一種雙向平板折展單元機構及其運動過程分析

陳博，郭路瑤，梁寶柱，姜澤，李明，許允斗，2，*，趙永生，2

1.燕山大學 河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室，秦皇島 066004

2.燕山大學 先進鍛壓成型技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島 066004

3.中國航天科技集團有限公司 空間結構與機構技術實驗室，上海 201109

4.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109

隨著航天事業(yè)的發(fā)展，為了滿足不同航天任務的需要，各種類型的空間可展開結構得到了迅速的發(fā)展和應用［1］。同時，面對未來更加復雜的航天任務［2］，對大型、高精度、高剛度、高穩(wěn)定性和輕量化的空間可展開結構的需求越來越迫切。

空間可展開天線的典型應用包括環(huán)形天線、構架式天線、平面天線、肋式天線和張拉式天線［3-10］。目前，對平面天線的研究相對較少。平面可展開天線是星載可展開天線的一個重要分支。為了完成更復雜的航天任務，需要其具備一個大的物理口徑，可以達到幾十到幾百平方米［11］。由于火箭整流罩的空間限制以及航天器編隊飛行和在軌裝配技術的不成熟，利用折展機構實現(xiàn)收攏和展開成為了一種更具吸引力的解決方案［12］。1978 年，美國宇航局成功發(fā)射了人類歷史上第一顆合成孔徑雷達衛(wèi)星SeaSat，該衛(wèi)星基于六角棱錐機構單元之間的剪切同步機構，實現(xiàn)了10.7 m×2.2 m，1/8 收納比［13］；1991 年，歐空局發(fā)射的ERS-1 配備了10 m×1 m 尺寸，1/2收納比的SeaSat 天線折展機構改進版［14］；加拿大航天局于1996 年成功發(fā)射的RadarSat-I 衛(wèi)星上配置有15 m×1.5 m 尺度，1/2 收納比的折展機構［15］，通過改變了拓撲結構，有效地提高了性能，在2007 年發(fā)射的Radarsat-II 衛(wèi)星上也實現(xiàn)了15 m×1.5 m 尺寸和1/2 收納比的平面天線［16］。綜合上述，目前平面天線一般采用單向折展機構，折疊和展開運動都發(fā)生在同一正交面內(nèi)［17］，沒有在與其正交的第二方向存在折疊與展開運動，即沒有雙向折展機構，因此無法滿足更大的物理口徑需求。

基于四棱錐和三棱錐機構，提出了一種6 自由度雙向可展單元機構，闡述了雙向平板折展單元機構及模塊化組成原理，基于閉環(huán)矢量法［18-22］建立了機構運動學模型，并進行了理論分析與仿真校驗。

1 機構組成與拓展規(guī)律

1.1 雙向平板折展單元機構及其展開過程

雙向平板折展單元機構的組成如圖1 所示，主要由天線面板、豎向支撐機構與橫向支撐機構等部件組成。其中，包括沿x-y方向分布的第1 排天線平板和第2 排天線平板；第1 排天線平板和第2 排天線平板均包括3 個依次沿y-z方向分布的天線平板；第1 排天線平板中的3 個天線平板和第2 排天線平板中的3 個天線平板分別通過1 個豎向支撐機構連接，且2 個所述豎向支撐機構關于雙向平板折展單元的原點對稱，第1 排天線平板通過橫向支撐機構與第2 排天線平板連接。支撐機構的主要部件為支撐桿、厚度補償塊、自鎖鉸鏈、輔助支撐桿和連接桿。雙向平板折展單元機構包括6 塊天線平板、2 個豎向支撐模塊和4 個橫向支撐模塊。對于該支撐機構而言，包括大量桿件配合，在位形約束的基礎上實現(xiàn)運動功能。

圖1 雙向平板折展單元機構組成Fig.1 Composition of two-way flat plate folding unit mechanism

雙向平板折展單元機構的工作過程：在運動過程中，機構雖然是三維空間機構，但機構是分為豎向展開和橫向展開的獨立的時序運動，雙向平板折展單元機構的展開過程如圖2 所示。機構從折疊狀態(tài)出發(fā)，首先進行x-y平面的豎向展開，豎向支撐機構上的轉動鉸接點均只在此平面內(nèi)運動；接著進行y-z平面的橫向展開，橫向支撐機構上的轉動鉸接點均只在此平面內(nèi)運動。機構運動至完全展開狀態(tài)時，豎向、橫向支撐機構中的輔助支撐桿共線。

圖2 雙向平板折展單元機構展開過程Fig.2 Unfolding process of two-way flat plate folding unit mechanism

1.2 模塊化組成原理

研究的雙向平板折展天線機構，包括至少2 個上述的雙向平板折展單元機構，雙向平板折展天線機構沿x-y方向拓展。折展單元包含了6塊天線面板，雙向平板折展天線機構沿x-y方向拓展時，第N個單元的天線平板5 和天線平板6，分別作為第N+1 個單元的天線平板1 和天線平板2，如圖3 所示。雙向平板折展單元機構的展開過程如圖4 所示。為實現(xiàn)更大物理口徑，按照此規(guī)律在x-y方向拓展即可。

圖3 多單元展開機構構型原理圖Fig.3 Schematic diagram of multi-unit deployment mechanism configuration

圖4 多單元雙向平板折展天線機構展開過程Fig.4 Deployment process of multi element bidirectional flat plate folding antenna mechanism

2 機構的自由度分析與驅動選擇

2.1 機構的自由度分析

雙向平板折展單元機構展開過程分為兩步，第1 步是x-y平面豎向展開，第2 步是y-z平面橫向展開。這些展開過程是相互獨立的，故在此對豎向支撐機構和橫向支撐機構自由度是分別求解。

2.1.1 豎向支撐機構自由度

豎向支撐機構可以簡化為在x-y平面內(nèi)的平面機構，如圖5 所示，直接利用平面機構的計算公式，可以得到豎向支撐機構的自由度，有

圖5 豎向支撐機構簡圖Fig.5 Schematic diagram of vertical support mechanism

式中：n1為構件數(shù)；p1為鉸鏈數(shù)。

2.1.2 橫向支撐機構自由度

橫向支撐機構可以簡化為在y-z平面內(nèi)的平面機構，如圖6 所示，直接利用平面機構的計算公式，可以得到橫向支撐機構的自由度，有

圖6 橫向支撐機構簡圖Fig.6 Schematic diagram of transverse support mechanism

式中：n2為構件數(shù)；p2為鉸鏈數(shù)。

2.1.3 單元機構自由度

由于整個可展開天線存在2 個豎向支撐機構，且兩者關于原點對稱，在豎向展開時，天線面板1 和4、天線面板2 和5、天線面板3 和6 分別可視為一個整體，由此，豎向展開的2 個支撐機構展開的自由度為4，再結合橫向展開的支撐機構展開的自由度為2，則可展開天線完全展開的自由度為6。

2.2 機構的幾何尺寸

如圖5 和圖6 所示的機構簡圖，當天線面板的尺寸給定以后，厚度補償板的長度可確定，鉸接點A、C、H、O、R均位于天線面板長邊的中點位置，可以改變的參數(shù)有支撐機構的高度和支撐桿的長度。圖7 為豎向支撐機構的展開和折疊狀態(tài)，其中參數(shù)滿足式（3），圖8 為橫向支撐機構的展開和折疊狀態(tài)，其中參數(shù)滿足式（4）。

圖7 豎向天線支撐機構簡圖Fig.7 Schematic diagram of vertical antenna support mechanism

圖8 橫向天線支撐機構簡圖Fig.8 Schematic diagram of transverse antenna support mechanism

式中：a=675 mm 為完全展開狀態(tài)，鉸接A、K水平距離；b=365 mm 為完全展開狀態(tài)，鉸接G、F水平距離的一半；c=310 mm 為完全展開狀態(tài)，鉸接A、F水平距離；d=820.34 mm 為完全展開狀態(tài)，鉸接A、F距離；e=820.33 mm 為完全折疊狀態(tài)，鉸接A、G水平距離；f=5 mm 為完全折疊狀態(tài)，鉸接A、G豎直距離；h=759.52 mm 為完全展開狀態(tài)，鉸接A、F豎直距離；ψ1為完全折疊狀態(tài)，桿件AG與水平方向的夾角。

式中：g=1 797.5 mm 為完全展開狀態(tài)，鉸接R、W水平距離；i'=1 601.5 mm 為完全展開狀態(tài)，鉸接Q、R水平距離；j'=1 850 mm 為完全展開狀態(tài)，鉸接Q、R距離；k=196 mm 為完全 展開狀態(tài)，鉸接Q、P水平距離的一半；m=162.5 mm 為完全折疊狀態(tài)，鉸接R、W豎直距離；n=33.5 mm 為完全折疊狀態(tài)，鉸接Q、R豎直距離；h'=759.52 mm 為完全展開狀態(tài)，鉸接Q、R豎直距離；o=1 849.7 mm 為完全折疊狀態(tài)，鉸接Q、R水平距離；ψ2為完全折疊狀態(tài)，桿件QR與水平方向的夾角；ψ3為完全折疊狀態(tài)，桿件RW與水平方向的夾角；ψ4為完全折疊狀態(tài)，桿件QR與桿件RW的夾角。

2.3 機構的驅動位置選擇

為實現(xiàn)機構從完全收攏到完全展開的運動過程，需要選取6 個合適的轉動節(jié)點布置合適的驅動提供動力。將機構分別向x-y平面和y-z平面投影，得到的平面機構簡圖如圖5 和圖6 所示。為了便于安裝電機，初步選擇在支撐桿和天線平板及天線平板之間的節(jié)點處，即：A、B、C、H、M、K、O、R、W。為確保機構能夠順利展開，且輔助支撐桿在機構完全展開時共線，選擇了A、A、B、K作為豎向展開的4 個驅動節(jié)點，選擇了O、R作為橫向展開的2 個驅動節(jié)點。雙向平板折展單元機構完成展開過程，輔助支撐桿的展開角度變化如圖9 所示，滿足規(guī)定要求。

圖9 輔助支撐桿和連接桿連接角度變化示意圖Fig.9 Schematic diagram of connection angle change of auxiliary support rod and connecting rod

3 雙向平板折展單元機構的運動學分析

雙向平板折展單元機構的展開過程是豎向和橫向2 個相互獨立的展開運動，且均可以簡化為1 個投影平面內(nèi)的運動，投影得到的平面機構可以反映其對應的展開運動的運動特性，故將雙向平板折展單元機構分別向x-y平面和y-z平面投影，分別以x-y平面和y-z平面的平面運動為研究分析對象。

3.1 豎向支撐機構運動學模型

3.1.1 單閉環(huán)運動學模型

豎向支撐機構可視為由5 個基本單元組成，記為loop1（環(huán)ABCD）、loop2（環(huán)ADEF）、loop3（環(huán)AFGHK）、loop4（環(huán)GHJI）和loop5（AFLM）。其中l(wèi)oop4 和loop5 是loop3 被輔助支撐桿件二次分割后得到的，如圖10 所示。以A點為坐標原點建立坐標系，l（ii=1，2，…，21）為桿件參數(shù)，θ（ii=1，2，…，21）為角度變量，規(guī)定角度變量正值為順時針，負值為逆時針。

圖10 豎向支撐結構閉環(huán)示意圖Fig.10 Closed loop diagram of vertical support structure

loop1 為全轉動副的四連桿機構，其桿件參數(shù)和角度變量如圖11 所示，驅動方式如圖12所示。

圖11 loop1 變量Fig.11 loop1 variable

圖12 loop1 驅動變量Fig.12 loop1 driver variable

根據(jù)已知的各桿件的參數(shù)，建立loop1 的矢量方程：

根據(jù)loop1 內(nèi)的角度條件關系建立角度約束方程：

聯(lián)立式（5）和式（6），建立loop1 的運動學方程：

式（7）中θ1=2.68 °和α1為已知量，θ（ii=2，3，4）為角度變量，3 個角度變量對應3 個約束方程，則θ（ii=2，3，4）可解。對式（7）求導，可以得到角速度方程：

同理，loop2、loop3、loop4 和loop5 桿件參數(shù)和角度變量、驅動方式如圖13 所示。

圖13 loop2、loop3、loop4 和loop5 變量和驅動變量Fig.13 loop2，loop3，loop4 and loop5 variables and driving variables

參照loop1，根據(jù)已知的各桿件的參數(shù)和角度條件關系，建立loop2、loop3、loop4 和loop5 的運動學方程：

式（10）中ψ1為折展單元處于完全收攏狀態(tài)下對應的角度，ψ1=179.65°。參照loop1，可得到各自閉環(huán)的角速度方程與角加速度方程。

3.1.2 豎向支撐機構運動學模型

豎向支撐機構的運動學分析不能獨立每個單獨的閉環(huán)，需要將所有閉環(huán)進行整合。介于loop4 和loop5 是由輔助支撐桿將loop3 二次分割形成的，輔助支撐桿的引入不影響機構的自由度，故其不是豎向支撐機構的主要部件，而是作為被動桿隨機構展開。輔助支撐桿對豎向支撐機構的作用主要是在完全展開時對機構鎖死，提供機構的支撐剛度。所以依然單獨分析。基于運動方程的不變性，將loop1、loop2 和loop3 的運動學方程整合，則有

式（14）中θ1、θ13、α1、α2和α3為已知量，θ（ii=2，…，12）為角度變量，其中θ4=θ5，θ8=θ9，9 個角度變量對應9 個約束方程，則θ（ii=2，…，12）可解。對式（14）進行求導可得到角速度方程，為

通過式（15）即可求得各桿件角速度為

對式（16）進行求導可得到角加速度方程，方法參考loop1。

3.2 橫向支撐機構運動學模型

橫向支撐機構可視為由3 個基本單元組成，分別記為loop6（環(huán)OPQRW）、loop7（環(huán)QRTS）和loop8（環(huán)OPUV）。其中l(wèi)oop7 和loop8 是loop6 被輔助支撐桿件二次分割后得到的，如圖14 所示。以點W為坐標原點建立坐標系，lj（j=22，23，…，32）為桿件參數(shù)，θj（j=22，23，…，32）為角度變量，規(guī)定角度變量正值為順時針，負值為逆時針。

圖14 橫向支撐結構閉環(huán)示意圖Fig.14 Closed loop diagram of transverse support structure

由于橫向支撐機構是取自豎向支撐機構的四棱錐部分，即：loop6、loop7和loop8的結構與loop3、loop4 和loop5 相同，故建立運動學模型的方法相同，在此直接給出橫向支撐機構的運動學模型：

式（17）中ψ2為折展單元處于完全收攏狀態(tài)下對應的角度，ψ2=1.04 °；式（17）中ψ4為折展單元處于完全收攏狀態(tài)下對應的角度，ψ4=6.2°。

對式（17）進行求導可得到角速度方程：

通過式（18）即可求得各桿件角速度為

對式（19）進行求導可得到角加速度方程，方法參考loop1。

3.3 機構奇異位置分析

機構運動學特性分析的重要應用之一便是預測機構的奇異位置。針對該機構，在分析單個展開閉環(huán)的基礎上，利用機構的雅克比矩陣研究零值條件，從而得到機構發(fā)生奇異時的桿件角度關系。

對于單環(huán)機構而言，其奇異條件如表1 所示。

表1 不同閉環(huán)奇異位置發(fā)生情況Table 1 Occurrence of different closed-loop singular positions

對于多環(huán)機構，多環(huán)機構的雅克比矩陣形式為式（20）和式（21）。

當雅克比矩陣行列式|J1|=0，|J2|=0 時，機構將處于奇異位置。豎向展開過程：當θ3=θ4，θ6=θ7，θ10=θ11時，|J1|=0，結合圖18 可知，θ3與θ4，θ10與θ11曲線無交點，θ6與θ7存在交點只發(fā)生在豎向展開結束時，此時l6和l7共線導致loop2 產(chǎn)生終止奇異，但并不影響整個機構的豎向展開；橫向展開過程：當θ24=θ25=θ26時，|J2|=0，結合圖18 可知，θ24、θ25與θ26曲線無交點，故該機構在橫向展開不存在奇異位置。

4 雙向平板折展單元機構的仿真校驗

為驗證上述理論分析，采用SOLIDWORKS對雙向平板折展單元機構進行了三維建模，用數(shù)值計算軟件MATLAB 和仿真軟件Adams 進行數(shù)值計算與仿真驗證。機構各桿件的尺寸在完成機構設計時已經(jīng)給定，具體參數(shù)如表2 所示。

表2 桿件尺寸參數(shù)Table 2 Member size parameters

根據(jù)前面自由度分析得知，雙向平板折展單元的展開需要添加6 個電機，即：2 個豎向支撐機構配備4個電機，橫向支撐機構配備2個電機。如圖5和圖6所示，電機1、2、3分別布置在第1豎向支撐機構的B、K、A節(jié)點處，電機4、5分別布置在橫向支撐機構的R、O節(jié)點處，電機6 布置在第2 豎向支撐機構的A節(jié)點處。各電機的驅動函數(shù)如表3所示。

表3 電機及其驅動函數(shù)Table 3 Motor and its drive function

參照理論分析，給定驅動變量α1、α2、α3、α4、α5和α6，MATLAB 繪制出機構展開過程形位如圖15 所示，Adams 仿真得到機構展開過程形位如圖16 所示，MATLAB 和Adams 仿真得到各個關節(jié)點在x-y平面的豎向展開軌跡和各個關節(jié)點在y-z平面的橫向展開軌跡如圖17 所示，MATLAB求解和Adams 仿真數(shù)據(jù)得到其角度、角速度及角加速度曲線如圖18 所示。

圖15 MATLAB 繪制的展開過程形位圖Fig.15 Shape bitmap of unfolding process drawn by MATLAB

圖16 Adams 中展開過程形位圖Fig.16 Shape bitmap of unfolding process in Adams

如圖15 和圖16 所示，理論繪制的形位圖與軟件仿真的形位圖相同，且可以直觀的觀察到各桿件在展開過程中的運動情況，不存在干涉問題。如圖17 所示，將軌跡視為機構展開過程中的外包絡線，可以清晰的觀察出機構展開過程中所需要的展開空間。

圖17 關鍵節(jié)點展開軌跡Fig.17 Development trajectory of key nodes

結合圖15～圖18 對比可見，仿真得到的各點展開軌跡與理論計算結果匹配，這也與理論分析結論吻合；角度、角速度及角加速度的仿真曲線與理論曲線的高度一致性也說明了期望機構可實現(xiàn)連續(xù)收展運動，驗證了理論分析的正確性。

圖18 各個桿件的角度、角速度及角加速度Fig.18 Angle，angular velocity and angular acceleration of each member

5 結論

為滿足更大物理口徑的平面可展開天線，提高平面可展開天線的剛度，基于四棱錐和三棱柱機構，提出了一種新型雙向平板折展單元機構，取得的成果如下：

1）分別構造了平板天線豎向、橫向支撐模塊，得到了具有雙向折展能力和高支撐剛度的平面可展開天線機構，且可以沿x-y平面規(guī)律拓展。

2）將該機構簡化為平面機構，由平面自由度計算公式得到其自由度為6，確定了驅動布置位置。對簡化機構進行運動學特性分析，采用閉環(huán)矢量法建立其運動學方程。對比分析了理論分析和仿真分析得到的機構運動軌跡和角度、角速度及角加速度特性曲線，驗證了理論分析的正確性。

3）基于雅可比矩陣的行列式非零，分析了平面天線機構奇異位形，該機構只在豎向展開完成時存在終止奇異，但并不影響整個機構的完全展開。

4）本論文為新型大型平面天線的設計提供了一種可行的新構型，而且為其工程化設計提供了重要理論基礎。