一種基于改進(jìn)NSGA-II的多目標(biāo)綠色柔性作業(yè)車間調(diào)度方法＊

鄭錦燦 邵立珍 雷雪梅

（①北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京 100083；②北京科技大學(xué)順德創(chuàng)新院，廣東 佛山 528399；③北京科技大學(xué)信息化建設(shè)與管理辦公室，北京 100083）

柔性作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題（flexible flow job shop scheduling problem，F(xiàn)JSP）是傳統(tǒng)作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題基礎(chǔ)上的擴(kuò)展，它是一類經(jīng)典的NP-hard問(wèn)題。在傳統(tǒng)作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題中，每個(gè)工件由一道或多道具有固定加工順序的工序構(gòu)成，且每道工序的加工機(jī)器是唯一的。FJSP允許一道工序有多臺(tái)可供選擇的加工機(jī)器，且在不同機(jī)器上的加工時(shí)間可能存在差異，這更符合柔性制造系統(tǒng)的實(shí)際情況。傳統(tǒng)的FJSP通常僅考慮單一的目標(biāo)函數(shù)，如最小化最大完工時(shí)間或者經(jīng)濟(jì)性能指標(biāo)等。但是隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和人們的環(huán)保意識(shí)不斷的提高，單純的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)已經(jīng)無(wú)法滿足綠色生產(chǎn)的需求，能耗、碳排放等一系列綠色生產(chǎn)指標(biāo)正越來(lái)越受到企業(yè)的重視[1]。因此，多目標(biāo)柔性綠色作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題應(yīng)運(yùn)而生。

不同于單目標(biāo)FJSP，多目標(biāo)FJSP中多個(gè)性能指標(biāo)需要被同時(shí)優(yōu)化。許多學(xué)者采用智能優(yōu)化算法求解該問(wèn)題。Li M等[2]提出了一種兩層帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法求解具有目標(biāo)重要性約束的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。Msc M 等[3]應(yīng)用分布式估計(jì)算法求解了多目標(biāo)隨機(jī)調(diào)度問(wèn)題。楊帆[4]提出了一種多種交叉混合的交叉方法和一種基于元胞數(shù)組的解碼方式，提高遺傳算法的全局搜索能力。梁曉磊等[5]構(gòu)建了以機(jī)器效率最大和最大完工時(shí)間最小為目標(biāo)的調(diào)度模型，并使用改進(jìn)的遺傳算法求解。Chang H C等[6]提出了一種混合遺傳算法（hybrid genetic algorithm，HGA），使用田口方法來(lái)優(yōu)化算法的參數(shù)，還提出了一種新的編碼機(jī)制解決了無(wú)效工件的分配問(wèn)題。

在多目標(biāo)調(diào)度問(wèn)題的求解中，如何防止算法陷入局部最優(yōu)是研究的一個(gè)熱點(diǎn)。文笑雨等[7]設(shè)計(jì)了N5鄰域結(jié)構(gòu)，并提出了改進(jìn)NSGA-II求解方法。張國(guó)輝等[8]考慮了完工時(shí)間，機(jī)器負(fù)載以及環(huán)境碳排放的柔性低碳調(diào)度模型，在NSGA-II算法基礎(chǔ)上引入鄰域搜索策略得到了高效可行的調(diào)度解。Frutos M等[9]構(gòu)建了最小化完工時(shí)間和總成本的多目標(biāo)模型，在遺傳算法的搜索過(guò)程中引入模擬退火算法跳出了局部最優(yōu)。陳輔斌等[10]結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中加工時(shí)間、機(jī)器負(fù)載、運(yùn)行成本等情況，建立了多目標(biāo)調(diào)度模型，引入免疫平衡原理改進(jìn)NSGAII算法，避免了算法陷入局部最優(yōu)。

雖然上述的研究取得了一定的成果，但是針對(duì)多目標(biāo)FJSP的研究，仍存在如下問(wèn)題：①現(xiàn)有的FJSP模型大都集中于最小化完工時(shí)間和機(jī)器總負(fù)荷，忽視了能耗指標(biāo)，模型無(wú)法滿足實(shí)際的綠色生產(chǎn)需求；②在智能優(yōu)化算法中，隨機(jī)選擇的初始化策略影響著算法的求解性能，但現(xiàn)有的智能優(yōu)化調(diào)度算法對(duì)種群初始化策略關(guān)注較少，且解易于陷入局部最優(yōu)。

基于上述考慮，本文首先建立了一個(gè)多目標(biāo)綠色FJSP模型。模型中，除了考慮傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，還考慮了能耗指標(biāo)。其次，提出了一種改進(jìn)的快速非支配排序遺傳算法（improved non-dominated sorting genetic algorithm II，INSGA-II）求解該模型。

1 多目標(biāo)柔性作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題

1.1 問(wèn)題描述

FJSP的數(shù)學(xué)描述[11]為：有n個(gè)相互獨(dú)立的工件 J ={J1,J2, ··· ,Jn}在m臺(tái)不同的機(jī)器構(gòu)成的機(jī)器集M={M1,M2, ···,Mm}上加工，每個(gè)工件包含一定的工序，以工序集 O ={Oi,1,Oi,2, ···,Oi,ni}的形式表示，預(yù)先給定所有工序在可選機(jī)器上的加工時(shí)間進(jìn)行加工。

在建立具體的數(shù)學(xué)模型之前，根據(jù)實(shí)際的生產(chǎn)加工情況做出如下假設(shè)：

（1）同一時(shí)間內(nèi)每個(gè)機(jī)器只能加工一道工序。

（2）所有工件的工序加工時(shí)間是已知的。

（3）同一工件的不同加工工序具有先后優(yōu)先級(jí)，不同工件的加工工序沒(méi)有先后優(yōu)先級(jí)。

（4）一道工序一旦開(kāi)始加工就不能中止。

（5）每個(gè)工件在同一時(shí)刻內(nèi)只允許在一道機(jī)器上加工。

（6）在0時(shí)刻開(kāi)始所有機(jī)器都是可用的，同時(shí)機(jī)器不會(huì)發(fā)生故障。

本文中出現(xiàn)的一些符號(hào)定義如表1所示。

表1 符號(hào)定義表

1.2 模型建立

FJSP的數(shù)學(xué)模型如下：

式（1）和（2）均是控制約束變量，用來(lái)約束指定機(jī)器上的加工和工序。式（3）和（4）表示根據(jù)每一工件的工藝路線，工序的先后加工順序約束；式（5）表示每一個(gè)工件的完工時(shí)間不能超過(guò)總的完工時(shí)間；式（6）規(guī)定每臺(tái)機(jī)器某一時(shí)刻只能加工一道工序；式（7）是獨(dú)占性約束，即規(guī)定某一時(shí)刻每道工序僅能在一臺(tái)機(jī)器上加工；式（8）和（9）中規(guī)定各個(gè)參數(shù)的變量必須是正數(shù)。

模型中的優(yōu)化目標(biāo)為：最大完工時(shí)間、機(jī)器總負(fù)荷、能耗。最大完工時(shí)間是使用頻率最高的基本經(jīng)濟(jì)指標(biāo)；機(jī)器總負(fù)荷指標(biāo)和瓶頸機(jī)器負(fù)荷指標(biāo)在延長(zhǎng)機(jī)器的壽命、合理分配資源以及提高生產(chǎn)效率的方面中有著重要的意義；能耗指標(biāo)作為綠色生產(chǎn)的評(píng)價(jià)指標(biāo)引入。計(jì)算公式如下：

除了上述的3個(gè)性能指標(biāo)，在進(jìn)行算法的性能比較時(shí)，通常也會(huì)引入機(jī)器的瓶頸負(fù)荷指標(biāo)進(jìn)行測(cè)試，其具體計(jì)算公式如下。

2 改進(jìn)的NSGA-II算法

INSGA-II算法的流程圖如圖1所示。該算法基于NSGA-II進(jìn)行改進(jìn)，主要包括以下幾個(gè)部分：編碼生成初始種群、解碼、快速非支配排序和擁擠度距離計(jì)算、交叉變異操作、精英保留策略和學(xué)習(xí)機(jī)制。

圖1 改進(jìn)NSGA-II算法流程圖

2.1 混合種群初始化策略

種群的初始化方式與調(diào)度的初始解具有不可分割的關(guān)系，高效的初始化方式有助于提高算法的收斂速度，通過(guò)更少的迭代次數(shù)得到問(wèn)題的最優(yōu)解。

本文基于機(jī)器和工序（machine selection and operation sequence，MSOS)兩層編碼。如圖2，首先隨機(jī)生成工序染色體P，然后通過(guò)工序染色體P確定機(jī)器染色體M，圖中工序染色體[1, 2, 3, 1, 4, 2, 3, 4, 2]依次代表工序 [O11,O21,O31,O12,O41,O22,O32,O42,O23]，機(jī)器染色體[5, 1, 2, 4, 3, 3, 1, 2, 5]依次代表機(jī)器[M5,M1,M2,M4,M3,M3,M1,M2,M5]。

圖2 MSOS編碼示意圖

在MSOS編碼的基礎(chǔ)上采用一種基于全局、局部、隨機(jī)初始化的非支配選擇種群初始化策略。其中，全局選擇通過(guò)平衡全局的機(jī)器負(fù)載來(lái)實(shí)現(xiàn)全局負(fù)載最小化；局部選擇注重單一工件的工序最小加工時(shí)間，從而保證局部工序的加工時(shí)間最短；隨機(jī)選擇初始化隨機(jī)產(chǎn)生總工序長(zhǎng)度的工序集，再通過(guò)對(duì)應(yīng)工序可選機(jī)器集隨機(jī)選擇一個(gè)機(jī)器形成機(jī)器集，保證初始種群具有一定的隨機(jī)性。具體的初始化方法如下：

步驟1：分別執(zhí)行局部初始化和全局初始化，產(chǎn)生兩個(gè)種群數(shù)量均為Np的初始父代種群。

步驟2：合并兩個(gè)初始父代種群，使用快速非支配排序的方法對(duì)父代種群進(jìn)行初始排序篩選，刪除父代種群中完全相同的初始個(gè)體。

步驟3：在初始個(gè)體被刪除后，如果剩余的總種群數(shù)量少于Np則使用隨機(jī)方法初始化父代種群進(jìn)行補(bǔ)充，直到種群的數(shù)量等于Np。如果剩余的種群數(shù)量等于大于Np，則選擇前Np個(gè)個(gè)體作為父代的初始種群。

2.2 解碼

解碼操作是指將編碼生成的初始種群染色體轉(zhuǎn)換成為可行的調(diào)度方案。本文中采用一種考慮機(jī)器空余時(shí)間的插入式貪婪解碼策略[12]，生成主動(dòng)調(diào)度解，從而最大化的利用機(jī)器資源。

2.3 交叉與變異

本文采用改進(jìn)優(yōu)先工序交叉算子（improved precedence operation crossover, IPOX）和多點(diǎn)保留交叉算子（multipoint preservative crossover, MPX ），以及單點(diǎn)最小加工時(shí)間機(jī)器突變和倒序變異的混合交叉變異方式來(lái)提高算法的尋優(yōu)能力，同時(shí)設(shè)置了自適應(yīng)的交叉變異算子。

2.3.1 基于工序的IPOX交叉

步驟1：將所有的工件p隨機(jī)分配到兩個(gè)數(shù)據(jù)集R1和R2，使得

步驟2：子代C1中復(fù)制父代P1包含在R1中的工序基因，子代C2復(fù)制父代P2包含在R2中的工件，保持復(fù)制前后的工序基因的位置不發(fā)生變化。

步驟3：子代C1之中空余的基因位置用父代P2不包含在R1中的工序基因依次填入，子代C2之中空余的基因位置用父代P1不包含在R2中的工序基因依次填入。

IPOX交叉方式的示意圖如圖3所示。

圖3 IPOX交叉示意圖

2.3.2 基于機(jī)器的MPX交叉

步驟1：隨機(jī)生成一個(gè)長(zhǎng)度為總工序數(shù)只包含0和1的數(shù)組R3。

步驟2：隨機(jī)選擇兩條父代機(jī)器染色體M1和M2，交換M1和M2在R3數(shù)組出現(xiàn)數(shù)字1的相同位置，產(chǎn)生子代的機(jī)器集。

MPX交叉方式示意圖如圖4所示。

圖4 MPX交叉示意圖

2.3.3 混合變異策略

本文采用基于工序的倒序變異方式以及基于機(jī)器的單點(diǎn)最小加工時(shí)間突變的混合變異策略。基于工序的倒序變異，通過(guò)隨機(jī)在工序染色體選擇兩個(gè)變異位置，然后倒序交換這之間的染色體片段?；跈C(jī)器的單點(diǎn)最小加工時(shí)間突變，通過(guò)隨機(jī)選擇一個(gè)工序染色體位置，找到其對(duì)應(yīng)的機(jī)器染色體片段，將對(duì)應(yīng)的機(jī)器染色體片段替換為該工序在可選機(jī)器集中具有最小加工時(shí)間的機(jī)器。

2.4 自適應(yīng)交叉變異算子

本文中采用基于迭代的自適應(yīng)交叉變異算子來(lái)控制交叉和變異的概率。Pc(i)和Pm(i)分別表示每代的交叉和變異的概率，其具體的計(jì)算公式如下。

2.5 快速非支配排序與擁擠度算子

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的多個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間往往存在沖突，本文采用非支配排序和擁擠度算子對(duì)各個(gè)解集進(jìn)行分層排序，從而區(qū)分出解集的優(yōu)劣。

2.6 改進(jìn)的精英保留策略

傳統(tǒng)NSGA-II采用隱性的精英保留策略，這樣容易導(dǎo)致后代出現(xiàn)大量的解處于第一非支配等級(jí)，同時(shí)解集之間的相似度也會(huì)較高。

本文提出一種動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)的改進(jìn)精英保留策略，控制算法迭代產(chǎn)生的后代種群，引入一個(gè)分布函數(shù)來(lái)限制父代種群中的精英數(shù)量，該分布函數(shù)通過(guò)兩種策略進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)。

當(dāng)算法的迭代規(guī)模較小時(shí)，子代非支配等級(jí)為1的精英數(shù)量較少。此時(shí)希望盡可能的保留父代迭代得到的精英解，讓子代繼承這些優(yōu)良特性。而針對(duì)第2-N個(gè)非支配的等級(jí)的種群，則使用比例系數(shù)λ1進(jìn)行選擇，如果某一支配等級(jí)選擇后種群數(shù)之和超過(guò)了N，則該非支配等級(jí)依據(jù)擁擠比較算子選擇個(gè)體數(shù)量，維持種群數(shù)量N保持不變。將這一閾值設(shè)定為子代非支配等級(jí)為1的精英數(shù)量小于父代種群規(guī)模的50%， λ1=0.5。此時(shí)精英保留策略如圖5，其中Pt和Qt分別表示當(dāng)前代數(shù)的父代種群和子代種群，Pt+1和Qt+1分別表示下一代的父代種群和子代種群。Pt+1的計(jì)算公式如下:

圖5 第一種條件下的改進(jìn)精英保留策略

當(dāng)算法迭代到一定的規(guī)模時(shí)，子代非支配等級(jí)為1的精英數(shù)量已經(jīng)較多，算法的迭代可能陷入停滯。此時(shí)使用比例系數(shù) λ2來(lái)選擇所有非支配等級(jí)的種群，以更多的比例接受一定程度的劣解，提高后代種群的多樣性，防止算法陷入局部最優(yōu)，同時(shí)我們也需要控制種群數(shù)量。設(shè)置 λ2的參數(shù)為0.6，此時(shí)精英保留策略如圖6，Pt+1的計(jì)算公式如下。

圖6 第二種條件下的改進(jìn)精英保留策略

2.7 學(xué)習(xí)機(jī)制

NSGA-II的交叉變異算子在一定程度上可以防止算法陷入局部最優(yōu)。為了提高算法的可靠性，采用一種基于最優(yōu)個(gè)體的學(xué)習(xí)機(jī)制，針對(duì)算法迭代產(chǎn)生的優(yōu)良種群進(jìn)行鄰域搜索，具體的執(zhí)行過(guò)程如下：

步驟1：選擇一條父代迭代后生成解集中支配等級(jí)為1的染色體P_1。

步驟2：在染色體上隨機(jī)生成兩個(gè)位置點(diǎn)A和B，記錄兩點(diǎn)之間的片段做為父代優(yōu)良的基因片段。

步驟3：分別打亂A點(diǎn)左側(cè)的基因片段和B點(diǎn)右側(cè)的基因片段，重新組合生成新的染色體P_2。

步驟4：檢查P_2染色體的調(diào)度的可行性，如果產(chǎn)生了不可行調(diào)度的解，則為其不可行工序在可選機(jī)器集中分配一臺(tái)機(jī)器加工。確保染色體能夠生成可行調(diào)度解后計(jì)算P_2目標(biāo)函數(shù)值和非支配等級(jí)。

步驟5：比較P_1和P_2的目標(biāo)函數(shù)值和非支配等級(jí)，如果P_2優(yōu)于P_1則使用P_2替換P_1來(lái)調(diào)整新的父代種群。

學(xué)習(xí)機(jī)制的示意圖如圖7所示。

圖7 學(xué)習(xí)機(jī)制示意圖

3 算法仿真測(cè)試與分析

本文算法基于Matlab R2015a進(jìn)行編程，并在Windows 10，AMD Ryzen 7-5800H，CPU 3.2 GHz，內(nèi)存16 GB，64位操作系統(tǒng)上運(yùn)行。設(shè)置算法的初始種群數(shù)量為100，最大迭代代數(shù)為200，交叉算子Pc的范圍為[0.4,0.8]，變異算子Pm的范圍為[0.01,0.1]。

3.1 改進(jìn)初始化策略的有效性

為了驗(yàn)證本文所提出的改進(jìn)初始化策略的有效性，使用隨機(jī)初始化的NSGA-II算法和采用非支配選擇策略INSGA-II算法做對(duì)比，以Brandimarte基準(zhǔn)算例中的MK04數(shù)據(jù)集為例，設(shè)定目標(biāo)函數(shù)為最小化最大完工時(shí)間，最小化瓶頸機(jī)器負(fù)荷，最小化總負(fù)荷，其余的所有參數(shù)均保持一致，兩種算法各獨(dú)立運(yùn)行20次，選取最優(yōu)的結(jié)果繪制進(jìn)化曲線進(jìn)行對(duì)比。

由圖8～10可知使用非支配選擇初始化策略INSGA-II算法在初始解集上均優(yōu)于使用隨機(jī)初始化策略的NSGA-II算法，同時(shí)其收斂的速度也較NSGA-II有一定的優(yōu)勢(shì)。通過(guò)對(duì)比算法在各個(gè)目標(biāo)函數(shù)上的最終解集收斂值，INSGA-II在機(jī)器總負(fù)荷以及最大完工時(shí)間上均優(yōu)于NSGA-II算法，說(shuō)明了非支配選擇初始化策略在求解該問(wèn)題上較優(yōu)。

圖8 INSGA-II和NSGA-II完工時(shí)間進(jìn)化過(guò)程

3.2 改進(jìn)精英保留策略的有效性

為了驗(yàn)證本文所提出的改進(jìn)精英保留策略的有效性，選取使用傳統(tǒng)精英保留策略的NSGA-II算法與改進(jìn)式精英保留策略的INSGA-II算法做對(duì)比，其余參數(shù)條件保持一致。選取Brandimarte中MK01的數(shù)據(jù)集進(jìn)行測(cè)試，優(yōu)化目標(biāo)為最小化最大完工時(shí)間，最小化瓶頸機(jī)器負(fù)荷，最小化總負(fù)荷。兩種算法獨(dú)立運(yùn)行20次，選擇最好的非支配解集個(gè)數(shù)進(jìn)行記錄，如表2所示。

表2 MK01算例對(duì)比表

圖9 INSGA-II和NSGA-II瓶頸機(jī)器負(fù)荷進(jìn)化過(guò)程

圖10 INSGA-II和NSGA-II總負(fù)荷進(jìn)化過(guò)程

3.3 多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)比實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文INSGA-II算法性能，針對(duì)Kacem提出的 8×8，10×10和 15×10這 3個(gè)基準(zhǔn)算例進(jìn)行測(cè)試，并與Alzahrani J S[13]提出的搶占式約束規(guī)則（pre-emptive constraint procedure，PCP）算法，Soto C[14]提出的多目標(biāo)分支界定算法 （multiobjective branch and bound，MBB）以及 NSGA-II進(jìn)行對(duì)比。優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)分別為最小化最大完工時(shí)間F1，最小化瓶頸機(jī)器負(fù)荷F2，最小化總負(fù)荷F3，算例的結(jié)果對(duì)比如表3所示。

表3 Kacem算例結(jié)果對(duì)比表

由表中的數(shù)據(jù)可知INSGA-II算法在求解8*8的算例時(shí)得到的非支配解個(gè)數(shù)為4，多于PCP的3個(gè)和MBB的3個(gè)以及NSGA-II的2個(gè)，且分析數(shù)據(jù)可知[15,13,73]，[16,12,75]都比PCP的解集[15,13,76]，[16,12,78]更加好。在10×10的算例上，INSGA-II求得的非支配解數(shù)量均多于PCP以及MBB和NSGA-II，在15×10的算例上INSGA-II求得的非支配解個(gè)數(shù)少于PCP的3個(gè)，多于MBB和NSGA-II的1個(gè)。分析可知，INSGA-II算法能夠有效的求解不同規(guī)模的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，并得到質(zhì)量較高的解集。

3.4 優(yōu)化調(diào)度方案決策分析

在MK04數(shù)據(jù)集測(cè)試，由于該數(shù)據(jù)集不包含能耗信息，故采用計(jì)算機(jī)隨機(jī)生成數(shù)字的方式，添加機(jī)器的空載能耗和加工能耗。10個(gè)加工機(jī)器的空載能耗和機(jī)器能耗在[0.1,0.3]和[0.5,2]的范圍內(nèi)自動(dòng)生成。生成的數(shù)字分別為[0.2,0.1,0.1,0.3,0.2,0.3,0.3,0.2,0.2]，[1.3,0.9,1.7,1.1,1.2,1.9,0.7,0.5]。采用INS-GAII算法優(yōu)化3個(gè)目標(biāo)函數(shù)，即最小化最大完工時(shí)間f1，最小化總負(fù)荷f2和最小化能耗f3。表3為運(yùn)行中生成的24個(gè)非支配解。

生產(chǎn)決策過(guò)程之中，3個(gè)指標(biāo)之間的權(quán)重有所差別。由于3個(gè)決策目標(biāo)的值具有不同的量綱，需要將其歸一化：

然后歸一化的目標(biāo)函數(shù)乘以相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)進(jìn)行加權(quán)求和得到加權(quán)的目標(biāo)函數(shù)：

假設(shè)決策者對(duì)環(huán)境指標(biāo)要求比較高，希望獲得環(huán)境友好型的決策，選取的權(quán)重系數(shù)矩陣W=[0.25,0.25,0.5]，計(jì)算得到的最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)如表4第22條所示，其最大完工時(shí)間為86，機(jī)器總負(fù)載為342，總能耗為390.2，加工信息甘特圖如圖11所示。

圖11 環(huán)境友好型決策調(diào)度甘特圖

表4 MK04算例Pareto最優(yōu)解集表

4 結(jié)語(yǔ)

本文建立了以最小化最大完工時(shí)間、最小化機(jī)器負(fù)荷、最小化總能耗為優(yōu)化目標(biāo)的綠色柔性作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題模型。為了有效的求解該問(wèn)題模型，提出了一種改進(jìn)的NSGA-II算法，設(shè)計(jì)了一種非支配的初始化策略，并采用插入式的貪婪解碼策略進(jìn)行解碼。采用自適應(yīng)交叉變異算子，結(jié)合IPOX交叉和MPX交叉的混合交叉方式，倒序變異和單點(diǎn)最小加工時(shí)間突變的混合變異方式，提高算法的搜索能力。針對(duì)傳統(tǒng)NSGA-II解集多樣性差、質(zhì)量低的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了基于分布函數(shù)的改進(jìn)式精英保留策略，并通過(guò)引入一種基于最優(yōu)解的學(xué)習(xí)機(jī)制來(lái)增強(qiáng)算法的局部搜索能力。最后，通過(guò)兩個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試算例對(duì)算法的性能進(jìn)行了測(cè)試，并進(jìn)行了決策分析，結(jié)果表明算法求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的有效性。

未來(lái)研究將考慮不確定環(huán)境下的柔性作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題，繼續(xù)探索多目標(biāo)優(yōu)化算法的改進(jìn)策略，提高算法求解的質(zhì)量和效率。