基于逆向增廣Burgers 方程的聲爆反演技術(shù)

顧奕然，黃江濤，陳樹生，3，*，劉德園，高正紅

1.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心，綿陽 621000

3.航空工業(yè)第一飛機(jī)設(shè)計研究院，西安 710089

受到諸多工程技術(shù)因素的影響，超聲速客機(jī)自20 世紀(jì)70 年代出現(xiàn)以來發(fā)展極其緩慢，而聲爆帶來的地面噪聲問題是超聲速客機(jī)發(fā)展的重要障礙之一［1］。以歐洲聯(lián)合研發(fā)的超聲速客機(jī)協(xié)和號為例，其巡航狀態(tài)下地面感覺噪聲約為105 dB［2-3］，這會對航線下方的生物和建筑造成難以忽視的影響。

飛行器在超聲速飛行下于近場產(chǎn)生的擾動波經(jīng)過大氣傳播，會在遠(yuǎn)場演化成形如英文字母“N”的遠(yuǎn)場波形［4］，如圖 1 所示。聲爆在遠(yuǎn)場演化的N 形聲波直接影響著地面，因此低聲爆設(shè)計工作的最終目的即通過對聲爆產(chǎn)生的N 形波進(jìn)行修型，降低地面感覺噪聲。依據(jù)NASA 在SSBD（Shaped Sonic Boom Demonstrator）［5］項(xiàng)目中的研究成果，認(rèn)為對超聲速飛行器的外形進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計能夠改變其對應(yīng)的地面聲爆波形，這為聲爆的設(shè)計優(yōu)化提供了基礎(chǔ)和參考，意味著在低聲爆設(shè)計工作中引入氣動外形優(yōu)化的相關(guān)方法是行之有效的。

圖1 聲爆傳播過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of sonic boom propagation

低聲爆設(shè)計方法依據(jù)其推進(jìn)的方向，可以大致分為正設(shè)計［6-9］和反設(shè)計［10-13］兩類。正設(shè)計通過針對超聲速飛行器外形的優(yōu)化設(shè)計，經(jīng)過多次迭代計算從而得到符合要求的遠(yuǎn)場聲爆波形；反設(shè)計則是通過選擇一個符合要求的遠(yuǎn)場聲爆波形，利用相應(yīng)的反演技術(shù)反向推演出超聲速飛行器的氣動外形。通常情況下，人為設(shè)計一個理想波形然后反向?qū)ふ移鋵?yīng)的飛行器氣動外形，比使用正向算法搜索最優(yōu)的地面波形更加高效，因此反設(shè)計方法在低聲爆設(shè)計領(lǐng)域受到極大重視。

有關(guān)聲爆反設(shè)計的方法通?？梢苑譃榈孛婺繕?biāo)波形匹配［14-15］和近場目標(biāo)波形匹配［16-17］兩類。地面目標(biāo)波形匹配方法通過指定一個目標(biāo)地面聲爆波形，并使用反演技術(shù)將地面聲爆波形反向傳播至近場，以完成反設(shè)計任務(wù)；近場目標(biāo)波形匹配方法指定一個目標(biāo)近場過壓分布，然后通過反設(shè)計算法來尋找其對應(yīng)的氣動外形。由于飛行器的氣動外形和近場過壓分布是緊密耦合的，因此通常情況下，實(shí)現(xiàn)近場目標(biāo)波形匹配更為容易。但倘若考慮大氣傳播過程，一個優(yōu)化后的較好的低聲爆近場波形未必能對應(yīng)一個較好的遠(yuǎn)場波形，這限制了近場目標(biāo)波形匹配方法的應(yīng)用。與此相比，地面目標(biāo)波形匹配方法能夠更準(zhǔn)確地反映地面聲爆波形與飛行器外形的關(guān)聯(lián)性，但其對聲波大氣傳播過程的模擬技術(shù)要求更為苛刻。

對于模擬聲波在大氣層內(nèi)的傳播過程，通?？梢杂? 種方式實(shí)現(xiàn)：一為基于弱激波理論的波形參數(shù)法［18］；二為基于時頻域分析技術(shù)的Pestorius-Anderson 方法［19］；三為基于非線性聲學(xué)的增廣Burgers 方程方法［20］。3 種方法中，前2種方法由于需要引入經(jīng)驗(yàn)公式［21］和需要交替進(jìn)行時域頻域變換，模擬精度往往難以達(dá)到工程應(yīng)用的需求，因此增廣Burgers 方程方法使用更為廣泛［22］。

反設(shè)計工作的重心在于尋找與目標(biāo)波形相對應(yīng)的近場波形?；谙嗖ㄐ螀?shù)法，Seebass 和George［23］提出了一種相對較為粗糙的反設(shè)計方法。基于增廣Burgers 方程方法，Li 等［24］提出了一種基于逆向增廣Burgers 方程的方法來反向傳播聲波并以此完成反演計算。Rallabhandi［25］發(fā)展了基于反向等效面積目標(biāo)的離散伴隨方法。張繹典和高正紅等［26］提出了基于本征正交分解（Gappy Proper Orthogonal Decomposition，GPOD）的聲爆反設(shè)計方法。各方法均能在一定程度上使設(shè)計外形的地面波形接近目標(biāo)波形，從而降低地面聲爆強(qiáng)度。

本文基于一種逆向增廣Burgers 方程的數(shù)值反演方法展開研究，對求解過程中的各影響因素進(jìn)行探索，并在已有研究成果的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對基于此方法的中場反設(shè)計方法進(jìn)行了研究，對聲爆傳播過程中高頻分量的演化及其對反設(shè)計方法的影響進(jìn)行了討論。

1 增廣Burgers 方程

增廣的Burgers方程由Pierce［27］于20世紀(jì)80年代提出，在經(jīng)典Burgers 方程中引入了額外的幾何擴(kuò)散、大氣分層及分子弛豫項(xiàng)，能夠更好地模擬聲壓信號在大氣中的傳播。逆向增廣Burgers 方程可用于模擬聲爆信號的反向傳播，能夠?qū)⒅袌鰤毫Ψ植挤聪騻鞑サ浇鼒鑫恢?。本?jié)描述逆向增廣Burgers 方程及其求解方法。

1.1 經(jīng)典正向增廣Burgers 方程

增廣Burgers 方程包括非線性、經(jīng)典耗散、分子弛豫現(xiàn)象等效應(yīng)。無量綱的Burgers 方程如式（1）所示：

式中：P為無量綱壓力；τ為無量綱時間；σ為無量綱聲管距離；Γ、Cv、θv分別為無量綱氣體耗散參數(shù)、無量綱松弛系數(shù)和無量綱松弛時間；S、c0與ρ0為聲管面積、聲速和大氣密度。

方程（1）右側(cè)5 項(xiàng)分別為非線性效應(yīng)項(xiàng)、經(jīng)典耗散效應(yīng)項(xiàng)、分子弛豫效應(yīng)項(xiàng)、幾何擴(kuò)散效應(yīng)項(xiàng)和大氣分層效應(yīng)項(xiàng)，分別表示對應(yīng)的物理效應(yīng)對聲壓信號的影響。

1.2 逆向增廣Burgers 方程

經(jīng)典正向增廣Burgers 方程中，非線性效應(yīng)項(xiàng)、經(jīng)典耗散效應(yīng)項(xiàng)和分子弛豫效應(yīng)項(xiàng)與時間有關(guān)，而幾何擴(kuò)散效應(yīng)項(xiàng)和大氣分層效應(yīng)項(xiàng)只與聲管路徑有關(guān)。構(gòu)建逆向方程可以看作令時間反向流動，因此只需要修改非線性效應(yīng)項(xiàng)、經(jīng)典耗散效應(yīng)項(xiàng)和分子弛豫效應(yīng)項(xiàng)。

對于波形的反向傳播，增廣Burgers 方程可以修改為

逆向增廣Burgers 方程與正向方程類似，在形式上只有非線性效應(yīng)項(xiàng)、經(jīng)典耗散項(xiàng)和分子弛豫項(xiàng)的正負(fù)發(fā)生了變化［24］。

1.3 數(shù)值求解方案

在對逆向增廣Burgers 方程進(jìn)行求解之前，首先需要對時間和空間進(jìn)行離散。時間維度上需要對過壓信號進(jìn)行離散處理；空間維度上需要對聲管傳播路徑進(jìn)行離散處理。使用均勻的網(wǎng)格對時間和空間進(jìn)行離散，并使用參考時間1/ω0，參考長度為時間采樣頻率，β為非線性系數(shù)）和參考壓力p0進(jìn)行無量綱化，無量綱化過程由式（3）～式（5）所示：

使用算子分裂法［28］對逆向增廣Burgers 方程進(jìn)行求解。式（2）可由算子分裂法分裂成以下5 項(xiàng)：

求解過程中，依次使用式（6）～式（10）更新無量綱壓力P，推進(jìn)至下一高度后繼續(xù)循環(huán)上述過程，直至高度推進(jìn)至目標(biāo)高度，從而完成求解。

對于式（6），其等價于：

使用以下離散方法進(jìn)行求解：

式（7）與式（8）是病態(tài)方程，為穩(wěn)定方程求解過程，可以引入偽拋物線型正則化方法改寫方程，其形式如式（14）所示：

正則化參數(shù)ε是一個正的標(biāo)量，使得式（14）數(shù)值可解，可以通過試錯法選取ε=10-4。使用偽拋物線型方程改寫經(jīng)典耗散項(xiàng)和分子弛豫項(xiàng)，能夠較好的穩(wěn)定數(shù)值求解的過程。

使用待定系數(shù)法改寫經(jīng)典耗散項(xiàng)，可以寫為

分子弛豫項(xiàng)也可使用類似的方法寫為

式中：α取0.5。

式（15）與式（17）均為三對角方程，可以使用TDMA 方法（Tridiagonal Matrix Algorithm）高效率求解。

式（9）與式（10）本質(zhì)是一個守恒方程，可以分別使用式（20）與式（21）進(jìn)行求解。

1.4 反向等效面積求解

通過使用前文中討論的反向傳播方法，中場位置的壓力信號分布可以反向傳播到近場位置，近場過壓分布可以逆變換為等效面積分布，稱為反向等效面積Ae，r。使用以下等式［24］：

式中：Ma為巡航馬赫數(shù)；R為近場位置到飛行器的距離；γ取1.4。需要注意的是，只有當(dāng)飛行器滿足細(xì)長體假設(shè)［29］時式（22）才成立。

2 計算程序驗(yàn)證

基于增廣Burgers 方程及逆向增廣Burgers方程，可以編寫計算程序?qū)β暠^壓信號在近場與遠(yuǎn)場之間的傳播進(jìn)行研究。

正向增廣Burgers 方程計算程序參考筆者所在實(shí)驗(yàn)室自研聲爆程序［22］，圖 2 展示了正向增廣Burgers 方程計算程序的主要框架。過壓信號由近場傳播向遠(yuǎn)場，首先使用聲管計算程序輸出對應(yīng)的聲管路徑和大氣參數(shù)，并將其提供給求解器。求解器使用算子分裂法求解，輸入過壓信號依次通過非線性效應(yīng)項(xiàng)求解器、經(jīng)典耗散項(xiàng)求解器、分子弛豫項(xiàng)求解器、幾何擴(kuò)散項(xiàng)求解器和大氣分層效應(yīng)項(xiàng)求解器，然后推進(jìn)至下一高度，繼續(xù)以上述順序進(jìn)行迭代，直至高度推進(jìn)至目標(biāo)高度。

圖2 正向程序結(jié)構(gòu)Fig.2 Forward program structure

圖3 展示了逆向增廣Burgers 方程計算程序的主要框架。與正向求解程序類似，在聲管計算程序輸出相應(yīng)計算參數(shù)后，使輸入過壓信號依次通過逆向非線性效應(yīng)項(xiàng)求解器、逆向經(jīng)典耗散項(xiàng)求解器、逆向分子弛豫項(xiàng)求解器、幾何擴(kuò)散項(xiàng)求解器和大氣分層效應(yīng)項(xiàng)求解器，然后推進(jìn)至下一高度，繼續(xù)以上述順序進(jìn)行迭代，直至高度推進(jìn)至近場高度。求解獲得近場過壓信號后，通過Abel 逆變換計算得到對應(yīng)的逆向等效面積分布，完成計算任務(wù)。

圖3 逆向程序結(jié)構(gòu)Fig.3 Reverse program structure

為驗(yàn)證計算程序的有效性，選取第2 次AIAA 聲爆預(yù)測研討會（SBPW-2）提供的官方算例Axibody 來進(jìn)行驗(yàn)證工作。Axibody 是一個幾何回轉(zhuǎn)體，其外形大致如圖 4 所示［30］。

圖4 Axibody 外形［30］Fig.4 Appearance of Axibody［30］

2.1 正向計算程序驗(yàn)證

選取飛行高度H=15 849.6 m，飛行馬赫數(shù)Ma=1.6，近場與機(jī)體距離R=128.93 m。Axibody 在周向角0°時的標(biāo)準(zhǔn)近場過壓信號如圖 5所示。

圖5 Axibody 近場過壓分布Fig.5 Near-field over-pressure distribution of Axibody

由正向增廣Burgers 計算程序計算所得的地面波形和NASA 的sBOOM 軟件的計算結(jié)果對比圖如圖 6 所示，驗(yàn)證了編寫的正向增廣Burgers計算程序計算準(zhǔn)確度符合要求。

圖6 地面信號對比Fig.6 Ground signal comparison

2.2 逆向計算程序驗(yàn)證

由于經(jīng)典耗散效應(yīng)和分子弛豫效應(yīng)的影響，近場過壓信號中的部分分量在向遠(yuǎn)場傳遞的過程中會不可避免地出現(xiàn)耗散和消亡的現(xiàn)象［31］；此外，在逆向求解數(shù)值方法中，逆向過程會趨向于抹平波形，這使得使用逆向增廣Burgers 方程難以將遠(yuǎn)場信號準(zhǔn)確地反演至近場［24］。但倘若縮減逆向計算程序的反演距離，從一個距離近場較近的中場過壓信號開始反演，也可以獲得大致準(zhǔn)確的近場過壓信號。

選取3 個不同的中場高度Hm=15 500 m、15 000 m、14 000 m 進(jìn)行驗(yàn)證。使用正向增廣Burgers 計算程序計算獲得對應(yīng)的中場過壓信號如圖 7 所示，再使用逆向增廣Burgers 計算程序反演至近場，其計算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)對比圖如圖 8 所示，反演過壓信號對應(yīng)的等效面積分布與標(biāo)準(zhǔn)近場過壓信號的等效面積分布的對比圖如圖 9 所示?？梢杂^察到，雖然隨著反演距離的增長計算精度有所降低，但逆向增廣Burgers 方程計算程序的計算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)近場數(shù)據(jù)大致相同，可以認(rèn)為逆向Burgers 方程反演得到的信號在一定精度范圍內(nèi)可以代表近場信號。

圖7 中場過壓信號Fig.7 Mid-field over-pressure signal

圖8 近場過壓分布對比Fig.8 Comparison of near-field over-pressure distributions

圖9 等效面積分布對比Fig.9 Comparison of equivalent-area distributions

2.3 逆向計算程序網(wǎng)格收斂性

在進(jìn)行逆向增廣Burgers 方程計算時，不僅需要對聲管傳播路徑進(jìn)行離散，還要對過壓信號進(jìn)行離散，即在空間和時間上各有一個離散維度。

采用控制變量法對網(wǎng)格收斂性進(jìn)行研究。選取中場高度Hm=14 000 m，首先固定空間網(wǎng)格數(shù)為10 000，使用不同的網(wǎng)格數(shù)量離散時間維度，其對應(yīng)的計算結(jié)果對比圖如圖 10 所示。然后固定時間網(wǎng)格數(shù)為10 000，使用不同的網(wǎng)格數(shù)量離散空間維度，其對應(yīng)的計算結(jié)果對比圖如圖 11所示。

圖10 不同時間網(wǎng)格數(shù)量計算結(jié)果對比Fig.10 Comparison of results with different grid numbers in time dimension

圖11 不同空間網(wǎng)格數(shù)量計算結(jié)果對比Fig.11 Comparison of results with different grid numbers in spatial dimension

觀察計算結(jié)果，認(rèn)為時間采樣率提升至25 kHz 時，計算結(jié)果趨向于收斂，而空間網(wǎng)格的密度對結(jié)果無顯著影響。比較兩組計算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)時間網(wǎng)格密度對計算結(jié)果的影響較大，而空間網(wǎng)格密度對計算結(jié)果影響較小。這和正向Burgers 方程離散求解的特點(diǎn)相似［22］。

3 數(shù)值結(jié)果

在第2 節(jié)中，研究已經(jīng)針對正向和逆向的增廣Burgers 方程計算程序進(jìn)行了準(zhǔn)確度驗(yàn)證和網(wǎng)格收斂性研究，認(rèn)為正向和逆向的計算程序均能較為準(zhǔn)確地完成計算任務(wù)。基于上述計算程序，本節(jié)對方程求解實(shí)際問題中各因素的影響進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究，對在不同中場高度與不同周向角條件下使用逆向增廣Burgers 方程計算程序進(jìn)行反演計算，并對計算結(jié)果進(jìn)行分析。

3.1 反演距離

前文已經(jīng)提到，由于近場過壓信號在向遠(yuǎn)場傳遞的過程中，不可避免地受到經(jīng)典耗散效應(yīng)和分子弛豫效應(yīng)的影響，使得逆向增廣Burgers 方程難以準(zhǔn)確地將遠(yuǎn)場聲壓波形反演為對應(yīng)的近場過壓信號。而若縮短反演距離，則中場過壓信號中因經(jīng)典耗散效應(yīng)與分子弛豫效應(yīng)而消亡的頻率分量將減少，因此從一個距離較近的中場利用逆向增廣Burgers 方程進(jìn)行反演計算能夠取得更高的準(zhǔn)確度。反演距離對于逆向增廣Burgers方程的反演具有重要影響。

研究采用LM1021、C608 兩個標(biāo)準(zhǔn)算例進(jìn)行研究。其外形如圖 12［30］與圖 13［32］所示。LM1021為SBPW-1 的可選算例和SBPW-2 的標(biāo)準(zhǔn)算例之一，是洛克希德·馬丁公司設(shè)計的新一代超聲速客機(jī)；C608 是SBPW-3 的標(biāo)準(zhǔn)算例之一，是NASA的低聲爆試驗(yàn)飛行器X59的初步改形方案。

圖12 LM1021 飛行器［30］Fig.12 LM1021 aircraft［30］

圖13 C608 飛行器［32］Fig.13 C608 aircraft［32］

對于LM1021 算例，選定的計算條件為飛行高度H=16 764 m，近場與機(jī)體距離R=222.59 m，飛行馬赫數(shù)Ma=1.6。圖 14 與圖 15展示了LM1021 算例在不同中場高度開始反演計算所得到的近場過壓信號對比與對應(yīng)的等效面積分布。

圖14 不同中場高度反演結(jié)果對比（LM1021）Fig.14 Comparison of inversion results at different mid-field heights（LM1021）

圖15 不同中場高度反演等效面積對比（LM1021）Fig.15 Comparison of equivalent-areas at different mid-field heights（LM1021）

對于C608 算例，選定的計算條件為飛行高度H=16 215.36 m，近場與機(jī)體距離R=82.296 m，飛行馬赫數(shù)Ma=1.4。圖 16 與圖 17展示了C608 算例在不同中場高度開始反演計算所得到的近場過壓信號對比與對應(yīng)的等效面積分布。

圖16 不同中場高度反演結(jié)果對比（C608）Fig.16 Comparison of inversion results at different mid-field heights（C608）

圖17 不同中場高度反演等效面積對比（C608）Fig.17 Comparison of equivalent-areas at different mid-field heights（C608）

觀察計算結(jié)果，可以觀察到隨著中場高度的增大，逆向增廣Burgers 方程計算程序的計算結(jié)果越來越逼近標(biāo)準(zhǔn)近場過壓信號，這與理論分析的結(jié)果相一致。同時可以注意到，雖然不同中場高度的選取對反演的近場過壓信號波形有較大影響，但相應(yīng)的等效面積分布變化相對較小，這使得基于逆向增廣Burgers 方程的低聲爆反設(shè)計方法能夠提供較為準(zhǔn)確的低聲爆等效面積分布。

此外，從圖 14 與圖 16 中可以觀察到，反演結(jié)果的誤差主要來自于無法對過壓信號中的高頻分量進(jìn)行準(zhǔn)確的還原，且當(dāng)中場位置靠近機(jī)體時，反演準(zhǔn)確度會迅速增大。圖 18 與圖 19 展示了由正向增廣Burgers 方程計算程序得出的LM1021 與C608 算例距離近場約1 000 m 內(nèi)聲爆過壓信號的演變過程。可以觀察到，在聲爆傳播過程初期，非線性效應(yīng)的扭轉(zhuǎn)作用和大氣分層效應(yīng)的作用效果尚不明顯，過壓信號的演化主要受經(jīng)典耗散和分子弛豫效應(yīng)對高頻分量的耗散作用以及聲管幾何擴(kuò)散對聲爆信號的線性衰減作用的影響。由于逆向增廣Burgers 方程計算程序和正向程序在處理幾何散布效應(yīng)的方式相同，不會對準(zhǔn)確度產(chǎn)生較大影響，因此可以認(rèn)為在距離機(jī)體較近的情況下，中場位置對反演精度的影響主要是由經(jīng)典耗散效應(yīng)和分子弛豫效應(yīng)引起的。

圖18 LM1021 機(jī)體附近過壓信號演化過程Fig.18 Evolution process of over-pressure signals near LM1021 body

圖19 C608 機(jī)體附近過壓信號演化過程Fig.19 Evolution process of over-pressure signals near C608 body

3.2 不同周向角下反演效果

周向角用以表示近場過壓信號位置相對于機(jī)體的位置，其示意圖如圖 20 所示。通常情況下，飛機(jī)在不同周向角下的近場過壓信號是不同的，且其向遠(yuǎn)場傳播的聲管路徑也不同。但值得注意的是，若飛機(jī)的外形為軸對稱的回轉(zhuǎn)體，則其不同周向角下的近場過壓信號相同。研究選取LM1021 與Axibody 兩個標(biāo)準(zhǔn)算例進(jìn)行研究。

圖20 周向角相對于機(jī)體位置Fig.20 Rolling angles relative to body position

圖21～圖 25 展示了LM1021 算例在不同周向角下逆向增廣Burgers 方程計算程序的反演結(jié)果。飛行高度、近場距離和飛行馬赫數(shù)與3.1 節(jié)中相同，選取的中場高度為Hm=16 400 m。

圖21 周向角0°下近場波形對比（LM1021）Fig.21 Comparison of near-field waveforms at rolling angle 0°（LM1021）

圖22 周向角10°下近場波形對比（LM1021）Fig.22 Comparison of near-field waveforms at rolling angle 10°（LM1021）

圖23 周向角20°下近場波形對比（LM1021）Fig.23 Comparison of near-field waveforms at rolling angle 20°（LM1021）

圖24 周向角30°下近場波形對比（LM1021）Fig.24 Comparison of near-field waveforms at rolling angle 30°（LM1021）

圖25 周向角50°下近場波形對比（LM1021）Fig.25 Comparison of near-field waveforms at rolling angle 50°（LM1021）

圖26 展示了Axibody 算例在不同周向角下逆向增廣Burgers 方程計算程序的反演結(jié)果。飛行高度、近場距離和飛行馬赫數(shù)與第2.1 節(jié)中相同，選取的中場高度為Hm=15 500 m。由于Axibody為回轉(zhuǎn)體外形，其不同周向角下的近場過壓信號相同，因此可以直接比較不同周向角方向反演過壓信號的不同。

圖26 不同周向角下近場波形對比（Axibody）Fig.26 Comparison of near-field waveforms at different rolling angles（Axibody）

由結(jié)果可以觀察到，逆向增廣Burgers 方程計算程序的反演準(zhǔn)確度隨著周向角的減小而有少量的提升，在周向角為0°時反演準(zhǔn)確度最高?？紤]到在低聲爆反設(shè)計過程中，往往更為關(guān)注低周向角下聲爆波形的傳播，因此認(rèn)為周向角對反演準(zhǔn)確度的影響并不會對反設(shè)計任務(wù)造成過大的影響。

4 基于中場目標(biāo)波形的優(yōu)化設(shè)計方法可行性

在低聲爆反設(shè)計方法中，通常先選取一個低噪聲的地面遠(yuǎn)場目標(biāo)波形，然后尋找到與其對應(yīng)的近場波形，再利用Abel 逆變換獲得對應(yīng)的等效面積分布，并以此來指導(dǎo)飛行器的外形優(yōu)化，其流程圖如圖 27 所示。由于前文提到的原因，逆向增廣Burgers 方程難以將地面聲壓波形準(zhǔn)確地反演至近場。因此，可以嘗試在中場設(shè)計目標(biāo)波形，以減輕反演過程帶來的誤差，其流程圖如圖 28 所示。本節(jié)對基于增廣Burgers 方程的中場目標(biāo)波形方法展開研究，驗(yàn)證中場目標(biāo)波形方法的可行性，并對聲爆信號中的高頻分量對優(yōu)化設(shè)計過程的影響進(jìn)行了探討。

圖27 基于地面目標(biāo)波形的設(shè)計方法Fig.27 Design method based on ground target waveform

圖28 基于中場目標(biāo)波形的設(shè)計方法Fig.28 Design method based on mid-field target waveform

基于Plotkin 等［33］的研究成果，將低聲爆地面目標(biāo)波形修改為一個類正弦波形，能夠有效地抑制聲波中的高頻分量的能量，從而降低人耳聽覺頻率范圍內(nèi)的噪聲分量。研究嘗試將這一結(jié)論用于中場目標(biāo)波形的設(shè)計，使用一個類正弦的中場波形作為目標(biāo)波形。選取LM1021 作為算例，飛行高度、近場與機(jī)體距離和飛行馬赫數(shù)的選取與3.1 節(jié)相同，選取中場高度為Hm=14 500 m。利用正向增廣Burgers 方程計算程序獲取LM1021 在中場高度的聲壓波形，在此基礎(chǔ)上設(shè)計了一個類正弦的目標(biāo)中場波形，如圖 29 所示。并將中場目標(biāo)波形使用逆向增廣Burgers 方程反演至近場，生成近場目標(biāo)波形。

圖29 中場目標(biāo)波形Fig.29 Mid-field target waveform

由于物理約束的限制，通常很難通過對飛行器外形的優(yōu)化設(shè)計，將對應(yīng)的近場過壓信號波形優(yōu)化至和近場目標(biāo)波形一致。通常情況下，近場過壓信號在峰值附近會出現(xiàn)不可避免的高頻振蕩。為研究這一特性對優(yōu)化過程的影響，研究在目標(biāo)近場信號的峰值附近添加了頻率約為100 Hz、200 Hz 和300 Hz 的振蕩信號，以及200 Hz下最大 振幅為1.8×10-3、2.7×10-3與3.6×10-3的振蕩信號。將合成后的新波形作為假想的優(yōu)化后近場波形，合成近場波形和目標(biāo)近場波形如圖 30 與圖 31 所示。

圖30 不同頻率的合成近場波形Fig.30 Synthetic near-field waveforms of different frequencies

圖31 不同幅值的合成近場波形Fig.31 Synthetic near-field waveforms of different amplitudes

將合成近場波形和目標(biāo)近場波形使用正向增廣Burgers 方程計算程序傳播至遠(yuǎn)場，其計算結(jié)果如圖 32～圖 34 所示。觀察計算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)中場目標(biāo)波形在傳遞至遠(yuǎn)場后，其形狀依然是一個類正弦波形，說明Plotkin 等［33］的研究結(jié)論也可用于中場目標(biāo)波形的設(shè)計。而合成近場波形經(jīng)過傳播，可以發(fā)現(xiàn)同頻率不同幅值的附加信號也并非按照相同的比例線性衰減，由于非線性效應(yīng)對波形的扭轉(zhuǎn)作用，大振蕩幅度的高頻分量會改變波形的整體形狀。此外，也能觀察到波形信號內(nèi)高頻分量的衰減幅度遠(yuǎn)大于低頻基波分量，由于經(jīng)典耗散效應(yīng)和分子弛豫效應(yīng)的存在，大氣對高頻聲波分量的吸收作用更為明顯，使得大氣具有類似低通濾波器的性質(zhì)［34］，而程序計算結(jié)果也與這一理論分析相吻合。

圖32 遠(yuǎn)場目標(biāo)波形Fig.32 Far-field target waveform

圖33 不同頻率的合成遠(yuǎn)場波形Fig.33 Synthetic far-field waveforms of different frequencies

圖34 不同幅值的合成遠(yuǎn)場波形Fig.34 Synthetic far-field waveforms of different amplitudes

合成近場波形傳播至遠(yuǎn)場后，其波形與目標(biāo)遠(yuǎn)場波形大致相同。這說明對優(yōu)化時近場波形中的高頻分量無需過度關(guān)注，只需約束近場波形中的低頻和中頻分量，并對高頻分量的幅值進(jìn)行一定的限制，使近場波形與目標(biāo)近場波形相似，便能較好地完成優(yōu)化任務(wù)。

5 結(jié)論

1）使用基于算子分裂法的逆向增廣Burgers 方程數(shù)值求解方法在一定反演距離范圍內(nèi)能夠取得較為準(zhǔn)確的結(jié)果，且對于時間方向的網(wǎng)格密度較為敏感。

2）不同中場高度的選取對于逆向增廣Burgers 方程的數(shù)值求解有較大影響，中場高度越高，反演距離越短，反演的準(zhǔn)確度越高。中場高度的選取對等效面積分布計算的影響較近場過壓信號計算的影響更小。

3）不同的周向角對于逆向增廣Burgers 方程的數(shù)值求解具有一定影響，在周向角較小時反演精度較高。

4）采用中場目標(biāo)波形代替地面目標(biāo)波形進(jìn)行低聲爆反設(shè)計工作，能減輕反演距離對反演計算過程的影響。

5）近場過壓信號中的高頻分量對地面噪聲具有一定的影響，應(yīng)在優(yōu)化設(shè)計過程中對高頻分量的幅值和頻率進(jìn)行一定的限制。