統(tǒng)計(jì)量的分布
——抽樣分布及其性質(zhì)

趙紅妮

西安思源學(xué)院基礎(chǔ)部 陜西西安 710000

概率論中假定隨機(jī)變量的分布是在已知的基礎(chǔ)上研究隨機(jī)變量的性質(zhì)以及數(shù)字特征，而在現(xiàn)實(shí)生活中要研究的對(duì)象的概率往往是完全未知的，需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行多次大量重復(fù)試驗(yàn)觀察得到數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷或者預(yù)測(cè)，從而就有了數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門課程。

在實(shí)際問題中對(duì)樣本直接進(jìn)行推斷不符合實(shí)際，由于樣本數(shù)據(jù)比較零亂，信息比較分散，因此對(duì)樣本定義了一個(gè)新的函數(shù)，即統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量本身就是隨機(jī)變量，在使用它進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，需要預(yù)先知道所采用的統(tǒng)計(jì)量的分布，而定義統(tǒng)計(jì)量的分布叫抽樣分布。當(dāng)總體的分布函數(shù)已知時(shí)，抽樣分布是確定的，但對(duì)于統(tǒng)計(jì)量的精確分布很難計(jì)算。而抽樣分布均是基于正態(tài)分布總體的基礎(chǔ)上，因此接下來逐一介紹正態(tài)分布與抽樣分布。

一、正態(tài)分布

在統(tǒng)計(jì)推斷中，正態(tài)分布主要應(yīng)用于推斷正態(tài)總體X的樣本均值與樣本方差的分布。

性質(zhì)1：告訴我們可以將任何一組服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量對(duì)其樣本均值恒等變形，最后均可轉(zhuǎn)化為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

性質(zhì)2：已知兩組不同隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，它們樣本均值恒等變形后服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

二、抽樣分布的分類及性質(zhì)

對(duì)于統(tǒng)計(jì)量的分布，在這里介紹三種常見的類型的分布。

(一)χ2分布

1.χ2分布的概念

圖1 χ2分布的概率密度函數(shù)

2.χ2分布的性質(zhì)

②若χ2～χ2(n)，則E(χ2)=n，D(χ2)=2n。

結(jié)論根據(jù)χ2分布的定義即可得到，證明過程在這里就不詳細(xì)列舉。

(二)t分布

1.t分布的概念

根據(jù)函數(shù)表達(dá)式hn(t)本身是偶函數(shù)，即關(guān)于直線x=0(y軸)對(duì)稱，形狀與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相類似，其概率密度函數(shù)圖像如圖2所示。

圖2 t分布的概率密度函數(shù)

通過圖像可以看出n越大，圖形越尖，圖像和正態(tài)分布圖像很類似，但是通過t分布的圖像觀察尾部要比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的尾部要厚，換言之就是X取特別小值或者X非常大值時(shí)，t分布對(duì)應(yīng)的概率要比正態(tài)分布的概率大。

2.t分布的性質(zhì)

①t分布的概率密度曲線關(guān)于直線t=0對(duì)稱。

t分布部分表

從上表中可以看出α取值都比較小，可以借助概率密度函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)于α比較大時(shí)，其上的α分位點(diǎn)tα(n)滿足t1-α(n)=-tα(n)來進(jìn)行計(jì)算，這樣就可以求在任意分位點(diǎn)處的值，比如t0.85(12)=-t0.15(12)=-1.083。

t分布主要應(yīng)用于推斷正態(tài)總體的均值。

(三)F分布

F分布是一種非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，它的密度函數(shù)中含有兩個(gè)參數(shù)m和n，其曲線的形狀與χ2分布相似，F(xiàn)～F(m，n)分布的概率密度φ(y)的圖像如圖3所示：

圖3 F分布的概率密度函數(shù)

三、典型問題分析

(一)確定統(tǒng)計(jì)量中的參數(shù)問題

設(shè)總體X～N(0，σ2)，樣本X1，X2，…X6來自總體X，設(shè)Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2，求c使cY服從χ2分布，并求自由度。

(二)證明統(tǒng)計(jì)量的分布

已知隨機(jī)變量X～t(n)，證明X2～F(1，n)。

(三)α分位點(diǎn)的應(yīng)用