GPS輪廓法粗糙度數(shù)據(jù)處理研究與實(shí)現(xiàn)

潘麗麗

（?？怂箍抵圃熘悄芗夹g(shù)（青島）有限公司，上海 201100）

產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范（geometrical product specifications, GPS）是一套關(guān)于工件幾何學(xué)的規(guī)范，它覆蓋了尺寸、尺度、幾何公差和表面幾何性能的標(biāo)準(zhǔn)，是國際標(biāo)準(zhǔn)中影響最廣的重要基礎(chǔ)標(biāo)準(zhǔn)之一，是所有機(jī)電產(chǎn)品“標(biāo)準(zhǔn)與計(jì)量”規(guī)范的基礎(chǔ)，也是制造業(yè)信息化的重要基礎(chǔ)[1]。

表面粗糙度又稱表面光潔度，是指工件表面所具有的較小間距和峰谷組成的不平度微觀幾何形狀的尺寸特性，是用來評(píng)價(jià)工件表面制造質(zhì)量的重要指標(biāo)[2]。表面粗糙度的測量方法可分為接觸式測量和非接觸式測量[3]。接觸式測量法即傳統(tǒng)的觸針掃描法，測量結(jié)果穩(wěn)定可靠，測量靈敏度和橫向分辨率較高。

觸針法是采用微米級(jí)半徑的觸針與被測工件表面相接觸，在導(dǎo)軌的引導(dǎo)下，觸針在被測工件的表面緩慢滑動(dòng)?；瑒?dòng)過程中，觸針會(huì)隨著工件表面的高低起伏出現(xiàn)上下位移，將這些微小的位移量經(jīng)過傳感器轉(zhuǎn)換成電信號(hào)，電信號(hào)經(jīng)放大、數(shù)模轉(zhuǎn)換后輸出數(shù)字信號(hào)，數(shù)字信號(hào)在經(jīng)過濾波和運(yùn)算后可以得到表面粗糙度的實(shí)際相關(guān)參數(shù)。盡管采樣設(shè)備對(duì)測量力有嚴(yán)格的控制，并且電路中已包含濾波部分，在輸出的數(shù)字信號(hào)中依然包含一部分噪聲，比如標(biāo)稱形狀、由觸針抖動(dòng)、導(dǎo)軌偏移、來自設(shè)備內(nèi)部和外部的擾動(dòng)，輪廓信號(hào)發(fā)送時(shí)帶來的擾動(dòng)，這些分量不能算是粗糙度輪廓的一部分，因此GPS對(duì)數(shù)字信號(hào)的處理做了明確的規(guī)定。

按GPS的數(shù)據(jù)處理要求，本文使用最小二乘擬合法消除標(biāo)稱形狀，以及用高斯濾波的方式實(shí)現(xiàn)粗糙度輪廓曲線的分離，完成了算法及程序設(shè)計(jì)，并對(duì)比了不同參數(shù)和數(shù)據(jù)處理方式對(duì)結(jié)果的影響，為評(píng)價(jià)粗糙度參數(shù)做好了數(shù)據(jù)準(zhǔn)備。

1 GPS 數(shù)據(jù)處理要求

1.1 輪廓曲線的定義

全輪廓，即整個(gè)測量過程中觸針沿導(dǎo)軌在相交平面內(nèi)移動(dòng)軌跡的數(shù)字形式，它是一系列點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)有橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。全輪廓包含了測量設(shè)備輸出的所有數(shù)字信息，包含噪聲和用于評(píng)價(jià)粗糙度的有用的輪廓曲線。

原始輪廓，根據(jù)ISO 3274規(guī)定，即將全輪廓消除標(biāo)稱形狀，然后進(jìn)行濾波以過濾高頻成分以后所得到的數(shù)據(jù)。由于標(biāo)稱形狀，不能算是輪廓的一部分，所以在應(yīng)用λs之前，應(yīng)將其從總輪廓中去除，對(duì)于測量軌跡是一個(gè)圓來說，還需消除半徑分量，而不是將其算在標(biāo)稱值上[4]。如圖1所示。

圖 1 GPS 粗糙度數(shù)據(jù)處理流程

原始輪廓是評(píng)價(jià)原始輪廓參數(shù)的基礎(chǔ)，它包含了粗糙度輪廓和波紋度輪廓兩部分。

輪廓曲線濾波器是用來將輪廓曲線分離成長波長成分和短波長成分的過濾器。ISO 4 287定義了3個(gè)傳輸特性相同，但截止波長不同的濾波器來分離原始輪廓、粗糙度輪廓和波紋度輪廓，即λs、λc和λf，如圖2 所示[5]。

圖 2 粗糙度輪廓與波紋度輪廓成分的傳輸特性

λs輪廓濾波器：它將波長小于λs的信號(hào)分量從全輪廓分離出，因?yàn)楦鶕?jù)定義，這些分量不屬于原始輪廓、粗糙度輪廓或波紋度輪廓。

λc輪廓濾波器: 定義粗糙度輪廓成分和波紋度輪廓成分間界限的過濾器。

λf輪廓過濾器：定義波紋度輪廓成分和殘留輪廓成分間界限的過濾器。殘留輪廓是通過跟蹤理想的平整且光滑的平面（光學(xué)平面）而獲得的原始輪廓。它由導(dǎo)軌偏移、來自設(shè)備內(nèi)部和外部的擾動(dòng)，以及輪廓信號(hào)發(fā)送時(shí)帶來的偏差組成。如果沒有專用的設(shè)備和合適的環(huán)境，通常無法確定這些偏差的原因。

粗糙度輪廓是通過使用輪廓濾波器λc抑制原始輪廓中的長波分量而獲得的輪廓，它是評(píng)價(jià)粗糙度輪廓參數(shù)的基礎(chǔ)；波紋度輪廓是通過使用輪廓濾波器λf抑制原始輪廓中長波分量以及使用輪廓濾波器λc抑制原始輪廓中的短波分量而獲得的輪廓，它是評(píng)價(jià)波紋度輪廓參數(shù)的基礎(chǔ)。

各級(jí)濾波器截止波長的選擇跟粗糙度測量設(shè)備的測頭半徑和最大采樣間隔相關(guān)，它們之間的關(guān)系如表1所示。

表1 各截止波長與測頭半徑、采樣間隔之間的關(guān)系

1.2 GPS 數(shù)據(jù)處理要求

對(duì)于消除標(biāo)稱形狀，GPS規(guī)范要求通過最佳擬合最小二乘法將其從全輪廓中去除[4]。

對(duì)于數(shù)字濾波器的選擇，應(yīng)使用相位校正濾波器，ISO11562指定為高斯濾波器，且在截止波長處，振幅的衰減率為50%[6]。高斯濾波是一個(gè)低通濾波器，但是可以通過組合使用達(dá)到帶通濾波器的功能，實(shí)現(xiàn)對(duì)粗糙度輪廓和波紋度輪廓的提取。

2 數(shù)據(jù)處理的實(shí)現(xiàn)

2.1 消除標(biāo)稱形狀

標(biāo)稱形狀是在隨機(jī)信號(hào)中存在線性項(xiàng)或者緩慢變化的、周期大于記錄長度的非線性成分。工程中實(shí)際測錄的信號(hào)絕大部分都是復(fù)雜周期信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)的混合。標(biāo)稱形狀的存在，會(huì)使時(shí)域中的相關(guān)分析和頻域中的功率譜分析產(chǎn)生大的誤差，甚至使低頻信號(hào)完全失去真實(shí)性。因此，消除標(biāo)稱形狀是數(shù)據(jù)處理中的一個(gè)重要步驟[7]。

消除標(biāo)稱形狀的方法有多種，根據(jù)信號(hào)特征，被測試對(duì)象的物理模型等因素而定，如瞬態(tài)沖擊數(shù)據(jù)的基線，主要利用初始條件和終了條件來確定修正系數(shù)；對(duì)于隨機(jī)信號(hào)和穩(wěn)定的確定性信號(hào)，主要采用對(duì)標(biāo)稱形狀擬合的方法來消除，常用的消除法有平均斜率法和最小二乘法。平均斜率法用于消除信號(hào)中的線性標(biāo)稱形狀。當(dāng)信號(hào)中含有線性和非線性標(biāo)稱形狀時(shí)，需要采用最佳擬合最小二乘法，它既可以消除數(shù)字信號(hào)中的線性標(biāo)稱形狀部分，又可以消除非線性的高階多項(xiàng)式標(biāo)稱形狀部分。由于粗糙度測量數(shù)據(jù)中包含線性和非線性的工件表面形狀成分，所以ISO 3274規(guī)定使用最佳擬合最小二乘法消除標(biāo)稱形狀[4]。

觸針式粗糙度測量設(shè)備的輸出結(jié)果橫坐標(biāo)為偏移起始點(diǎn)的距離，縱坐標(biāo)為測針相對(duì)于相交平面的上下移動(dòng)的位移。如果得到測量數(shù)據(jù)為U，其長度為N，其中的第n項(xiàng)標(biāo)記為Un，假設(shè)采樣間隔長度為 Δx， 則第n項(xiàng)的橫坐標(biāo)為xn=nΔx， 用一個(gè)K階多項(xiàng)式V來擬合這組粗糙度的測量數(shù)據(jù)U，其中第n項(xiàng)為Vn，為

式中：n= 1, 2, …,N。

根據(jù)最小二乘法原理，選擇合適的系數(shù)pi，使得Un與Vn之間的誤差平方和最小。其誤差平方和為

式中：Un為 原始信號(hào)；Vn為 多項(xiàng)式擬合信號(hào)；bi為多項(xiàng)式系數(shù)。

根據(jù)極值條件，對(duì)平方和公式求偏導(dǎo)數(shù)，并使其等于0，即

上式整理后可獲得K+ 1個(gè)方程，

在多項(xiàng)式階數(shù)確定K以后，通過計(jì)算可獲得K+ 1個(gè)系數(shù)，由此可得擬合的多項(xiàng)式。

例如，當(dāng)K=1時(shí)，可求得

依次類推，可求得K不同取值時(shí)的多項(xiàng)式系數(shù)，計(jì)算稍有復(fù)雜，可以通過編程求得系數(shù)。可見，當(dāng)多項(xiàng)式系數(shù)過高時(shí)，確實(shí)增加了計(jì)算量。

筆者推薦一個(gè)有效的可求得擬合多項(xiàng)式系數(shù)的數(shù)學(xué)算法庫，Math.NET，它是一個(gè)開源的、提供了適合多種編程語言的且使用方便的數(shù)學(xué)算法庫。這里的擬合多項(xiàng)式的系數(shù)可通過一個(gè)簡單的方法調(diào)用獲得。

輸入?yún)?shù)X為長度為N的一維數(shù)組，即粗糙度數(shù)據(jù)U的橫坐標(biāo)值的集合，其中第n項(xiàng)的值為

式中： Δx為粗糙度數(shù)據(jù)的采樣間隔，K為多項(xiàng)式的階數(shù)。返回結(jié)果B為K+ 1 長度的數(shù)組，即為K階多項(xiàng)式的系數(shù)b0, b1, ··, bk。

假設(shè)消除標(biāo)稱形狀后的粗糙度數(shù)據(jù)為Y，長度為N，其中第n項(xiàng)為Yn，則

C#語言可以用一個(gè)簡單的二重循環(huán)完成消除標(biāo)稱形狀，其中Math.Pow(X[i],j)是Xi的j次冪，即多項(xiàng)式中的第j個(gè)分量，完整C#代碼如下。

擬合的多項(xiàng)式中，系數(shù)b0反應(yīng)了信號(hào)的均值成分，b1反應(yīng)了信號(hào)中的線性標(biāo)稱形狀，b2反應(yīng)了信號(hào)中與采樣間隔平方成正比的非線性標(biāo)稱形狀，對(duì)于選擇高階多項(xiàng)式消除標(biāo)稱形狀時(shí)，要慎重考慮，因?yàn)樵谙蔷€性標(biāo)稱形狀時(shí)，是用高階多項(xiàng)式去擬合非線性標(biāo)稱形狀，這種擬合作用的同時(shí)也影響到有用信號(hào)，使有用信號(hào)中的低階諧波受到一定程度的衰減，這種影響隨著K值的增大而變得顯著。

2.2 高斯濾波

高斯濾波原理是：在對(duì)某一點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波時(shí)，利用高斯權(quán)函數(shù)對(duì)該點(diǎn)和該點(diǎn)前后一定寬度內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)，再將加權(quán)后的值進(jìn)行累加，所得到的便是濾波后的數(shù)據(jù)；實(shí)際應(yīng)用過程中，取高斯濾波器權(quán)函數(shù)的寬度為截止波長[8]。

根據(jù)ISO 11562的規(guī)定[6]，相移校正濾波器的權(quán)函數(shù)為高斯密度分布函數(shù)，λco為截止波長（co =cut-off），如式（9）所示[3]。

高斯濾波器的振幅傳輸特性如公式（10）所示。

式中：a0為粗糙度輪廓在濾波前的振幅；a1為粗糙度輪廓在濾波后的振幅。

根據(jù)ISO要求，高斯濾波器在截止波長處，振幅的衰減率為50%，由式（10）可求得 α為常量，為

濾波器的輸出為輸入波形與濾波器的權(quán)函數(shù)做卷積的結(jié)果，因此高斯濾波器的輸出信號(hào)為

式中：y(x)為濾波器輸入信號(hào)；v(x)為濾波器輸出信號(hào)；s(x)為式（9）中高斯濾波器的權(quán)函數(shù)。

采樣點(diǎn)間隔是在粗糙度掃描時(shí)由用戶設(shè)定，可根據(jù)表1中數(shù)據(jù)設(shè)置，也可自定義。在粗糙度數(shù)據(jù)處理時(shí)，可以當(dāng)作已知常量使用，假設(shè)采樣點(diǎn)間隔為 Δx，則距離中心點(diǎn)第i個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

在長度為 λco范圍內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)為

令xt=it×Δx，將式（12）離散化，得

將高斯濾波權(quán)函數(shù)式（9）代入式（15）得

式中：N由式（14）中定義。

到此，濾波器的算法推算完畢。高斯濾波即是對(duì)采樣點(diǎn)進(jìn)行前面N個(gè)點(diǎn)和后面N個(gè)的加權(quán)計(jì)算，N由濾波器的截止波長和采樣間隔決定。

基于式（16），使用C#語言設(shè)計(jì)的濾波器代碼如下：

以上代碼是一個(gè)低通高斯濾波器。因?yàn)闇y針的總行程，總比評(píng)定長度（5個(gè)取樣長度）多1個(gè)或者2個(gè)取樣長度，所以邊界點(diǎn)的處理方式并不重要，不會(huì)影響評(píng)定結(jié)果。由圖2可知，粗糙度輪廓是由原始輪廓通過高通濾波器獲得，波紋度輪廓是由原始輪廓通過帶通濾波器獲得，可以該低通濾波器為基礎(chǔ)，通過簡單計(jì)算來構(gòu)造高通濾波器和帶通濾波器，代碼如下：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.1 消除標(biāo)稱形狀的結(jié)果

圖3為原始的粗糙度測量數(shù)據(jù)，測量長度為4.8 mm，采樣間距為0.5 μm。

圖 3 粗糙度原始數(shù)據(jù)

圖4為一階多項(xiàng)式消除標(biāo)稱形狀后的結(jié)果。

圖 4 一階多項(xiàng)式擬合消除標(biāo)稱形狀

圖5到圖7為多階多項(xiàng)式消除標(biāo)稱形狀后的結(jié)果。

圖 5 二階多項(xiàng)式擬合消除標(biāo)稱形狀

圖 6 三階多項(xiàng)式擬合消除標(biāo)稱形狀

圖 7 十階多項(xiàng)式擬合消除標(biāo)稱形狀

由圖4到圖7的縱坐標(biāo)變化可見，對(duì)于該組粗糙度測量數(shù)據(jù)來說，一階多項(xiàng)式擬合便可消除信號(hào)中的均值成分（見圖4），二階多項(xiàng)式擬合比一階多項(xiàng)式擬合又多消除了一些分量（圖5），三階多項(xiàng)式擬合與二階多項(xiàng)式擬合相比，消除標(biāo)稱形狀后的波形并沒有明顯的變化（圖6），但十階多項(xiàng)式擬合消除標(biāo)稱形狀后波形又有振幅增加的趨勢（圖7）。因此對(duì)于該組粗糙度測量數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)，選擇二階多項(xiàng)式擬合消除標(biāo)稱形狀可以滿足要求。

3.2 高斯濾波結(jié)果

本文所測試粗糙度測量數(shù)據(jù)，測頭半徑為2 μm，采樣間距為 0.5 μm，所以λs選擇 2.5 μm，λc選擇0.8 mm，λf為兩個(gè)λc的長度，即1.6 mm。

3.2.1 原始輪廓波形

將λs=2.5 μm作為參數(shù)傳遞給上述低通濾波器，將波長小于λs的分量從全輪廓中濾除而得到原始輪廓。所得結(jié)果如圖8所示（為使3種曲線對(duì)比有更明顯的效果，此處設(shè)置的多項(xiàng)式系數(shù)為1）。

圖 8 原始輪廓曲線

3.2.2 波紋度輪廓波形

將λc=0.8 mm ,λf=1.6 mm作為參數(shù)傳遞給上述帶通濾波器，將波長在λc和λf之間的部分從原始輪廓中分離出來得到的波紋度輪廓如圖9所示。

圖 9 波紋度輪廓曲線

如果不過濾掉殘留輪廓，可見波紋度輪廓因?yàn)榛祀s了噪聲，有非常明顯的波動(dòng)幅度，如圖10所示。

圖 10 波紋度輪廓曲線 (含殘留輪廓）

3.2.3 粗糙度輪廓波形

將λc=0.8 mm作為參數(shù)傳給給上述高通濾波器，將低于λc的波形分量從原始輪廓中分離出來便可得到粗糙度輪廓，如圖11所示。

圖 11 粗糙度輪廓曲線

3.2.4 3種輪廓波形比對(duì)

將上述3種曲線合并在1張圖上，可看出，如果沒有濾除殘留輪廓，波紋度輪廓曲線與粗糙度輪廓曲線疊加可得原始輪廓曲線，因?yàn)樵驾喞前瑲埩糨喞?，如圖12。

圖 12 輪廓曲線疊加（含殘留輪廓）

將殘留輪廓濾除的輪廓曲線疊加如圖13所示?？梢姎埩糨喞拇嬖谥挥绊懙讲y度輪廓，并不會(huì)影響到粗糙度輪廓，這跟圖2的定義一致。

圖 13 輪廓曲線疊加（無殘留輪廓）

4 結(jié)語

在產(chǎn)品設(shè)計(jì)和開發(fā)過程中，遵循GPS規(guī)范對(duì)保障產(chǎn)品性能非常重要。筆者按照GPS規(guī)范的要求，對(duì)粗糙度數(shù)字信號(hào)處理進(jìn)行了深入研究，并實(shí)現(xiàn)了符合GPS規(guī)范的粗糙度數(shù)字信號(hào)處理算法：

（1）使用最小二乘擬合法將影響粗糙度評(píng)價(jià)結(jié)果真實(shí)性的標(biāo)稱形狀去除。對(duì)比了不同多項(xiàng)式階數(shù)的輸出結(jié)果，二階多項(xiàng)式比較適合本文所用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

（2）通過將高斯濾波權(quán)函數(shù)與輸入波形的卷積離散化，得到高斯濾波輸出的數(shù)字信號(hào)公式，并使用此公式實(shí)現(xiàn)低通濾波器、帶通濾波器及高通濾波器，以濾除高頻噪聲和殘留輪廓成分，提取出原始輪廓、粗糙度輪廓和波紋度輪廓。

基于試驗(yàn)結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，算法參數(shù)的選擇在數(shù)字信號(hào)處理中至關(guān)重要，應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)處理方法和測試數(shù)據(jù)特性做出嚴(yán)格選擇，可參考輸出信號(hào)進(jìn)行參數(shù)調(diào)整。經(jīng)過該數(shù)據(jù)處理過程得到的結(jié)果為后期的粗糙度參數(shù)評(píng)價(jià)做好了數(shù)據(jù)準(zhǔn)備。