基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程與阻尼矩陣在動力響應(yīng)分析中的適用性研究

李世淵，譚 平,2,3，馬海濤,2,3

(1.廣州大學(xué) 土木工程學(xué)院，廣州 511442；2.廣州大學(xué) 工程抗震減震與結(jié)構(gòu)安全重點實驗室，廣州 510405；3.廣州大學(xué) 廣東省地震工程與應(yīng)用技術(shù)重點實驗室，廣州 510405)

運(yùn)動方程和阻尼模型是結(jié)構(gòu)動力分析算法的基礎(chǔ)，其合理性和適用性對計算精度有關(guān)鍵性影響，因此值得予以高度重視。基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)由上部結(jié)構(gòu)和含有隔震支座的隔震層組成，由于其隔震層的剛度一般遠(yuǎn)低于上部結(jié)構(gòu)，隔震支座會發(fā)生可觀的變形，引起上部結(jié)構(gòu)較大幅度的剛體運(yùn)動；另一方面，隔震支座一般都具有較高的阻尼，因此其使用可達(dá)到消耗能量、降低振動響應(yīng)的目的。鑒于基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的特殊性，常規(guī)結(jié)構(gòu)動力分析方法對其是否仍然適用以及這些方法的計算精度是值得研究的問題。

結(jié)構(gòu)抗震時域動力分析常用的運(yùn)動方程有兩種形式，其中的一種基于地震動加速度輸入以結(jié)構(gòu)相對位移為未知量，另一種基于地震動位移輸入以結(jié)構(gòu)絕對位移為未知量，與這兩種運(yùn)動方程對應(yīng)的兩種分析模型分別被稱為加速度輸入模型和位移輸入模型[1-2]。加速度輸入模型是考慮一致地震動作用時最常用的模型，被廣泛地用于結(jié)構(gòu)分析計算和設(shè)計；事實上，真實地震動是隨著空間不斷變化的，這一特性將會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)各支承點激勵出現(xiàn)顯著差異，由其對大跨結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)具有明顯影響，此時一致加速度模型不在適用，而應(yīng)采取適用于多點輸入的計算模型或方法[3-4]。位移輸入模型較易于用于考慮多點激勵情況，因此成為計算結(jié)構(gòu)非一致地震動作用下動力響應(yīng)的常用模型[5-7]；值得指出的是，位移輸入模型不僅適用于非一致地震動作用下動力響應(yīng)，同時也適用于一致地震動作用下動力響應(yīng)。田玉基等[1]采用位移輸入模型和加速度輸入模型進(jìn)行了單自由度無阻尼體系的時域分析，研究了時間步長對計算精度的影響，得到同一時間步長情況下位移輸入模型計算精度較高的結(jié)論。柳國環(huán)等對位移輸入模型和一致加速度模型進(jìn)行了分析比較，認(rèn)為兩者本質(zhì)上存在差別，因此會導(dǎo)致計算結(jié)果的不同。國巍等[8]研究了考慮多點激勵的隔震結(jié)構(gòu)分析模型，探討了加速度模型和位移模型中的阻尼定義以及計算誤差和適用性等問題，提出了通過計入阻尼項構(gòu)造的修正位移模型和修正加速度模型，并建議對于實際結(jié)構(gòu)模型可能產(chǎn)生的誤差做進(jìn)一步研究。何衛(wèi)平等[9]針對水工大壩結(jié)構(gòu)研究了位移輸入模型在地震響應(yīng)分析中的適用性問題，分析了位移與加速度輸入模型間的差異，提出采用位移輸入模型時必須判斷其給出結(jié)果的誤差水平，避免計算精度不滿足要求的情況。

常規(guī)結(jié)構(gòu)的阻尼模型已有大量的研究，針對不同情況提出了各種模型；例如，對于非比例阻尼結(jié)構(gòu)，可在分別生成各部分的阻尼矩陣之后進(jìn)行組裝形成結(jié)構(gòu)的總體阻尼矩陣[10]。而針對隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的相關(guān)研究則還非常有限，目前一般采用的是適用于普通非比例阻尼結(jié)構(gòu)的方法，亦即按常規(guī)方法生成上部結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣，然后直接將其與隔震系統(tǒng)的阻尼矩陣疊加形成總體阻尼矩陣[11]。國巍等在考慮多點激勵的隔震結(jié)構(gòu)分析模型的研究中提出位移模型和加速度模型的阻尼特性不一致的問題。周國良等[12]討論了一致激勵與多點激勵情況下基底大質(zhì)量法和支座強(qiáng)迫位移法的適用性問題，分析了應(yīng)用Rayleigh阻尼模型計算阻尼力的差別，并提出了修正算法。

值得注意是，常用的地震響應(yīng)分析模型中，位移輸入模型所采用的運(yùn)動方程建立在結(jié)構(gòu)阻尼作用比較小的假設(shè)條件基礎(chǔ)之上，是通過忽略與結(jié)構(gòu)阻尼和地震動速度相關(guān)的等效荷載而得到的。盡管對于低阻尼常規(guī)結(jié)構(gòu)，位移輸入模型通?？梢越o出滿足精度要求的分析結(jié)果，但對于隔震結(jié)構(gòu)，高阻尼隔震支座的應(yīng)用使得假設(shè)條件不再成立，而且隨著支座阻尼的提高，被忽略的部分等效荷載所產(chǎn)生的誤差將會增大，不可避免地影響計算精度。Wilson[13]認(rèn)為與地震動速度相關(guān)的等效荷載因為相關(guān)聯(lián)的阻尼矩陣無法確定，所以也有必要將其忽略，進(jìn)而得到位移輸入模型。相比之下，加速度輸入模型則沒有此類限制條件，理論上其計算精度與結(jié)構(gòu)的阻尼特性無關(guān)。

目前隔震結(jié)構(gòu)的分析一般采用將上部結(jié)構(gòu)與隔震系統(tǒng)的阻尼矩陣直接疊加生成總體阻尼矩陣的方法，而且通常對上部結(jié)構(gòu)采用Rayleigh阻尼模型，例如文獻(xiàn)[11]。但這樣做會產(chǎn)生一個后果：上部結(jié)構(gòu)在隨隔震支座發(fā)生剛體位移時將會產(chǎn)生阻尼力，而這顯然與實際情況是不符的。

基于以上討論，本文將針對隔震結(jié)構(gòu)研究阻尼模型和地震動輸入模型對動力分析計算精度的影響規(guī)律，提出相應(yīng)的解決方法。本文從常規(guī)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程出發(fā)，采用不同形式絕對或相對位移變量，推導(dǎo)對應(yīng)的隔震結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程，再基于隔震結(jié)構(gòu)的變形特性和上部結(jié)構(gòu)中阻尼力分布應(yīng)滿足的條件，提出隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的通用表達(dá)式。采用隔震結(jié)構(gòu)簡化模型，給出動力分析所涉及的全部結(jié)構(gòu)矩陣的解析表達(dá)式，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行算例驗證，詳細(xì)分析阻尼模型和地震動輸入模型對隔震結(jié)構(gòu)計算結(jié)果精度的影響，最后給出結(jié)論和建議。

1 隔震結(jié)構(gòu)理論模型

1.1 一般結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程

多自由度結(jié)構(gòu)在(一致)地震作用下的運(yùn)動方程可表示為以下形式

(1)

式中：M、C和K表示結(jié)構(gòu)總體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；ur(t)表示結(jié)構(gòu)相對基礎(chǔ)運(yùn)動的位移向量；ug(t)表示基礎(chǔ)位移；E為地震動影響向量E=[1,1,…1]T；標(biāo)識符上的一點和兩點表示對時間的一階和二階導(dǎo)數(shù)。

采用(1)式給出的運(yùn)動方程以及適當(dāng)?shù)某跏紬l件，我們可以根據(jù)地震動加速度時程確定結(jié)構(gòu)的相對位移，進(jìn)一步確定結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)。對應(yīng)的計算模型常被稱為加速度輸入模型。用ut(t)表示結(jié)構(gòu)的總體位移向量，則對應(yīng)的相對位移向量ur(t)可表示為

ur(t)=ut(t)-Eug(t)

(2)

將式(2)代入式(1)，整理后可得

(3)

方程右端的兩項依次表示對應(yīng)于地震動速度和位移的等效荷載。值得指出的是，式(3)與式(1)給出的運(yùn)動方程盡管形式不同和需要采用不同的地震動時程作為輸入，但理論上完全一致。當(dāng)輸入的地震動數(shù)據(jù)一致并且結(jié)構(gòu)初始條件相同時，兩種形式的運(yùn)動方程的解應(yīng)完全一致；若不計數(shù)值誤差，兩個解應(yīng)嚴(yán)格滿足式(2)。

對于常規(guī)結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)阻尼作用相對較小，式(3)給出的運(yùn)動方程右端與地震動速度相關(guān)的等效荷載通?？梢院雎圆挥?，此時運(yùn)動方程可改寫為

(4)

以此為基礎(chǔ)，可以得到相應(yīng)的位移輸入模型，并根據(jù)適當(dāng)?shù)某跏紬l件和地震動位移時程確定結(jié)構(gòu)的絕對位移。

盡管位移輸入模型在結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)計算中已經(jīng)獲得了成功應(yīng)用，但對于隔震結(jié)構(gòu)，可否在運(yùn)動方程中忽略與地震動速度相關(guān)的一項是一個被輕視的問題，目前還缺乏對位移輸入模型有效性和計算精度的深入系統(tǒng)研究。另一方面，與地面運(yùn)動速度相關(guān)的右端項和隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣有關(guān)，位移輸入模型的誤差問題本質(zhì)上是阻尼問題。而位移-速度輸入模型有效克服了位移輸入模型存在的問題，保留了與地面運(yùn)動速度相關(guān)的阻尼耦合項，但由于通常認(rèn)為此項無法確定，導(dǎo)致位移-速度輸入模型的使用受到了限制。

由上述分析可知，隔震結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣對地震動輸入模型合理使用起著重要的作用。鑒于目前形成隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的方法存在一定的缺陷，本文將首先對隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣進(jìn)行理論推導(dǎo)，提出了為得到準(zhǔn)確結(jié)果需要采用形成隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的方法和理論依據(jù)，得到了關(guān)于隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的通用表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，研究采用不同的地震動輸入模型對隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響規(guī)律。

1.2 隔震結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程

考慮一個上部結(jié)構(gòu)具有n個自由度的隔震結(jié)構(gòu)，并假設(shè)其相對基礎(chǔ)運(yùn)動的位移向量ur(t)可以記為

(5)

(6)

式中：下標(biāo)為ss的子矩陣維數(shù)為n×n；下標(biāo)為sb的子矩陣維數(shù)為n×1(即n階列向量)；下標(biāo)為bs的子矩陣維數(shù)為1×n(即n階行向量)。因為矩陣的對稱性，三個矩陣中下標(biāo)為sb的子矩陣等于對應(yīng)的下標(biāo)為bs的子矩陣的轉(zhuǎn)置。隔震層的質(zhì)量、剛度和阻尼常數(shù)可依次記為mb、kb和cb，隔震結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣可表示為以下形式

(7)

應(yīng)該指出的是，式(6)中的上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度矩陣可采取與常規(guī)結(jié)構(gòu)動力分析同樣的方式確定，其中的Mss和Kss分別表示上部結(jié)構(gòu)在隔震層位移固定狀態(tài)下的質(zhì)量和剛度矩陣。但是，由于隔震層的存在，相對位移向量中將包含對應(yīng)于上部結(jié)構(gòu)隨隔震層變形時剛體位移的成分，因此式(6)中的上部結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣應(yīng)與常規(guī)結(jié)構(gòu)動力分析情況下的阻尼矩陣不同。我們將在下一節(jié)具體討論這一問題。

對于上部結(jié)構(gòu)，引入相對隔震層的位移向量us(t)=ur(t)-ub(t)Es，其中，Es為影響向量E中與上部結(jié)構(gòu)相關(guān)的前n個分量構(gòu)成的列向量。此時可定義隔震結(jié)構(gòu)相對隔震層的位移向量如下

(8)

于是，相對基礎(chǔ)運(yùn)動的位移向量ur(t)可以表示為

ur(t)=Tu(t)

(9)

其中，T為下式給出的轉(zhuǎn)換矩陣

(10)

(11)

式中的M*、C*、K*和Q*分別為下式給出的矩陣或向量

M*=TTMT,C*=TTCT,

K*=TTKT,Q*=-TTME

(12)

將式(7)和(10)代入式(12)，可得

(13)

引入的子矩陣和變量分別為

(14)

1.3 隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣

(15)

另一方面，依據(jù)(11)式中的運(yùn)動方程，子矩陣Kss和Css應(yīng)為上部結(jié)構(gòu)在隔震層位移固定狀態(tài)下的剛度和阻尼矩陣，也就是上部結(jié)構(gòu)的常規(guī)阻尼矩陣。

(16)

至此，我們確定了上部結(jié)構(gòu)對隔震結(jié)構(gòu)總體阻尼矩陣的貢獻(xiàn)，即式(6)中的矩陣Cu，將其代入式(7)，可得隔震結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣的表示式如下

(17)

很明顯，隔震結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣由上部結(jié)構(gòu)阻尼矩陣子塊Css、隔震層阻尼cb和影響向量Es完全確定。而與此對應(yīng)地，我們有

(18)

(19)

顯然此式給出了合理的隔震結(jié)構(gòu)的阻尼力分布。

對于上部結(jié)構(gòu)阻尼矩陣可采用Rayleigh阻尼模型和Caughey阻尼模型來形成，采用Rayleigh阻尼模型時，上部結(jié)構(gòu)阻尼矩陣可表示為

Css=αMss+βKss

(20)

上部結(jié)構(gòu)阻尼矩陣采用Caughey阻尼模型來形成時，Css可表示為

(21)

假若直接采用Rayleigh阻尼模型計算上部結(jié)構(gòu)對隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的貢獻(xiàn)，也就是取Cu=αMu+βKu，隔震結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣為

(22)

式中，Css=αMss+βKss。顯然，式(22)與由式(17)給出的阻尼矩陣明顯不同，而且當(dāng)上部結(jié)構(gòu)隨隔震層發(fā)生剛體位移時，據(jù)此得到的隔震結(jié)構(gòu)阻尼力向量為

(23)

這比式(19)中的表達(dá)式多出與上部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和質(zhì)量阻尼系數(shù)相關(guān)的一項，當(dāng)質(zhì)量阻尼系數(shù)α≠0時，對上部結(jié)構(gòu)給出了非零的結(jié)構(gòu)阻尼力，明顯與實際情況不符，說明直接采用Rayleigh阻尼模型計算上部結(jié)構(gòu)對隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的貢獻(xiàn)是不恰當(dāng)?shù)?。我們將用?shù)值算例結(jié)果證明這一做法可能產(chǎn)生較大的計算誤差。

2 隔震結(jié)構(gòu)分析方法

至此，我們得到了隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的一般表達(dá)式?；谶@一表達(dá)式給出的阻尼矩陣，可以采用不同的地震動輸入模型進(jìn)行隔震結(jié)構(gòu)分析。本文將考慮以下三種分析算法：

算法 1：采用加速度輸入模型，利用式(1)中的運(yùn)動方程以及初始條件，根據(jù)地震動加速度求解位移向量ur(t)，或者基于(11)式求解位移向量u(t)；

算法 2：采用位移輸入模型，利用式(4)中的運(yùn)動方程以及初始條件，根據(jù)地震動位移求解位移向量ut(t)；

算法 3：采用位移-速度輸入模型，利用式(3)中的運(yùn)動方程以及初始條件，根據(jù)地震動位移和速度求解位移向量ut(t)；

算法1和算法2實際上是結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)計算中常采用的方法。由于隔震支座一般具有較高的阻尼，而位移輸入模型在運(yùn)動方程中忽略了與地面運(yùn)動速度相關(guān)的右端項，因此算法2用于隔震結(jié)構(gòu)分析存在潛在的計算精度問題，還需考察研究。相比之下，位移-速度輸入模型保留與地面運(yùn)動速度相關(guān)的右端項，與加速度輸入模型在理論上一致，有效克服了位移輸入模型自身的缺陷。

3 隔震結(jié)構(gòu)簡化模型

本文的討論至此未對隔震結(jié)構(gòu)的具體形式加以限制，所以理論推導(dǎo)結(jié)果適用于一般隔震結(jié)構(gòu)。為方便起見，接下來我們將考慮圖1所示的剪切型簡化模型，這樣我們可以給出涉及到的全部結(jié)構(gòu)矩陣具體的解析表達(dá)式。

圖1 基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)剪切型模型Fig.1 A shear-type modelof base-isolated structures

首先，對于上部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，可表達(dá)為

(24)

對于上部結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣，采用Rayleigh阻尼模型時，有Css=αMss+βKss。注意此時影響向量E為全部元素皆等于1的n+1維向量。由式(15)和(16)，可得阻尼矩陣子塊Csb和Cbb的表達(dá)式

Csb=-αms-βks,Cbb=αmstot+βk1

(25)

(26)

假若直接采用Rayleigh阻尼模型計算上部結(jié)構(gòu)對隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的貢獻(xiàn)，則阻尼矩陣子塊Csb和Cbb的表達(dá)式為

(27)

對比式(25)，可以發(fā)現(xiàn)上式中缺少了與上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量相關(guān)的部分。

至此，我們得到了采用隔震結(jié)構(gòu)剪切型簡化模型進(jìn)行動力分析所需要的基本矩陣的解析表達(dá)式。將以上表達(dá)式代入式(14)，可得到式(11)中運(yùn)動方程的系數(shù)矩陣，進(jìn)一步可驗證它們與文獻(xiàn)[14]采用的表達(dá)式完全一致。

4 算例分析與結(jié)果討論

為研究不同分析模型的計算精度，本節(jié)給出了兩個隔震結(jié)構(gòu)的動力時域分析典型算例，算例抗震設(shè)防烈度均為8度，II類場地，設(shè)計地震分組為第二組，場地特征周期為0.4 s，設(shè)計基本加速度為0.2g。通過數(shù)值結(jié)果的總結(jié)和對比，著重研究隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的形成方式和地震動輸入模型對計算精度的影響：

(1) 隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的形成方式：用Rayleigh阻尼模型和Caughey阻尼模型表示上部結(jié)構(gòu)的阻尼特性，采用Rayleigh阻尼模型時，分別應(yīng)用1.3節(jié)討論的兩種方法計算上部結(jié)構(gòu)對隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的貢獻(xiàn)，亦即直接計算或根據(jù)本文提出的方法進(jìn)行計算；

(2) 地震動輸入模型：采用第2章列出的三種地震動輸入模型，亦即常規(guī)的加速度輸入模型和位移輸入模型，以及位移-速度輸入模型。

為進(jìn)行隔震結(jié)構(gòu)的動力時域響應(yīng)分析，從加利福尼亞大學(xué)伯克利分校太平洋地震工程研究中心(PEER)的數(shù)據(jù)庫中選取了四條地震波，相關(guān)信息如表1所示。具體的位移、速度和加速度時程皆可從PEER的網(wǎng)站(https:∥peer.berkeley.edu/)下載獲得。在計算過程中，將4條波的地震動加速度幅值調(diào)至設(shè)計地震動加速度規(guī)定值(0.2g)，對應(yīng)的速度和位移時程亦可通過加速度調(diào)幅比例進(jìn)行調(diào)整。圖2給出了4條波反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜對比情況。

表1 地震波記錄信息Tab.1 Ground motion records information

圖2 地震動反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜對比Fig.2 Comparison of the code design spectrum and the spectrum of the 4 natural ground motions

動力時域分析將采用Newmark-β逐步積分法，積分步長取為地震波記錄的時間步長。對于剪切型隔震結(jié)構(gòu)模型，上部結(jié)構(gòu)的層間位移決定著變形和內(nèi)力的大小，而隔震支座變形也是分析設(shè)計中主要關(guān)注的響應(yīng)量。因此，在算例結(jié)果中僅考慮上部結(jié)構(gòu)層間位移和隔震層相對位移。

4.1 單層隔震結(jié)構(gòu)模型算例

首先考慮一個將上部結(jié)構(gòu)簡化為單自由度子系統(tǒng)的雙自由度基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)模型，上部結(jié)構(gòu)與隔震層的質(zhì)量、剛度和阻尼參數(shù)如表2所示[15]。上部結(jié)構(gòu)的臨界阻尼比為0.05，而隔震層等效阻尼比ξb=0.3。

表2 單層隔震結(jié)構(gòu)模型質(zhì)量與剛度數(shù)據(jù)Tab.2 Mass and stiffness data for the one-story base-isolated model

首先考慮El Centro波，分別采用三種算法進(jìn)行時域響應(yīng)分析。圖3給出了上層結(jié)構(gòu)層間位移和隔震層相對位移時程結(jié)果，從中可以看出，加速度輸入模型和位移-速度輸入模型給出的相對位移時程曲線高度吻合，而位移輸入模型結(jié)果則有很大的偏差。再考慮另外三條地震波，分別采用三種算法進(jìn)行時域響應(yīng)分析，得到的時程結(jié)果同樣具有以上特征。為節(jié)省篇幅未給出對應(yīng)的位移時程曲線，但在表3給出了不同算法給出的最大相對位移結(jié)果，以及用加速度模型的結(jié)果作為參考解時的相對偏差。可以發(fā)現(xiàn)，對于全部四條地震波，加速度輸入模型和位移-速度輸入模型的結(jié)果均高度一致，相對偏差不超過0.1%；但位移輸入模型全都高估隔震層位移、低估上部結(jié)構(gòu)的層間位移。很明顯，因為位移輸入模型的運(yùn)動方程沒有考慮與地震動速度相關(guān)的等效荷載項，結(jié)果導(dǎo)致較大的誤差。

容易理解，位移輸入模型給出的結(jié)果的誤差與地震激勵有關(guān)，因此響應(yīng)結(jié)果的相對偏差可能在一個較大范圍內(nèi)變化。對于采用的四條地震波，隔震層最大相對位移結(jié)果的偏差范圍為3.5%～31.0%，而最大層間位移結(jié)果的偏差范圍為14.2%～49.5%。特別值得注意的是，對于Northridge波，盡管隔震層相對位移偏差僅為3.5%，上層結(jié)構(gòu)層間位移相對偏差達(dá)到了近50%。對隔震層位移時程結(jié)果進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)，雖然位移輸入模型給出的最大值相對偏差不大，具體時程還是有顯著的差別，所以造成上部結(jié)構(gòu)最大層間位移結(jié)果有很大偏差。表3中最后一列中的數(shù)據(jù)說明，上部結(jié)構(gòu)層間相對位移和隔震層相對位移的結(jié)果偏差不成比例，因此僅僅通過比較隔震層相對位移最大值是否接近來判斷隔震結(jié)構(gòu)分析結(jié)果的精度是不夠的。

4.2 五層隔震結(jié)構(gòu)算例

考慮文獻(xiàn)[11]中的五層隔震結(jié)構(gòu)模型，上部結(jié)構(gòu)的臨界阻尼比設(shè)為0.05，隔震層的等效阻尼比ξb=0.21，其上部結(jié)構(gòu)和隔震層的質(zhì)量與剛度分布如表4所示。

(a) 上部結(jié)構(gòu)

表3 單層隔震結(jié)構(gòu)最大相對位移結(jié)果Tab.3 Maximum relative displacement results of one-story base-isolated model

表4 五層隔震結(jié)構(gòu)質(zhì)量與剛度數(shù)據(jù)Tab.4 Mass and stiffnessdata for the five-story base-isolated model

我們將采用Rayleigh阻尼構(gòu)造上部結(jié)構(gòu)阻尼矩陣。計算得到整體結(jié)構(gòu)的前兩階固有頻率分別為ω1=3.71 rad/s和ω2=15.46 rad/s，命對應(yīng)的模態(tài)阻尼比為0.05，可計算得到質(zhì)量和剛度阻尼系數(shù)為α=0.299 0，β=0.005 2。

分別采用三種算法和El Centro波進(jìn)行隔震結(jié)構(gòu)的時域響應(yīng)分析。表5給出了不同分析模型給出的最大相對位移和偏差?？梢娢灰?速度輸入模型與加速度輸入模型的結(jié)果高度一致，而位移輸入模型高估隔震層位移、低估上部結(jié)構(gòu)的層間位移，最大相對偏差達(dá)到近20%，再次說明位移輸入模型不適用于隔震結(jié)構(gòu)。

表5 五層隔震結(jié)構(gòu)最大相對位移結(jié)果 (ξb=0.21)Tab.5 Maximum relative displacement results of the five-story base-isolated model (ξb=0.21)

為了考察隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣采用不當(dāng)對分析結(jié)果的影響，我們采用直接考慮上部結(jié)構(gòu)對隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣貢獻(xiàn)的算法重復(fù)進(jìn)行分析，并將結(jié)果總結(jié)于表6。表中數(shù)據(jù)顯示，加速度輸入和位移-速度輸入模型給出的結(jié)果接近，隔震層位移和上部結(jié)構(gòu)層間位移結(jié)果都明顯偏低，上部結(jié)構(gòu)最大偏差達(dá)到了5.56%，隔震層最大相對偏差達(dá)到了8.39%。由此可見，對于隔震結(jié)構(gòu)，直接考慮上部結(jié)構(gòu)對隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣貢獻(xiàn)的方法會低估結(jié)構(gòu)的變形。

表6 直接計算上部結(jié)構(gòu)阻尼貢獻(xiàn)時五層隔震結(jié)構(gòu)最大相對位移結(jié)果(ξb=0.21)Tab.6 Maximum relative displacement results of the five-story base-isolated model when the damping of superstructure is used directly (ξb=0.21)

為了考察不同隔震層阻尼比情況下不同計算模型的精度，可將隔震層的等效阻尼比范圍取為0～0.3[16]。

首先考慮在不同阻尼模型下對隔震結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響，為了比較不同阻尼矩陣下的隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)差異，分析時均采用一致加速度輸入模型，并將結(jié)果總結(jié)于圖4中。從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，在不同隔震層等效阻尼比情況下，直接采用Rayleigh阻尼模型計算上部結(jié)構(gòu)阻尼貢獻(xiàn)時，隔震結(jié)構(gòu)的相對位移明顯偏低，均低估了隔震結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，其中，底層層間位移最大相對偏差為5.38%～12.47%，頂層層間位移最大相對偏差為2.83%～15.77%，隔震層相對位移最大相對偏差為5.14%～13.95%；另一方面，隨著隔震層等效阻尼比的增大，直接采用Rayleigh阻尼模型計算上部結(jié)構(gòu)阻尼貢獻(xiàn)時的計算相對偏差隨之減小。這是因為，直接采用Rayleigh阻尼模型計算上部結(jié)構(gòu)阻尼貢獻(xiàn)時的阻尼矩陣與本文所提阻尼矩陣的不同之處在于缺少了與上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量相關(guān)的部分。當(dāng)隔震層阻尼比較小時，此項對隔震結(jié)構(gòu)的響應(yīng)影響起主要作用，因此采用直接計算上部結(jié)構(gòu)阻尼貢獻(xiàn)時阻尼模型計算的相對偏差較大，隨著隔震層等效阻尼比增大，隔震層等效阻尼系數(shù)增大，此時隔震層等效阻尼系數(shù)將對隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響起主要作用，與上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量相關(guān)的部分對隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響減弱，相對偏差隨之減小。

另一方面，考察隔震結(jié)構(gòu)在不同隔震層等效阻尼比情況下，采用第2章提到的隔震結(jié)構(gòu)分析方法分析隔震結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)。值得注意的是，在此部分分析中采用的阻尼矩陣均是本文所提阻尼矩陣，以避免其它不相干因素對分析結(jié)果產(chǎn)生影響。分別采用Rayleigh阻尼和Caughey阻尼構(gòu)造上部結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，進(jìn)行分析計算，并將結(jié)果總結(jié)在圖5～圖7中?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著阻尼比的增大，無論是采用Rayleigh阻尼還是Caughey阻尼構(gòu)造上部結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，采用位移輸入模型得到的結(jié)果偏離參考解的程度都不斷加劇。當(dāng)隔震層等效阻尼比達(dá)到0.3時，采用位移輸入模型仍然還是會高估隔震層位移、低估上部結(jié)構(gòu)的層間位移，相對偏差可達(dá)到34.6%和-31.1%。

(a) 底層

(a) Rayleigh阻尼

應(yīng)用其它三個地震波重復(fù)進(jìn)行五層隔震結(jié)構(gòu)模型的分析，所得到的結(jié)果反映出基本相同的規(guī)律：首先，加速度輸入和位移-速度輸入模型結(jié)果吻合良好，而位移模型的偏差較大并隨隔震層阻尼的增高而增大；其次，直接考慮上部結(jié)構(gòu)對隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣貢獻(xiàn)會顯著地高估上部結(jié)構(gòu)的阻尼，造成較大的計算誤差。研究中，還采用文[11]中的九層隔震結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行了分析計算，結(jié)論相同。因篇幅所限，文中未給出具體數(shù)值結(jié)果。

(a) Rayleigh阻尼

(a) Rayleigh阻尼

5 結(jié) 論

本文研究了基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的分析方法，著重考慮了阻尼矩陣的形成和地震動輸入模型對動力響應(yīng)分析算法精度的影響，主要結(jié)論如下：

(1) 為了在基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的動力時域分析中準(zhǔn)確考慮高阻尼支座的影響，應(yīng)采用位移-速度輸入模型替代傳統(tǒng)的位移輸入模型。

(2) 位移輸入模型并不適用于基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)，尤其是在采用高阻尼隔震支座的情況下計算結(jié)果會有較大誤差。這是因為，采用位移輸入模型需忽略結(jié)構(gòu)與支承點相關(guān)聯(lián)節(jié)點間的耦合阻尼對應(yīng)的等效荷載，當(dāng)阻尼比越大時，此項對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響也越大，導(dǎo)致相對誤差越大。算例結(jié)果表明，位移輸入模型給出的結(jié)果一般會高估隔震層變形、低估上部結(jié)構(gòu)響應(yīng)，最大相對偏差可超過30%。

(3) 直接采用Rayleigh阻尼計算上部結(jié)構(gòu)對隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的貢獻(xiàn)時，會錯誤地引入附加結(jié)構(gòu)阻尼，算例表明這樣會嚴(yán)重地低估結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

(4) 文中提出了形成隔震結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的方法，可用于正確地模擬結(jié)構(gòu)的阻尼性質(zhì)，采用此方法可保證位移-速度輸入模型和加速度模型給出一致的計算結(jié)果，這是因為，兩種輸入模型盡管形式不同，但理論上完全一致，當(dāng)輸入的地震動數(shù)據(jù)一致并且結(jié)構(gòu)初始條件相同時，兩種形式的輸入模型的解應(yīng)完全一致。

研究中僅考慮了一致地震動激勵情況，在數(shù)值計算中采用了剪切型模型，對于更一般的情況還需要進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)值計算、展開進(jìn)一步研究。