關(guān)于非均衡動(dòng)態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)簡化模型的超額函數(shù)為正數(shù)的討論

陳 佳

西安思源學(xué)院基礎(chǔ)部 陜西西安 710000

1 概述

隨著時(shí)代的進(jìn)步，汽車的保有量在逐年上升。城市交通需求與交通供給矛盾也日益突出。針對(duì)該種現(xiàn)象，人們考慮將城市交通規(guī)劃理論方法與數(shù)學(xué)理論方法結(jié)合，并對(duì)其進(jìn)行深入的研究與分析，以幫助我們有效地緩解日益嚴(yán)峻的供給矛盾。其中，道路改擴(kuò)建被視為一種改善城市交通需求的有效途徑，其主要是通過改變路網(wǎng)容量分散擁擠路段交通流，從而有效地緩解路段擁堵問題。但是像我國城市這種類似道路改擴(kuò)建期間所導(dǎo)致的交通擁堵問題已經(jīng)日益突出[3，5]。此外在數(shù)學(xué)上，我們把交通網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)和分析技術(shù)等問題稱作帶均衡約束條件的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題[2]。1993年，Dupuis和Nagurney[12]利用最小范數(shù)概念建立了一類“動(dòng)態(tài)投影系統(tǒng)”，并研究了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1995年，F(xiàn)riesz等[11]指出路段容量的改變影響交通網(wǎng)絡(luò)非均衡特性，同時(shí)指出路段容量的變化受出行者獲取信息的完整程度的影響，認(rèn)為交通擁堵是影響出行花費(fèi)的一類重要因素。同年在動(dòng)態(tài)投影系統(tǒng)基礎(chǔ)上提出：(1)路徑流非負(fù)。(2)可感知預(yù)期費(fèi)用非負(fù)的結(jié)論。1996年，Terry L.Friesz等[11]根據(jù)非均衡交通網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)概念建立了模型，并預(yù)測鑒于模型計(jì)算的復(fù)雜性則很難給出直接的精確求解過程。

本文針對(duì)該現(xiàn)象建立了非均衡動(dòng)態(tài)交通數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其約束條件簡化的條件進(jìn)行分析，結(jié)合實(shí)際背景從數(shù)學(xué)角度驗(yàn)證了該模型中超額需求函數(shù)為正的必要結(jié)論。

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 符號(hào)說明

2.2 相關(guān)定義

引入投影算子PrΩ{·}，其中Ω是個(gè)緊集。定義投影算子PrΩ{·}滿足：

則有：

平均最小出行花費(fèi)隨時(shí)間變化率為：

=κOD[PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}-uOD(t)]

=κOD[{uOD(t)+αETDOD[u(t),h(t)]}+-uOD(t)]

其中以道路上的車流量來衡量的超額出行需求函數(shù)ETDOD[u(t)，h(t)]可以表示為：

uOD(t)為單位平均最小出行花費(fèi)，α為不同的單位屬性間的等效轉(zhuǎn)換參數(shù)。

同理：

=ηp[PrΩ{hp(t)-βETCp[u(t)，h(t)]}-hp(t)]

=ηp[{hp(t)-βETCp[u(t),h(t)]}+-hp(t)]

ETC[·]表示超額出行花費(fèi)函數(shù)，則路徑p(p∈POD)上的超額出行花費(fèi)函數(shù)可以表示為：

ETCp[uOD(t)，h(t)]≡cp[h(t)]-uOD(t)

(3.2)

參數(shù)β為不同單位的等效轉(zhuǎn)換參數(shù)。ETCOD[u(t)，h(t)，y(t)]是以道路上的車流量來衡量的超額出行花費(fèi)，hp(t)表示路徑p上的車流量。

在交通工程的研究中，非均衡動(dòng)態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)模型一般還存在預(yù)算約束的限制，并且道路交通流量受路網(wǎng)容量增加量的影響，綜合各類影響因素可得出非均衡動(dòng)態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)模型的約束條件。

3 非均衡動(dòng)態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型

3.1 非均衡動(dòng)態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)模型的建立

3.1.1 目標(biāo)函數(shù)的建立

非均衡動(dòng)態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)模型以消費(fèi)者剩余最大建立目標(biāo)函數(shù)。根據(jù)1938年Hotelling提供的方法將馬歇爾廣義平衡理論拓展，以積分形式可把消費(fèi)者剩余表示為[5，8]：

其中：“∮”表示依賴于路徑的線性積分；wOD表示積分變量。

假設(shè)在固定時(shí)間[0，T]內(nèi)，用戶的凈收益可以達(dá)到最大。并以出行車流量發(fā)生擁堵時(shí)所生成的出行成本為依據(jù)建立目標(biāo)函數(shù)，利用折扣率r對(duì)目標(biāo)函數(shù)Z[·]隨時(shí)間推移的情況進(jìn)行調(diào)整，則有:

3.1.2 約束條件的建立

綜上可得非均衡動(dòng)態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)的抽象模型：

3.2.1 目標(biāo)函數(shù)化簡

其中:

G[ETDOD(u(t)，h(t))]=[{u(t)+α·ETDOD[u(t)，h(t)]}+-u(t)]

3.2.2 約束條件化簡

考慮路網(wǎng)容量因素對(duì)非均衡動(dòng)態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)模型造成的影響，約束條件中的

(2)

ETCp[uOD(t)，h(t)，y(t)]≡cp[h(t)，y(t)]-uOD(t)

(3)

同理可得：

(5)

4 命題的提出與論證

命題3.1：若將投影算子PrΩ{·}作用于uij(t)+αETDij[u(t)，h(t)]，則有：PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}={uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}+=uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]成立。

證明：根據(jù)式(4)可得,當(dāng)uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]>0時(shí)，結(jié)論顯然成立?，F(xiàn)只需證明若uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]≤0時(shí)，結(jié)論0不成立或不符合實(shí)際情況即可，這里我們采用反證法證明命題。

現(xiàn)假設(shè){uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}+=0成立有意義，則：

du=κOD[PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}-uOD(t)]dt

=κOD[{uOD+αETDOD[u(t)，h(t)]}+-uOD(t)]dt

u(t)=e-κ·t

(6)

由式(6)看出，平均最小出行花費(fèi)u(t)隨著時(shí)間的增大，其出行花費(fèi)減小。顯然其不符實(shí)際情況，因此以實(shí)際背景建立的該模型假設(shè)不正確。命題為真，即

PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}=

{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}+=

uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]

命題3.2：若將投影算子PrΩ{·}作用于h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]，則有：

PrΩ{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}=

{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}+=

h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]成立。

證明：根據(jù)式(5)可得，當(dāng)h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]>0時(shí)，結(jié)論顯然成立。現(xiàn)只需證明若h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]≤0時(shí)，結(jié)論0不成立或不符合實(shí)際情況即可，這里我們同樣采用反證法證明命題。

現(xiàn)假設(shè){h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}+=0成立有意義，則：

dh=η[PrΩ{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}-h(t)]dt

=η[{h(t)-β·ETCp[h(t),y(t)]}+-h(t)]dt

=-ηu(t)

h(t)=e-η·t

(7)

由式(7)看出，規(guī)定路徑的車流量u(t)隨著時(shí)間的增大，逐漸減小，最后趨于平衡。顯然其不符實(shí)際先增后緩再平穩(wěn)的基本情況，而該模型是以實(shí)際背景建立的，因此假設(shè)不合理。即命題為真，故有：

PrΩ{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}=

{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}+=

h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]

5 結(jié)論

在非均衡交通數(shù)學(xué)模型簡化過程中，結(jié)合實(shí)際通過證明得出超額需求花費(fèi)與超額出行需求在投影算子作用下我們考慮正值即可。這為模型后期的進(jìn)一步研究提供了幾個(gè)有利的價(jià)值：幫助我們進(jìn)一步簡化了模型，為后期的模型數(shù)值離散化研究打下基礎(chǔ)。另外，使模型在算法實(shí)現(xiàn)上僅考慮為正的情況，為算法實(shí)現(xiàn)提供了便捷性，為后期半光滑牛頓算法的應(yīng)用以及算法仿真實(shí)驗(yàn)的可行性提供了有力依據(jù)。隨著時(shí)代進(jìn)步，交通網(wǎng)絡(luò)模型的研究會(huì)繼續(xù)進(jìn)行下去，本文只是初步驗(yàn)證了幾個(gè)簡單的簡化條件。后期對(duì)模型的進(jìn)一步算法研究以及仿真模擬，有興趣的讀者可以繼續(xù)研究。