

致謝:感謝百色學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院陳瑞明老師對(duì)本文的指導(dǎo)!