二維耗散準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程在Lorentz 空間的正則性準(zhǔn)則

魏巍, 王艷青

(1. 西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127;2. 鄭州輕工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 鄭州 450002)

1 引言

本文研究如下具有耗散項(xiàng)的二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程:

其中θ(x,t) 是在(x,t) ∈R2×[0,∞) 處的溫度標(biāo)量函數(shù),θ0(x) 是初始溫度,v(x,t) 是流體的速度場(chǎng),κ>0 表示擴(kuò)散常數(shù),α∈(0,1], 分?jǐn)?shù)階算子Λα定義為

微分算子?⊥=(-?x2,?x1). 顯然, 若θ(x,t) 是準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程(1) 的解, 則對(duì)任意λ>0,

也是方程(1) 的解.

二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程對(duì)氣象學(xué)與海洋學(xué)的理論研究和數(shù)值計(jì)算起著至關(guān)重要的作用, 是描述地球物理流體力學(xué)的一個(gè)基本模型[1-2]. 1994 年, Constantin-Majda-Tabak 在文獻(xiàn)[1] 中指出二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程與著名的Euler 方程和Navier-Stokes 方程具有相似的特點(diǎn). 事實(shí)上, 將微分算子?⊥作用到方程(1) 第一式的兩邊, 可以得到

該方程形式上與Navier-Stokes 方程的旋度方程一致. 因此, 文獻(xiàn)[1] 將二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程視為Navier-Stokes 方程的低維模型并將Euler 方程著名的Beale-Kato-Majda 爆破準(zhǔn)則推廣到了該模型, 即當(dāng)

時(shí), 解θ(x,t) 在(0,T] 上光滑. 此后, 二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程的正則性問(wèn)題受到了眾多數(shù)學(xué)家的廣泛關(guān)注并取得了一系列重要的研究進(jìn)展, 參見(jiàn)文獻(xiàn)[3-15].

其中具有代表性的一項(xiàng)工作是, Chae[7]在Lebesgue 空間中對(duì)二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)模型(1)建立了滿足自然尺度變換(2) 不變性的爆破準(zhǔn)則, 即當(dāng)

時(shí), 解θ(x,t) 在(0,T] 上是正則的. 不久后, Dong-Chen[9]在齊次Besov 空間的框架下研究了二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程(1), 并將正則性準(zhǔn)則(3) 改進(jìn)為

繼而, Yuan[10]在最大的負(fù)指數(shù)Besov 空間中建立了如下爆破準(zhǔn)則

注意到上述各已知結(jié)果集中在關(guān)于空間變量的Lebesgue 空間與Besov 空間, 而均未涉及Lorentz 空間. 尤其是時(shí)空型Lorentz 空間中二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程的爆破準(zhǔn)則, 至今尚未有已知文獻(xiàn)對(duì)此加以研究.

為此, 受筆者關(guān)于三維Navier-Stokes 方程正則性的前期工作[16]啟發(fā), 本文通過(guò)將Bosia-Pata-Robinson 的一個(gè)改進(jìn)版Gronwall 型引理[17]推廣為引理2.1, 率先在時(shí)空型Lorentz 空間的框架下對(duì)二維耗散準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程(1) 建立了如下正則性準(zhǔn)則:

定理1.1設(shè)0 <α≤1,κ> 0,θ(x,t) 是以θ0∈H2(R2) 為初值的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程(1) 在t∈[0,T) 上的局部光滑解. 如果存在p∈[2/α,∞) 和q∈(1,∞] 使得?⊥θ∈Lq,∞(0,T;Lp,∞(R2)), 則必存在正數(shù)ε, 使得當(dāng)

時(shí), 解θ(x,t) 在有限時(shí)刻T不發(fā)生爆破.

利用嵌入關(guān)系Lq,?(0,T)?→Lq,∞(0,T) (0

推論1.1設(shè)0<α≤1,κ>0,θ(x,t) 是以θ0∈H2(R2) 為初值的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程(1)在t∈[0,T) 上的局部光滑解. 如果存在p∈(2/α,∞),q∈(1,∞) 和?∈(0,∞), 使得θ(x,t) 滿足

則解θ(x,t) 在有限時(shí)刻T不發(fā)生爆破.

注1.1當(dāng)2/p+α/q=α?xí)r, 正則性條件(6) 與(7) 中的范數(shù)在準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程(1) 的自然尺度變換(2) 下具有尺度不變性, 這與爆破準(zhǔn)則(3)-(5) 類似.

注1.2根據(jù)函數(shù)空間的嵌入關(guān)系Lp?→Lp,?(p≤?), 可知: 爆破準(zhǔn)則(7) 改進(jìn)了(3) 中的結(jié)果.

注1.3注意到正則性條件(3) 不包含端點(diǎn)情形p= 2/α, 而爆破準(zhǔn)則(6) 對(duì)于p=2/α依然成立, 這補(bǔ)充了(3) 中的結(jié)果.

最后, 受Zhou-Lei[18]關(guān)于Navier-Stokes 方程對(duì)數(shù)型爆破準(zhǔn)則的啟發(fā), 給出本文的另一個(gè)主要結(jié)論如下:

定理1.2設(shè)0<α≤1,κ>0,θ(x,t) 是以θ0∈H2(R2) 為初值的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程(1)在t∈[0,T) 上的局部光滑解. 如果存在p∈(2/α,∞) 和q∈(1,∞), 使得θ(x,t) 滿足

則解θ(x,t) 在有限時(shí)刻T不發(fā)生爆破.注1.4因?yàn)槌闪⒁韵聝山M不等式

與

所以完成定理1.2 的證明, 可以在Lorentz 空間中另外得到三個(gè)新的對(duì)數(shù)型爆破準(zhǔn)則,并且均改進(jìn)了(3) 中的結(jié)果.

2 預(yù)備知識(shí)

為了便于定理1.1 與定理1.2 的證明, 本節(jié)將回顧Lorentz 空間的定義及其若干常用性質(zhì), 并給出兩個(gè)主要引理.

約定記號(hào)C表示一般的正常數(shù), 記號(hào)∥g∥H2(Rn)= ∥Λ2g∥L2(Rn)+ ∥g∥L2(Rn)且H2(Rn) 表示賦以范數(shù)∥· ∥H2(Rn)的非齊次Sobolev 空間, 集合??Rn的n維Lebesgue 測(cè)度用|?| 表示. 對(duì)于集合? 上的可測(cè)函數(shù)f, 令其分布函數(shù)f?為如下定義于區(qū)間[0,∞) 上的函數(shù):

對(duì)于0

則稱所有滿足條件∥f∥Lp,q(?)< ∞的可測(cè)函數(shù)f構(gòu)成的集合為L(zhǎng)orentz 空間Lp,q(?).易知Lebesgue 空間Lp(?)=Lp,p(?), 且當(dāng)0

類似地, 對(duì)于0

其中, 映射f:t∈[0,T)f(t) ∈X為定義于區(qū)間[0,T) 上并取值于Banach 空間X中的抽象函數(shù).

下列為L(zhǎng)orentz 空間的一些常用性質(zhì):

? Lorentz 空間上的H?lder 不等式[19]:

? Lorentz 空間關(guān)于指數(shù)q的單調(diào)性[20]:

當(dāng)0

? 有限測(cè)度集上Lorentz 空間的嵌入關(guān)系[19-20]:

當(dāng)1 ≤m

? Lorentz 空間上的Calderón-Zygmund 不等式[21]:

其中, 1

? Lorentz 空間上的Sobolev 不等式[19]:

其中

? Lorentz 空間上的Gagliardo-Nirenberg 不等式[22]:

當(dāng)1 ≤p,p2,q,q1,q2<∞, 0<α

其中

本文主要結(jié)論的證明過(guò)程也需要用到以下兩個(gè)關(guān)鍵引理:

引理2.1設(shè)?是定義于閉區(qū)間[0,T] 上的正可測(cè)函數(shù). 若存在三個(gè)正常數(shù)μ,?和τ0, 使得對(duì)于所有τ∈(0,τ0) 以及a.e.t∈[0,T], 均成立不等式

其中非負(fù)函數(shù)λ∈L1,∞(0,T) 滿足

則函數(shù)?在區(qū)間[0,T] 上有界.

注2.1該Gronwall 型引理推廣了Bosia-Pata-Robinson 在文獻(xiàn)[17] 的引理3.1中僅對(duì)于情形?=2 所證明的結(jié)果. 引理2.1 對(duì)時(shí)空型Lorentz 空間中的Navier-Stokes方程[16]和本文中準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程正則性準(zhǔn)則的研究起著至關(guān)重要的作用, 其結(jié)論可以進(jìn)一步應(yīng)用到其它流體力學(xué)方程組在Lorentz 空間的研究當(dāng)中, 例如廣義的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程等.

證明當(dāng)0<τ<1 時(shí), 由條件μ∥λ∥L1,∞(0,T)<1/?可得

從而有

再結(jié)合limτ→0?-?τ(0)=1, 可知: 存在正常數(shù)δ, 使得當(dāng)正參數(shù)τ充分小時(shí), 成立

繼而, 當(dāng)t∈[0,T] 時(shí), 對(duì)不等式(15) 變形并從0 到t積分可以推出

由此可得

引理2.2設(shè)2/p+α/q=α, 其中0 <α< ∞且1

證明由條件2/p+α/q=α可得

將上式代入(16) 的第二式, 可以推出

結(jié)合(16) 的第一式可得

再由(17) 式, 可知:qτ=q+τ-qτ. 故結(jié)論得證.

3 定理1.1 的證明

根據(jù)有限區(qū)間(0,T) 上的Lorentz 空間嵌入關(guān)系, 只需對(duì)情形2/p+α/q=α證明定理1.1 即可. 在證明過(guò)程中, 分兩種情況考慮:p∈(2/α,∞) 和p=2/α.

情形1: 當(dāng)p∈(2/α,∞) 時(shí), 將方程(1)1與Λ4θ在全空間R2上作L2內(nèi)積, 并運(yùn)用分部積分可得

其中

接下來(lái), 對(duì)(18) 式右邊的I與J分別進(jìn)行估計(jì). 應(yīng)用分部積分, 可推導(dǎo)出

這里

對(duì)于I2, 由分部積分和關(guān)系式divv=0, 計(jì)算出

對(duì)于I1, 當(dāng)4/α≤p<∞時(shí), 有

(Gagliardo-Nirenberg 不等式或Sobolev 不等式)

當(dāng)2/α

(Sobolev 不等式和Gagliardo-Nirenberg 不等式)

為了估計(jì)J, 應(yīng)用分部積分可得

繼而由Calderón-Zygmund 不等式可知: 不等式

對(duì)于所有q∈(1,∞) 成立. 類似于I1的估計(jì), 同理可得

將I與J的上述估計(jì)式聯(lián)立代入(18) 式, 整理得到

進(jìn)而對(duì)滿足引理2.2 的每一對(duì)正指數(shù)(pτ,qτ), 同理可得

再結(jié)合Gagliardo-Nirenberg 不等式

則有

從而, 當(dāng)∥?⊥θ∥Lq,∞(0,T;Lp,∞(R2))充分小時(shí), 由引理2.1 可以推出

于是, 當(dāng)t∈[0,T] 時(shí), 利用準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程(1) 的標(biāo)準(zhǔn)能量估計(jì)

并結(jié)合Calderón-Zygmund 不等式和Gagliardo-Nirenberg 不等式, 可推導(dǎo)出

即?⊥θ∈L∞(0,T;Lp(R2)). 故由正則性準(zhǔn)則(3), 可知定理1.1 在p∈(2/α,∞) 時(shí)成立.

情形2: 當(dāng)p=2/α?xí)r, 應(yīng)用H?lder 不等式, Sobolev 不等式和Calderón-Zygmund不等式可得

類似于I1的估計(jì), 同理可得

進(jìn)而有

將I與J的上述估計(jì)式聯(lián)立代入(18) 式, 整理得到

從而, 當(dāng)∥?⊥θ∥Lq,∞(0,T;Lp,∞(R2))= ∥?⊥θ∥L∞(0,T;L2/α,∞(R2)) 充分小時(shí), 對(duì)于所有t∈[0,T] 均有

由此可得

再結(jié)合Calderón-Zygmund 不等式, Gagliardo-Nirenberg 不等式以及標(biāo)準(zhǔn)能量估計(jì)(20) 式, 可以推出

即?⊥θ∈L∞(0,T;L3/α(R2)). 故由正則性準(zhǔn)則(3), 可知定理1.1 在p=2/α?xí)r成立.

至此, 完成定理1.1 的證明.

4 定理1.2 的證明

由H?lder 不等式可知, 只需對(duì)情形2/p+α/q=α證明定理1.2 即可.

于是, 根據(jù)估計(jì)(10) 式, (19) 式與(20) 式, 并結(jié)合Calderón-Zygmund 不等式,Gagliardo-Nirenberg 不等式和Young 不等式, 可以推出

進(jìn)而, 當(dāng)t∈[0,T] 時(shí), 由Gronwall 不等式可得

則有

再結(jié)合Calderón-Zygmund 不等式, Gagliardo-Nirenberg 不等式以及標(biāo)準(zhǔn)能量估計(jì)(20) 式, 可推導(dǎo)出

即?⊥θ∈L∞(0,T;Lp(R2)). 故由正則性準(zhǔn)則(3), 可知定理1.2 得證.