過程與結(jié)論相伴，素養(yǎng)與思維導(dǎo)航

王季增

當(dāng)前，中國高考正在實(shí)現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的歷史性轉(zhuǎn)變，數(shù)學(xué)高考已經(jīng)進(jìn)入了新高考模式，傳統(tǒng)的套路和刷題正在與高考背馳，以往的機(jī)械模擬、盲目模仿將風(fēng)光不再，教師應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)，課堂教學(xué)中要體現(xiàn)結(jié)論產(chǎn)生的背景和形成發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生在背景和過程中主動(dòng)探究、認(rèn)識(shí)建構(gòu)、理解結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，助推素質(zhì)教育的發(fā)展。

1.創(chuàng)設(shè)新情境，抽象與概括概念

教師應(yīng)通過設(shè)計(jì)豐富多彩的案例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生能在生活情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題的習(xí)慣。引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界。

例如人教B版選擇性必修第一冊(cè)立體幾何“直線與平面的夾角”，生活中不存在直線與平面，直線與平面都是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的概念，是抽象的，但他們又都來源于現(xiàn)實(shí)生活，是從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出來的。教師可以多列舉一些相關(guān)的實(shí)例，如握筆寫字時(shí)，如果把筆抽象成直線，把紙抽象成平面，則直線與平面成一定的角度；標(biāo)槍運(yùn)動(dòng)員投擲標(biāo)槍時(shí)，標(biāo)槍所在直線與地面所在平面呈現(xiàn)出一定夾角的形象；一天當(dāng)中太陽光線與地面的夾角；飛機(jī)起飛時(shí)，飛行軌跡與地面的夾角。所有這些例子都說明，數(shù)學(xué)既源于生活，又服務(wù)于生活，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

2.全方位展示結(jié)論的思考和產(chǎn)生過程，滲透和發(fā)展核心素養(yǎng)

教學(xué)中要重視知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，厘清知識(shí)的來龍去脈，建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，要以數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的內(nèi)在邏輯為基礎(chǔ)，對(duì)知識(shí)進(jìn)行再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，挖掘、探究和衍生出相應(yīng)的結(jié)論，結(jié)論與過程是同生同在、相生相伴的，不是彼此孤立的；在教學(xué)中，使過程與結(jié)論有機(jī)融合，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展體現(xiàn)在學(xué)習(xí)過程中，拓展學(xué)生思維，真正落實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”。

不妨以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)分析這個(gè)問題。有人認(rèn)為應(yīng)讓學(xué)生記住標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式，結(jié)合定義會(huì)應(yīng)用就行了，這些固然重要，但他們只是結(jié)論性的知識(shí)。實(shí)際上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程更精彩、更重要。這一節(jié)，帶根號(hào)的方程的化簡對(duì)部分學(xué)生來說比較困難，是教學(xué)的難點(diǎn)。教師可以拋出具體問題： 如何化簡？由特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生探究帶根號(hào)的方程化簡的通用方法。一種是從平方次數(shù)越少越好的角度來思考，先移項(xiàng)后平方，再平方的方法，并讓學(xué)生思考討論如果方程中只含有一個(gè)根式，問題如何處理？如果方程中含有兩個(gè)根式，又應(yīng)該怎樣處理？另一種是教材介紹的分子有理化的方法，這種化簡方法技巧性較強(qiáng)，不僅能避免兩次平方，簡化運(yùn)算過程，而且還能進(jìn)一步引申得出橢圓的特征性質(zhì)。教師可以讓學(xué)生思考 的幾何特征，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)， .由此得出橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離（焦半徑）可化為 ?， 這里也為教材第132頁例3提供了一種解法。教師還可以根據(jù)情況更進(jìn)一步引申 ，即橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離與到定直線 的距離的比值為常數(shù)，這也為以后學(xué)生接觸橢圓的第二定義打下基礎(chǔ).

3.拓展課本例題，加深數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用能力

數(shù)學(xué)例題是承載數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，也是鍛煉與施展數(shù)學(xué)技能的舞臺(tái)，除了鞏固學(xué)生所學(xué)的新知識(shí)及其重點(diǎn)、難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，還要一題多解、一題多變、多題一解、舉一反三，對(duì)例題進(jìn)行總結(jié)、反思、升華、提高。每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都不是孤立存在的，數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與社會(huì)生活之間都存在著某種聯(lián)系。通過數(shù)學(xué)例題，可以對(duì)數(shù)學(xué)新知進(jìn)行拓展深入，對(duì)未學(xué)知識(shí)進(jìn)行鋪墊準(zhǔn)備，或是對(duì)其他學(xué)科進(jìn)行關(guān)聯(lián)引申，對(duì)社會(huì)生活進(jìn)行聯(lián)系應(yīng)用，讓學(xué)生的思維更有深度和廣度。

人教B版選擇性必修第一冊(cè)第114頁例2是求兩圓公共弦的問題，教師不能簡單讓學(xué)生記住結(jié)論，可以設(shè)置符合學(xué)生認(rèn)知的一系列問題串：（1）兩圓的交點(diǎn)與兩圓方程相減得到的直線方程有什么關(guān)系？這條直線和兩圓有什么關(guān)系？由此我們能得到什么結(jié)論？引導(dǎo)學(xué)生得出求公共弦所在直線方程的常用方法（2）當(dāng)兩圓外切時(shí)，該方程與兩圓的關(guān)系？當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，該方程與兩圓的關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生得出公切線方程，這也是事物由量變到質(zhì)變的飛躍，體現(xiàn)了樸素的哲學(xué)思想。（3）探索平面內(nèi)兩個(gè)圓的公切線條數(shù)與他們的位置有什么關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)公切線相關(guān)的知識(shí)。這些問題環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)，使學(xué)生在思考的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)深度思維。

總的來說，教師不能將結(jié)論直接交給學(xué)生，應(yīng)該通過好的問題有效驅(qū)動(dòng)學(xué)生積極思考，以核心知識(shí)為基礎(chǔ)，以問題情境為載體，以思想方法為依托，以關(guān)鍵能力為綱領(lǐng)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng)的整體提升。