非線性不確定微分系統(tǒng)的期望穩(wěn)定性

陶娜娜, 劉 揚(yáng)， 王 婷

(1.開封大學(xué) 信息工程學(xué)院,河南 開封 475004； 2.中國(guó)化學(xué)工程第十一建設(shè)有限公司 儀電公司,河南 開封 475004； 3.南陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 南陽 473061)

0 引言

在實(shí)際生活中,非確定性的情況我們經(jīng)常能遇見,例如我們經(jīng)常使用的電燈泡,它們的壽命就很難精準(zhǔn)的預(yù)知，還有市場(chǎng)中物品的收益情況、新出現(xiàn)的股票價(jià)格變動(dòng)情況等.很多情況下,系統(tǒng)中的不確定因素不能用模糊性也不能用隨機(jī)性來描述.這個(gè)時(shí)候,我們不得不邀請(qǐng)此領(lǐng)域的專家對(duì)各種事件發(fā)生的可能性進(jìn)行評(píng)估.不確定性理論就是為了描述這類不確定現(xiàn)象,該理論是由清華大學(xué)的劉寶碇[1]教授于2007年提出的一種處理主觀非確定性的公理化體系,且已經(jīng)成為一門公理化的數(shù)學(xué)分支.不確定分布是研究不確定變量的一個(gè)重要工具,文獻(xiàn)[2]推導(dǎo)出了一個(gè)有關(guān)不確定分布的充分必要條件,為了模擬不確定現(xiàn)象的變化,LIU[3]提出了不確定過程的概念.隨著研究的深入,不確定理論越來越完善[3-5].

2010年,CHEN等[6]研究了不確定微分方程具有唯一解的充分條件.緊接著,GAO[7]在更弱的條件下給出了存在唯一性定理.而TAO等[8]于2015年研究了不確定微分方程的吸引性和判定方法并擴(kuò)充了穩(wěn)定性理論. 2016年,TAO等[9]研究了不確定微分系統(tǒng)依樂觀值吸引性.隨著應(yīng)用的廣泛,不確定微分方程也得到了越來越深入的研究[10-13].

本文中,我們主要研究三類非線性不確定微分系統(tǒng)的依期望穩(wěn)定性,并給出判定條件和證明過程.

1 預(yù)備知識(shí)

定理1[1]令(Γ,L)是可測(cè)集，L是Γ的σ-代數(shù)，稱Λ∈L為一個(gè)事件，用M(Λ)來表示相信一個(gè)事件Λ會(huì)發(fā)生的信度.若M滿足以下幾條公理:

(1)(正規(guī)性)M(Γ)=1；

(2)(自對(duì)偶性)對(duì)任意事件Λ，有M(Λ)+M(Λc)=1；

則稱M為不確定測(cè)度，并且稱(Γ,L,M)為一個(gè)不確定空間.

不確定變量用來描述非確定現(xiàn)象[3]，我們下面先看一下它的概念．

定義1[3]不確定變量是從不確定空間(Γ,L,M)到實(shí)數(shù)集R的一個(gè)可測(cè)函數(shù)，也就是說，對(duì)于任意R中的Borel集B，集合{ξ∈B}={γ∈Γ|ξ(γ)∈B}是一個(gè)事件.

定義2[3]設(shè)ξ為一個(gè)不確定變量，則ξ的期望值可以定義為

假設(shè)兩個(gè)積分中有一個(gè)是有限的.

文獻(xiàn)[4]定義了一種特殊的不確定過程，該過程的增量服從正態(tài)分布，并且還滿足穩(wěn)態(tài)和獨(dú)立性，下面先列出了它的具體定義.

定義3[4]假設(shè)不確定過程Ct滿足下面三個(gè)條件：

(1)C0=0，并且?guī)缀跛械能壍繪ipschitz連續(xù)；

(2)Ct具有獨(dú)立穩(wěn)態(tài)增量；

(3)對(duì)于時(shí)間t，增量Cs+t-Cs是一個(gè)具有期望值為 0 和方差為t2的正態(tài)不確定變量，其不確定分布是

則稱不確定過程Ct為典范過程.

2008年，不確定微分方程首次在文獻(xiàn)[3]中被定義出來.

定義4[3]設(shè)Ct是一個(gè)典范過程，f和g是兩個(gè)給定的函數(shù)，Xt是一個(gè)未知的不確定過程，則稱方程

dXt=f(Xt,t)dt+g(Xt,t)dCt

(1)

是由典范過程驅(qū)動(dòng)的，并且滿足該方程的解也是不確定過程.

定義5[11]假設(shè)Xt和Yt是不確定微分系統(tǒng)(1)分別以X0和Y0為初始值的兩個(gè)解. 對(duì)任意ε>0，如果有

則稱不確定微分方程(1)是依期望穩(wěn)定的.

定理2[10]設(shè)Ct是不確定空間(Γ,L,M)上的一個(gè)典范過程，則對(duì)于每一個(gè)γ，存在一個(gè)不確定變量K，滿足K(γ)是Ct(γ)的一個(gè)Lipschitz約束且

定理3[1]設(shè)ξ為一個(gè)不確定變量，那么對(duì)任給的t>0,p>0，有

2 不確定微分系統(tǒng)的期望穩(wěn)定性

定理4如果函數(shù)f滿足Lipschitz條件

|f(t,x)-f(t,y)|≤L(t)|x-y|, ?x,y∈R,t≥0,

其中，L(t)是[0,+∞)上的有界可積函數(shù)，那么非線性不確定微分系統(tǒng)dXt=f(t,Xt)dt+σtdCt是依期望穩(wěn)定的.

證明：假設(shè)Xt和Yt是微分系統(tǒng)dXt=f(t,Xt)dt+σtdCt的分別以X0和Y0為初始值的兩個(gè)解，則對(duì)每一個(gè)γ，有

d|Xt(γ)-Yt(γ)|≤|f(t,Xt(γ))-f(t,Yt(γ))|dt≤L(t)|Xt(γ)-Yt(γ)|dt.

我們?nèi)菀椎贸?/p>

例1假設(shè)非線性微分系統(tǒng)為

dXt=e-tcosXtdt+t2dCt.

易知f(t,x)=e-tcosx，滿足Lipschitz條件，且

|f(t,x)-f(t,y)|≤e-t|x-y|, ?x,y∈R,t≥0，

則非線性不確定微分系統(tǒng)滿足定理4的條件，所以dXt=e-tcosXtdt+t2dCt是依期望穩(wěn)定的.

定理5如果函數(shù)g滿足Lipschitz條件，

|g(t,x)-g(t,y)|≤L(t)|x-y|, ?x,y∈R,t≥0,

證明：不妨設(shè)Xt和Yt是該非線性不確定微分方程的分別以X0和Y0為初始值的兩個(gè)解，則對(duì)每一個(gè)γ，有

d|Xt(γ)-Yt(γ)|=|g(t,Xt(γ))-g(t,Yt(γ))dCt|≤K(γ)L(t)|Xt(γ)-Yt(γ)|dt.

其中，K(γ)是樣本軌道Ct(γ)的Lipschitz約束.我們?nèi)菀椎贸?/p>

因?yàn)楫?dāng)|X0-Y0|→0,

E[|Xt(γ)-Yt(γ)|]→0,

所以非線性不確定微分系統(tǒng)dXt=σtdt+g(t,Xt)dCt是依期望穩(wěn)定的.

例2考慮下面的不確定微分系統(tǒng)的期望穩(wěn)定性：

|g(t,x)-g(t,y)|≤e-2t|x-y|, ?x,y∈R,t≥0.

|f(t,x)-f(t,y)|≤L(t)|x-y|, ?x,y∈R,t≥0,

其中,L(t)是[0,+∞)上的有界可積函數(shù)，那么非線性不確定微分系統(tǒng)dXt=f(t,Xt)dt+σtXtdCt是依期望穩(wěn)定的.

于是，可以得到

d(UtXt)=XtdUt+UtdXt=-XtUtσtdCt+Utf(t,Xt)dt+UtσtXtdCt=Utf(t,Xt)dt.

的解.

我們令Xt和Yt是非線性不確定微分系統(tǒng)的分別以X0和Y0為初始值的兩個(gè)解，則有

和

對(duì)每一個(gè)γ，由Gronwall不等式，容易得出

于是，我們能得出

其中，K(γ)是樣本軌道Ct(γ)的Lipschitz約束.那么

例3分析下列不確定微分系統(tǒng)

顯然f(t,x)=e-tcosx滿足Lipschitz條件，且

|f(t,x)-f(t,y)|≤e-t|x-y|, ?x,y∈R,t≥0.

推論1如果不確定微分系統(tǒng)dXt=f(t,Xt)dt+σtXtdCt是依期望穩(wěn)定的，那么該微分系統(tǒng)是依測(cè)度穩(wěn)定的.

證明：假設(shè)Xt,Yt是分別以X0,Y0為初始值的不確定微分系統(tǒng)dXt=f(t,Xt)dt+σtXtdCt的兩個(gè)解，則由不確定微分系統(tǒng)依期望穩(wěn)定的定義5得出

則對(duì)任給的ε>0,我們由Markov不等式容易得出

所以不確定微分系統(tǒng)dXt=f(t,Xt)dt+σtXtdCt是依測(cè)度穩(wěn)定的.

3 結(jié)語

文章研究了三類非線性不確定微分系統(tǒng)的依期望穩(wěn)定性,給出了判定條件,豐富了不確定理論的內(nèi)容,并為以后研究非線性不確定微分系統(tǒng)幾乎必然穩(wěn)定和依分布穩(wěn)定提供依據(jù).