雙索非線性振動(dòng)瞬時(shí)相位差及其來(lái)源

孫測(cè)世，林俊強(qiáng)，鄧正科

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074；2.湖南城市學(xué)院設(shè)計(jì)研究院有限公司，長(zhǎng)沙 410005)

工程中索結(jié)構(gòu)的振動(dòng)危害極大，一直是人們關(guān)注的重點(diǎn)問(wèn)題[1-3]。從相位來(lái)看，各索若處于同步振動(dòng)狀態(tài)(同相)，即拉索的慣性力方向一致時(shí)，拉索對(duì)錨固結(jié)構(gòu)的作用力瞬間增大數(shù)倍，可造成錨固結(jié)構(gòu)嚴(yán)重受損；若各索處在異步振動(dòng)狀態(tài)(異相)，則極易引起鄰索間的碰撞[4-6]，導(dǎo)致索結(jié)構(gòu)的使用壽命大大縮減。

目前，對(duì)多索結(jié)構(gòu)的研究已表明，參數(shù)差異對(duì)相鄰拉索的相對(duì)振動(dòng)存在較大影響。孫測(cè)世[7]進(jìn)行了斜拉橋全橋模型試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)激勵(lì)頻率達(dá)到一定值時(shí)多根索會(huì)發(fā)生大幅振動(dòng)，且相鄰索的振動(dòng)間均存在一定相位差，導(dǎo)致產(chǎn)生碰撞。孟新田[8]建立了斜拉橋的多索-梁動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型，分析了雙索間在倍頻關(guān)系下拉索的大幅振動(dòng)問(wèn)題。趙躍宇等[9]建立了一種雙索質(zhì)量塊模型，分析了拉索與拉索之間在振動(dòng)過(guò)程中的相互影響，研究發(fā)現(xiàn)單根拉索參數(shù)的變動(dòng)對(duì)相鄰拉索振動(dòng)的影響較大。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于拉索的相對(duì)振動(dòng)的研究在模態(tài)分析中往往以“同相”與“反相”模態(tài)體現(xiàn)，Lepidi等[10]采用一個(gè)具有雙索的簡(jiǎn)化模型研究了索承重橋梁的模態(tài)耦合，研究表明拉索存在同相和反相的局部模態(tài)。Ahmad等[11]建立了雙索網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，研究了輔助索剛度對(duì)雙索網(wǎng)絡(luò)平面內(nèi)自由振動(dòng)特性的影響，發(fā)現(xiàn)雙索網(wǎng)結(jié)構(gòu)在平面內(nèi)自由振動(dòng)中存在同相和反相模態(tài)。Abdel-Ghaffar等[12]首次研究了拉索振動(dòng)過(guò)程對(duì)斜拉橋振動(dòng)產(chǎn)生的影響，研究表明MECS模態(tài)分析中可獲得大量拉索局部模態(tài)，其中包括相鄰拉索的同相和反相模態(tài)。吳慶雄等[13]對(duì)多索-梁結(jié)構(gòu)的研究中發(fā)現(xiàn)二索-梁結(jié)中也存在同相和反相模態(tài)，并且在此基礎(chǔ)上建立了多索梁模型。Zhou等[14]提出并分析了在錨索錨固附近布置有阻尼器的兩根平行拉索系統(tǒng)，研究發(fā)現(xiàn)第三模態(tài)下兩平行索之間振幅同相，第四模態(tài)下兩平行拉索振幅反相。

對(duì)其他類(lèi)似結(jié)構(gòu)的研究中也表明相頻特性隨結(jié)構(gòu)參數(shù)變化。最為典型的結(jié)構(gòu)為擺，根據(jù)參數(shù)的差異，其相位角、相位差會(huì)有不同的影響和變化，會(huì)呈現(xiàn)同步或異步運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象[15-17]；Kapitaniak等[18]通過(guò)在平臺(tái)上兩個(gè)平面彈性擺加水平激勵(lì)，發(fā)現(xiàn)了穩(wěn)定的同異步運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并分析了同異步振動(dòng)下的分岔情形。

綜上，索的相頻特性與物理參數(shù)和激勵(lì)密切相關(guān)，相鄰拉索會(huì)因參數(shù)關(guān)系改變而出現(xiàn)同步或異步振動(dòng)。本文對(duì)雙水平索質(zhì)量塊模型展開(kāi)對(duì)索的瞬時(shí)相位差研究，揭示不同參數(shù)下高階近似項(xiàng)中引起雙水平索非線性振動(dòng)瞬時(shí)相位差的因素及其影響規(guī)律。

1 力學(xué)模型與多尺度分析

1.1 基本假定

如圖1所示雙水平索與質(zhì)量塊耦合振動(dòng)力學(xué)模型，其中質(zhì)量塊M僅考慮沿索軸向的運(yùn)動(dòng)X(t)，不考慮質(zhì)量塊阻尼。其中，跨度為l，跨中垂度為d。索的單位長(zhǎng)度質(zhì)量m，以索的軸向方向?yàn)閤方向，重力加速度g的方向?yàn)閥方向。x、y方向?qū)?yīng)位移分別用u、v表示。

圖1 雙水平索與橋面耦合力學(xué)模型Fig.1 The coupling mechanical model of double horizontal cable and bridge deck

其它基本假設(shè)包括：①不考慮索和梁的材料非線性；②不計(jì)拉索的抗彎剛度、抗扭剛度以及抗剪剛度；③認(rèn)為兩根拉索的重力垂度均為拋物線；④拉索的本構(gòu)關(guān)系服從胡克定律并且各點(diǎn)受力均勻；⑤不計(jì)橋塔振動(dòng)對(duì)索的影響；⑥只考慮橋面的豎向運(yùn)動(dòng)。

1.2 振動(dòng)方程的建立

根據(jù)Hamilton原理，拉索的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

其中

式中：m為單位長(zhǎng)度質(zhì)量;E為拉索彈性模量;A為拉索截面面積;εd為拉索振動(dòng)中的動(dòng)應(yīng)變。y(x)水平索的靜態(tài)構(gòu)型，其表達(dá)式可為：

y(x)=4f(1-x)x

(2)

式中，f為懸索垂跨比。

當(dāng)引入質(zhì)量塊位移函數(shù)X(t)和阻尼項(xiàng)后可得到

(3)

引入如式(4)中的無(wú)量綱變換

(4)

(5)

類(lèi)似地，將質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行無(wú)量綱化后可得

(6)

1.3 離散化模型

懸索的振動(dòng)可以表示為各階模態(tài)振動(dòng)的組合，因此可利用分離變量法令

(7)

(8)

式中:v1(x,t)、v2(x,t)分別表示索1和索2的動(dòng)位移；qn(t)、Bn(t)為索1和索2振動(dòng)的廣義時(shí)間坐標(biāo)；Φ(x)為索1和索2振型函數(shù)，其正對(duì)稱(chēng)模態(tài)函數(shù)Φ1(x)和反對(duì)稱(chēng)模態(tài)函數(shù)Φ2(x)如下[19]

(9a)

(9b)

利用Galerkin方法進(jìn)行離散，可將包含時(shí)間二階項(xiàng)和空間二階項(xiàng)無(wú)量綱偏微分方程簡(jiǎn)化為只含有時(shí)二階項(xiàng)的無(wú)量綱離散控制方程，將相應(yīng)的量代入，聯(lián)合各式并簡(jiǎn)化系數(shù)，則可得相應(yīng)雙水平索質(zhì)量塊耦合振動(dòng)方程組如下

(10a)

(10b)

(10c)

式中，各系數(shù)如下：

1.4 攝動(dòng)分析

基于多尺度法對(duì)式(10a)～(10c)求近似解，令：

q(t;ε)=εq0(T0,T1,T2)+ε2q1(T0,T1,T2)+

ε3q2(T0,T1,T2)+…,

(11a)

B(t;ε)=εB0(T0,T1,T2)+ε2B1(T0,T1,T2)+

ε3B2(T0,T1,T2)+…,

(11b)

Z(t;ε)=εZ0(T0,T1,T2)+ε2Z1(T0,T1,T2)+

ε3Z2(T0,T1,T2)+…,

(11c)

其中，Tn=εnt(n=0,1,2,3,…)，代入式(10a)～(10c)并按ε的冪次整理得到：

ε：

(12a)

(12b)

(12c)

ε2：

(13a)

(13b)

(13c)

ε3：

(14c)

設(shè)式(12a)～(12c)的復(fù)數(shù)解為

qk1=A1eiω1T0+cc

(15a)

Bk1=A2eiω2T0+cc

(15b)

Z1=A3eiω3T0+cc

(15c)

代入式(13a)～(13c)，令長(zhǎng)期項(xiàng)為0，可得特解：

(16a)

(16b)

(16c)

式中，各系數(shù)如下：

再將式(15a)～(16c)代入式(14a)～(14c)取雙索和質(zhì)量塊三階長(zhǎng)期項(xiàng)為0可得：

其中：

Tem=-am1F4k-am1F3k-3am4+

為便于求解式(17a)～(17c)，假定質(zhì)量塊僅提供拉索軸向激勵(lì)X(t)=QcosΩt，其中Q為質(zhì)量塊的無(wú)量綱振動(dòng)幅值，為質(zhì)量塊的實(shí)際激勵(lì)幅值Qb除以索長(zhǎng)l，即：Q=Qb/l。令A(yù)mn=1/2aneiβn(n=1,2)，代入式(17)，并設(shè)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)

經(jīng)分離實(shí)、虛部可得平均方程

(18a)

(18c)

(18d)

由式(18)可知，至此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四個(gè)方程求解a1、a2、γ1和γ2四個(gè)未知數(shù)的非線性代數(shù)方程組，雖然一般可以通過(guò)直接簡(jiǎn)化方程，研究非平凡穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性，但是由于簡(jiǎn)化過(guò)程存在耦合項(xiàng)，直接求解比較困難，因此引入直角坐標(biāo)的方法，做以下轉(zhuǎn)換

sinγ1=p1m/a1，cosγ1=q1m/a1

sinγ2=p1n/a2，cosγ2=q1n/a2

再利用數(shù)值計(jì)算方法求解方程組，最后得雙索響應(yīng)近似解為

2 不同計(jì)算方法的對(duì)比驗(yàn)證

為驗(yàn)證基于多尺度法的計(jì)算結(jié)果的正確性，本節(jié)利用算例將數(shù)值結(jié)果與Runge-Kutta法直接積分、有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。在給定參數(shù)m1=m2=136 kg/m、l=440 m、EA=2.98×109N、H1=8 000 kN、Q=0.000 1等基礎(chǔ)上，改變另一根拉索的索力參數(shù)。為結(jié)果具有一般性，選用垂跨比這一在工程中較常用和直觀的無(wú)量綱參數(shù)進(jìn)行分析。按f1=0.009，f2=0.011或0.01，考慮兩個(gè)不同垂跨比之比的工況，即f2/f1=0.01/0.009=1.11和f2/f1=0.011/0.009=1.22。

利用有限元軟件ANSYS建立雙索質(zhì)量塊模型，采用LINK10模擬拉索單元。質(zhì)量塊采用MPC184單元模擬，不考慮阻尼力與彈性恢復(fù)力，僅作為一個(gè)連接兩根拉索的物體，具有無(wú)窮大的剛度和一定的質(zhì)量，通過(guò)給質(zhì)量塊一個(gè)x方向的動(dòng)位移，使雙索產(chǎn)生參數(shù)振動(dòng)。同時(shí)，采用四階Runge-Kutta編制MATLAB程序直接對(duì)常微分方程式(10)進(jìn)行直接數(shù)值積分。

下文將以f2/f1=1.11和1.22，Ω=1.05作為算例進(jìn)行分析，模擬兩組參數(shù)下的相對(duì)振動(dòng)，繪制出相應(yīng)的時(shí)程曲線圖與Runge-Kutta法求得的響應(yīng)以及非線性有限元分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。為方便比較，將有限元的有量綱的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為無(wú)量綱，對(duì)比結(jié)果如圖2和圖3所示?？梢?jiàn)，在參數(shù)條件為f2/f1=1.11，Ω=1.05時(shí)，索1與索2處于同步振動(dòng)；在參數(shù)條件為f2/f1=1.22，Ω=1.05時(shí)，索1和索2處于異步振動(dòng)。

比較兩組不同拉索參數(shù)下的Runge-Kutta法與多尺度法所得的時(shí)程曲線，可見(jiàn)兩組不同參數(shù)下兩種求解方法的結(jié)果吻合良好。有限元分析得到的時(shí)程曲線的上波峰到下波峰的距離均有微小的減小，但二倍頻項(xiàng)與漂移項(xiàng)的影響確有微小增大。這是由于進(jìn)行理論分析與Runge-Kutta法計(jì)算時(shí)，均忽略了面內(nèi)外耦合。在進(jìn)行非線性有限元分析時(shí)，給與了面外微小擾動(dòng)，振動(dòng)過(guò)程面內(nèi)外有一定的耦合，分散了系統(tǒng)的振動(dòng)能量，因此振動(dòng)幅值會(huì)有所減小。綜上可見(jiàn)，無(wú)論是Runge-Kutta法還是非線性有限元分析，結(jié)果都與多尺度法結(jié)果有較好的吻合，驗(yàn)證了多尺度方法求解結(jié)果的可靠性。

(a) 多尺度法與R-K法結(jié)果對(duì)比

3 高階解對(duì)相頻特性的影響

為研究高階解對(duì)相頻特性的影響，繼續(xù)通過(guò)第2章算例分別考察高階近似項(xiàng)中的相移值γ1和γ2、漂移項(xiàng)等因素對(duì)瞬時(shí)相頻特性的影響，進(jìn)一步闡述不同參數(shù)下雙水平索的相對(duì)振動(dòng)變化規(guī)律。

3.1 高階近似項(xiàng)對(duì)瞬時(shí)相位的影響

圖4為f2/f1=1.11，Ω=1.15時(shí)的時(shí)程曲線。其中，圖4(a)為僅考慮線性近似解雙索響應(yīng)時(shí)程曲線，圖4(b)為考慮ε的前兩階時(shí)雙索的時(shí)程曲線圖。橫坐標(biāo)為無(wú)量綱時(shí)間變量，縱坐標(biāo)為無(wú)量綱響應(yīng)幅值。

(a) 未考慮高階近似項(xiàng)

對(duì)比圖4(a)、圖4(b)可知，未考慮高階近似項(xiàng)時(shí)，兩根索在振動(dòng)過(guò)程中瞬時(shí)相位差值變化波動(dòng)不大，且索1受高階項(xiàng)的影響相對(duì)較??；在考慮高階近似項(xiàng)時(shí)，受到高階近似項(xiàng)中二倍頻項(xiàng)及漂移項(xiàng)的影響，響應(yīng)曲線線型會(huì)產(chǎn)生較大的變化。故可推斷出兩根拉索在相移值為零(γ=0)時(shí)，兩根拉索會(huì)產(chǎn)生一定的瞬時(shí)相位差異，因此，繪制了雙索在f2/f1=1.11時(shí)的復(fù)平面圖。

如圖5所示，在未考慮高階近似項(xiàng)時(shí)，兩根拉索的復(fù)平面圖都為圓形，相同時(shí)刻對(duì)應(yīng)點(diǎn)均在外圓的半徑上，相角差值為零。當(dāng)考慮高階近似項(xiàng)時(shí)，索1與索2的復(fù)平面圖中心點(diǎn)均產(chǎn)生一定的偏移，索2尤為明顯，從而使復(fù)平面圖中對(duì)應(yīng)曲線形狀發(fā)生變化。兩根拉索的瞬時(shí)相位差也會(huì)因?yàn)楦唠A項(xiàng)的存在出現(xiàn)差異，如圖6所示。為了便于比較，定義無(wú)量綱參數(shù)為

(20)

式中，Δp為兩根拉索間響應(yīng)的瞬時(shí)相位差。

(a) 未考慮高階近似項(xiàng)

在未考慮高階近似項(xiàng)時(shí)，即在相移值γ1和γ2為零時(shí)，其瞬時(shí)相位差幅值也為零，如圖6中虛線所示。當(dāng)考慮高階近似項(xiàng)時(shí)，受到高階近似項(xiàng)的影響，瞬時(shí)相位差會(huì)呈現(xiàn)很大的變化幅度，相位差時(shí)程曲線成周期變化，在該參數(shù)條件下，最大相位差可達(dá)到0.2π，如圖6中實(shí)線所示。

為更加直觀的分析在不同參數(shù)下的瞬時(shí)相位差變化情況，定義新的無(wú)量綱參數(shù)

(21)

式中，Δpmax為Δp的幅值。

取各頻率下兩根拉索間響應(yīng)的瞬時(shí)相位差幅值pmax，繪制pmax-Ω曲線圖，將考慮高階近似解與僅考慮線性近似解時(shí)瞬時(shí)相位差隨頻率變化曲線圖進(jìn)行對(duì)比，如圖7所示。

由圖7可知，當(dāng)Ω<1.05時(shí)，雙索處于同步或異步振動(dòng)(圖7(a)中為異步振動(dòng)，圖7(b)中為同步振動(dòng))，兩根曲線幾乎重合，說(shuō)明高階近似項(xiàng)對(duì)雙索間的瞬時(shí)相位差無(wú)明顯影響；當(dāng)Ω>1.05時(shí)，相位差逐漸變大；當(dāng)Ω>1.10后，差異明顯增大，此時(shí)高階近似項(xiàng)對(duì)相位差的影響不可忽略。圖7(b)中，在特定頻率下，高階近似項(xiàng)甚至能使瞬時(shí)相位增大0.8π。

(a) f2/f1=1.22

綜上所述，考慮高階近似項(xiàng)后，拉索間的瞬時(shí)相位差會(huì)有很大的變化，因此，在對(duì)索的相頻特性分析時(shí)，不能忽略高階近似項(xiàng)的影響。

3.2 高階近似項(xiàng)中各因素對(duì)瞬時(shí)相位的影響

在3.1節(jié)基礎(chǔ)上，為進(jìn)一步追溯高階近似項(xiàng)中導(dǎo)致其“不能忽略”的因素。將第2章已經(jīng)驗(yàn)證的MATLAB程序進(jìn)行適當(dāng)修改，使高階項(xiàng)中的相移值γ以及漂移項(xiàng)的影響剝離出來(lái)進(jìn)行分析。

3.2.1 相移值γ對(duì)瞬時(shí)相位的影響

由式(19a)、(19b)可知，在雙索的近似解中，無(wú)論是漂移項(xiàng)還是二倍頻率項(xiàng)均含有相移值γ，可見(jiàn)相移值γ的存在可能對(duì)響應(yīng)會(huì)有一定的影響，因此繪制出f2/f1=1.11，Ω=1.15時(shí)的瞬時(shí)相位時(shí)程曲線圖與瞬時(shí)相位差曲線圖，如圖8所示，兩者進(jìn)行比較，研究相移值γ對(duì)相頻特性的影響。

由圖8(a)可知，瞬時(shí)相位差時(shí)程曲線不僅向右平移而且向下平移。向右平移是因?yàn)閮筛鞯南嘁浦郸貌粸榱?，響?yīng)時(shí)程與瞬時(shí)相位時(shí)程均產(chǎn)生一定的右移。而因?yàn)閮筛飨嘁浦荡嬖谝欢ǖ牟町?，從而?dǎo)致瞬時(shí)相位差值整體加上或減去一個(gè)定值，所以瞬時(shí)相位差時(shí)程曲線會(huì)產(chǎn)生一定的下移。故圖8(a)中Δt和Δ(Δp)的數(shù)值大小取決于兩根拉索在同一頻率下的相移值大小(Δt為瞬時(shí)相位差時(shí)程曲線幅值往右偏移的時(shí)間差，Δ(Δp)為瞬時(shí)相位差時(shí)程曲線幅值往下偏移的瞬時(shí)相位差的差值)。

(a) γ=0和γ≠0的瞬時(shí)相位差

考慮了相移值后，如圖8(b)所示，瞬時(shí)相位差時(shí)程曲線會(huì)向右平移，兩曲線在同一時(shí)刻上對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的相位差數(shù)值大小就是相移值γ。雙索結(jié)構(gòu)由于兩根拉索的參數(shù)差異，相移值也可能會(huì)具有較大差異，而且瞬時(shí)相位時(shí)程曲線線型也具有一定的差異，故瞬時(shí)相位差也會(huì)受到較大的影響。

對(duì)于雙索近似解，如式(19a)、(19b)中含有二倍頻項(xiàng)與漂移項(xiàng)，分別繪制出γ=0和γ≠0時(shí)各項(xiàng)系數(shù)的變化曲線，如圖9所示。

(a) f2=0.01

由圖9可知，高階近似項(xiàng)各項(xiàng)系數(shù)中均含有響應(yīng)幅值a1、a2。在向上掃頻時(shí)，由于響應(yīng)幅值a1、a2增大，各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值也相應(yīng)的增大。將各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行對(duì)比，可見(jiàn)僅第一項(xiàng)與第四項(xiàng)在γ=0和γ≠ 0時(shí)較大的激勵(lì)頻率Ω區(qū)域時(shí)出現(xiàn)明顯差異。但第一項(xiàng)與第四項(xiàng)的數(shù)值大小相對(duì)于第二項(xiàng)與第三項(xiàng)為小量，數(shù)值上可以忽略不計(jì)。因此可知，γ對(duì)高階項(xiàng)引起的相位差幅值的影響可以忽略。

3.2.2 漂移項(xiàng)對(duì)瞬時(shí)相位的影響

從式(19a)、(19b)中可見(jiàn)，響應(yīng)幅值是漂移項(xiàng)中的參數(shù)，因此響應(yīng)幅值對(duì)瞬時(shí)相位可能也有一定的影響。根據(jù)文獻(xiàn)[20]表明，瞬時(shí)相位的變化與漂移項(xiàng)在響應(yīng)振幅中所占比重有關(guān)。所以漂移項(xiàng)會(huì)影響瞬時(shí)相位數(shù)值變化，可通過(guò)漂移項(xiàng)在響應(yīng)振幅中所占比重對(duì)瞬時(shí)相位差幅值進(jìn)行定性研究。由圖9可知，可將第一項(xiàng)和第四項(xiàng)的幅值忽略，令式(19a)、(19b)中二倍頻率項(xiàng)的余弦值為1，振動(dòng)達(dá)到振幅，則可定義新的無(wú)量綱參數(shù)

(22a)

(22b)

式中:D1、D2為索1、索2響應(yīng)近似解中的漂移項(xiàng)(此處僅考慮絕對(duì)漂移量);Av1、Av2為索1、索2響應(yīng)近似解中不考慮漂移項(xiàng)后的響應(yīng)幅值，稱(chēng)為無(wú)漂移幅值。β1與β2分別反映索1、索2的漂移項(xiàng)在響應(yīng)幅值中所占的比重。

取f2/f1=1.11時(shí)，β1與β2隨Ω的變化曲線如圖10所示。

圖10 β-Ω曲線Fig.10 The curves of β-Ω

由圖10可知，β1與β2曲線在Ω<1.05時(shí)基本重合，且均約等于0，此時(shí)高階解中幾乎無(wú)漂移項(xiàng)，因此，圖7中對(duì)應(yīng)頻率范圍內(nèi)兩根拉索相位差很?。辉讦?1.10時(shí)β2明顯大于β1，這是因?yàn)樗髁^小的索，漂移項(xiàng)的占比明顯增大，進(jìn)而導(dǎo)致圖7中該頻率范圍內(nèi)的瞬時(shí)相位顯著增大。

綜上所述，高階近似項(xiàng)引起的相位差幅值大小受γ的影響不大，而高階項(xiàng)中的漂移項(xiàng)的變化對(duì)瞬時(shí)相位的影響卻有決定性作用，因此可利用β值的變化情況對(duì)瞬時(shí)相位差幅值作定性判斷。

4 結(jié) 論

(1) 對(duì)比分析表明，Runge-Kutta法、非線性有限元法和多尺度法的結(jié)果具有較好的一致性，不同參數(shù)下，雙索會(huì)呈現(xiàn)同步或異步振動(dòng)的現(xiàn)象。

(2) 高階近似項(xiàng)對(duì)拉索間的瞬時(shí)相位差有影響，相頻分析時(shí)不能忽略，在一定頻率下，甚至能使瞬時(shí)相位增大0.8π。進(jìn)一步的分析表明：高階近似項(xiàng)中相移值γ對(duì)瞬時(shí)相位差的貢獻(xiàn)可以忽略，而漂移項(xiàng)對(duì)瞬時(shí)相位差卻有決定性作用。

(3) 雙索系統(tǒng)的瞬時(shí)相位差來(lái)源于線性解中相移值γ的差異以及高階項(xiàng)中漂移項(xiàng)占比參數(shù)β的差異兩個(gè)方面。