飽和輸入下四旋翼無人機滑模軌跡跟蹤控制

鄭 瀟，文 穎，丁佳雨，仇 翔

(浙江工業(yè)大學 信息工程學院，杭州 310023)

0 引言

四旋翼無人機以其小巧靈活、可無人自主飛行的特點，被廣泛應用于各種行業(yè)工作中，例如空中監(jiān)測、遙感處理、無線通信等[1-3]。其呈現(xiàn)出非線性、強耦合、欠驅動的特性，然而由于存在參數(shù)不確定、外部風力等因素造成的擾動問題以及電機轉速限制造成的輸入飽和問題，開展四旋翼無人機抗干擾軌跡跟蹤控制受到廣泛的關注，成為多方學者研究的熱點。

國內(nèi)外對于研究四旋翼無人機抗干擾控制問題已有許多研究，文獻[4-5]分別研究了存在外部風擾下的自適應終端滑?？刂坪途哂袪顟B(tài)相關增益的軌跡跟蹤控制，文獻[6-7]在參數(shù)不確定因素影響下均提出一種自適應軌跡跟蹤策略，較好地提高了四旋翼無人機的抗干擾能力，但是上述的文獻都僅從干擾角度對四旋翼系統(tǒng)進行研究，缺乏對其輸入飽和問題的考慮。

近年來，針對四旋翼無人機輸入飽和問題也已開展了一些研究，文獻[8]采用了帶Nussbaum函數(shù)的反步方法設計一個先驗有界轉動子系統(tǒng)，實現(xiàn)四旋翼在輸入飽和狀態(tài)下的軌跡跟蹤，文獻[9]將四旋翼模型解耦并構造為級聯(lián)結構，解決其輸入約束下的控制問題，但是這些方法都依賴于高精度的模型構造，在模型參數(shù)無法準確獲取時都是非常保守的，文獻[10-11]均提出一種結合輔助輸入飽和補償?shù)挠邢迺r間收斂反推控制器，文獻[12]考慮了在輸入飽和、風力擾動下四旋翼無人機有限時間軌跡跟蹤控制，但是卻缺少對參數(shù)不確定性等方面的綜合考慮。

滑模變結構控制以其魯棒性好、可靠性高的特點被廣泛應用于運動控制中，文獻[13]提出了一種基于終端滑模的四旋翼飛行器非線性軌跡跟蹤控制方法，將四旋翼模型分成3個子系統(tǒng)進行研究，借助終端滑模實現(xiàn)有限時間狀態(tài)誤差收斂，文獻[14]提出一種反推魯棒滑?？刂品椒?，但是卻如同大多數(shù)一階滑?？刂品椒ㄒ粯右肓瞬豢上亩秳樱瑸橄浑A系統(tǒng)帶來的抖動，文獻[15-16]進行了對高階滑?？刂破鞯难芯浚诒３拄敯粜缘耐瑫r抑制顫振，但是由于高階滑模控制方法復雜度高，對高階微分器有著更高的性能要求。隨著硬件的發(fā)展，四旋翼無人機的控制方法有了更進一步的提升，文獻[17]提出了一種非線性連續(xù)終端滑動流形和一個快速到達定律并進行了環(huán)處理器(PIL)實驗，大幅提升了跟蹤性能，文獻[18]提出的基于USDE設計的滑模控制器具有精確靜態(tài)跟蹤性能的快速動態(tài)響應，但這些方法多依賴于高性能的硬件基礎。

現(xiàn)代控制學中，為提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，往往會采用增加擾動觀測器的方法，文獻[19]提出了一種基于擾動觀測器的機械臂自適應反演滑?？刂?，利用非線性擾動觀測器進行補償，文獻[20]建立了一個自適應觀測器來估計角速度和集中干擾，有效實現(xiàn)了無角速度和柔性模態(tài)變量測量的柔性被控對象受外擾動的姿態(tài)穩(wěn)定控制。

綜合現(xiàn)有成果，針對一類六自由度非線性不確定四旋翼無人機系統(tǒng)，考慮輸入飽和、參數(shù)不確定、外部風力擾動問題，提出一種改進的抗干擾自適應魯棒滑?？刂撇呗浴１疚牡闹饕ぷ靼?1)基于四旋翼無人機六自由度架構，設計簡化的系統(tǒng)模型，將已知信號納入回歸矩陣，將未知參數(shù)納入?yún)?shù)矩陣，提高問題分析的便捷性；2)設計帶有誤差信號的飽和補償控制律，大幅度降低由于輸入飽和問題帶來的抖振；3)考慮參數(shù)不確定和外部風力擾動問題，設計魯棒控制項，減小內(nèi)外部擾動對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。最后采用Matlab/Simulink仿真平臺與傳統(tǒng)PD控制算法進行仿真比較，驗證本文控制策略的有效性和優(yōu)越性。

1 問題描述

1.1 參考坐標系

如圖1所示，四旋翼無人機的數(shù)學模型是在地球固定坐標系上建立的，地球固定坐標系在本文的意義中又可特指慣性坐標系，與此同時，又存在機體坐標系。慣性坐標系的原點Oe位于地面的某一點處，其x軸正方向為地理意義上的東方，其y軸正方向為地理意義上的北方，其z軸正方向滿足右手定則，表示地理意義上垂直于水平面向上。四旋翼無人機的機體坐標系固定在四旋翼無人機的機體上，其原點O位于四旋翼無人機的質心處，其x軸位于旋翼2和旋翼4所連接的直線上，且指向旋翼4，其y軸位于旋翼1和旋翼3所連接的直線上，且指向旋翼1，其z軸與x軸、y軸滿足右手定則，垂直于四旋翼無人機機體向下。

圖1 四旋翼無人機框架

1.2 飛行原理

四旋翼無人機不同于傳統(tǒng)的固定翼無人機，四旋翼無人機在飛行的過程中需要通過搭配4個旋翼的轉速來實現(xiàn)各種飛行目標，往往控制處于對角方向的兩個旋翼保持相同方向的轉矩，在實驗中，取旋翼1和旋翼3兩個旋翼的旋轉方向為順時針方向，取旋翼2和旋翼4兩個旋翼的旋轉方向為逆時針方向。四旋翼無人機最基本的飛行目標動作為垂直方向飛行、滾轉飛行、俯仰飛行、偏航飛行。

垂直飛行中，四旋翼無人機沿地球固定坐標系中的z軸方向運動，當旋翼1和旋翼3朝順時針方向運動而旋翼2和旋翼4朝逆時針方向運動且4個旋翼的轉速相同時，將產(chǎn)生一個相對于機體的反扭矩，進而產(chǎn)生一個豎直向上升力，當4個旋翼的轉速等幅度增加時，相應的升力大小也隨之線性增大。當升力大小超過四旋翼無人機機體重力大小時，四旋翼無人機將豎直上升；當升力大小小于四旋翼無人機機體重力大小時，四旋翼無人機將豎直下降；當升力大小等于四旋翼無人機機體重力大小時，四旋翼無人機將處于懸停狀態(tài)，而懸停狀態(tài)又可以分為自穩(wěn)狀態(tài)和定高狀態(tài)，根據(jù)四旋翼無人機飛行高度與所需要的飛行目標不同而改變。

滾轉飛行中，四旋翼無人機會繞著機體坐標系x軸旋轉而做角運動。假設四旋翼無人機進行右方向的滾轉運動，通過降低旋翼3的電機轉速、增加旋翼1的電機轉速，從而實現(xiàn)滾轉角的變化，但與此同時，不能改變四旋翼無人機的總升力和總反扭轉矩，就需要將旋翼3的電機轉矩減少量和旋翼1的電機轉矩增加量保持一致，進而使得四旋翼無人機在進行滾轉運動的過程中，讓升力僅僅只產(chǎn)生一個在y軸方向上的分量，從而產(chǎn)生在橫向方向上的左右運動。

俯仰飛行中，四旋翼無人機會繞著機體坐標系y軸旋轉而做角運動。假設四旋翼無人機進行前方向的俯仰運動，通過降低旋翼2的電機轉速、增加旋翼4的電機轉速，從而實現(xiàn)俯仰角的變化，但與此同時，不能改變四旋翼無人機的總升力和總反扭轉矩，就需要將旋翼2的電機轉矩減少量和旋翼4的電機轉矩增加量保持一致，進而使得四旋翼無人機在進行俯仰運動的過程中，讓升力僅僅只產(chǎn)生一個在x軸方向上的分量，從而產(chǎn)生在縱向方向上的前后運動。

偏航飛行中，四旋翼無人機會繞著機體坐標系z軸旋轉而做角運動。假設四旋翼無人機進行右前方向的偏航運動，通過降低旋翼3和旋翼1的電機轉速、增加旋翼2和旋翼4的電機轉速，從而實現(xiàn)偏航角的變化，但與此同時，不能改變四旋翼無人機的總升力和總反扭轉矩，就需要將旋翼3與旋翼1的電機轉矩減少量和旋翼2與旋翼4的電機轉矩增加量保持一致，進而使得四旋翼無人機在進行偏航運動的過程中，讓升力僅僅只產(chǎn)生一個僅讓四旋翼無人機偏航角度改變的分量。

1.3 欠驅動系統(tǒng)

四旋翼無人機存在6個自由度，分別為x方向位置自由度、y軸方向位置自由度、z軸方向位置自由度、Φ滾轉角姿態(tài)自由度、θ俯仰角姿態(tài)自由度、Ψ偏航角姿態(tài)自由度，而四旋翼無人機通過每個翼臂上的電機轉矩形成對四旋翼無人機系統(tǒng)的控制輸入，由于每個旋翼的翼臂上通常只有一個電機，即各個旋翼的電機轉矩輸入，因此只有4個控制輸入，這種六自由度四輸入的系統(tǒng)構成一個欠驅動的四旋翼無人機系統(tǒng)。在欠驅動的四旋翼無人機系統(tǒng)中，往往會出現(xiàn)多個自由度由一個控制輸入進行控制或者多個自由度由多個控制輸入耦合控制的情況，這些情況都會降低控制方法的控制精度，進而會影響四旋翼無人機飛行狀態(tài)下的穩(wěn)定性，抖振問題往往也由此產(chǎn)生，因此需要尋找或設計控制精度更加高的、能夠降低顫振問題對四旋翼無人機系統(tǒng)影響的控制方法。

本文當中的四旋翼無人機控制系統(tǒng)中對部分自由度采用了一個控制輸入控制一個自由度的方式，另一部分自由度采用了一個控制輸入控制多個自由度的方式。針對一個控制輸入控制了多個自由度的方式，在設計控制器的過程中要采用控制輸入的分量形式，往往這種措施會增加控制器的復雜度，因此可以采用設置虛擬控制量的方式，將單一的控制輸入拆分成3個虛擬的控制量，每一個虛擬控制量都由該控制量的某一分量或多個分量耦合構成，從而大幅降低控制器設計的難度。本文將Φ滾轉角、θ俯仰角、Ψ偏航角分別由UΦ、Uθ、UΨ電機控制輸入加以控制，針對x方向位置自由度、y軸方向位置自由度、z軸方向位置自由度由UT電機控制輸入加以控制，在設計控制器的過程中將UT電機控制輸入拆分成ux、uy、uz虛擬控制量，詳細關系式可見下文描述，3個虛擬控制量分別控制x方向位置自由度、y軸方向位置自由度、z軸方向位置自由度，從而在一定程度上也形成了一個控制輸入控制一個自由度的控制方式，大大簡化了所研究系統(tǒng)的復雜度，從而提升了控制器設計的便捷性。

1.4 數(shù)學模型

本文選取地球固定慣性坐標系來描述四旋翼無人機的運動狀態(tài)，四旋翼無人機系統(tǒng)可以采用歐拉形式來建模。如圖1所示，四旋翼無人機是由4個旋翼構成的十字鋼架結構，每一個旋翼上裝載一個電機提供控制輸入，基于簡化的轉子模型[21]，利用轉速矢量ω∈R4，可以得到映射的控制輸入[22]:

(1)

式中，ωi為第i個旋翼的螺旋槳轉速，Hf為阻力系數(shù)，Hm為推力系數(shù)，滿足Hf>0，Hm>0，l為質心到每個轉子的距離，UT∈R為推力大小，UΦ、Uθ、UΨ分別為滾轉力大小、俯仰力大小、偏航力大小，以(UT，UΦ，Uθ，UΨ)作為系統(tǒng)的實際控制輸入。

四旋翼無人機的動力學模型可以用如下公式表示:

(2)

式中，IΦ、Iθ、IΨ分別代表繞機體坐標系的轉動慣量，m表示四旋翼無人機的質量，g為重力加速度，ki(i=x,y,z,Φ,θ,Ψ)為系統(tǒng)內(nèi)部不確定參數(shù)，τi(i=x,y,z,Φ,θ,Ψ)表示外部擾動力，且滿足:

(3)

由模型(2)可知，四旋翼系統(tǒng)的位置控制信息均受推力大小UT控制，為簡化其平動動力學模型，定義平動動力學虛擬控制輸入ux、uy、uz滿足:

(4)

模型(2)考慮了在外部風力擾動下的四旋翼無人機系統(tǒng)模型，但在實際應用中，四旋翼無人機的外部擾動很難獲取，因此本文參考文獻[23]提出的四旋翼持續(xù)擾動信號模型，后續(xù)的控制通過自適應識別未知的持續(xù)擾動矢量，將擾動信號視為慢時變信號，進而將其導數(shù)設為零來補償擾動的影響。

2 存在飽和輸入的自適應魯棒滑?？刂破髟O計

本文分別設計了四旋翼無人機的位置控制器和姿態(tài)控制器，在此基礎上，考慮外部風力擾動、參數(shù)不確定性和輸入飽和問題，提出了一種改進的自適應魯棒滑模控制器，該控制器通過引入魯棒控制項來減小外部風力擾動和內(nèi)部參數(shù)不確定性帶來的影響，引入誤差信號來修正補償平動動力學和轉動動力學的飽和現(xiàn)象所造成的抖振問題，使四旋翼系統(tǒng)在受到內(nèi)外部干擾和輸入飽和影響下快速達到穩(wěn)定狀態(tài)。

2.1 四旋翼系統(tǒng)

平動、轉動子系統(tǒng)跟蹤誤差如下:

i=x,y,z,φ,θ,ψ

(5)

設計平動、轉動滑模函數(shù)如下：

(6)

式中，αi為滑模面參數(shù)，且滿足Hurwitz條件為正，χi為引入的輔助誤差信號，可以通過自適應變化減弱輸入飽和帶來的影響，后續(xù)將對其自適應規(guī)律加以討論。

針對平動滑模面，做如下處理，對時間t進行微分，得到:

(7)

結合式(2)和式(7)可以得到x和y方向模型為:

(8)

為了簡便起見，可將式(8)寫成以下形式:

(9)

式中，Hi∈R1×3為給定已知的回歸矩陣，

(10)

ρi∈R3×1為未知參數(shù)向量:

ρi=[ki,τi,m]T,i=x,y

(11)

同理，依據(jù)式(2)和式(7)定義z方向的回歸矩陣和參數(shù)向量:

(12)

ρz=[kz,τz,m]T

(13)

因此，帶有參數(shù)不確定性和誤差信號的平移子系統(tǒng)可表示如下:

(14)

針對轉動子系統(tǒng)，結合式(9)和式(2)做相似的處理，可以得到如下：

(15)

(16)

其中，回歸矩陣和未知參數(shù)向量為:

(17)

(18)

2.2 自適應魯棒滑?？刂破髟O計

由于在實際應用中翼臂電機的轉速會受到限制，控制輸入(2)無法正常使用，因此，實際的控制輸入受到如下飽和函數(shù)的約束:

(19)

式中，uiM、uiL分別為4個控制輸入的上限約束和下限約束，如果不考慮飽和約束的影響，一旦發(fā)生飽和現(xiàn)象，對四旋翼的軌跡跟蹤誤差就會增大，從而導致濾波誤差信號增大，進而導致自適應律發(fā)生振蕩。

考慮輸入飽和、參數(shù)不確定性、外部風力擾動因素影響下，設計自適應魯棒滑?？刂坡?

(20)

(21)

(22)

(23)

式中，βi為飽和補償項參數(shù)，輔助誤差信號χi滿足如下:

(24)

(25)

式中，δi為魯棒控制項參數(shù)。

考慮到在實際環(huán)境中難以獲取四旋翼無人機的精確物理參數(shù)，比如質量m，轉動慣量IΦ、Iθ、IΨ，因此，基于這些參數(shù)的不變性與輸入的邊界性，需要給出定義與約束。

與上述設計過程類似，轉動子系統(tǒng)的自適應魯棒滑?？刂坡稍O計如下:

(26)

(27)

(28)

針對四旋翼無人機慣性參數(shù)不確定性和輸入轉矩飽和問題，給出相應的定義與約束。

3 穩(wěn)定性分析

依據(jù)位置子系統(tǒng)(14)和姿態(tài)子系統(tǒng)(16)，可以得到四旋翼無人機整體系統(tǒng):

(29)

定理1:考慮在定義1和定義2情況下，系統(tǒng)(28)存在飽和輸入、參數(shù)不確定、外部風力擾動問題，在受到改進自適應魯棒滑?？刂破?20)、(26)控制下，同時滿足約束:

(30)

且理想控制器參數(shù)μi>0，飽和補償項參數(shù)βi>0，可以實現(xiàn)對系統(tǒng)位置和姿態(tài)軌跡的穩(wěn)定跟蹤。

證明:針對平動子系統(tǒng)，設計Lyapunov函數(shù)如下:

(31)

(32)

考慮定義1，再將式(20)，式(24)引入式中，可得:

(33)

針對轉動子系統(tǒng)，設計Lyapunov函數(shù)如下:

(34)

對上述式子求導，考慮定義2，再將式(26～28)代入求導后的式子中，可以得到相似的結果:

(35)

4 仿真結果與分析

為了驗證本文方法的有效性，利用了MATLAB/Simulink進行仿真。在仿真過程中，四旋翼系統(tǒng)的具體參數(shù)參考文獻[24]在表1～2給出。

表1 模型參數(shù)和仿真初始化參數(shù)

表2 控制參數(shù)

從仿真開始就存在參數(shù)不確定增益，給出參數(shù)不確定增益ki= 0.5(i=x,y,z,Φ,θ,Ψ)，并給出外部風力擾動如下：τx= 1 N在t=5 s時，τy=1 N在t=15 s時，τz=1 N在t=25 s時，τΦ=1 Nm在t=10 s，τθ=1 Nm在t=20 s，τΨ=1 Nm在t=30 s時。做PD算法和本文改進自適應魯棒滑?？刂撇呗缘膶Ρ葘嶒?，同時針對四旋翼無人機的平動子系統(tǒng)和偏航角，選取理想位置參考軌跡和理想偏航角參考軌跡:

[ξxd,ξyd,ξzd,ξψd]=

(0.1sin(t+π/6),0.1sin(t+π/3),0.1sint,0.1sin(t+π/2)]

(36)

作為輸入軌跡，理想滾轉角軌跡和理想俯仰角軌跡依據(jù)輸入軌跡而生成，仿真結果如下。

圖2至圖7的仿真結果圖分別顯示了四旋翼無人機給定理想軌跡、PD控制算法下的實時軌跡、本文控制方法下的實時軌跡。從圖2至圖7的仿真結果圖可以看出，在開始時刻PD算法和本文算法的跟蹤效果都略有波動，但都可以快速達到穩(wěn)定跟蹤，且本文提出的方法反應速度更快，能夠實現(xiàn)更加快速達到穩(wěn)定跟蹤的效果；從圖2和圖4可以看出，四旋翼無人機在x方向和z方向上的跟蹤效果較好，本文方法和PD控制方法在這兩個自由度方向上跟蹤性能相近；從圖3、圖5、圖6、圖7可以看出，在y方向和3個姿態(tài)角軌跡跟蹤上，本文控制方法明顯優(yōu)于PD控制方法，且由于較大的跟蹤誤差，PD控制方法容易受飽和輸入影響而無法實現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤控制，而本文提出的方法降低了前期的跟蹤誤差，較好地解決了存在飽和輸入和內(nèi)外部干擾影響下的抖振問題。

圖2 x方向軌跡跟蹤

圖3 y方向軌跡跟蹤

圖4 z方向軌跡跟蹤

圖5 φ姿態(tài)軌跡跟蹤

圖6 θ姿態(tài)軌跡跟蹤

圖7 ψ姿態(tài)軌跡跟蹤

且從仿真結果圖中可以看出，無論是在開始階段還是趨近穩(wěn)定階段，本文提出的控制算法相較于PD控制方法都具有更好的跟蹤性能，且跟蹤速度更快，最終能夠實現(xiàn)跟蹤誤差減小為零。從以上結果說明：本文提出的一種改進的自適應魯棒滑?？刂撇呗钥梢杂行Ы档惋柡洼斎雴栴}帶來的抖振現(xiàn)象、減小參數(shù)不確定和外部風力擾動對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，實現(xiàn)在飽和輸入、參數(shù)不確定及外部風力擾動影響下四旋翼無人機位置和姿態(tài)軌跡信息的穩(wěn)定高效跟蹤。

5 結束語

本文為了解決四旋翼無人機在飛行過程中的軌跡跟蹤控制問題，并且考慮到四旋翼無人機存在飽和輸入、參數(shù)不確定、外部風力擾動影響，提出一種改進的抗干擾自適應魯棒滑?？刂撇呗浴１疚幕谒男頍o人機六自由度架構，設計簡化的系統(tǒng)模型，將已知信號納入回歸矩陣，將未知參數(shù)納入?yún)?shù)矩陣，使問題分析更加便捷。本文引入了帶有誤差信號的滑模函數(shù)，同時設計飽和補償控制律且同樣帶有誤差信號，進而大幅度降低由于輸入飽和問題帶來的抖振；并考慮參數(shù)不確定和外部風力擾動問題，為此設計魯棒控制項，進一步減小內(nèi)外部擾動對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。最后通過Matlab/Simulink仿真平臺與傳統(tǒng)PD控制算法進行比較，首先驗證了本文方法能夠實現(xiàn)對四旋翼無人機6個自由度軌跡跟蹤控制問題上的收斂性，能夠實現(xiàn)穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制，并且也驗證了該方法具有較好的抗干擾性，相較于傳統(tǒng)方法反應速度更快，性能更佳，具有很強的實用性，未來的研究工作是在實際應用中應用和驗證這種新的控制方法。