基于轉(zhuǎn)速-電壓坐標(biāo)平面的暫態(tài)電壓穩(wěn)定分析

李子恒，王 康，李 琦，李 立，辛煥海

（1. 國(guó)網(wǎng)陜西省電力有限公司，陜西西安 710048；2. 浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江杭州 310027）

0 引言

隨著我國(guó)電力系統(tǒng)的發(fā)展，電網(wǎng)高度互聯(lián)、電力遠(yuǎn)距離和大規(guī)模輸送已成為常態(tài)。同時(shí)，隨著電力系統(tǒng)規(guī)模及復(fù)雜程度的提高，電力系統(tǒng)的暫態(tài)電壓穩(wěn)定問(wèn)題也變得日益復(fù)雜［1-4］。明確暫態(tài)電壓穩(wěn)定問(wèn)題的出現(xiàn)機(jī)理、提出有效的暫態(tài)電壓穩(wěn)定問(wèn)題分析方法對(duì)于分析和提高系統(tǒng)暫態(tài)電壓穩(wěn)定性具有重要意義。

一般認(rèn)為暫態(tài)電壓穩(wěn)定問(wèn)題與系統(tǒng)受擾動(dòng)后負(fù)荷等元件的動(dòng)態(tài)特性有關(guān)，而以感應(yīng)電機(jī)為代表的動(dòng)態(tài)負(fù)荷是影響系統(tǒng)暫態(tài)電壓穩(wěn)定的關(guān)鍵因素［5-6］。眾多學(xué)者早已指出暫態(tài)電壓穩(wěn)定分析應(yīng)考慮電機(jī)的機(jī)電暫態(tài)過(guò)程［7-8］。文獻(xiàn)［9-10］指出了暫態(tài)電壓穩(wěn)定問(wèn)題與故障切除時(shí)間密切相關(guān)，提出了臨界切除時(shí)間的概念和用于時(shí)域仿真的暫態(tài)電壓穩(wěn)定判據(jù)。文獻(xiàn)［11-12］分析了故障切除時(shí)間對(duì)電壓穩(wěn)定性的影響，并提出了極限切除時(shí)間的計(jì)算方法。但極限切除時(shí)間無(wú)法反映暫態(tài)電壓失穩(wěn)的根本原因，且受到電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響。文獻(xiàn)［13］分析了電網(wǎng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)電壓穩(wěn)定的影響，文獻(xiàn)［14］分析了感應(yīng)電機(jī)負(fù)荷參數(shù)對(duì)暫態(tài)電壓穩(wěn)定的影響，但二者對(duì)于暫態(tài)電壓失穩(wěn)機(jī)理缺乏深入的分析。文獻(xiàn)［15］提出了利用負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的P-V曲線與感應(yīng)電機(jī)機(jī)械特性曲線進(jìn)行暫態(tài)電壓穩(wěn)定分析的方法。文獻(xiàn)［16］指出暫態(tài)電壓失穩(wěn)的穩(wěn)定邊界不位于暫態(tài)P-V曲線的頂點(diǎn)，并在P-V平面重新描述了穩(wěn)定邊界，但基于P-V平面的分析無(wú)法直觀反映感應(yīng)電機(jī)自身的動(dòng)態(tài)與電壓失穩(wěn)間的關(guān)系。文獻(xiàn)［17］將感應(yīng)電機(jī)類負(fù)荷以有功、無(wú)功功率作為激勵(lì)，以設(shè)備內(nèi)電勢(shì)幅值和相角作為響應(yīng)進(jìn)行建模，并從異步電動(dòng)機(jī)的幅相運(yùn)動(dòng)角度解釋電壓失穩(wěn)機(jī)理，為暫態(tài)電壓穩(wěn)定問(wèn)題提供了一種新的分析思路，但對(duì)于失穩(wěn)判據(jù)及系統(tǒng)的暫態(tài)電壓穩(wěn)定邊界缺乏詳細(xì)的分析。

為了更直觀地從感應(yīng)電機(jī)作為動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)元件的物理本質(zhì)著手分析此類負(fù)荷接入電網(wǎng)的電壓穩(wěn)定問(wèn)題，本文提出了基于轉(zhuǎn)速-電壓坐標(biāo)平面（ω-V平面）的暫態(tài)電壓穩(wěn)定性分析方法，描述了感應(yīng)電機(jī)負(fù)荷在ω-V平面上的穩(wěn)定邊界。通過(guò)分析ω-V平面上電機(jī)ω-V曲線與穩(wěn)定邊界的交點(diǎn)，即系統(tǒng)的平衡點(diǎn)來(lái)判斷系統(tǒng)是否具有電壓失穩(wěn)的可能。進(jìn)一步地，通過(guò)對(duì)比系統(tǒng)受到擾動(dòng)后感應(yīng)電機(jī)在ω-V平面上的運(yùn)行點(diǎn)與穩(wěn)定邊界間的關(guān)系，可直觀判斷系統(tǒng)是否會(huì)發(fā)生電壓失穩(wěn)。最后，本文利用單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)及兩區(qū)四機(jī)系統(tǒng)的仿真算例驗(yàn)證了所提穩(wěn)定分析方法的有效性。

1 感應(yīng)電機(jī)類動(dòng)態(tài)負(fù)荷模型

1.1 感應(yīng)電機(jī)的動(dòng)態(tài)模型

在dq坐標(biāo)系下，感應(yīng)電機(jī)電氣部分的動(dòng)態(tài)模型可表示為式（1）—（3）［18］。

式中：上標(biāo)“′”表示轉(zhuǎn)子側(cè)相關(guān)變量已折算至定子側(cè)；Vds、Vqs和V′dr、V′qr分別為定子和轉(zhuǎn)子d、q軸端電壓；ids、iqs和i′dr、i′qr分別為定子和轉(zhuǎn)子d、q軸電流；Rs、R′r分別為定子和轉(zhuǎn)子繞組電阻；pf為電機(jī)極對(duì)數(shù)；ω0為參考系角速度；ωr為電角速度；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；φds、φqs和φ′dr、φ′qr分別為定子和轉(zhuǎn)子d、q軸磁鏈，其表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)［18］。

感應(yīng)電機(jī)機(jī)械部分的動(dòng)態(tài)模型可表示為：

式中：J為感應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；β為感應(yīng)電機(jī)的角加速度；Tm為機(jī)械轉(zhuǎn)矩；F為摩擦系數(shù)；ωm為電機(jī)轉(zhuǎn)子的機(jī)械角速度。

1.2 感應(yīng)電機(jī)的穩(wěn)態(tài)模型

穩(wěn)態(tài)下感應(yīng)電機(jī)某相的T 形等效電路如附錄A圖A1 所示。式（5）—（8）描述了感應(yīng)電機(jī)的穩(wěn)態(tài)特性，轉(zhuǎn)子側(cè)各變量已折算到定子側(cè)［18］，其中電機(jī)等效電路定子側(cè)和轉(zhuǎn)子側(cè)的回路方程分別如式（5）和式（6）所示。

式中：Vms、V′mr分別為定子和轉(zhuǎn)子電壓；Is、I′r分別為定子和轉(zhuǎn)子電流；Xs、X′r和Rs、R′r分別為定子和轉(zhuǎn)子漏抗、電阻；Xm為勵(lì)磁電抗；S為轉(zhuǎn)差率。

對(duì)于一個(gè)三相感應(yīng)電機(jī)，其電磁轉(zhuǎn)矩具體如式（7）所示。

式中：I′r為轉(zhuǎn)子電流有效值。穩(wěn)態(tài)下感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子的機(jī)械角速度ωm如式（8）所示。

式中：f為定子所施加電源的頻率。

2 系統(tǒng)的功率特性及電機(jī)加速特性

由于感應(yīng)電機(jī)類負(fù)荷機(jī)械動(dòng)態(tài)與電磁動(dòng)態(tài)相比，往往具有更慢的動(dòng)態(tài)特性，且本文更關(guān)注感應(yīng)電機(jī)類負(fù)荷自身動(dòng)態(tài)特性對(duì)電壓的影響，所以為簡(jiǎn)化分析，在分析含感應(yīng)電機(jī)類負(fù)荷系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定邊界及電機(jī)自身的加減速特性時(shí)，采用感應(yīng)電機(jī)的穩(wěn)態(tài)模型，而在算例驗(yàn)證時(shí)采用感應(yīng)電機(jī)的詳細(xì)模型。下文算例將驗(yàn)證簡(jiǎn)化分析后結(jié)論的有效性。

2.1 感應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)矩差曲面及其加減速特性

由式（7）和式（8）可得，感應(yīng)電機(jī)所能提供的電磁轉(zhuǎn)矩如式（9）所示。

式中：ωs為定子角頻率。

假設(shè)感應(yīng)電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩由兩部分組成：一部分和電機(jī)轉(zhuǎn)速的平方成正比；另一部分為恒定轉(zhuǎn)矩。則電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩可以表示為式（10）。值得注意的是，機(jī)械轉(zhuǎn)矩具體表達(dá)式并不影響本文所提方法的適用性。

式中：Tconst為恒定轉(zhuǎn)矩的負(fù)載轉(zhuǎn)矩；α為恒定轉(zhuǎn)矩負(fù)載所占比例；K為與電機(jī)轉(zhuǎn)速的平方成正比的負(fù)載轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速的平方的比例系數(shù)。

由式（4）可知，感應(yīng)電機(jī)的角加速度β可以表示為式（11）。

記Te-Tm=ΔT，因?yàn)閷?duì)于某電機(jī)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量通常為正且恒定，因此當(dāng)ΔT大于0 時(shí)，電機(jī)將加速轉(zhuǎn)動(dòng)，反之電機(jī)將減速轉(zhuǎn)動(dòng)。

電機(jī)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)，由附錄A 圖A1 可知，其阻抗可由轉(zhuǎn)速確定。當(dāng)端電壓確定后即可計(jì)算得到電機(jī)的功率、轉(zhuǎn)矩、電流等其他物理量。因此可將電機(jī)端電壓V和電機(jī)的轉(zhuǎn)速ω看作是引起電機(jī)轉(zhuǎn)矩、電流等變化的自變量。分別以ω和V作為坐標(biāo)系的x軸和y軸，將電機(jī)轉(zhuǎn)矩差ΔT作為z軸，即可得到體現(xiàn)電機(jī)加減速特性的V-ω-ΔT空間轉(zhuǎn)矩差曲面。以附錄A 表A1 所示的電機(jī)參數(shù)為例，其轉(zhuǎn)矩差曲面如附錄A 圖A2 所示，圖中平面表示ΔT=0。若無(wú)特殊說(shuō)明，后文圖中數(shù)值均為標(biāo)幺值。

2.2 系統(tǒng)中感應(yīng)電機(jī)的功率特性曲線

由于本文重點(diǎn)關(guān)注暫態(tài)過(guò)程中感應(yīng)電機(jī)自身動(dòng)態(tài)特性對(duì)電壓穩(wěn)定的影響，因此，不失一般性地對(duì)外部系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化［16-17］，將感應(yīng)電機(jī)所接入的電網(wǎng)采用戴維南等效電路進(jìn)行等值。當(dāng)感應(yīng)電機(jī)接入系統(tǒng)后，電機(jī)的端電壓可表示為關(guān)于電源電壓及各參數(shù)的函數(shù)。對(duì)于附錄A 圖A3所示的單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)，感應(yīng)電機(jī)端電壓Vm可表示為式（12）。

式中：Vs為電源內(nèi)電勢(shì)；Zs為電源內(nèi)阻抗；Zline為電機(jī)負(fù)荷對(duì)應(yīng)線路阻抗；ZT為降壓變壓器阻抗；Zload為負(fù)荷端其他等效負(fù)荷阻抗（包括其對(duì)應(yīng)配電線路阻抗）；Zmotor(ω)為由電機(jī)轉(zhuǎn)速ω決定的電機(jī)阻抗。

對(duì)于一個(gè)確定的等效系統(tǒng)，當(dāng)Zmotor(ω)確定后，穩(wěn)態(tài)下的機(jī)端電壓即可由系統(tǒng)其他參數(shù)確定。而Zmotor(ω)由電機(jī)轉(zhuǎn)速ω確定，因此得到系統(tǒng)中電機(jī)的有功功率P為附錄A 圖A4 所示的ω-V-P空間上的1條曲線。該曲線描述了在一個(gè)給定系統(tǒng)中，電機(jī)穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)隨電機(jī)轉(zhuǎn)速ω在ω-V-P空間上的移動(dòng)軌跡。接入該系統(tǒng)的電機(jī)的所有穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)均位于該曲線上。

3 ω-V平面上的穩(wěn)定邊界

由于系統(tǒng)中感應(yīng)電機(jī)的功率與加減速狀態(tài)均可由電機(jī)轉(zhuǎn)速ω與機(jī)端電壓V共同確定。為了更清晰地分析電機(jī)的工作狀態(tài)及其與電壓穩(wěn)定間的關(guān)系，建立ω-V平面，并將電機(jī)的功率曲線、轉(zhuǎn)矩差曲面投影到該平面進(jìn)行分析，如圖1 所示。為便于展示，轉(zhuǎn)矩差ΔT曲面以等高線形式呈現(xiàn)。

圖1 電轉(zhuǎn)矩差曲面及電機(jī)功率曲線在ω-V平面上的投影Fig.1 Projections of torque difference surface and motor power curve on ω-V coordinate plane

3.1 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)

結(jié)合式（11）可知，圖1中表示ΔT=0的等高線即為電機(jī)加速、減速的分界線。為便于表述，先將此曲線定義為ω-V平面的穩(wěn)定邊界，下文將詳細(xì)說(shuō)明該穩(wěn)定邊界與電壓失穩(wěn)間的關(guān)系。

由上文分析可知，圖1 中電機(jī)的ω-V曲線（曲線1、2）表示該電機(jī)接入系統(tǒng)后在電路約束下所有可能出現(xiàn)的穩(wěn)定工作狀態(tài)。因此，若電機(jī)的ω-V曲線與該穩(wěn)定邊界存在交點(diǎn)，則表明此時(shí)的電機(jī)既滿足由電路約束的穩(wěn)定工作條件，又沒(méi)有進(jìn)行加減速運(yùn)動(dòng)，即電機(jī)處于平衡狀態(tài)。該交點(diǎn)即為感應(yīng)電機(jī)在該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。

由圖1 可知，若電機(jī)的ω-V曲線為曲線1，則其與穩(wěn)定邊界相交于點(diǎn)A，當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速低于點(diǎn)A的轉(zhuǎn)速時(shí)，ω-V曲線位于加速區(qū)，電機(jī)工作點(diǎn)將向點(diǎn)A移動(dòng)；而當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速高于點(diǎn)A的轉(zhuǎn)速時(shí)，ω-V曲線位于減速區(qū)，電機(jī)工作點(diǎn)也將向點(diǎn)A移動(dòng)。這意味著點(diǎn)A為該系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)。若電機(jī)的ω-V曲線為曲線2，則其與穩(wěn)定邊界交于A′、B′與C′這3 點(diǎn)。類似上文對(duì)點(diǎn)A的分析可知，點(diǎn)A′、C′和點(diǎn)A類似，也是系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)。而當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)位于點(diǎn)B′時(shí)，如果系統(tǒng)受到擾動(dòng)，電機(jī)的轉(zhuǎn)速低于點(diǎn)B′的轉(zhuǎn)速，電機(jī)將進(jìn)入減速區(qū)，最終沿ω-V曲線運(yùn)動(dòng)到達(dá)平衡點(diǎn)C′；而如果電機(jī)受到擾動(dòng)，電機(jī)的轉(zhuǎn)速高于點(diǎn)B′的轉(zhuǎn)速，則電機(jī)將進(jìn)入加速區(qū)，電機(jī)的工作點(diǎn)將沿ω-V曲線移動(dòng)到平衡點(diǎn)A′。因此，點(diǎn)B′為系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

3.2 系統(tǒng)穩(wěn)定邊界與電壓失穩(wěn)的機(jī)理

利用上述ω-V平面上電機(jī)轉(zhuǎn)矩差曲面和電機(jī)功率曲線的投影及系統(tǒng)穩(wěn)定邊界可以方便地說(shuō)明系統(tǒng)的電壓失穩(wěn)機(jī)理。不同故障切除時(shí)刻對(duì)電壓穩(wěn)定的影響情況如圖2所示。

圖2 不同故障切除時(shí)刻對(duì)電壓穩(wěn)定的影響Fig.2 Effects of different fault cleaning times on voltage stability

假設(shè)電網(wǎng)正常工作時(shí)，電機(jī)的ω-V曲線為圖2中的曲線2，電網(wǎng)短路后，電機(jī)的ω-V曲線變?yōu)榍€3。短路瞬間，若忽略電磁暫態(tài)過(guò)程，由于電機(jī)轉(zhuǎn)速不能突變，電機(jī)工作點(diǎn)由曲線2 上的點(diǎn)A變?yōu)榍€3 上的點(diǎn)A′，由于點(diǎn)A′位于減速區(qū)，因此電機(jī)工作點(diǎn)將沿著曲線3 向左移動(dòng)，直到故障切除時(shí)，電機(jī)工作點(diǎn)由曲線3轉(zhuǎn)移至曲線2。

若故障在點(diǎn)D′被清除，則電機(jī)狀態(tài)跳變到點(diǎn)D。由于點(diǎn)D位于電機(jī)的加速區(qū)，在正的轉(zhuǎn)矩差下，電機(jī)將加速，并沿曲線2 向點(diǎn)A移動(dòng)，最終到達(dá)原來(lái)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)A，即此時(shí)系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)電壓失穩(wěn)。若故障在點(diǎn)E′被清除，則電機(jī)工作點(diǎn)轉(zhuǎn)移到點(diǎn)E。由于點(diǎn)E位于電機(jī)的減速區(qū)，因此電機(jī)工作點(diǎn)將沿曲線2向點(diǎn)C移動(dòng)，最終達(dá)到穩(wěn)定平衡點(diǎn)C。但此時(shí)系統(tǒng)到達(dá)的平衡點(diǎn)已經(jīng)偏離原來(lái)的系統(tǒng)平衡點(diǎn)，電壓維持在點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的0.5 p.u.附近，即電壓跌落后不能恢復(fù)至正常值，系統(tǒng)出現(xiàn)了電壓失穩(wěn)的問(wèn)題。

假設(shè)短路前電機(jī)的ω-V曲線為圖2 中的曲線1，由于ω-V曲線與穩(wěn)定邊界僅有1個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)，即額定工作點(diǎn)，則不論短路故障何時(shí)切除，電機(jī)都將回到加速區(qū)，系統(tǒng)電壓都將恢復(fù)到額定值，因此不會(huì)出現(xiàn)電壓失穩(wěn)的問(wèn)題。

綜上，當(dāng)感應(yīng)電機(jī)ω-V曲線與穩(wěn)定邊界僅有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，電機(jī)自身動(dòng)態(tài)不會(huì)引起系統(tǒng)的暫態(tài)電壓失穩(wěn)；當(dāng)電機(jī)ω-V曲線與穩(wěn)定邊界有多個(gè)交點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)在受到大擾動(dòng)后可能會(huì)出現(xiàn)電壓穩(wěn)定問(wèn)題。而電壓是否會(huì)失穩(wěn)與故障切除后電機(jī)工作點(diǎn)與穩(wěn)定邊界的位置關(guān)系有關(guān)：若故障切除后電機(jī)工作點(diǎn)位于穩(wěn)定邊界下方的減速區(qū)域，且位于不穩(wěn)定平衡點(diǎn)左側(cè)，則感應(yīng)電機(jī)將減速運(yùn)行，無(wú)法自行恢復(fù)到正常工作點(diǎn)，系統(tǒng)電壓也因此無(wú)法恢復(fù)至正常值，感應(yīng)電機(jī)的動(dòng)態(tài)將引起系統(tǒng)的暫態(tài)電壓失穩(wěn)。

4 算例分析

4.1 暫態(tài)電壓失穩(wěn)的電壓波形

為驗(yàn)證本文提出的ω-V平面中的穩(wěn)定邊界理論的有效性，算例1 基于MATLAB／Simulink 仿真平臺(tái)對(duì)附錄A 圖A3 所示的單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定問(wèn)題進(jìn)行了分析。單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)參數(shù)如附錄A 表A2所示。

系統(tǒng)受到的擾動(dòng)為在負(fù)荷母線施加三相接地短路故障，經(jīng)過(guò)故障切除時(shí)間Tcl后，短路故障切除。為便于說(shuō)明不同故障切除時(shí)間對(duì)電機(jī)動(dòng)態(tài)及電壓穩(wěn)定性的影響，未采用實(shí)際保護(hù)設(shè)備動(dòng)作時(shí)間，下文算例2 類似。該系統(tǒng)受大擾動(dòng)后的電壓波形如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)受擾動(dòng)后的電壓波形Fig.3 Voltage waveforms of system after disturbance

系統(tǒng)受到擾動(dòng)前，負(fù)荷母線電壓為0.994 p.u.。由圖3（a）可知，故障切除后，負(fù)荷母線電壓在2.5 s時(shí)恢復(fù)到正常值0.994 p.u.；由圖3（b）可知，故障切除后，負(fù)荷母線電壓長(zhǎng)期處于較低水平，無(wú)法恢復(fù)至正常值。

4.2 暫態(tài)電壓失穩(wěn)的ω-V平面穩(wěn)定分析

根據(jù)ω-V曲線和ΔT曲面的定義，可繪制該系統(tǒng)在故障前以及故障時(shí)的ω-V曲線和電機(jī)的ΔT曲面等高線，如圖4 所示。圖中，ΔT=0 的等高線即為穩(wěn)定邊界，故障前電機(jī)的ω-V曲線與穩(wěn)定邊界相交于A、B、C這3 點(diǎn)，其中點(diǎn)A為穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)。ω-V曲線的BC段位于穩(wěn)定邊界之下，即電機(jī)的減速區(qū)。按照電壓失穩(wěn)的機(jī)理分析，若故障切除后，電機(jī)的工作點(diǎn)跳回到ω-V曲線的AB段，如圖中所示的點(diǎn)D，則系統(tǒng)工作點(diǎn)將向點(diǎn)A移動(dòng)，最終穩(wěn)定在原始平衡點(diǎn)A，系統(tǒng)不會(huì)發(fā)生電壓失穩(wěn)；而若故障切除后，電機(jī)的工作點(diǎn)跳回到ω-V曲線的BC段，如圖中所示的點(diǎn)E，則系統(tǒng)工作點(diǎn)將向點(diǎn)C移動(dòng)，最終穩(wěn)定在新的平衡點(diǎn)C，系統(tǒng)將發(fā)生電壓失穩(wěn)。

圖4 系統(tǒng)的ω-V曲線與穩(wěn)定邊界Fig.4 ω-V curve and stability boundary of system

分別將故障切除時(shí)間Tcl=0.2 s 和Tcl=0.3 s 時(shí)，電機(jī)的實(shí)際ω-V軌跡繪制在ω-V平面，如圖5 所示。圖中，軌跡1 為T(mén)cl=0.3 s 時(shí)的電機(jī)ω-V軌跡，由于故障切除后，電機(jī)的工作點(diǎn)E位于穩(wěn)定邊界下方，即減速區(qū)，因此電機(jī)工作點(diǎn)沿BC方向移動(dòng)，最終穩(wěn)定在點(diǎn)C，電壓無(wú)法恢復(fù)。而軌跡2為T(mén)cl=0.2 s時(shí)的電機(jī)ω-V軌跡，由于故障切除后，電機(jī)的工作點(diǎn)D位于穩(wěn)定邊界之上，即加速區(qū)，因此電機(jī)工作點(diǎn)沿BA方向移動(dòng)，最終回到故障前的工作點(diǎn)A。由此可以看出仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果一致。

圖5 電機(jī)的實(shí)際ω-V軌跡Fig.5 Actual ω-V trajectory of motor

4.3 ω-V曲線的誤差分析

觀察實(shí)際的ω-V軌跡可發(fā)現(xiàn)，在電壓變化率較大的區(qū)域，軌跡并非完全沿著ω-V曲線移動(dòng)。這是由于在繪制電機(jī)的ω-V曲線時(shí)，忽略了電機(jī)的暫態(tài)過(guò)程。若暫態(tài)過(guò)程相對(duì)于電機(jī)的慣性時(shí)間常數(shù)不夠小時(shí)，在電壓變化的過(guò)程中，轉(zhuǎn)速的變化不能忽略，實(shí)際的ω-V軌跡就會(huì)偏離理論分析時(shí)的ω-V曲線，這種誤差在電壓變化率較大的區(qū)域會(huì)更加明顯。

附錄A 圖A5 為電氣參數(shù)相同、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同的電機(jī)在暫態(tài)過(guò)程的ω-V軌跡。在故障開(kāi)始階段，小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的電機(jī)轉(zhuǎn)速下降較快，而電壓受儲(chǔ)能元件影響緩慢下降，因此實(shí)際工作點(diǎn)并非跳變；大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的電機(jī)轉(zhuǎn)速下降較慢，在電機(jī)母線電壓完成變化的過(guò)程中轉(zhuǎn)速幾乎不變，因此該電機(jī)的實(shí)際的ω-V軌跡更貼近理想ω-V曲線。

在進(jìn)行電壓穩(wěn)定性判斷時(shí)，由于電壓是否會(huì)失穩(wěn)僅由故障切除后的電機(jī)工作點(diǎn)決定，因此上述暫態(tài)過(guò)程引起的誤差對(duì)穩(wěn)定性的判別影響很小。

圖6為臨界狀態(tài)下故障切除后的暫態(tài)ω-V軌跡，其中圖6（a）表示系統(tǒng)臨界不穩(wěn)定，圖6（b）表示系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。受暫態(tài)過(guò)程影響，電機(jī)的工作點(diǎn)在穩(wěn)定邊界附近發(fā)生了多次振蕩。圖6（a）中振蕩平息后的工作點(diǎn)位于穩(wěn)定邊界下方，因此電壓無(wú)法自行恢復(fù)，系統(tǒng)出現(xiàn)電壓失穩(wěn)；圖6（b）中振蕩平息后的工作點(diǎn)位于穩(wěn)定邊界上方，因此電壓會(huì)逐漸恢復(fù)，系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)電壓失穩(wěn)。

圖6 故障切除后的暫態(tài)ω-V軌跡Fig.6 Transient ω-V trajectory of motor after fault is cleared

根據(jù)兩臨界狀態(tài)與穩(wěn)定邊界間的關(guān)系可知，本文所提穩(wěn)定邊界可準(zhǔn)確判斷系統(tǒng)是否會(huì)出現(xiàn)電壓失穩(wěn)。

4.4 兩區(qū)四機(jī)系統(tǒng)算例

算例2 考慮圖7 所示的兩區(qū)四機(jī)系統(tǒng)。感應(yīng)電機(jī)負(fù)荷經(jīng)變壓器T6、線路L13-14、變壓器T5接于母線7。相關(guān)設(shè)備參數(shù)如附錄A 表A3 所示。系統(tǒng)其余參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)［18］。仿真仍基于MATLAB／Simulink 仿真平臺(tái)實(shí)現(xiàn)。

圖7 兩區(qū)四機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.7 Structure of two-area four-machine system

系統(tǒng)受到的擾動(dòng)為1 s 時(shí)在母線15 處施加三相接地短路故障，經(jīng)過(guò)時(shí)間Tcl后，短路故障切除。此電機(jī)在該系統(tǒng)中的穩(wěn)定邊界及不同故障切除時(shí)間下電機(jī)的ω-V軌跡如圖8 所示，對(duì)應(yīng)的母線15 的電壓曲線如圖9所示。

圖8 不同故障切除時(shí)間下電機(jī)的ω-V軌跡Fig.8 ω-V trajectory of motor under different fault cleaning times

圖9 系統(tǒng)受擾動(dòng)后的電壓波形Fig.9 Voltage curves after disturbance of system

圖8 中的穩(wěn)定邊界（ΔT=0 對(duì)應(yīng)的等高線）與故障前電機(jī)的ω-V曲線存在2 個(gè)交點(diǎn)，分別為1 個(gè)正常工作點(diǎn)與1 個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。因此該系統(tǒng)存在暫態(tài)電壓失穩(wěn)的可能。

對(duì)比圖8 中穩(wěn)定邊界與不同故障切除時(shí)間對(duì)應(yīng)的軌跡可知，軌跡1（Tcl=0.16 s）由于故障切除后，電機(jī)運(yùn)行點(diǎn)位于穩(wěn)定邊界下方，因此故障切除后電機(jī)繼續(xù)減速，系統(tǒng)電壓無(wú)法恢復(fù)至正常范圍；而由軌跡2（Tcl=0.14 s）可知，由于故障切除后，電機(jī)運(yùn)行點(diǎn)位于穩(wěn)定邊界上方，因此故障切除后電機(jī)加速直至恢復(fù)到正常工作狀態(tài)，系統(tǒng)電壓也隨之恢復(fù)正常。

對(duì)比軌跡1、2 與穩(wěn)定邊界間的關(guān)系可以看出，本文所提穩(wěn)定邊界可有效判斷系統(tǒng)是否會(huì)出現(xiàn)暫態(tài)電壓失穩(wěn)。仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果一致。

由圖9 所示的電壓時(shí)域仿真曲線同樣可看出，擾動(dòng)前，母線電壓為0.967 p.u.。由圖9（a）可知，故障切除后，負(fù)荷母線電壓在2.5 s 時(shí)恢復(fù)到正常值0.967 p.u.；由圖9（b）可知，故障切除后，負(fù)荷母線電壓長(zhǎng)期處于較低水平，無(wú)法恢復(fù)至正常值。

值得注意的是，本文算例分析中的電機(jī)可以是實(shí)際接入系統(tǒng)的某一臺(tái)具體電機(jī)，也可以是系統(tǒng)中某一區(qū)域具有相似動(dòng)態(tài)特性的一些電機(jī)的等效電機(jī)負(fù)荷。當(dāng)分析對(duì)象為某區(qū)域的等效電機(jī)負(fù)荷時(shí)，其分析結(jié)果即可表征大規(guī)模系統(tǒng)中某區(qū)域系統(tǒng)的暫態(tài)電壓穩(wěn)定性。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于ω-V平面的暫態(tài)電壓穩(wěn)定問(wèn)題的分析方法，分析了感應(yīng)電機(jī)類動(dòng)態(tài)負(fù)荷引起暫態(tài)電壓失穩(wěn)的機(jī)理，提出了ω-V平面的暫態(tài)電壓穩(wěn)定邊界。

通過(guò)分析ω-V平面上電機(jī)ω-V曲線與穩(wěn)定邊界的交點(diǎn)，即系統(tǒng)平衡點(diǎn)，可以判斷系統(tǒng)是否具有電壓失穩(wěn)的可能。進(jìn)一步地，通過(guò)對(duì)比實(shí)際電機(jī)運(yùn)行點(diǎn)與穩(wěn)定邊界間的關(guān)系，還可直觀地判斷感應(yīng)電機(jī)的加減速狀態(tài)和系統(tǒng)是否會(huì)發(fā)生電壓失穩(wěn)。本文所提的穩(wěn)定邊界可用于判斷系統(tǒng)是否會(huì)出現(xiàn)由感應(yīng)電機(jī)引起的暫態(tài)電壓失穩(wěn)，這對(duì)于充分認(rèn)識(shí)該類電壓失穩(wěn)問(wèn)題增加了一個(gè)新的視角。基于單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)及兩區(qū)四機(jī)系統(tǒng)的仿真結(jié)果與理論分析驗(yàn)證了本文方法的有效性。

未來(lái)筆者將進(jìn)一步研究其他電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)元件接入系統(tǒng)后的暫態(tài)電壓穩(wěn)定問(wèn)題。

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