復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)改革探索

張雯瑩 黃賀艷 周 延

上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)理學(xué)院 上海 201418

一、概述

黨的二十大報(bào)告中強(qiáng)調(diào)“必須堅(jiān)持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、創(chuàng)新是第一動(dòng)力，深入實(shí)施科教興國戰(zhàn)略、人才強(qiáng)國戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略，開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽道，不斷塑造發(fā)展新動(dòng)能新優(yōu)勢?！盵1]復(fù)變函數(shù)與積分變換，是工科數(shù)學(xué)系列的公共基礎(chǔ)課，既有較高的理論基礎(chǔ)要求，又有工程實(shí)踐強(qiáng)大的背景，同時(shí)是后續(xù)電氣、信號和圖像處理、流體力學(xué)、密碼學(xué)等相關(guān)多門理論課的基礎(chǔ)。

基于國家戰(zhàn)略發(fā)展新需求與我國工程教育改革方向[2]，本課程遵循學(xué)校“創(chuàng)新愛科技”的人才培養(yǎng)模式與“應(yīng)用型人才核心素養(yǎng)總體框架”，結(jié)合近幾年理學(xué)院教改實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)和工科部分課程內(nèi)容改革的要求，以應(yīng)對變化、塑造未來為建設(shè)理念，形成價(jià)值引領(lǐng)，知識傳授，能力提升三位一體的教學(xué)培養(yǎng)體系。在二十大報(bào)告明確指出，“把馬克思主義思想精髓同中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化精華貫通起來、同人民群眾日用而不覺的共同價(jià)值觀念融通起來”“讓馬克思主義在中國牢牢扎根”。課題組成員此前已對上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)工科學(xué)生的復(fù)變函數(shù)與積分變換成績與后續(xù)課程的成績關(guān)聯(lián)性展開調(diào)研[3-5]，在意識到全國的線上精品教學(xué)課程與本校的課程之間的差距，針對復(fù)變課程性質(zhì)以及工科專業(yè)學(xué)生特點(diǎn)，將案例教學(xué)法引入復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)中，結(jié)合應(yīng)用型人才培養(yǎng)對數(shù)學(xué)教學(xué)提出的總體要求：體現(xiàn)應(yīng)用辦學(xué)定位、服務(wù)應(yīng)用培養(yǎng)方案和加強(qiáng)應(yīng)用能力培養(yǎng)。根據(jù)這些要求，我們確定了“以理施教、以情優(yōu)教、以用為范”的復(fù)變課程教學(xué)改革的基本思路。

二、復(fù)變函數(shù)與積分變換案例教學(xué)設(shè)計(jì)目標(biāo)

復(fù)變函數(shù)與積分變換內(nèi)容包括：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)積分、復(fù)變函數(shù)級數(shù)、留數(shù)計(jì)算及應(yīng)用、共形映射、傅里葉變換、拉普拉斯變換等。作為后續(xù)課程的橋梁，先要降維，還要代入式地、共情式地考量與分擔(dān)學(xué)生的挑戰(zhàn)和困境，設(shè)身處地站在對方的維度去理解。

(一)以理施教，針對應(yīng)用型本科專業(yè)學(xué)生特點(diǎn)，精選經(jīng)典與熱點(diǎn)案例

加強(qiáng)應(yīng)用元素開發(fā)，建設(shè)典型的課程實(shí)踐案例庫。與線上超星課堂平臺相結(jié)合，通過強(qiáng)化特定知識點(diǎn)的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，解決一個(gè)個(gè)開放性問題，實(shí)質(zhì)上就是一次次創(chuàng)新演練。

挖掘知識傳授深度，用思辨的觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的轉(zhuǎn)化與融合，有利于提高如信息與系統(tǒng)、傅里葉光學(xué)、光學(xué)信息處理、密碼學(xué)、概率與統(tǒng)計(jì)和數(shù)學(xué)物理方程等后續(xù)課程的知識儲備，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)理論與實(shí)踐相結(jié)合的思維慣性，以及對具體案例進(jìn)行探索與研究能力。如構(gòu)建傅氏變換理解具有疊加性質(zhì)的系統(tǒng)即線性系統(tǒng)，啟迪利用傅里葉分析求解微分方程問題等；講解復(fù)球面與無窮大時(shí)，通過構(gòu)造復(fù)平面，使研究的抽象數(shù)學(xué)符號問題轉(zhuǎn)化為可以看到的具體數(shù)學(xué)表達(dá)式，完成浮球面與復(fù)平面的“對立統(tǒng)一”；把實(shí)積分轉(zhuǎn)換為復(fù)積分來計(jì)算實(shí)積分的值，由“實(shí)”到“虛”本身就帶有啟發(fā)的方法，類似于一直以來數(shù)學(xué)家所用的歸納法。

挖掘豐富素材的同時(shí)，兼容德育資源與哲學(xué)內(nèi)涵一體，復(fù)變函數(shù)系統(tǒng)與類比思想和特殊思想等教育思想緊密相連。首先，宏觀上認(rèn)識高等數(shù)學(xué)和復(fù)變函數(shù)分別在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域研究函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而整體把控復(fù)變函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容。其次，針對高等數(shù)學(xué)中函數(shù)極限連續(xù)和可導(dǎo)的定義及性質(zhì)，第一型和第二型曲線積分的定義和性質(zhì)，泰勒級數(shù)與冪級數(shù)的相關(guān)性質(zhì)等，運(yùn)用類比的思想，將其平移到復(fù)變函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)、復(fù)積分的定義和計(jì)算，復(fù)變函數(shù)的泰勒級數(shù)和冪級數(shù)的相關(guān)性質(zhì)等，從而將實(shí)數(shù)域函數(shù)的結(jié)果有序地?cái)U(kuò)充到復(fù)數(shù)域，提高了學(xué)生解決問題和創(chuàng)新認(rèn)識的意識螺旋上升。最后，復(fù)數(shù)域作為實(shí)數(shù)域的擴(kuò)充，在保留實(shí)數(shù)域內(nèi)高等數(shù)學(xué)的函數(shù)部分性質(zhì)的基礎(chǔ)上，借用特殊思想，系統(tǒng)介紹復(fù)變函數(shù)的解析定義、性質(zhì)和判別方法、羅朗級數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算、留數(shù)的定義計(jì)算方法及其應(yīng)用。通過特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生理解由局部到整體、由個(gè)體到集體等辯證關(guān)系。

(二)以情優(yōu)教，應(yīng)用模型從教學(xué)設(shè)計(jì)等多角度進(jìn)行線上線下創(chuàng)新教育滲透

從“注意、關(guān)聯(lián)、信心和滿足”四個(gè)維度出發(fā)，設(shè)計(jì)并改進(jìn)教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好復(fù)變函數(shù)的信心。從學(xué)生日常學(xué)習(xí)生活、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)過程四個(gè)方面，基本實(shí)現(xiàn)全員育人、全程育人和全方位育人的高校思想政治教育新格局。

圍繞時(shí)政性主題，設(shè)置“拓展創(chuàng)新”專項(xiàng)主題案例，加強(qiáng)學(xué)生對中國國情與科技立項(xiàng)的認(rèn)識以及對新時(shí)代中國特色社會(huì)主義思想的政治認(rèn)同。用傅里葉變換描述和證明海森堡量子不確定性原理時(shí)，介紹我國在量子通信和量子計(jì)算機(jī)上的成就：科學(xué)家潘建偉團(tuán)隊(duì)成功研制“墨子號”量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星、“祖沖之號”超導(dǎo)量子計(jì)算原型機(jī)；在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)部分，引入我國數(shù)學(xué)家張廣厚和楊樂證明的關(guān)于值分布中的貢獻(xiàn)“張—楊”定理。

事實(shí)上，復(fù)變函數(shù)作為實(shí)變函數(shù)的自然延伸，由于其優(yōu)良的性質(zhì)決定了它們對信號和圖像處理、流體力學(xué)、密碼學(xué)、人工智能等工程領(lǐng)域問題的重要作用。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是復(fù)多值分析領(lǐng)域中一個(gè)重要研究方向，主要研究對象為具有非線性動(dòng)力學(xué)行為的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型，以及利用復(fù)多值函數(shù)逼近模型。隨著人工智能的發(fā)展，機(jī)器學(xué)習(xí)方法已成為研究熱點(diǎn)，其中最具代表性的方法是基于復(fù)變函數(shù)的自回歸模型，它能根據(jù)輸入值預(yù)測輸出值并進(jìn)行學(xué)習(xí)和回歸預(yù)測。同時(shí)它還是解決光學(xué)成像、圖像處理等問題的有力工具[7-9]等。例如，拉普拉斯變換建立了時(shí)域與復(fù)頻域之間的聯(lián)系，在電路分析中被廣泛應(yīng)用。在圖1所示的RLC串聯(lián)電路中，可以利用拉普拉斯變換計(jì)算電路中的電流i(t)。電路起始狀態(tài)為0，在t=0時(shí)刻開關(guān)S閉合。首先，我們依據(jù)基爾霍夫電壓定律可以列出圖2電路所對應(yīng)的微分方程：

(1)

然后，我們對該方程左右兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，可得：

(2)

隨后，我們整理I(s)的表達(dá)式，可得：

(3)

等式(3)中的p1和p2是I(s)表達(dá)式中分母的兩個(gè)根。最后再對等式(3)的左右兩邊同時(shí)取拉普拉斯逆變換，就可得到電流i(t)。需要注意的是，由于p1和p2可能為實(shí)數(shù)，也可能為復(fù)數(shù)，所以要分幾種情況討論，才能給出i(t)的最終表達(dá)式。

圖1 RLC串聯(lián)電路

在教學(xué)過程中穿插在線教學(xué)，“重理論、重邏輯思維能力”轉(zhuǎn)變?yōu)椤爸胤椒?、重?shí)踐應(yīng)用能力”，提高學(xué)生政治思想與覺悟，提升課堂參與度和課后的實(shí)踐應(yīng)用能力。

(三)以用為范，在教學(xué)評價(jià)方面引入過程管理理念，開展成效考核

利用線上交流平臺、坐班答疑等考察在課程中的滲透度、與知識的融合度以及學(xué)生的參與度，在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中坐實(shí)課程改革工作。利用現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算手段，對案例實(shí)際問題進(jìn)行模擬，設(shè)計(jì)分組任務(wù)PBL。在課程過程管理中，應(yīng)用成效考核，注意培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，不斷追求新知、發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題。

比如考核分組任務(wù)，組隊(duì)探索目前光學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一——傅里葉單像素成像技術(shù)，就是用傅里葉分析來同時(shí)獲得高成像質(zhì)量和高成像效率的成像結(jié)果，解決了傳統(tǒng)成像無法實(shí)現(xiàn)復(fù)雜環(huán)境和全天候成像以及在非可見光波段成像的難題；在圖像處理中，利用傅里葉變換得到圖像的頻域信息，在變換域上對圖像進(jìn)行處理能夠有效地改進(jìn)量子成像的質(zhì)量，獲得滿意的成像結(jié)果。經(jīng)過學(xué)生自主探索之后，在課堂教學(xué)中，我們可以進(jìn)一步向同學(xué)展示當(dāng)前傅里葉單像素成像技術(shù)得到的結(jié)果圖[6](如圖2所示)。圖2分別展示了全采樣下和50%采樣下傅里葉單像素成像結(jié)果，在只采樣圖像像素一半的情況下，還能夠近似完整地重建出圖像。可以測量實(shí)況和生成的圖像之間的差異使用均方誤差(MSE)作為圖像之間的差I(lǐng)GT和重建圖像I，定義為：

在課堂教學(xué)活動(dòng)中通過引入現(xiàn)代科技發(fā)展中的實(shí)際案例，通過直觀、形象地展示傅里葉分析的實(shí)際應(yīng)用，能夠讓學(xué)生切實(shí)感受到所學(xué)知識的重要性并吸引學(xué)生的關(guān)注，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)課程的求知欲，讓學(xué)生清楚了解深入學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)是解決一些實(shí)際問題的關(guān)鍵，要學(xué)好這門課才有可能找到更多工程難題、科學(xué)難題的突破口。通過講授基于傅里葉分析的光學(xué)成像問題知識點(diǎn)，提升學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)思維方法，激發(fā)學(xué)生勇攀科學(xué)研究高峰的責(zé)任感和使命感。

(a) (b) (c) (d)(a)全采樣下的傅里葉頻譜；(b)全采樣下成像結(jié)果；(c)50%采樣下的傅里葉頻譜；(d)50%采樣下的成像結(jié)果圖2 傅里葉單像素成像結(jié)果

分析運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論應(yīng)用于流體力學(xué)和航空相關(guān)場景時(shí)，介紹茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，以復(fù)變的理論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題。解決交通運(yùn)輸規(guī)劃中的路線選擇問題時(shí)，復(fù)變函數(shù)能通過對交通參數(shù)(道路斷面、車輛流量或車速)的分析得到優(yōu)化方案。通過這些引入復(fù)變函數(shù)在現(xiàn)代科技發(fā)展中的實(shí)際案例，從多維度給學(xué)生展現(xiàn)了一個(gè)豐富多彩的世界，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，為學(xué)生后續(xù)實(shí)踐及應(yīng)用能力的提高等打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，并使其意識到只有增強(qiáng)知識儲備才能迎接全球化的機(jī)遇和挑戰(zhàn)。