T形截面軸壓短柱畸變屈曲的無窮級數(shù)解與FEM驗(yàn)證

張文福，郭雪妞，黃 斌，杭昭明

(1.安徽建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院，安徽 合肥 230601；2.南京工程學(xué)院 建筑工程學(xué)院，江蘇 南京 211167；3.東北石油大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318)

隨著經(jīng)濟(jì)和新時(shí)期基礎(chǔ)設(shè)施快速發(fā)展，建筑結(jié)構(gòu)形式越來越復(fù)雜多變。鋼管短柱軸心受壓穩(wěn)定性一直受到學(xué)者們的關(guān)注。歷年來，學(xué)者們研究軸壓柱的整體穩(wěn)定性時(shí)，大多傾向于采用試驗(yàn)研究的方法。羅霞等[1]對7組高強(qiáng)鋼管軸壓柱進(jìn)行了材料性能測試和加載試驗(yàn)，分析了不同長徑比對軸壓鋼柱結(jié)構(gòu)破壞形式的影響。程阿青等[2]通過對比加載試驗(yàn)，探究了膨脹劑摻量對自密實(shí)鋼管試件延性和極限承載力的影響。有時(shí)試驗(yàn)法無法得到精確的結(jié)果，需要借助理論方法修正參數(shù)。韋建剛等[3]為研究高強(qiáng)鋼管超高強(qiáng)混凝土柱的穩(wěn)定性能，通過直接強(qiáng)度法修正現(xiàn)有規(guī)范中的系數(shù)，很好地預(yù)測了此類高強(qiáng)鋼管超高性能混凝土柱的承載力和穩(wěn)定性能。王珉[4]通過試驗(yàn)探究了在軸壓下三肢鋼管箱型截面柱的力學(xué)性能，用有限元分析研究了各類參數(shù)對結(jié)構(gòu)極限承載力的影響。姚行友等[5]通過軸壓試驗(yàn)研究了冷彎薄壁工字形截面柱畸變屈曲性能，基于試驗(yàn)結(jié)果以及有限元分析結(jié)果提出了直接強(qiáng)度法的修正公式，并驗(yàn)證其準(zhǔn)確性和可行性。王群雄等[6]采用纖維模型法，基于4種不同本構(gòu)關(guān)系組合模型模擬出構(gòu)件的荷載與變形之間的關(guān)系，計(jì)算了中空鋼管混凝土軸壓柱的承載力。

相較于試驗(yàn)法和有限元分析法，關(guān)于軸壓試驗(yàn)的研究成果較少，且關(guān)于軸壓矩柱結(jié)構(gòu)的畸變屈曲問題的研究多以試驗(yàn)以及經(jīng)驗(yàn)公式為主，理論分析研究較少。因此，對短鋼柱的彎扭屈曲及畸變屈曲問題的研究具有較高的科學(xué)價(jià)值。本文基于張文福[7]提出的“板-梁”理論與傳統(tǒng)的能量法，對T形截面的畸變屈曲問題進(jìn)行了理論研究及驗(yàn)證，旨在為提高軸壓矩柱的穩(wěn)定性提供理論依據(jù)。

1 理論計(jì)算模型

以T形截面柱為研究對象，引入2組符合右手螺旋法則的坐標(biāo)系：全局xyz坐標(biāo)系和局部nsz坐標(biāo)系。選擇截面的質(zhì)心處作為全局坐標(biāo)系的原點(diǎn)，選擇每個(gè)板的質(zhì)心處作為每個(gè)板的局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)。計(jì)算模型如圖1所示。

2 畸變屈曲無窮級數(shù)解答

2.1 “板-梁”理論下T形截面構(gòu)件的總勢能方程

下翼緣平面內(nèi)應(yīng)變能為：

(1)

下翼緣平面外彎曲應(yīng)變能為：

(2)

翼緣的總應(yīng)變能為：

(3)

腹板的應(yīng)變能為:

(4)

下翼緣的初應(yīng)力勢能為：

(5)

腹板的初應(yīng)力勢能為:

(6)

綜上，T形截面構(gòu)件的總勢能為:

(7)

2.2 選用模態(tài)試函數(shù)

翼緣剪心的位移與轉(zhuǎn)角的模態(tài)試函數(shù)為：

(8)

式(8)中，u為簡支柱畸變屈曲時(shí)T形截面的側(cè)向位移;φ為T形截面繞強(qiáng)迫轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的扭轉(zhuǎn)角；h為腹板上邊緣到下翼緣形心線之間的距離；An和Bn均為無量綱的待定系數(shù)。

將式(8)代入式(7)中，可用Mathematica軟件進(jìn)行積分工作，得如下分項(xiàng)的結(jié)果。

(9)

(10)

(11)

(12)

式(11)～(12)中，P為z方向的力，即軸向壓力；A為截面總面積；tB為翼緣厚度；tw為腹板厚度。軸壓作用下的T形截面簡支柱畸變屈曲的總勢能可以表示為：

(13)

2.3 屈曲方程及解析解

根據(jù)勢能駐值原理，先計(jì)算如下：

(14)

可得無窮階無量綱屈曲方程：

(15)

其中{A}=[A1,A2,A3,…,An]T，{B}=[B1,B2,B3,…,Bn]T。為使{A},{B}不同時(shí)為0，必有：

(16)

方程(15)的解為系數(shù)行列式結(jié)果取0時(shí)，T形截面簡支柱受軸向壓力而畸變屈曲時(shí)的臨界屈曲荷載無窮級數(shù)解。由于傅里葉級數(shù)的收斂速度比較快，需要選取的項(xiàng)數(shù)并不多，可運(yùn)用相應(yīng)的Matlab程序進(jìn)行大量參數(shù)分析。結(jié)果表明，此模態(tài)試函數(shù)的項(xiàng)數(shù)取5時(shí)，屈曲方程會趨向收斂，所得到的解滿足精度的要求，即為臨界屈曲荷載的精確解。

3 有限元驗(yàn)證

3.1 建立有限元模型

利用ANSYS有限元軟件對T形截面短柱在軸力作用下的屈曲進(jìn)行研究，并選用SHELL181單元對短柱進(jìn)行模擬。

模擬的邊界條件為兩端簡支，對模型上處于兩端的所有節(jié)點(diǎn)施加軸向荷載。剛周邊假設(shè)的模擬方法如圖2所示。對T形截面構(gòu)件的腹板進(jìn)行畸變屈曲研究時(shí)，需要使用CERIG命令將翼緣截面上的所有節(jié)點(diǎn)耦合到翼緣中間的節(jié)點(diǎn)上，從而模擬對于翼緣的剛周邊假設(shè)，如圖2(a)所示。對整個(gè)T形截面進(jìn)行彎扭屈曲研究時(shí)，需要將翼緣和腹板都施加剛周邊，如圖2(b)所示。

(a) 計(jì)算簡圖 (b) 計(jì)算斷面圖圖1 計(jì)算模型

(a)畸變屈曲 (b) 彎扭屈曲圖2 剛周邊假設(shè)的模擬方法

在本研究中，在通用后處理的過程中，可以用命令流或GUI操作的形式得出屈曲荷載系數(shù)和屈曲模態(tài)?；兦螒B(tài)圖如圖3所示。

(a)整體形態(tài)圖 (b)斷面圖圖3 畸變屈曲形態(tài)圖

3.2 2種屈曲的界限問題

為了探究2種屈曲模式的過渡界限，研究了圖2所示的2種模型的受力特性。2種模型在軸壓時(shí)的臨界荷載對比見表1。由表1可見，所求的2種屈曲的跨高比界限大約在6.67處，即在受軸向壓力的情況下，當(dāng)跨高比大于6.67時(shí)，柱子發(fā)生彎扭屈曲，當(dāng)跨高比小于6.67時(shí)，開始由彎扭屈曲向畸變屈曲過渡。

表1 2種模型在軸壓時(shí)的臨界荷載對比

3.3 理論與FEM誤差分析

使用有限元模型分析所得的畸變屈曲臨界荷載與“板-梁”理論計(jì)算所得的一階、二階及無窮階結(jié)果對比見表2。從表2可以看出，跨高比在1.67～2.67之間時(shí)，以畸變屈曲為基礎(chǔ)所做的有限元分析與理論計(jì)算的結(jié)果誤差在10%以內(nèi)，說明在這個(gè)范圍內(nèi)構(gòu)件主要發(fā)生的是畸變屈曲。當(dāng)跨高比大于2.67時(shí)，構(gòu)件的屈曲形態(tài)從畸變屈曲逐漸向普通彎扭屈曲過渡。當(dāng)跨高比小于1.67時(shí)，短柱已經(jīng)過短，不容易發(fā)生屈曲，此時(shí)的破壞形態(tài)向多種復(fù)合模式轉(zhuǎn)變。

表2 有限元結(jié)果與“板-梁”理論各階結(jié)果對比

4 結(jié)論

1)在模擬軸壓簡支短柱發(fā)生屈曲時(shí)，跨高比的大小對于屈曲形式存在一定的影響。在短柱跨高比足夠小，短柱足夠短時(shí)，T形截面簡支短柱在軸壓荷載下的屈曲形式是明顯的畸變屈曲。當(dāng)跨高比大于6.67時(shí)，柱會發(fā)生彎扭屈曲；當(dāng)跨高比小于6.67時(shí)，柱開始由彎扭屈曲向畸變屈曲過渡，即2種屈曲的跨高比界限大約在6.67處。

2)利用ANSYS有限元軟件建模，在短柱端部施加軸壓后，進(jìn)行畸變屈曲性能的有限元分析，將FEM模擬解與推導(dǎo)的臨界荷載理論解進(jìn)行對比，吻合度較高，驗(yàn)證了理論解的正確性和推導(dǎo)公式的準(zhǔn)確度，可對實(shí)際工程設(shè)計(jì)提供一定的參考。