具有強擾動程度的振動局域化現(xiàn)象研究

趙 鵬，紀 剛，周其斗

(海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院，武漢 430033)

對周期結(jié)構(gòu)的振動分析表明其在頻域上交替存在通頻帶和止頻帶[1]。在通頻帶，振動會無衰減的傳播，在止頻帶振動會呈現(xiàn)衰減趨勢。當(dāng)對周期結(jié)構(gòu)進行某個參數(shù)的擾動后，比如子結(jié)構(gòu)間距或是材料屬性的不一致，結(jié)構(gòu)將變?yōu)榉侵芷谙到y(tǒng)。由于非周期系統(tǒng)子單元處的阻抗不再處處相同，系統(tǒng)會表現(xiàn)出完全不一樣的振動傳遞特性，在頻域上全部表現(xiàn)為止頻帶特征，振動將主要被限制在振源附近，即表現(xiàn)出振動局域化效應(yīng)[2]。

根據(jù)結(jié)構(gòu)擾動方差和單元耦合參數(shù)的相對大小，非周期結(jié)構(gòu)可分為強擾動和弱擾動，強擾動則對應(yīng)著弱耦合，表現(xiàn)出強局域化現(xiàn)象，其使振動在空間衰減的更快。

對非周期結(jié)構(gòu)局域化效應(yīng)的研究多集中在20世紀中期，一維結(jié)構(gòu)方面，Bouzit等[3]通過研究單元耦合關(guān)系對多跨梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)的影響，結(jié)果表明振動局域化與單元間耦合強度密切相關(guān)，弱耦合更易導(dǎo)致局域化效應(yīng)。同時支撐間距的隨機性會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振幅空間上的衰減，通過將平均變化速率表征為局部化程度，得到了局域化系數(shù)在弱跨間耦合和強跨間耦合中的解析近似。在二維系統(tǒng)振動局域化研究方面，Elishakoff等[4]通過研究加強筋不等間距布置對彈性板屈曲模態(tài)和振型的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)加強筋相對標準位置的微小偏差都可以使屈曲模態(tài)從整體范圍變?yōu)榫植繀^(qū)域。Photiadis等[5]研究了無序引起殼體空間衰減變化的機理，通過針對圓柱殼不同的周向階數(shù)進行分解實現(xiàn)降維，理論推導(dǎo)了弱擾動程度下振動衰減的近似表達式，通過分析近周期圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)高階模態(tài)有更明顯的振動局域化效應(yīng)。

國內(nèi)對振動局域化的研究多為弱局域化效應(yīng)，即分析小擾動程度下結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特征。然而實際工程中存在具有強擾動程度的非周期結(jié)構(gòu)，強弱無序程度下的振動衰減系數(shù)是有很大差別的，若不加以區(qū)分，仍用弱局域化理論分析強無序結(jié)構(gòu)，往往會得出錯誤結(jié)論。本文首先對一維彈簧振子鏈系統(tǒng)展開研究，從波傳遞理論角度和模態(tài)分析方法出發(fā)，結(jié)合統(tǒng)計擾動理論，給出對地剛度無序工況下強局域化的振動衰減系數(shù)解析式。采用基于通頻帶近似的等效方法，獲取結(jié)構(gòu)的耦合參數(shù)，近似給出環(huán)肋圓柱殼的強局域化系數(shù)。最后通過有限元數(shù)值分析驗證相關(guān)結(jié)論。

1 彈簧振子鏈系統(tǒng)強局域化系數(shù)計算

振動局域化分析方法主要有攝動法、模態(tài)分析法、傳遞矩陣法、波傳遞法和數(shù)值法等[6-7]。基于研究對象的特點，采用模態(tài)分析法和波傳遞法定量計算典型一維結(jié)構(gòu)的振動衰減系數(shù)。

如圖1所示為含有對地剛度的彈簧振子鏈平面布置圖。將系統(tǒng)的兩端進行固支，外界激振力以幅值F，頻率ω作用在左端第一個彈簧處，每個振子質(zhì)量相同均為m，相互之間通過剛度系數(shù)為k的彈簧耦合，同時各自又經(jīng)由剛度為ki的彈簧與大地固接。

圖1 含有對地剛度的彈簧振子鏈系統(tǒng)Fig.1 Mass-spring system with ground stiffness

設(shè)第i個質(zhì)量單元的位移向量表示為xi，則系統(tǒng)的運動方程可以表示為

-ω2mxi+(ki+2k)xi-kxi-1-kxi+1=

(1)

1.1 模態(tài)分析法

對于周期結(jié)構(gòu)，每個子單元具有相同的物理參數(shù)，自然頻率也是相同的。假設(shè)單元間耦合度為0，此時模態(tài)頻率為子單元解耦頻率。當(dāng)耦合較小而并非消失時，模態(tài)頻率將以群組的形式呈現(xiàn)，即表現(xiàn)出“模態(tài)聚集現(xiàn)象”，并且接近未耦合時的自然頻率，這組頻率就是通頻帶[8]。而非周期結(jié)構(gòu)，各子單元自然頻率不同，在頻域上不存在通頻帶。因此對結(jié)構(gòu)的無序設(shè)計，本質(zhì)上是改變了系統(tǒng)的振動模態(tài)，模態(tài)法通過計算傳遞到邊界處單元的單位振動響應(yīng)，在整個傳遞距離上取平均從而分析出空間上的衰減效應(yīng)。

將物理量轉(zhuǎn)換為無因次形式后，系統(tǒng)運動方程可以改寫為[9-11]

(2)

(3)

(4)

自然頻率是指外力F=0時振子作自由振動的頻率，式(5)表示彈簧振子鏈在不受外界激振力時的自由振動方程。所以通過模態(tài)分析實現(xiàn)行列式值的計算，系統(tǒng)的自然模態(tài)即轉(zhuǎn)化為特征值求解問題

(5)

(6)

(7)

當(dāng)單元數(shù)量趨于無窮多時

(8)

對于強擾動，由于無序程度很大而單元耦合強度很小，可以先將系統(tǒng)看成一個個對地剛度系數(shù)差別很大的獨立的解耦單元，再對各單元之間賦予彈簧屬性進行耦合，此時將耦合強度看作是擾動量，再利用擾動理論進行計算。

將系統(tǒng)運動狀態(tài)矩陣[A]分解成未擾動項[A0]和擾動項[a0]

(9)

(10)

極限表達可以轉(zhuǎn)換成對數(shù)函數(shù)取期望值的形式

(11)

(12)

1.2 波動傳遞法

根據(jù)式(1)，相鄰單元的運動狀態(tài)方程可以轉(zhuǎn)化為傳遞矩陣的形式

(13)

強局域化對應(yīng)結(jié)構(gòu)弱耦合工況，即R是小量，σ是大量，從而可以將含1/R的項看作未擾動量，其余項看作擾動量

(14)

由文獻[12]可知，振動衰減系數(shù)與狀態(tài)傳遞矩陣連續(xù)乘積的(1,1)項相關(guān)，計算得連乘矩陣的首項

(15)

最終得到表達式為

(16)

強局域化系數(shù)公式較為復(fù)雜，但也是耦合無序比值R/σ的一階近似，適用于R/σ是小量的情況。

式(12)和(16)分別通過模態(tài)法和波傳遞法推導(dǎo)了強無序程度下的局域化系數(shù)，兩種方法推導(dǎo)的結(jié)果相近，微小的差別是因為波傳遞法只取了R/σ的一階近似，模態(tài)法推導(dǎo)結(jié)果含有一些高階項。具體計算中兩種數(shù)值結(jié)果相差很小，可以忽略不計。綜上，系統(tǒng)參數(shù)R/σ的相對大小是判斷非周期結(jié)構(gòu)擾動強度的依據(jù)，當(dāng)R/σ<1時為強擾動，反之為弱擾動。

1.3 有限元分析與數(shù)值驗證

為了驗證上述結(jié)論，現(xiàn)對一非周期彈簧振子鏈進行有限元分析。模型的相關(guān)參數(shù)和材料屬性,如表1所示。

表1 非周期彈簧振子鏈模型相關(guān)參數(shù)Tab.1 Related parameters of aperiodic spring oscillator chains

現(xiàn)設(shè)計質(zhì)量單元未擾動時的對地剛度為105n/m，擾動剛度的最大偏移量為4×104n/m，即對地剛度ki在區(qū)間(60 000,140 000)服從均勻分布，最大擾動量達40%，生成一組隨機數(shù)據(jù)的無因次剛度標準差為0.232 6，耦合系數(shù)為0.1，此時σ/R>1，屬于強局域化弱耦合條件。選取頻率f=52、58 Hz，繪制振動能量隨軸向位置的變化關(guān)系如圖2(a)、(b)所示。

(a) f=52 Hz，強擾動

同時設(shè)計小擾動偏移量，設(shè)對地剛度在(90 000,110 000)服從均勻分布，此時σ/R<1，屬于弱局域化效應(yīng)，圖2(c)所示為f=52 Hz下的振能圖。

從圖2可以看出，有限元實例模型的振幅衰減情況與強局域化系數(shù)理論結(jié)果吻合情況較好，對于強局域化弱耦合的實例模型，強局域化系數(shù)理論公式能很好地反應(yīng)系統(tǒng)的振動衰減情況。觀察圖2(a)和(c)的縱坐標可以發(fā)現(xiàn)，擾動程度越大，局域化效應(yīng)越強，振幅在空間上衰減的更快。實際分析中若忽視強局域化與弱局域化的界限，仍然采用弱局域化理論公式進行預(yù)報，將會導(dǎo)致相當(dāng)大的偏差。

針對擾動標準差為0.232 6的上例模型，如圖3所示為在頻率區(qū)間(51～59)Hz通過強弱局域化理論公式計算的差異圖。在中通帶附近兩類公式相差70%，越靠近邊緣頻率差異越大，在f=51 Hz處誤差高達470%。

圖3 兩種公式計算局域化系數(shù)的差值比Fig.3 The difference between strong localization coefficient and weak coefficient

2 等效過程

首先介紹一種結(jié)構(gòu)參數(shù)獲取方法，理論解析二維結(jié)構(gòu)的耦合參數(shù)較為困難，而根據(jù)數(shù)值解析的通頻帶范圍可以解決這一問題，這是從一維結(jié)構(gòu)過渡到二維的橋梁。下面針對彈簧振子系統(tǒng)驗證這一方法的可靠性。

2.1 基于通頻帶獲取結(jié)構(gòu)耦合參數(shù)

對含有具體參數(shù)的周期結(jié)構(gòu)進行理論計算可以給出通頻帶范圍，同樣根據(jù)通頻帶也能反映相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)，這就是獲取耦合參數(shù)的一個基本思路。對于彈簧振子系統(tǒng)可以通過理論計算準確地給出通頻帶范圍，而對于板、殼等實際工程結(jié)構(gòu)，由于解析復(fù)雜，很難通過理論計算識別出通頻帶，此時可以通過編程數(shù)值計算結(jié)構(gòu)的通頻帶范圍，從而給出用于局域化公式計算的相關(guān)參數(shù)。

對式(1)可以轉(zhuǎn)化為

(-ω2mxi+kd+2k)xi-kxi-1-kxi+1=0

(17)

即：

(18)

行進波可以表示成exp(ikxx)形式，將其代入運動方程解得

(19)

其中a為振子單元間距，kx為波數(shù)，取值范圍為(-π/a,π/a)。所以根據(jù)通頻帶的上下限頻率，可以給出耦合參數(shù)k/m

(20)

如圖4所示為典型彈簧振子系統(tǒng)的能量分布圖，顏色越亮代表能量越高，從而可以清晰地確定邊緣頻率數(shù)值，根據(jù)通頻帶進一步給出子單元間的耦合剛度。

圖4 彈簧振子系統(tǒng)能量分布圖Fig.4 The energy distribution map of spring-mass system

為了驗證基于通頻帶獲取耦合參數(shù)的可靠性，現(xiàn)以周期彈簧振子鏈系統(tǒng)為例，根據(jù)其通帶范圍f=[51,59]，計算耦合參數(shù)

(21)

(22)

這就是根據(jù)通頻帶識別出耦合剛度后，算出特定擾動量下非周期結(jié)構(gòu)的局域化系數(shù)。而根據(jù)實際參數(shù)算出各頻率下的數(shù)值結(jié)果,如表2所示。

表2 特定頻率下計算的局域化系數(shù)Tab.2 Localization coefficient calculated at specific frequency

對所有通頻帶的局域化系數(shù)取平均值為0.434 2，接近邊界頻率時與通過耦合參數(shù)識別計算的結(jié)果相差8.4%。這充分說明了通過能量分布圖確定通頻帶范圍，計算單元耦合參數(shù)，從而預(yù)報非周期結(jié)構(gòu)的局域化系數(shù)，這一方法是切實有效的。這也為多自由度系統(tǒng)的局域化系數(shù)定量計算做了前提論證，通過此方法獲取耦合參數(shù)具有可行性。

2.2 基于波的分解理論獲取圓柱殼耦合參數(shù)

圓柱殼的振動場較為復(fù)雜，可通過傅氏級數(shù)展開理論分解為多組簡單行進波的疊加，從而使分析得到簡化[13-14]。對殼體進行激振，通過有限元分析得到的頻響數(shù)據(jù)可分為實部項和虛部項

(23)

式中:x、θ為殼體表面的軸向和周向坐標;l為殼體軸向長度。建模過程中沒有設(shè)定阻尼系數(shù)(不考慮阻尼作用)，輸出各節(jié)點位移虛部均為0，所以只需對實部進行級數(shù)展開

(24)

其中：

(25)

根據(jù)各周向階數(shù)分解后的振動幅值，可以給出n階振動下各軸向位置的能量大小

(26)

根據(jù)式(26)繪制行進波分量的能量分布圖，亮色區(qū)域為能量高值區(qū)域，可以清晰地給出通頻帶范圍。如圖5所示為某圓柱殼模型第25階數(shù)下的能量分布圖，從圖可以看出二維結(jié)構(gòu)具有多個通頻帶，可以將每個通帶都等效成一維結(jié)構(gòu)，從而獲取結(jié)構(gòu)耦合參數(shù)。

圖5 圓柱殼能量分布圖Fig.5 The energy distribution map of cylindrical shell

3 非周期環(huán)肋圓柱殼強局域化系數(shù)計算

基于2.1節(jié)得到殼體結(jié)構(gòu)的耦合參數(shù)后，問題的關(guān)鍵在于推出環(huán)肋間距的擾動方差，從而可以利用一維結(jié)構(gòu)的理論公式給出殼體結(jié)構(gòu)的近似局域解。由文獻[13]，對于非周期環(huán)肋圓柱殼，σ2表示環(huán)肋間距的無因次統(tǒng)計方差值

(27)

(28)

式中:n為周向階數(shù);R為圓柱殼半徑;螺旋波波數(shù)kh可由平板色散關(guān)系式近似表達

(29)

式中:ρ為圓柱殼材料密度;ω0為通帶中央角頻率;E為彈性模量;ν為泊松比;h為圓柱殼板厚度。綜合以上結(jié)論，環(huán)肋間距的統(tǒng)計方差值為

(30)

表3 環(huán)肋圓柱殼模型相關(guān)參數(shù)Tab.3 Relevant parameters of ring-ribbed cylindrical shell model

圖6 有限元模型Fig.6 The finite element model

設(shè)有一激振力作用在中間環(huán)肋處，如圖7所示為選取系列周向階數(shù)和頻率下振動能量隨軸向位置的有限元分析與理論分析對比圖。

(a) n=15，f=410 Hz

從圖中可以看出理論計算能較好地反映能量衰減趨勢，也驗證了等效方法的可靠性，實現(xiàn)了圓柱殼環(huán)肋間距在強擾動程度下的振動衰減預(yù)報。

4 結(jié) 論

本文首先以彈簧振子鏈為研究對象，研究了強擾動程度下的振動局域化現(xiàn)象，通過模態(tài)分析法和波傳遞法推導(dǎo)出了振動衰減系數(shù)?；诶碚摲治龅玫搅嘶谕l帶獲取結(jié)構(gòu)耦合參數(shù)的方法，并通過實例計算得到了驗證，為圓柱殼結(jié)構(gòu)的耦合參數(shù)獲取打下基礎(chǔ)。通過分析圓柱殼環(huán)肋間距的統(tǒng)計方差，得到了強擾動下非周期環(huán)肋圓柱殼的振動衰減系數(shù)，并通過有限元分析得到了驗證。

(1) 基于模態(tài)分析法和波傳遞法均可推導(dǎo)出強擾動程度下的振動局域化系數(shù)，由于近似的階數(shù)不同，兩者有微小的差異，在數(shù)值上相當(dāng)近似。

(2) 強擾動具有更大的衰減系數(shù)，在空間上表現(xiàn)為衰減的更快，此時若仍用弱局域化理論很可能會得出錯誤結(jié)論。

(3) 基于通頻帶可以獲取結(jié)構(gòu)的耦合參數(shù)，解決了圓柱殼結(jié)構(gòu)系數(shù)解析復(fù)雜的難題，實現(xiàn)了衰減預(yù)報從一維到二維的過渡。通過計算非周期圓柱殼環(huán)肋間距的近似方差值，可以得到圓柱殼的振動衰減系數(shù)。