張量變分不等式問(wèn)題解集的非空緊致性研究

呂媛媛

廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 廣西桂林 541006

1 緒論

本文考慮如下張量變分不等式問(wèn)題：存在向量x*∈K，使〈A(x*)m-1+q，y-x*〉≥0，?y∈K。

其中A為m階n維實(shí)對(duì)稱張量，q∈n，K為n中的非空閉凸子集。將上述張量變分不等式問(wèn)題記為T(mén)VIP(K，A，q)，將TVIP(K，A，q)的解集記為STVIP(K，A，q)。當(dāng)K=n時(shí)，TVIP(K，A，q)轉(zhuǎn)化為張量互補(bǔ)問(wèn)題TCP(A，q)。

張量互補(bǔ)問(wèn)題不但是線性互補(bǔ)問(wèn)題的推廣，而且是張量變分不等式問(wèn)題的特例。其基本模型是找到x*∈n，使x*≥0，A(x*)m-1+q≥0，(x*)T(A(x*)m-1+q)=0。

張量互補(bǔ)問(wèn)題自從提出以來(lái)就得到了許多學(xué)者的關(guān)注，現(xiàn)已得到廣泛研究。參考文獻(xiàn)[1]提出了強(qiáng)P0張量的概念，并證明了其對(duì)應(yīng)的張量互補(bǔ)問(wèn)題對(duì)任一q∈n均有解；參考文獻(xiàn)[2]將P矩陣和P0矩陣的概念推廣到P張量和P0張量，進(jìn)一步證明了P張量互補(bǔ)問(wèn)題解的存在性和解集的緊性；參考文獻(xiàn)[3]討論了張量互補(bǔ)問(wèn)題解的唯一性，研究了半正張量和嚴(yán)格半正張量的性質(zhì)；參考文獻(xiàn)[4]進(jìn)一步研究了Z張量及其對(duì)應(yīng)的互補(bǔ)問(wèn)題的稀疏解。張振偉等[5]在所涉張量為K-ER張量的情形下，證明了張量互補(bǔ)問(wèn)題解的存在性及解集的緊性；劉康[6]定義了一類新的結(jié)構(gòu)張量，并證明了當(dāng)所涉及的張量是Q張量時(shí)，對(duì)應(yīng)的張量互補(bǔ)問(wèn)題的解集是有界集。

張量變分不等式是非線性變分不等式和張量互補(bǔ)問(wèn)題的自然推廣，在最優(yōu)控制、經(jīng)濟(jì)均衡模型中具有廣泛應(yīng)用。參考文獻(xiàn)[7]證明了n人非合作博弈問(wèn)題可被轉(zhuǎn)化為張量變分不等式模型。參考文獻(xiàn)[7]引入了兩類結(jié)構(gòu)張量，并討論了一些相關(guān)的性質(zhì)，在0∈K及A在K上嚴(yán)格正定的條件下，研究了張量變分不等式解集的非空緊致性；參考文獻(xiàn)[8]利用適當(dāng)?shù)臄_動(dòng)張量變分不等式研究了張量變分不等式解的逼近性，并研究了張量變分不等式解的收斂性，將理論結(jié)果應(yīng)用于一般的寡頭壟斷市場(chǎng)均衡問(wèn)題；牟文杰等[9]用凸分析方法研究了張量變分不等式問(wèn)題解的存在性，當(dāng)張量在集合的退化錐上正定時(shí)，證明了張量變分不等式問(wèn)題的解集為非空緊致集。

本文利用例外簇方法研究張量變分不等式問(wèn)題解集的非空緊致性。我們給出了張量變分不等式問(wèn)題例外簇的定義，該例外簇定義與參考文獻(xiàn)[7]中例外簇不一致，證明張量變分不等式不存在例外簇則一定存在解，給出張量變分不等式不存在例外簇的一個(gè)充分條件，證明在該條件下張量變分不等式問(wèn)題解集為非空緊致集。本文定理2推廣了參考文獻(xiàn)[7]的主要結(jié)果定理4.2和參考文獻(xiàn)[9]的主要結(jié)果定理1，我們給出例子，該例滿足本文定理2的條件，但不滿足參考文獻(xiàn)[7]中定理4.2和參考文獻(xiàn)[9]中的定理1。

張量定義及運(yùn)算法則見(jiàn)參考文獻(xiàn)[7]和參考文獻(xiàn)[9]。

2 解集的非空緊致性

本節(jié)研究張量變分不等式問(wèn)題解集的非空緊致性。我們首先給出了張量變分不等式問(wèn)題例外簇的定義，該例外簇定義與參考文獻(xiàn)[7]中例外簇不一致，證明張量變分不等式不存在解，則一定存在例外簇，給出張量變分不等式不存在例外簇的一個(gè)充分條件，證明在該條件下張量變分不等式問(wèn)題解集為非空緊致集。我們給出例子，該例滿足本文定理2的條件，但不滿足參考文獻(xiàn)[7]中定理4.2和參考文獻(xiàn)[9]中定理1。

定義1 設(shè)K為n中的非空閉凸子集，張量A∈m，n，q∈n，任取稱序列{xr}r>0?K為張量變分不等式TVIP(K，A，q)相對(duì)于的例外簇，若滿足：

注1 2018年，參考文獻(xiàn)[7]構(gòu)造了張量變分不等式問(wèn)題的例外簇，利用例外簇方法研究張量變分不等式問(wèn)題解的存在性。其例外簇定義如下：序列{xr}r>0為T(mén)VIP(K，A，q)關(guān)于0的例外簇，若滿足：

①當(dāng)r→∞時(shí)，有xr→∞；

②對(duì)任一正整數(shù)r，有xr∈K；

其中PK(·)為K上的投影算子。

我們的例外簇定義顯然與參考文獻(xiàn)[7]中定義的例外簇不一致。

設(shè)K為n中的非空閉凸子集，張量A∈m，n，q∈n。下面考慮TVIP(K，A，q)在Kr上的限制，記為T(mén)VIP(Kr，A，q)：找到向量xr∈Kr，使〈A(xr)m-1+q，y-xr〉≥0，?y∈Kr。

將TVIP(Kr，A，q)的解集記為STVIP(Kr，A，q)。

引理1[10]設(shè)K為n中的非空閉凸子集，A∈m，n，q∈n，則STVIP(Kr，A，q)≠0。

引理2[11]設(shè)K為n中的非空閉凸子集，則

下面定理1說(shuō)明了若張量變分不等式不存在解，則一定存在例外簇。

定理1 設(shè)K為n中的非空閉凸子集，張量A∈m，n，q∈n。任取若STVIP(Kr，A，q)=?，則TVIP(K，A，q)存在關(guān)于的例外簇。

〈A(xr)m-1+q，ty+(1-t)xr〉≥0

即:

t〈A(xr)m-1+q，y-xr〉≥0，?y∈K

消去t，可得:

〈A(xr)m-1+q，y-xr〉≥0，?y∈K

由xr∈STVIP(Kr，A，q)可得〈A(xr)m-1+q，y-xr〉≥0，?y∈Kr，由NK(·)的定義得-A(xr)m-1-q∈NKr(xr)。

由引理2可知:

即:

下面定理2給出了張量變分不等式問(wèn)題解集為非空緊致集的一個(gè)充分條件。

定理2 設(shè)K為n中的非空閉凸子集，張量A∈m，n，q∈n，若對(duì)任一d∈K∞(〗0}，有則STVIP(K，A，q)為非空緊致集。

(1)

〈fr，y-xr〉≤0，?r>0

(2)

(3)

≤〈A(xr)m-1+q，y-xr〉，?r>0

(4)

〈A(xr)m-1+q，y-xr〉≥0，?r>r1

(5)

當(dāng)r充分大時(shí)，有：

(7)

仿照證明解集為非空集的步驟可推出矛盾，故STVIP(K，A，q)為有界集。

綜上可知，STVIP(K，A，q)為非空緊致集。

下面例1滿足定理2中的條件，不滿足參考文獻(xiàn)[7]中定理4.2的條件及參考文獻(xiàn)[9]中定理1的條件。

A∈4，2，其中a1111=a2111=1，a1112=a2112=-3，a1122=a2122=3，a1222=a2222=-1，其他元素均取值為0，q=(1，1)，則

當(dāng)d=(-1，-3)∈K時(shí)，有Ad4=(d1+d2)(d1-d2)3=-32<0。

故該例不滿足參考文獻(xiàn)[7]中定理4.2的條件。

當(dāng)d=(1，1)∈K∞時(shí)，有Ad4=0，故該例不滿足參考文獻(xiàn)[9]中定理1的條件。