環(huán)的finitistic 內(nèi)射維數(shù)

熊濤

(四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 達州 635000)

1 引言

本文恒設(shè)R是有單位元的交換環(huán),n是非負整數(shù). 對R- 模N, 分別用idRN,pdRN和fdRN表示模N的內(nèi)射維數(shù), 投射維數(shù)和平坦維數(shù). 用E(N) 表示N的內(nèi)射包. 用In(或Fn) 表示內(nèi)射維數(shù)(或平坦維數(shù)) 不超過n的R- 模類,用gl.dim(R)(或w.gl.dim(R)) 表示R的整體維數(shù)(或弱整體維數(shù)). 對于未解釋的概念和符號, 可參考文獻[1-2].

自從巴斯在文獻[3] 中引入finitistic 內(nèi)射維數(shù)

以來, 它就在環(huán)刻畫中發(fā)揮了重要作用, 因而也受到了廣泛關(guān)注. 例如文獻[3] 中的定理7.1 和推論7.14 證明了, 環(huán)R有FID(R)=0 當(dāng)且僅當(dāng)每個內(nèi)射R- 模E都是某個投射模的子模M的內(nèi)射包, 即E=E(M); 當(dāng)且僅當(dāng)每個內(nèi)射R- 模E都同構(gòu)于R的一些主理想Pi直和的內(nèi)射包, 即E=E(⊕Pi); 當(dāng)且僅當(dāng)每個R- 模M≠0 都存在子模0≠N

在經(jīng)典同調(diào)理論中, 環(huán)R的整體維數(shù)是所有模的投射維數(shù)(或者內(nèi)射維數(shù)) 的上確界; 弱整體維數(shù)w.gl.dim(R) 是模的平坦維數(shù)的上確界. 在相對同調(diào)理論中, 環(huán)R的Gorenstein 整體維數(shù)也是所有模的Gorenstein 投射維數(shù)的上確界, 或者Gorenstein內(nèi)射維數(shù)的上確界; Gorenstein 弱整體維數(shù)是所有模的Gorenstein 平坦維數(shù)的上確界.然而, 環(huán)的有窮內(nèi)射維數(shù)FID(R) 不是像經(jīng)典同調(diào)理論和相對同調(diào)理論那樣, 建立在整個R- 模范疇上, 而是建立在內(nèi)射維數(shù)有限的子范疇上. 對任給一個模M, 在判定其內(nèi)射維數(shù)是否有限時, 存在技術(shù)上的困難.

已知, 經(jīng)典的同調(diào)維數(shù), 比如整體維數(shù), 弱整體維數(shù), 均有換環(huán)定理, 也能利用環(huán)的元素,理想等來刻畫環(huán)的內(nèi)部結(jié)構(gòu). 比如,環(huán)R滿足gl.dim(R)≤1(或w.gl.dim(R)≤1)當(dāng)且僅當(dāng)它的每個理想是投射(或平坦) 理想. 相對同調(diào)理論中的Gorenstein 整體維數(shù)和Gorenstein 弱整體維數(shù), 也有對應(yīng)的結(jié)論, 此處不再贅述.

因此, 迫切地希望作為一種同調(diào)維數(shù)的FID(R) 能像經(jīng)典同調(diào)理論中的整體維數(shù)和弱整體維數(shù)那樣能夠利用環(huán)的元素, 理想等來刻畫環(huán)的內(nèi)部結(jié)構(gòu), 能夠給出換環(huán)定理.這需要利用一種新的度量工具來精確計算FID(R), 并且要保證這種度量工具不能局限在內(nèi)射維數(shù)有限的子范疇上. 換言之, 需要找到一種建立在整個R- 模范疇上的同調(diào)計算方法來計算FID(R).

文獻[3] 還引入了環(huán)R的finitistic 平坦維數(shù)

和finitistic 投射維數(shù)

要用同調(diào)的方法刻畫FFD(R) 和FPD(R), 同樣也遇到上述類似困難的困擾. 不過, 文獻[4] 借助文獻[5] 中提出的n- 無撓模的概念, 定義一種模的n- 無撓分解及相應(yīng)的n- 無撓維數(shù)及環(huán)R的n- 無撓弱整體維數(shù), 給出了FFD(R) 的同調(diào)刻畫; 文獻[6]借助模的n- 余撓分解及相應(yīng)的n- 余撓維數(shù), 以及環(huán)R的n- 余撓整體維數(shù), 給出了FPD(R) 的同調(diào)刻畫. 本文延續(xù)上述思路, 借助文獻[4] 中的n- 投射模等概念,引入了環(huán)R的n- 投射整體維數(shù)n-gl.dim(R), 并證明了環(huán)R有FID(R) ≤n當(dāng)且僅當(dāng)(n+1)-gl.dim(R)≤n,通過該結(jié)果,將對FID(R)的計算轉(zhuǎn)換成對(n+1)-gl.dim(R)的計算.

2 n - 投射模與整體n - 投射維數(shù)

定義2.1[4](1)R- 模Q稱為n- 投射模, 是指對任何內(nèi)射維數(shù)不超過n的模H,都有Ext1R(Q,H)=0;

(2) 設(shè)M是R- 模.M的n- 投射維數(shù)m≥0, 記為n-pdRM≤m, 是指存在這樣的最小整數(shù)m, 滿足序列

是正合列, 這里每個Qi是n- 投射模. 如果這樣的m不存在, 則記n-pdRM=∞.

自然地, 任何R- 模都是0 - 投射模. 對任何整數(shù)n≥1, 投射R- 模都是n- 投射模, 反之未必成立. 為了舉出反例, 回顧如下概念: 稱模M為n- 合沖模, 是指存在正合列

其中P0,P1,··· ,Pn-1是投射模, 換言之,M是某個模X的第n-1 次合沖.

命題2.1(1)n- 合沖模是n- 投射模. 從而對任何模M與任何非負整數(shù)n, 都有n-pdRM≤n.

(2) 若m≥n, 則m- 投射模一定是n- 投射模.

證明(1) 設(shè)M是n- 合沖模, 則有正合列(2) 式. 設(shè)H∈In, 則有

因此,M是n- 投射模.

(2) 由In?Im即得.

現(xiàn)在給出n- 投射模不是投射模的例子.

例2.1設(shè)Q 是有理數(shù)域,x,y是Q 上的未定元, 構(gòu)造整環(huán)R= Q[x,y]. 取R的由正則序列a1,a2生成的理想J, 則pdRJ= 2. 由正合列0 →J→R→R/J→0知J是1 - 投射模. 顯然J不是投射模.

命題2.2對R- 模Q, 以下陳述等價:

(1)Q是n- 投射模;

(2) 對任何H∈In, 任何整數(shù)k≥1, 都有ExtkR(Q,H)=0;

(3) 任何正合列0 →A→B→Q→0, 其中A∈In, 是分裂的;

(4) 設(shè)0 →A→B→C→0 是正合列, 其中A∈In, 則序列是正合列.

證明(2)?(1)?(3)?(4) 是顯然的, 只證(1)?(2).

由定義2.1 可得Ext1R(Q,H) = 0. 現(xiàn)設(shè)k> 1. 設(shè)0 →H→E→C→0 是正合列, 這里E是內(nèi)射模. 則ExtkR(Q,H)=(Q,C) 成立. 注意,C∈In, 故對k用歸納法, 可得ExtkR(Q,H)=0.

定理2.1設(shè)0 ≤m≤n. 則對R- 模M, 以下陳述等價:

(1)n-pdRM≤m;

(2) 對任何H∈In, 都有(M,H)=0;

(3) 對任何H∈In, 及i≥1, 都有(M,H)=0;

(4) 設(shè)0 →Qm→Qm-1→Qm-2→··· →Q0→M→0 是正合列, 其中Q0,Q1,··· ,Qm-1是n- 投射模, 則Qm是n- 投射模.

(5) 設(shè)0 →Qm→Qm-1→Qm-2→··· →Q0→M→0 是正合列, 其中Q0,Q1,··· ,Qm-1是投射模, 則Qm是n- 投射模.

證明(3)?(4)?(5)?(1) 是顯然的, 下證(1)?(2).

由于n-pdRM≤m, 故有正合列(1), 其中每個Qi是n- 投射模. 從而對每個H∈In,

(2)?(3). 對任何H∈In, 存在正合列0 →H→E→C→0, 其中E是內(nèi)射模.顯然C∈In, 故有對i用歸納法即可得證.

現(xiàn)在給出環(huán)的n- 投射整體維數(shù).

定義2.2對環(huán)R, 稱gl.dimn(R) = sup{n-pdRM|M是R- 模} 為環(huán)R的整體n- 投射維數(shù).

由命題2.1, 以下命題是顯然的.

命題2.3對任何環(huán)R, 總有

(1) gl.dimn(R)≤n, 于是gl.dimn(R) 一定是有限非負整數(shù);

(2) gl.dimn(R)≤gl.dim(R);

(3) 若n≤m, 則gl.dimn(R)≤gl.dimm(R).

定理2.2設(shè)0 ≤m≤n. 對環(huán)R, 以下陳述等價:

(1) gl.dimn(R)≤m;

(2) 對任何M∈In, 都有n-pdRM≤m;

(3)In=Im;

(4) 對R的任何理想I,n-pdRR/I≤m;

(5)In?Im.

證明(1)?(2). 顯然.

(2)?(4). 設(shè)I是R的理想. 由文獻[7] 可知, (⊥In,In) 是完備的余撓理論, 故存在正合列0 →R/I→E→C→0, 其中E∈In,C是n- 投射模. 由條件,n-pdRE≤m,故對任何H∈In, 由定理2.1 和命題2.2, 有正合列

(4)?(5). 設(shè)H∈In. 則由定理2.1 有(R/I,H) = 0. 故idRH≤m,即H∈Im. 故In?Im成立.

(5)?(3). 顯然有Im?In. 故(3) 成立.

(3)?(1). 設(shè)M是任何R- 模. 對任何H∈In, 由于In=Im, 故idRH≤m, 從而有ExtmR+1(M,H)=0. 仍由定理2.1,n-pdRM≤m. 故gl.dimn(R)≤m.

推論2.1gl.dimn(R)=sup{n-pdRR/I|I是R的理想}.

現(xiàn)在給出環(huán)R的FID(R) 和gl.dimn(R) 的關(guān)系.

定理2.3對環(huán)R, 以下陳述等價:

(1) FID(R)≤n;

(2) gl.dimn+1(R)≤n;

(3) FID(R)=gl.dimn(R);

(4) 對任何正整數(shù)m≥n, 都有g(shù)l.dimm(R)≤n;

(5) 對任何正整數(shù)m≥n, 都有g(shù)l.dimm(R)=FID(R).

證明記k=FID(R),s=gl.dimn(R). 則由命題2.3, 可得s≤n.

(1)?(3). 由條件,k≤n. 設(shè)H∈In, 自然有idRN<∞. 由條件,k=FID(R)≤n成立, 故idRN≤k, 從而有In?Ik. 由定理2.2,s=gl.dimn(R)≤k. 設(shè)N是R- 模,且idRN<∞. 則還由條件, FID(R)≤n成立,N∈In. 故由定理2.2, 有N∈In=Is.故k=FID(R)≤s. 因此得到FID(R)=gl.dimn(R).

(3)?(2). 設(shè)H∈In+1. 由假設(shè), FID(R) = gl.dimn(R) ≤n, 從而有H∈In.故In+1=In. 由定理2.2 可得gl.dimn+1(R)≤n.

(2)?(1). 設(shè)N是R- 模, 且t:=idRN<∞. 若t>n, 為導(dǎo)出矛盾, 不失一般性,設(shè)t=n+1. 于是N∈In+1. 由于gl.dimn+1(R) ≤n, 引用定理2.2 有In+1=In, 從而有idRN≤n, 矛盾. 故t≤n, 從而有FID(R)≤n.

(1)?(4). 設(shè)N∈Im. 由假設(shè), idRN≤n. 從而有In=Im. 由定理2.2, 可得gl.dimm(R)≤n.

(4)?(2). 顯然.

(3)?(5). 由條件, FID(R) ≤gl.dimm(R) ≤n. 由定理2.2,Im=In, 因此有g(shù)l.dimm(R)=gl.dimn(R)=FID(R).

(5)?(3). 取m=n即得.

注2.1在已知FID 有限的條件下來計算環(huán)的FID 時, 從原始定義需要考慮內(nèi)射維數(shù)有限的子范疇. 在實際操作中, 判定模H是否滿足idRH<∞時有一定困難. 由定理2.3, 可以選擇充分大的正整數(shù)m, 通過計算gl.dimm(R) 來得到FID.

回顧模M稱為無撓模, 是指由ux= 0, 其中x∈M,u是R的非零因子, 能推出x= 0. 等價地, 對R的任何非零因子u, 有TorR1(M,R/uR) = 0. 再回顧文獻[5]中將M稱為n- 無撓模, 是指對任何N∈Fn, 都有TorR1(M,N) = 0. 顯然若n> 0,則n- 無撓模都是無撓模. 對給定的模N, 記其特征模Hom(N,Q/Z) 為N+.

命題2.4(1) 設(shè)n≥1,M是n- 投射模, 則M是n- 無撓模, 從而是無撓模;

(2) 設(shè)n-pdRA=m, 則存在n- 投射模M, 且M∈In, 使得ExtmR(A,M)≠0.

證明(1) 設(shè)N∈Fn, 則N+∈In. 由于M是n- 投射模, 故

于是有TorR1(M,N)=0, 故M是n- 無撓模.

(2) 由n-pdRA=m, 則存在H∈In, 使得ExtmR(A,H)≠ 0. 由于(⊥In,In)是完備的余撓理論, 故有正合列0 →B→M→H→0, 其中M是n- 投射模,B∈In. 于是還有M∈In. 由于ExtmR(A,H)≠ 0,(A,B) = 0, 以及正合列ExtmR(A,M)→ExtmR(A,H)→(A,B)=0, 故ExtmR(A,M)≠0.

命題2.5設(shè)0 →A→B→C→0 是正合列, 則有

(1)n-pdRC≤1+max{n-pdRA,n-pdRB};

(2) 設(shè)n>0. 若B是n- 投射模,C是(n-1) - 投射模, 則A是n- 投射模.

證明(1) 不妨假定上式右端是有限值. 設(shè)n-pdRA≤m,n-pdRB≤m. 對任何N∈In, 由定理2.1, 有正合列

(2) 設(shè)N∈In, 0 →N→E→L→0 是正合列, 其中E是內(nèi)射模. 則L∈In-1.則有正合列0 = Ext1R(B,N) →Ext1R(A,N) →Ext2R(C,N) →Ext2R(B,N) = 0. 于是有Ext1R(A,N)=Ext2R(C,N)=Ext1R(C,L)=0. 故A是n- 投射模.

命題2.6設(shè)M是R- 模.

(1) 若n-pdRM≤m, 則對任何N∈Fn有(M,N)=0;

(2) 設(shè)R是凝聚環(huán),M是有限表現(xiàn)模. 若對任何N∈Fn有(M,N) = 0,則n-pdRM≤m.

證明(1) 由N+∈In與自然同構(gòu)即得.

(2) 設(shè)N∈In. 則有正合列0 →N→E0→···→En-1→En→0, 其中每個Ei是內(nèi)射模. 從而0 →E+n→→··· →E+0→N+→0 也是正合列. 由于R是凝聚環(huán), 由文獻[8], 每個E+i是平坦模. 從而N+∈Fn. 由假設(shè), 有(M,N+)=0.再由文獻[8],從而由定理2.1 有n-pdRM≤m.

對n≥1, 現(xiàn)在看什么時候每個n- 投射R- 模是投射模.

定理2.4對環(huán)R, 則gl.dim(R)≤n當(dāng)且僅當(dāng)每個n- 投射R- 模是投射模.

證明設(shè)gl.dim(R) ≤n. 設(shè)M是n- 投射R- 模,H是任意R- 模. 由假設(shè),idRH≤n, 故Ext1R(M,H) = 0, 即M是投射模. 反之, 對任何R- 模M, 考慮正合列0 →K→Pn-1→Pn-2→···→P0→M→0, 其中每個Pi是投射模. 由命題2.1(1),K是n- 投射模. 由假設(shè),K是投射模, 故pdRM≤n. 從而有g(shù)l.dim(R)≤n.

3 finitistic 內(nèi)射維數(shù)的換環(huán)定理

這一節(jié), 先給出n- 投射維數(shù)的換環(huán)定理, 進而給出FID(R) 維數(shù)的換環(huán)定理.

定理3.1設(shè)?:R→T是環(huán)同態(tài),m=fdRT<∞. 若M是(n+m) - 投射R-模,則是n- 投射T- 模.

證明設(shè)N是T- 模, 且idTN≤n. 由內(nèi)射維數(shù)換環(huán)定理可知idRN≤n+m. 由假設(shè), Ext1R(M,N)=0 成立. 設(shè)0 →N→E→C→0 是T- 模正合列, 其中E是內(nèi)射T- 模. 則有如下兩行是正合列的交換圖

這里X是上核. 由相伴同構(gòu)定理, 以及對所有T- 模Y, 都有HomT(T,Y)=Y.故左端兩個垂直箭頭是同構(gòu). 因此有θ是單同態(tài). 由于Ext1R(M,N) = 0, 故有即是n- 投射T- 模.

推論3.1(1) 設(shè)M是n- 投射R- 模, 則M[x] 是n- 投射R[x] - 模;

(2) 設(shè)S是R的乘法封閉集,M是n- 投射R- 模, 則MS是n- 投射RS模;

(3) 設(shè)a是R中心的元素, 且既不是零因子也不是單位. 如果M是n- 投射R-模, 且u不是M的零因子, 則M/uM是(n-1) - 投射R/uR- 模.

證明在定理3.1 中分別令R=R[x],T=RS與T=R/uR即得.

引理3.1設(shè)?:R→T是環(huán)同態(tài), 且T作為R- 模是n- 投射模.

(1) 設(shè)N∈In(R), 則idTHomR(T,N)≤n;

(2) 若L是n- 投射T- 模, 則L也是n- 投射R- 模.

證明(1) 設(shè)0 →N→E0→E1→···→En-1→En→0 是N的內(nèi)射分解. 由于T是n- 投射R- 模, 故對任何i>0, 有ExtiR(T,N)=0, 因此

是正合列. 故idTHomR(T,N)≤n.

(2) 設(shè)N∈In(R). 設(shè)0 →N→E→C→0 是正合列, 其中E是內(nèi)射R- 模. 由于T是n- 投射R- 模, 故

是正合列. 由(1) 有idTHomR(T,N)≤n. 由于L是n- 投射T- 模, 則有

考慮下面的兩行是正合列的交換圖:

由相伴同構(gòu)定理, 左端兩個垂直箭頭是同構(gòu), 從而右端垂直箭頭是同構(gòu). 因此有Ext1R(L,N)=0, 故L作為R- 模是n- 投射模.

定理3.2設(shè)?:R→T是環(huán)同態(tài),T作為R- 模是n- 投射模. 設(shè)L是任何T-模, 則n-pdRL≤n-pdTL成立.

證明記k=n-pdTL. 則有正合列0 →Fm→Fm-1→···→F1→F0→L→0,其中F0,F1,··· ,Fm-1,Fm是n- 投射T- 模. 由引理3.1(2) 知n-pdRL≤n-pdTL.

引理3.2設(shè)n>0,u∈R是非零因子非單位元素,=R/(u).

(1) 設(shè)P是u- 無撓模. 若P∈In(R), 則/uP≤n-1;

(2) 設(shè)Q是(n-1) - 投射- 模,≤n-1. 則存在n- 投射R- 模P,idRP≤n, 使得Q是P/uP的直和加項.

證明(1)對任何- 模A, 由Rees 定理, 有故/uP≤n-1.

(2) 由于(⊥In,In) 是完備的余撓理論, 故有正合列0 →B→P→Q→0, 其中P是n- 投射模,B∈In(R). 由內(nèi)射維數(shù)的換環(huán)定理, idRQ≤+1 ≤n. 因此有idRP≤n. 由uQ=0 知uP?B. 則有正合列0 →uP/uB→B/uB→B/uP→0.由(1) 與命題2.4,uB≤n-1. 由于uP/uB=P/B=Q, 且≤n-1,故/uP≤n-1. 由于0 →B/uP→P/uP→Q→0 是正合列, 且Q是(n-1) -投射- 模, 故此正合列分裂, 從而Q是P/uP的直和加項.

推論3.2設(shè)u∈R是非零因子非單位元素,=R/(u). 設(shè)A是- 模,且m=<∞. 則idRA≥m.

證明由于A不是內(nèi)射R- 模, 故m= 0,1 時已有idRA≥m. 設(shè)m> 1,0 →A→E→C→0 是正合列. 其中E是內(nèi)射- 模. 于是=m-1. 由歸納假設(shè), idRC≥m-1. 由文獻[9], idRE=1, idRA=idRC+1 ≥m.

定理3.3設(shè)n>0,u∈R既不是零因子也不是單位, 記=R/(u). 則有

(1) 設(shè)A是- 模, 則n-pdRA=(n-1)-+1;

(2) gl.dimn(R)≥gl.dimn-1()+1;

(3) FID(R)≥FID()+1.

證明(1) 記m=(n-1)-. 由命題2.4 中(2), 存在(n-1) - 投射R- 模Q,使得Q∈In-1(), 且(A,Q)≠0. 由引理3.2 中(2), 存在n- 投射R- 模P, 使得idRP≤n,且Q是P/uP的直和加項.由于由Rees定理,從而有k:=n-pdRA≥m+1.

若k>m+1, 即k-1 >m, 仍由命題2.4, 則存在n- 投射模F,F∈In(R), 使得ExtkR(A,F)≠ 0. 由引理3.2 中(1),再次引用Rees 定理, 得到(A,F/uF)≠0. 故m≥k-1, 矛盾. 因此有k=m+1.

(3) 不妨設(shè)m:= FID(R) < ∞. 先證明否則存在- 模An,使得由推論3.2, idRAn≥n, 從而有FID(R)=∞, 矛盾. 故可選取充分大的n, 使得n>m,k. 由定理2.3, gl.dimn(R)=FID(R)=m, gl.dimn-1()=k. 由(2)得到m≥k+1.

設(shè)x1,x2,··· ,xm是未定元. 眾所周知, 環(huán)的整體維數(shù)和弱整體維數(shù)都有所謂的合沖定理, 即有

在文獻[9] 的定理3.10.3 和文獻[4] 的命題3.5 中分別指出環(huán)的finitistic 投射維數(shù)FPD(R) 和finitistic 平坦維數(shù)FFD(R) 也有合沖定理. 下面來證明關(guān)于FID(R) 的合沖定理.

引理3.3設(shè)M是R- 模. 則有n-pdR[x]M[x]≤n-pdRM.

證明記m=n-pdRM, 則存在正合列

其中每個Pi是n- 投射R- 模. 由正合列

與推論3.1 可得n-pdR[x](M[x])≤m.

引理3.4設(shè)FID(R)<∞, 則FID(R[x])<∞.

證明記m=FID(R). 設(shè)N是R[x] - 模, idR[x]N<∞. 由文獻[9] 的習(xí)題3.14,每個內(nèi)射R[x] - 模也是內(nèi)射R- 模, 故idRN≤m. 首先設(shè)N是x- 可除模. 則由正合列0 →R[x]→R[x]→R→0 得到正合列

設(shè)0 →N→E0→E1→···→Em-1→Em→0 是N的R- 內(nèi)射分解. 由于R[x] 是自由R- 模, 則正合列

是HomR(R[x],N) 的內(nèi)射R[x] - 分解. 于是有idR[x]HomR(R[x],N) ≤m. 由正合列0 →N→HomR(R[x],N)→HomR(R[x],N)→0 得到idR[x]N≤m+1.

現(xiàn)在考慮一般情形. 設(shè)0 →N→E→N1→0 是正合列, 其中E是內(nèi)射R[x] -模. 于是N1是x- 可除模, 且idR[x]N1≤m+1. 從而有idR[x]N≤m+2.

定理3.4設(shè)R是交換環(huán),x1,··· ,xm是R上的未定元. 則

證明只須證明m= 1 時, 結(jié)論成立即可. 設(shè)s:= FID(R) < ∞. 由引理3.4,t:=FID(R[x])<∞. 取充分大的n>Max{s,t}. 則由定理2.3, 有

由定理3.3, gl.dimn+1(R[x])≥gl.dimn(R)+1. 從而t≥s+1. 現(xiàn)在設(shè)M是R[x] - 模,由文獻[2] 的引理9.29, 有R[x] - 模正合列0 →M[x]→M[x]-→M→0. 由引理3.3和命題2.5, (n+1)-pdR[x]M≤1+(n+1)-pdR[x]M[x] ≤1+(n+1)-pdRM≤1+s.故gl.dimn+1(R[x])≤1+s, 從而t≤s+1. 因此可得FID(R[x])=FID(R)+1.

若R是Noether 環(huán), 則環(huán)R的整體維數(shù)有如下的局部化表現(xiàn):

下面來證明, Noether 環(huán)的FID(R) 維數(shù)也有局部化表現(xiàn).

引理3.5設(shè)R是凝聚環(huán),M是有限表現(xiàn)R- 模. 則有

證明設(shè)n-pdRM=k, sup{n-pdRmMm| m 取遍R的全部極大理想} =s. 由命題2.6, 存在R- 模N, 滿足fdRN≤n, 且TorRk(M,N)≠0. 由于

定理3.5設(shè)R是Noether 環(huán). 則有

證明由于R是Noether 環(huán), 則有限生成模是有限表現(xiàn)模. 由引理3.5 與推論2.1即得.

4 finitistic 內(nèi)射維數(shù)對環(huán)的刻畫

本節(jié)沿用經(jīng)典同調(diào)代數(shù)中的分別稱滿足gl.dim(R) = 0 與gl.dim(R) ≤1 的環(huán)為半單環(huán)和遺傳環(huán), 稱遺傳整環(huán)為Dedekind 整環(huán)的做法, 也分別稱滿足FID(R) = 0與FID(R) ≤1 的環(huán)為finitistic 半單環(huán)和finitistic 遺傳環(huán), 稱finitistic 遺傳整環(huán)為finitistic Dedekind 整環(huán). 先來刻畫finitistic 半單環(huán).

定理4.1對環(huán)R, 以下陳述等價:

(1)R是finitistic 半單環(huán);

(2) gl.dim1(R)=0, 即每個R- 模是1 - 投射模;

(3)I1=I0.

證明由定理2.3 可得.

半單環(huán)是finitistic 半單環(huán). 反之未必成立. 下面將舉出反例. 回顧環(huán)R稱為QF 環(huán)是指每個投射R- 模是內(nèi)射模.

命題4.1所有的QF 環(huán)是finitistic 半單環(huán).

證明設(shè)R是QF 環(huán), 且設(shè)M是R- 模滿足M∈I1, 則存在正合列是正合列, 這里E0,E1是內(nèi)射模. 由文獻[10] 的定理5.3,E1是投射模. 則該正合列是分裂的. 從而M是內(nèi)射模, 即M∈I0. 由定理4.1 和定理2.3,R是finitistic 半單環(huán).

例4.1設(shè)R= Z4, 這里Z 是整數(shù)集合. 則R是QF 環(huán). 由命題4.1, 故R是finitistic 半單環(huán). 由于gl.dim(R)=∞, 故R不是半單環(huán).

眾所周知, 整環(huán)R是半單環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)它是域. 事實上, 也有

定理4.2整環(huán)R是finitistic 半單環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)它是域.

證明充分性是顯然的. 現(xiàn)在設(shè)R是finitistic 半單整環(huán). 則FFD(R) = 0. 由文獻[11] 的定理4.2 可得R是域.

現(xiàn)在來刻畫finitistic 遺傳環(huán)和finitistic Dedekind 整環(huán). 運用定理2.3 得如下定理:

定理4.3對環(huán)R, 以下陳述等價:

(1)R是finitistic 遺傳環(huán);

(2) gl.dim2(R)≤1, 即2 - 投射模的子模是2 - 投射模;

(3) 投射模的子模是2 - 投射模;

(4) 若N∈I2, 則有idRN≤1;

(5)R的每個理想I是2 - 投射模.

眾所周知, 經(jīng)典同調(diào)理論中, 整環(huán)R是Dedekind 整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對每個非單位0≠u∈R, 都有R/(u) 是半單環(huán). 對于finitistic 內(nèi)射維數(shù), 也有如下定理.

定理4.4整環(huán)R是finitistic Dedekind 整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對每個非單位0≠u∈R,都有R/(u) 是finitistic 半單環(huán).

證明由定理3.3 可得必要性. 下證充分性. 設(shè)I≠0 是R的理想. 記M=R/I.取0≠u∈I, 記=R/uR. 則uM= 0, 且M是- 模. 由定理4.1, 1-= 0.由定理3.3 中(1) 證明過程可得2-pdRM≤1, 即I是2 - 投射模. 運用定理4.3 可得FID(R)≤1. 故R是finitistic Dedekind 整環(huán).

已知, 遺傳環(huán)是凝聚環(huán), 但凝聚環(huán)未必是遺傳環(huán). 事實上, 凝聚環(huán)也未必是finitistic遺傳環(huán).

例4.2構(gòu)造環(huán)R=Z[x], 這里Z 是整數(shù)集,x是Z 上的未定元. 顯然,R是凝聚整環(huán). 如果R是finitistic Dedekind 整環(huán), 則由定理4.4 可得R/xR是finitistic 半單環(huán). 而Z=R/xR. 故由定理4.2 可知Z 是域. 這顯然是個矛盾. 所以R不是finitistic Dedekind 整環(huán).

事實上, finitistic 遺傳環(huán)也未必是凝聚環(huán).

例4.3構(gòu)造環(huán)R=Q+XR[[X]]. 則R是finitistic Dedekind 整環(huán). 由于

故由文獻[12] 的定理4.11 可知R不是凝聚環(huán).

凝聚的finitistic 遺傳環(huán)也未必是Noether 環(huán).

例4.4設(shè)R滿足gl.dim(R) ≤2 的傘環(huán),P是R的非有限生成的極大理想,取0≠a∈P. 則R/(a) 是滿足FID(R)≤1 的非Noether 的凝聚環(huán).

現(xiàn)在來看Krull 維數(shù)和FID(R) 的關(guān)系.

定理4.5設(shè)R是Noether 環(huán). 則FID(R) ≤dim(R). 故一維Noether 環(huán)都是finitistic 遺傳環(huán).

證明設(shè)dim(R) =m≥0. 取n>m, 設(shè)N∈Fn. 由Jensen 引理[13],fdRN≤pdRN≤m. 于是對任何R- 模M,(M,N) = 0. 然后，由命題2.6,n-pdRM≤m. 于是有FID(R)=gl.dimn(R)≤m.

一般情況下, FID(R) 與FPD(R) 并無確定的大小關(guān)系. 但在Noether 環(huán)條件下,借助定理4.5, 可得如下推論:

推論4.1設(shè)R是Noether 環(huán), 則FID(R)≤FPD(R).

環(huán)R是完全環(huán)是指每個R- 模都有投射蓋, 等價地, 每個平坦R- 模是投射模. 文獻[14] 證明了R是完全環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)FPD(R) = 0, 滿足FPD(R) = 1 的凝聚整環(huán)R是Noether 環(huán). 結(jié)合推論4.1, 有如下命題:

命題4.2R是滿足FPD(R) ≤1 的凝聚整環(huán). 則R是Noether 的finitistic Dedekind 整環(huán).

并非所有凝聚環(huán)都有FPD(R)≤1.

例4.5設(shè)X是Q 上的未定元. 構(gòu)造環(huán)R=Z+XQ[X]. 則由文獻[12]的命題4.4和定理4.12 可知R是非Noether 的凝聚整環(huán).故R不是APD 整環(huán).從而FPD(R)≤1不成立.

滿足FPD(R)≤1 的環(huán)也未必是凝聚環(huán).

例4.6設(shè)C 是復(fù)數(shù)域,X是C 上的未定元. 構(gòu)造環(huán)R= Q+XC[X]. 由于C是Q 的擴域, 故R是APD 整環(huán), 自然滿足FPD(R)≤1. 但由于[C:Q]=∞, 則由文獻[12] 的定理4.11 可得R不是凝聚環(huán).

遺傳環(huán)是finitistic 遺傳環(huán), 但finitistic 遺傳環(huán)未必是遺傳環(huán).

例4.7構(gòu)造Gorenstein Dedekind 整環(huán)R= Q[x,y]/(x2+2y2) 如文獻[15] 的例3.10, 這里Q 是有理數(shù)域,x,y是Q 上的未定元. 由于R是Gorenstein Dedekind整環(huán), 自然有FID(R)≤1. 由于R不是整閉整環(huán), 故gl.dim(R)=∞.

滿足gl.dim(R)=∞的finitistic 遺傳環(huán)R也未必是整環(huán).

例4.8構(gòu)造QF環(huán)R=Z4如例4.1. 顯然,R不是整環(huán).

并非所有滿足gl.dim(R)=∞的環(huán)都是finitistic 遺傳環(huán).

例4.9構(gòu)造環(huán)如R=Z4[X,Y], 這里X,Y是環(huán)Z4的未定元. 則gl.dim(R)=∞.但是, FID(R)=2.

也并非所有滿足gl.dim(R)<∞的環(huán)都是finitistic 遺傳環(huán).

例4.10設(shè)C 是復(fù)數(shù)域,X,Y是C 上的未定元, C(X,Y) 是多項式整環(huán)C[X,Y]的商域,Z是C(X,Y) 上的未定元. 則m=(Z) 是C(X,Y) 的極大理想. 構(gòu)造環(huán)

則gl.dim(R1)=3. 從而FID(R1)=3.

現(xiàn)在來刻畫滿足FID(R) ≤1 的凝聚整環(huán). 稱R- 模D為可除模, 如果對任何a∈R, 有Ext1R(R/aR,D) = 0; 稱R- 模M為h- 可除模, 如果存在正合列E→M→0, 這里E是內(nèi)射模. 注意, 內(nèi)射模和h- 可除模都是可除模. 稱R-模M是無撓模是指對x∈M及非零因子非單位a∈R, 能由ax= 0 推出x= 0. 注意, 平坦模是無撓模.

定理4.6對凝聚整環(huán)R, 以下陳述等價:

(1)R是finitistic Dedekind 整環(huán);

(2) 如果A是可除R- 模滿足idRA<∞, 則A是內(nèi)射模;

(3) 如果A是可除R- 模滿足idRA≤1, 則A是內(nèi)射模.

證明(1)?(2). 設(shè)A是可除模滿足idRA< ∞. 對任意的0≠a∈R, 由文獻[2] 的定理9.5, TorR1(R/aR,A+)= Ext1R(R/aR,A)+= 0 成立, 故A+無撓模. 則存在正合列這里每個Ki=K. 則序列0 →C+→B+→A++→0 正合. 由假設(shè),n= idRA< ∞, 故存在正合列0 →A→E0→··· →En-1→En→0, 這里每個Ei是內(nèi)射R- 模.從而也是正合列, 且由文獻[8] 的定理2.2.13,每個E++i是內(nèi)射模,即idRA++≤n. 注意,B+是內(nèi)射模,故idRC+≤n+1.由假設(shè), idRC+≤1. 故A++是內(nèi)射模. 再由文獻[8] 的定理2.2.13,A+++是平坦模,則A+是平坦模. 仍由文獻[8] 的定理2.2.13,A是內(nèi)射模.

(2)?(3). 顯然.

(3)?(1). 設(shè)N是R- 模滿足idRN≤2. 則存在正合列0 →N→E→C→0,這里E是內(nèi)射模, 且idRC≤1. 注意,C是h- 可除模, 自然是可除模. 由條件,C是內(nèi)射模, 即idRN≤1. 因此由定理4.3, FID(R)≤1 成立.

以如下反例結(jié)束本文. 已知, 對任何環(huán)R, 總有w.gl.dim(R) ≤gl.dim(R). 但一般情況下, 未必有w.gl.dim(R)=gl.dim(R). 文獻[3] 表明了對任何環(huán)R都有FFD(R)≤FID(R). 現(xiàn)在給出FFD(R)≠FID(R) 的環(huán)的例子.

例4.11構(gòu)造環(huán)R1= C[X,Y]+ZC(X,Y)[Z]m如例4.10. 則FFD(R1) = 2,FID(R1)=3.