多相混合滲流理論研究

朱維耀

1) 北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京 100083 2) 北京科技大學(xué)應(yīng)用力學(xué)研究所，北京 100083

多相流體在多孔介質(zhì)中的流動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜的力學(xué)、物理過(guò)程，多相流體混合滲流伴隨著質(zhì)量、動(dòng)量、能量、熱的變化，當(dāng)有相間摻混作用特別是化學(xué)劑存在下相混合摻混現(xiàn)象更為明顯.對(duì)于反映該過(guò)程的討論特別是動(dòng)力學(xué)本質(zhì)的研究還不多見(jiàn)，人們只是把研究單相滲流的經(jīng)典方法，將各相均作為獨(dú)立的相推演到多相滲流中.1936年Wyckoff和Botset以相對(duì)滲透率來(lái)描述兩相流體滲流[1]，但沒(méi)有考慮兩種流體之間的相互（耦合）作用，且認(rèn)為流體-流體界面和流體-固體界面處的邊界條件是相同的，事實(shí)上這并不正確.許多學(xué)者通過(guò)體積平均（Volume averaging）法[2]來(lái)獲得耦合滲流控制方程，這種模型根據(jù)達(dá)西定律直接推廣而來(lái).對(duì)于兩種互不相溶的流體耦合滲流過(guò)程，1988年以來(lái)Walter Rose對(duì)單相流推廣到多相流的滲流關(guān)系進(jìn)行了修正，突出了兩相間的相互作用關(guān)系，給出了廣義的達(dá)西關(guān)系式[3-5]，方程中有四個(gè)待定系數(shù)來(lái)表征兩相間相互作用[6]，其中相對(duì)滲透率是飽和度的函數(shù).許多研究通過(guò)滲透率和毛細(xì)壓力之于飽和度的關(guān)系改進(jìn)模型[7-8]，或者建立滲透率與毛管數(shù)[9]、黏度比[10-11]和潤(rùn)濕性[12]之間的聯(lián)系.一些研究從流體界面的拖曳現(xiàn)象和動(dòng)量交換出發(fā)，提出了附加耦合項(xiàng)[13-15]，說(shuō)明了滲透率對(duì)相分布的作用.熱力學(xué)過(guò)程也被用于構(gòu)建多相流模型[16-19]，盡管一些參數(shù)的定義略有差別[20]，其與體積平均法具有類似的形式，系數(shù)中有兩個(gè)非對(duì)角項(xiàng)表征界面黏性耦合[21]，黏性耦合也逐漸應(yīng)用到滲吸流的研究中[22-24].對(duì)于多相流動(dòng)問(wèn)題，仍多使用經(jīng)典多相流理論來(lái)解決[25-27].對(duì)于相對(duì)滲透率實(shí)驗(yàn)曲線端點(diǎn)附近出現(xiàn)了其他相為非連續(xù)相流動(dòng)問(wèn)題，均還未見(jiàn)對(duì)其摻混機(jī)制及相對(duì)滲透率多參數(shù)函數(shù)關(guān)系的考慮.

為此，鑒于目前的研究局限，我們從反向思維的角度出發(fā)來(lái)分析多相流體在多孔介質(zhì)中的流動(dòng)狀態(tài)，突破原有多相滲流理論基于流體力學(xué)各相均為連續(xù)相假設(shè)的局限，把多相流體作為一個(gè)整體考慮，引入多相體系滲流平衡熱力學(xué)定律，基于總的守恒方程，研究多相流體在多孔介質(zhì)中傳輸，含不相溶、相界面變化、質(zhì)量傳輸?shù)幕旌狭黧w，搞清混合流體在多孔介質(zhì)中的各相間轉(zhuǎn)換作用關(guān)系和流動(dòng)機(jī)制，建立多相混合滲流理論和模型，揭示多相流體在多孔介質(zhì)中的混合流動(dòng)規(guī)律，期待解決滲流中多相混合滲流問(wèn)題并發(fā)展?jié)B流力學(xué)的新理論.

1 滲流過(guò)程中多相體系平衡熱力學(xué)

多相流體混合滲流存在質(zhì)量、動(dòng)量、能量、熱的變化等.用傳統(tǒng)的方法處理滲流的物理化學(xué)規(guī)律和機(jī)理顯然不能得到正確的認(rèn)識(shí).要想更好地研究多相流體的傳輸變化規(guī)律，必須考慮力學(xué)、物理、化學(xué)復(fù)合過(guò)程的熱力學(xué)行為.為此，我們將從多相流體在多孔介質(zhì)中混合滲流過(guò)程的熱力學(xué)入手，闡明滲流平衡熱力學(xué)規(guī)律，提出對(duì)滲流的熱力學(xué)新認(rèn)識(shí).

1.1 滲流熱力學(xué)第一定律

考慮為穩(wěn)流過(guò)程，多相流體滲流傳輸發(fā)生能量交換，還存在著物質(zhì)交換.因此，這種物系為敞開(kāi)物系.該物系的熱力學(xué)規(guī)律為：

其中

式中：H為焓；U為內(nèi)能；P為總壓力；V為體積；g為重力；Z為高度；u為截面平均流動(dòng)速度；Q為熱；W軸為軸功.其中，當(dāng)W軸為正即物系對(duì)環(huán)境做功，W軸為負(fù)即環(huán)境對(duì)物系做功.

由式（1）可知，滲流熱力學(xué)第一定律公式型式有別于封閉物系的第一熱力學(xué)定律的型式.由此闡明了滲流過(guò)程的熱力學(xué)推演規(guī)律.

1.2 滲流熱力學(xué)第二定律

根據(jù)熱力學(xué)原理，對(duì)于孤立體系，體系、環(huán)境為可逆過(guò)程，則體系為孤立體系，有

式中：S孤為孤立體系的熵；S環(huán)為環(huán)境的熵；Qj為j相的熱；；np為相的數(shù)量；Spj為j相的熵；T環(huán)為系統(tǒng)環(huán)境的絕對(duì)溫度.

可得：

因?yàn)?，G=H-TS，式（6）又可改寫(xiě)為：

式中，G為自由能（Gibbs）.式（6）或（7）即為滲流熱力學(xué)第二定律公式型式.

1.3 滲流過(guò)程中的多相體系平衡條件和熱力學(xué)關(guān)系

多相體系的平衡條件是：①熱平衡條件；②力學(xué)平衡條件；③相平衡條件；④化學(xué)平衡條件.如果各相間熱平衡，則溫度Tj=Tj′（j≠j′），j′=1,2,3,…,np；力學(xué)平衡，壓力Pj=Pj′；相平衡，化學(xué)勢(shì) μj= μj′；化學(xué)平衡條件為：各物性參數(shù)不隨時(shí)間而改變fi(t)=const （fi(t)為時(shí)間函數(shù)關(guān)系）.

對(duì)于滲流過(guò)程，如果T體系=T環(huán)境，則平衡時(shí)：

力學(xué)平衡相間壓力為：

式中，Pc為毛管力.

相平衡化學(xué)勢(shì)為：

式中，j代表相為相數(shù)量，i代表組分 (i=1,2,3,···,nk)，nk為組分?jǐn)?shù)量.

對(duì)于各相寫(xiě)為

式中，w為物質(zhì)的量.且流體自由能（Go）為

對(duì)于多相滲流流體體系，視自由能Ga為

對(duì)于滲流過(guò)程ua

式 中：ua為 滲流 流體 的 流速 ； ?eff為 多 孔介 質(zhì)孔 隙度.則式（13）進(jìn)一步寫(xiě)為

由此可見(jiàn)，多孔介質(zhì)的非均質(zhì)和滲流速度的變化將引起視自由能（Ga）的變化.

2 多相流體混合滲流理論模型

2.1 質(zhì)量守恒規(guī)律

多相流體混合滲流時(shí)，各相的飽和度是變化的，流體的不斷重新組合、分配，如有相態(tài)變化發(fā)相間質(zhì)量傳輸，如有化學(xué)劑融合反應(yīng)發(fā)生相間質(zhì)量傳輸，多相混合反映為滲流過(guò)程的復(fù)雜性，但是作為總的客觀體其守恒規(guī)律是不變的.因而，總的質(zhì)量守恒方程為：

式中： ρa(bǔ)為流體的混合密度；ua為ua的向量式；t為時(shí)間.

流體的混合密度(ρa(bǔ))定義為：

由ρj=mj/Vj， 得：

式中：m為相的質(zhì)量；s為相飽和度.

式（16）即為多相混合滲流的質(zhì)量守恒規(guī)律.

2.2 混合滲流運(yùn)動(dòng)規(guī)律

首先，我們根據(jù)前面的結(jié)果，假設(shè)混合滲流速度與總壓力梯度成正比關(guān)系的存在是可能，來(lái)分析混合滲流機(jī)制，揭示多相滲流規(guī)律.由式（7）知道，對(duì)可逆過(guò)程：

因?yàn)榱黧w滲流時(shí)，產(chǎn)生界面.因此，自由能分為兩部分，一部分是體相自由能，另一部分是界面自由能.寫(xiě)為：

式中：Gb為 體相自由能；Gf為界面自由能.

自由能又可表示為各相之和，即

界面自由能可以表示界面張力與界面積之積：

式中：Ajj′為相間界面積，j=j′時(shí)為j相與固相的界面積； σjj′為j相與j′相間的界面張力.因而

因此流體自由能Go表示為：

將式（24）代入式（19）得：

因?yàn)榻缑嫔狭黧w所占體積很少，忽略其對(duì)體積變化的影響，所以有：

式中：Ub為體相內(nèi)能；Sb為體相熵.

于是式（25）變?yōu)?/p>

其中

式中：Abjj′為單位巖石和流體體積中的相界面積大??；?為孔隙度；Vtotal為介質(zhì)和流體體積之和.

因此，由式（27）可以看出，滲流流體混合滲流時(shí)，由于內(nèi)能、熱能、動(dòng)能、勢(shì)能、界面能和做功的變化引起壓力差的變化.

如果體系無(wú)熱量、內(nèi)能、勢(shì)能和動(dòng)能的變化，且環(huán)境對(duì)體系無(wú)做功，則

此時(shí)界面大小發(fā)生變化，必引起壓力大小的變化.

對(duì)于無(wú)相變，無(wú)化學(xué)反應(yīng)，無(wú)熱交換的多相混合體系，其滲流的機(jī)制是屬力學(xué)、物理的范疇，其作用結(jié)果如式（30）所示.由式可以看出，若使多相流體混合程度增大，必須加大壓差，產(chǎn)生相界面，反映為相飽和度的接近，滲流阻力增大，各相滲透率之和降低.若使流體從定流量流出，壓力差的一部分必須用于產(chǎn)生界面的消耗，寫(xiě)為

式中， ΔP1為流體流動(dòng)消耗的壓差； ΔP2為產(chǎn)生界面消耗的壓差.

依據(jù)滲流實(shí)驗(yàn)和理論所知：

式中，M為流動(dòng)度，L為流道長(zhǎng)度.

那么對(duì)于多相混合滲流流體，ua～ΔP1，有：

式中，M*為基準(zhǔn)流度.式（33）又可寫(xiě)成下列形式：

即

令

式中，Krm混合滲流系數(shù).則式（35）變?yōu)椋?/p>

由此可見(jiàn)，Krm是界面、界面張力、壓力梯度和孔隙度的函數(shù).

令

式（37）又為：

這里我們稱Mm為混合滲流流動(dòng)度，其與Krm是反映多相流體性質(zhì)、多相混合滲流性質(zhì)、孔隙介質(zhì)物性的函數(shù).式（34）又可寫(xiě)成下列形式：

式中，e為基矢量.由此混合滲流運(yùn)動(dòng)規(guī)律得出，即式（37）或式（40）的結(jié)果.

3 多 相混合 滲流理 論與傳 統(tǒng)多相 滲流理論的關(guān)系

由上面研究可知，多相混合滲流理論揭示了多相流體混合滲流的規(guī)律，闡明了滲流的總體效果，而多相滲流理論把達(dá)西定律推廣到了多相滲流中，它的局限性在于僅假設(shè)為連續(xù)相，忽略了相間的交換，相對(duì)滲透率僅視為是飽和度的函數(shù)，計(jì)算相滲透率時(shí)又忽略了毛管力.但實(shí)際的相流動(dòng)在一定情況下是非連續(xù)的，相間存在交換，而實(shí)驗(yàn)時(shí)所測(cè)得的壓力是總體壓力，測(cè)量結(jié)果在理論上和應(yīng)用上有一定的差異，可見(jiàn)多相滲流理論存在局限和不足.下面進(jìn)行等價(jià)分析，確定多相混合滲流理論與傳統(tǒng)多相滲流理論的關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系.

由多相滲流理論可知，多相滲流總的速度是：

由此可以看出式（43）與多相混合滲流運(yùn)動(dòng)方程式（40）類似.這種結(jié)果并非偶然，式（43）中是飽和度、毛管力、相壓力梯度的函數(shù).而式（40）中Mm混合滲流程度是界面、界面張力、壓力梯度的函數(shù).根據(jù)已知的關(guān)系，如滲流的物理、力學(xué)特性及飽和度、毛管力的關(guān)系：

式中，r1和r2為界面的兩個(gè)主曲率半徑.

如果式（46）和（47）關(guān)系已知，就可以確定混合滲流理論與多相滲流理論的一切參數(shù)關(guān)系，從而對(duì)多相滲流理論進(jìn)行修正.兩個(gè)理論的不同和差異性對(duì)比見(jiàn)表1.

表1 兩種理論的差異性對(duì)比Table 1 Contrast between the two theories

4 多相混合滲流理論的應(yīng)用

根據(jù)上面的研究結(jié)果，多相流體混合滲流時(shí)質(zhì)量守恒方程應(yīng)遵循式（16），運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)遵循式（37）或（40）的形式，即-Mm?P，ua=-M*?P+Dm.

如果相界面梯度不發(fā)生變化，則

此種情況最明顯的例子是單相流動(dòng)的情形，基準(zhǔn)流度的意義由單相流給出.

式中，K*為絕對(duì)滲透率； μ*為基準(zhǔn)相黏度.

下面我們來(lái)考慮壓力方程.如果將式（37）代入式（16）中，有

式（53）或（54）即為混合滲流的壓力特征方程，如果Mm和Dm已知，即可求其解.該方程比多相滲流的壓力方程求解方便得多.在多相滲流計(jì)算時(shí)，因?yàn)闊o(wú)法指明總壓力P與j相壓力Pj的關(guān)系，所以一般處理為忽略毛管力，讓相壓力等于總壓力（Pj=Pj′=P）.因此，可以看出多相滲流理論的不足和混合滲流理論的優(yōu)越性.混合滲流理論有著深刻的物理含義，與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象、規(guī)律相符，具有廣闊的應(yīng)用前景.

5 實(shí)例分析

例如水、油兩相一維滲流體系：

式中，x為維度坐標(biāo).

式中，Dm為Dm的標(biāo)量式.當(dāng)油水潤(rùn)濕性為中性，接觸角為 90°，所以式（56）可寫(xiě)為：

一般 σ12為常數(shù)，又令：

式中：sw為水飽和度；α和 β為常系數(shù).

則

取 α =1， β =1，有：

所以運(yùn)動(dòng)方程寫(xiě)為

如果不考慮壓力梯度對(duì)混合滲流速度的影響，

式中，a為常系數(shù).由此退化結(jié)果與多相滲流理論公式完全一致，這時(shí)多相滲透率之和僅是飽和度的函數(shù)，即相對(duì)滲透率僅是飽和度的函數(shù).由此可以看出：這種情況僅是多相混合滲流理論中混合滲流程度的最簡(jiǎn)化形式，多相混合滲流理論包含了多相滲流理論的內(nèi)容.

6 結(jié)論

(1) 多相體系流體總的滲流速度與壓力梯度成正比，與多相體系混合滲流程度有密切關(guān)系，混合滲流程度是飽和度、界面張力、壓力梯度的函數(shù).多相流體混合滲流運(yùn)動(dòng)方程式是：ua=-Mm?P，

混合滲流程度Mm是反映多相流體性質(zhì)、混合滲流性質(zhì)、孔隙介質(zhì)物性的函數(shù).混合滲流系數(shù)Krm是界面、界面張力、壓力梯度和孔隙度的函數(shù).

(2) 通過(guò)多相體系平衡熱力學(xué)條件下熱力學(xué)第一、第二定律的推演，給出了滲流熱力學(xué)第二定律公式型式.分析指出了多孔介質(zhì)的非均質(zhì)和滲流速度的變化將引起視自由能（Ga）的變化，且多相流體混合滲流過(guò)程中，由于內(nèi)能、熱能、動(dòng)能、勢(shì)能、界面能和做功的變化引起壓力差的變化.若使多相流體混合程度增大，必須加大壓差，產(chǎn)生相界面，反映為相飽和度的接近，滲流阻力增大，各相滲透率之和降低.

(3) 多相混合滲流理論彌補(bǔ)了傳統(tǒng)多相滲流達(dá)西理論的不足，揭示了多相流體混合滲流的規(guī)律，闡明了滲流的總體效果，而多相滲流理論把達(dá)西定律推廣到了多相滲流中，它的局限性在于把各相假設(shè)為連續(xù)相，但實(shí)際在一定情況下分相流動(dòng)是非連續(xù)的，實(shí)驗(yàn)時(shí)所測(cè)得的壓力是總體壓力，用推廣的達(dá)西定律計(jì)算相滲透率有時(shí)又忽略了毛管力.因此，相對(duì)滲透率的測(cè)量結(jié)果在理論上和應(yīng)用上存在一定的差異.根據(jù)混合滲流理論與多相滲流理論的參數(shù)關(guān)系，可以對(duì)多相滲流理論進(jìn)行修正.

（4）理論分析結(jié)果表明，多相混合滲流理論模型退化結(jié)果與多相滲流理論公式完全一致，此時(shí)混合滲流系數(shù)與相對(duì)滲透率完全相同并僅是飽和度的函數(shù).當(dāng)包含不相溶、相界面變化、相間傳質(zhì)傳輸、混合相、非連續(xù)相時(shí)，混合滲流程度是飽和度、界面張力、壓力梯度和孔隙度的函數(shù).說(shuō)明現(xiàn)有的多相滲流理論其相對(duì)滲透率僅是飽和度的函數(shù)，是非常理想的流動(dòng)情況.多相混合滲流理論包含了多相滲流理論的內(nèi)容.

致 謝

馬啟鵬、卜文港同學(xué)參加了本文的文字圖表和公式編排工作，在此表示感謝.