水平激勵(lì)下帶豎向隔板的二維矩形儲(chǔ)箱中流體晃動(dòng)研究

溫國正， 王佳棟， 曹占雪， 趙士琳

(江蘇大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

部分充液的儲(chǔ)液系統(tǒng)在受到外部擾動(dòng)時(shí)能夠觀察到自由液面出現(xiàn)波動(dòng)。而流體的晃動(dòng)可能會(huì)導(dǎo)致儲(chǔ)液系統(tǒng)發(fā)生嚴(yán)重的問題，產(chǎn)生巨大的安全隱患。為了控制儲(chǔ)液系統(tǒng)中流體的晃動(dòng)，可以在儲(chǔ)液系統(tǒng)中增加額外的子結(jié)構(gòu)。例如，水平隔板和豎向隔板[1]。流體晃動(dòng)產(chǎn)生的問題涉及各種實(shí)際應(yīng)用與工程問題。比如，由于地震引起的流體劇烈晃動(dòng)導(dǎo)致的儲(chǔ)油罐發(fā)生火災(zāi)[2]?；ぴ系膬?chǔ)存、航天飛機(jī)的儲(chǔ)油箱以及浮式生產(chǎn)、儲(chǔ)存、裝卸平臺(tái)等[3]。所以對于儲(chǔ)液系統(tǒng)流體的晃動(dòng)控制研究具有重要的工程意義。

Cho[4]使用格林函數(shù)匹配本征函數(shù)展開法(matched eigenfunction expansion method,MEEM)研究了底部帶孔的彈性隔板的二維矩形儲(chǔ)箱中隔板參數(shù)對流體晃動(dòng)的影響。王佳棟等[5]研究了帶環(huán)形隔板的部分充液的剛性圓柱罐中流體的微幅晃動(dòng)特性。房忠潔等[6]使用半解析方法研究了帶水平隔板的二維矩形渡槽中隔板參數(shù)對固有頻率的影響。應(yīng)磊等[7]使用流體子域法研究了帶剛性隔板的矩形儲(chǔ)箱在水平與俯仰激勵(lì)下的晃動(dòng)響應(yīng)。Wang等[8]研究了帶多個(gè)剛性隔板的圓柱形儲(chǔ)液罐在水平激勵(lì)下自由液面的波高、液動(dòng)壓力以及力矩。Jin等[9]通過試驗(yàn)的方式研究了矩形儲(chǔ)箱中安裝水平帶孔隔板對晃動(dòng)的抑制效果。Wen等[10]使用線性波理論和達(dá)西定律求解了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的補(bǔ)充解，并且以結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的角度建立了考慮多孔介質(zhì)引起的晃動(dòng)阻尼的等效力學(xué)模型。Koh等[11]對CPM(consistent particle method)進(jìn)行了優(yōu)化，弱化了控制方程中位置的影響，通過與試驗(yàn)對比驗(yàn)證了其方法，然后研究了三維矩形儲(chǔ)箱的晃動(dòng)特性。Meng等[12]研究了安裝在矩形儲(chǔ)箱底部的豎向隔板對流體晃動(dòng)的抑制作用。

很多學(xué)者研究了豎向隔板對矩形儲(chǔ)箱中流體晃動(dòng)的抑制作用，但是大部分是針對安裝在儲(chǔ)箱底部的豎向隔板。為了進(jìn)一步優(yōu)化隔板的安裝位置，本文建立了隔板在自由液面處的解析模型，同時(shí)使用了Meng等的方法建立了隔板在儲(chǔ)箱底部的解析模型。然后對這兩種隔板對流體的晃動(dòng)控制進(jìn)行了比較研究，結(jié)果表明安裝在自由液面處的隔板具備更加顯著的流體晃動(dòng)控制能力。

1 物理模型

圖1 儲(chǔ)箱隔板安裝示意圖Fig.1 Schematic diagram of container baffle installation

圖2 水平激勵(lì)下帶豎向隔板的二維矩形儲(chǔ)箱Fig.2 Rectangular container with vertical baffle under horizontal excitation

本文將采用流體子域法求解圖2所示的晃動(dòng)頻率與模態(tài)，設(shè)圖2(a)中的流體的速度勢函數(shù)為φ(x,z,t)，由于儲(chǔ)箱中流體為理想流體，因此φ(x,z,t)滿足拉普拉斯方程

(1)

流體速度在x和z兩個(gè)方向上的分量滿足如下條件

(2)

儲(chǔ)箱中流體做線性微幅晃動(dòng)，速度勢函數(shù)滿足自由液面條件

(3)

(4)

速度勢函數(shù)在相鄰的子域間的界面上Γk(k=1,2,3)滿足速度和壓力連續(xù)條件

(5)

式中:n為相鄰子域間的界面Γk(k=1,2,3)上的法向單位矢量；p,q為相鄰的子域。

2 自由晃動(dòng)頻率與模態(tài)

首先假設(shè)儲(chǔ)箱處于靜止?fàn)顟B(tài)，儲(chǔ)箱中流體做自由晃動(dòng)。如圖2(a)所示，各個(gè)流體子域的速度勢函數(shù)在儲(chǔ)箱壁面上滿足如下邊界條件

(6)

在儲(chǔ)箱底面上滿足如下邊界條件

(7)

在隔板上滿足如下邊界條件

(8)

流體在做微幅晃動(dòng)時(shí)，流體的攝動(dòng)速度勢函數(shù)可以設(shè)為如下形式

φ(x,z,t)=jωejωtΦ(x,z)

(9)

(10)

將式(9)分別代入式(6)、式(7)和式(8)，通過使用分離變量法即可求得每個(gè)流體子域所對應(yīng)速度勢函數(shù)的形式解

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

將式(13)和式(14)代入自由液面條件式(3)可得

(21)

(22)

將式(15)～式(22)通過加權(quán)積分消去方程中的空間坐標(biāo)，截?cái)嗾归_項(xiàng)即可得到關(guān)于待定系數(shù)的線性方程組

([D]-Λ2[K]){A}=0

(23)

(24)

式中，N為式(15)～式(22)中無窮級(jí)數(shù)的截?cái)囗?xiàng)數(shù)。通過式(23)可以求出矩形儲(chǔ)箱的固有頻率。為驗(yàn)證本文方法的正確性，將隔板在自由液面處的解與ADINA(automatic dynamic incremental nonlinear analysis)進(jìn)行比較研究，隔板位置取為xb=0.5 m，考慮三個(gè)不同的隔板高度h=0.7 m,0.8 m,0.9 m。表1給出了本文方法與ADINA解的前10階的固有頻率的比較。如表1所示，本文方法的結(jié)果與ADINA的結(jié)果基本吻合。

表1 本文方法解與有限元解的比較Tab.1 Comparison study of Λ for present and ADINA’s solution

3 水平激勵(lì)下的初始條件和邊界條件

因?yàn)閮?chǔ)箱壁面與隔板均為剛性，所以流體不能滲透和脫離，當(dāng)儲(chǔ)箱在水平方向上受到水平激勵(lì)s(t)時(shí)，流體速度勢函數(shù)在左右兩側(cè)壁面上應(yīng)滿足如下邊界條件

(25)

在隔板上應(yīng)滿足如下邊界條件

(26)

在儲(chǔ)箱底面應(yīng)滿足如下邊界條件

(27)

流體運(yùn)動(dòng)的初始條件如下

(28)

在此考慮自由液面的波動(dòng)，根據(jù)線性晃動(dòng)理論，可得

(29)

式中，f為自由液面波高。速度勢函數(shù)φ可以分解為兩部分：流體的剛體速度勢φA(x,z,t)和攝動(dòng)速度勢φB(x,z,t)，即

φ=φA(x,z,t)+φB(x,z,t)

(30)

根據(jù)式(1),φA(x,z,t)和φB(x,z,t)分別滿足拉普拉斯方程

?2φA(x,z,t)=0，
?2φB(x,z,t)=0

(31)

將φA(x,z,t)和φB(x,z,t)分別代入式(25)～式(31)得

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

根據(jù)φA所滿足的控制方程和邊界條件，設(shè)流體的剛體速度勢為如下形式

(39)

將式(38)和式(39)代入式(37)可得

(40)

(41)

4 動(dòng)力響應(yīng)方程

將式(38)和式(41)代入式(40)可得

(42)

(43)

(44)

(45)

使用多哈梅積分對式(43)進(jìn)行求解，可得其一般形式的解

(46)

(47)

將式(47)代入式(29)可得儲(chǔ)箱中流體的自由液面波高

(48)

根據(jù)伯努利方程可得流體晃動(dòng)液動(dòng)壓力

將作用在儲(chǔ)箱側(cè)壁與隔板上的液動(dòng)壓力進(jìn)行積分可得儲(chǔ)箱的基底剪力。對于如圖2(a)所示的隔板在自由液面處的情況，其基底剪力如下

(50)

液動(dòng)壓力在儲(chǔ)箱壁面、隔板以及底面上產(chǎn)生的力矩為

(51)

(52)

(53)

式中，Sbottom為儲(chǔ)箱底面與流體的接觸表面。

將式(51)～式(53)相加即可得傾覆力矩

M=Mwall+Mbaffle+Mbottom

(54)

5 比較研究

為了驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性，將本文方法解與有限元軟件ADINA的仿真結(jié)果進(jìn)行比較研究。模型參數(shù)取為H=1 m,b=1 m,xb=0.5 m,h=0.5 m, 在儲(chǔ)箱上施加如下激勵(lì)

(55)

式(55)中，所選激勵(lì)頻率為儲(chǔ)箱無隔板時(shí)的第1階流體晃動(dòng)頻率。本文針對兩種方法得到的自由液面波高的時(shí)程曲線進(jìn)行了比較研究。圖3和圖4分別給出了隔板在自由液面處和隔板在儲(chǔ)箱底部的比較結(jié)果。顯而易見，二者具有較高的一致性。從而驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

圖3 隔板在自由液面時(shí)波高時(shí)程曲線Fig.3 The time history of the wave height when the baffle is at free surface

圖4 隔板在底部時(shí)液面波高時(shí)程曲線Fig.4 The time history of the wave height when the baffle is at bottom

6 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

s(x)=X0sin(ωxt)

(56)

(57)

6.1 自由液面波高

將式(57)代入式(48)可得自由液面波高的穩(wěn)態(tài)解。圖5和圖6給出了自由液面波高幅值隨隔板高度的變化規(guī)律，在此考慮了三個(gè)不同的隔板位置。

圖5 隔板在自由液面，波高隨隔板高度的變化圖Fig.5 The wave height varies with the height of baffle when the baffle is at free surface

圖6 隔板在底部，波高隨隔板高度的變化圖Fig.6 The wave height varies with the height of baffle when the baffle is at bottom

從圖5可以看出，隔板安裝在自由液面時(shí)，隨著隔板高度的增加，fmax迅速減小到零點(diǎn)。經(jīng)過零點(diǎn)之后，fmax隨著隔板高度的增加緩慢增加。對應(yīng)于三個(gè)不同的隔板位置，隔板高度分別取h=0.655 m,h=0.29 m,h=0.2 m時(shí)，波高幅值為零。

從圖6可以看出，隔板安裝在底部的矩形儲(chǔ)箱的fmax隨著h的增大單調(diào)遞減。對應(yīng)于三個(gè)不同的隔板位置，能夠達(dá)到的最小值為0.073 m，0.045 m，0.043 m。

圖7和圖8給出了自由液面波高幅值隨隔板位置的變化曲線，在此考慮了三個(gè)不同的隔板高度。

圖7 隔板在自由液面，波高隨隔板位置的變化圖Fig.7 The wave height varies with the position of baffle when the baffle is at free surface

圖8 隔板在底部，波高隨隔板位置的變化圖Fig.8 The wave height varies with the position of baffle when the baffle is at bottom

從圖7可以看出，隔板安裝在自由液面時(shí)，隨著xb的增加，fmax逐漸減小到最小值，對于h=0.3 m，h=0.7 m的fmax的曲線會(huì)到達(dá)零點(diǎn)。之后，fmax隨著xb的增加逐漸增加。對于兩個(gè)不同隔板高度h=0.3 m，h=0.7 m時(shí)，隔板距離左側(cè)壁面的距離為xb=0.295 m，xb=0.48 m時(shí)，波高幅值為零。

從圖8可以看出，隔板安裝在底部的矩形儲(chǔ)箱的fmax隨著xb的增大逐漸減小到最小值后逐漸增大。

通過對比圖5～圖8可以發(fā)現(xiàn)，在h和xb都一樣的情況下，安裝在自由液面處的隔板對自由液面波高的抑制效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于安裝在儲(chǔ)箱底部的隔板。

6.2 基底剪力

將式(57)代入式(50)可得基底剪力的穩(wěn)態(tài)解。圖9和圖10給出了基底剪力隨隔板高度的變化規(guī)律，在此考慮了三個(gè)不同的隔板位置。

圖9 隔板在自由液面，基底剪力隨隔板高度的變化圖Fig.9 The hydrodynamic force varies with the height of baffle when the baffle is at free surface

圖10 隔板在底部，基底剪力隨隔板高度的變化圖Fig.10 The hydrodynamic force varies the height of baffle when the baffle is at the bottom

從圖9可以看出，隔板在自由液面時(shí)，F(xiàn)max隨著隔板高度的增加呈現(xiàn)出先減小后增大的非單調(diào)變化趨勢，對應(yīng)三個(gè)不同位置的隔板，隔板高度分別取h=0.14 m，h=0.125 m，h=0.14 m時(shí)，基底剪力幅值到達(dá)最小值。除此之外，當(dāng)隔板高度大于0.4 m時(shí)，基底剪力幅值的變化趨于平緩，隔板高度的繼續(xù)增加對其影響不大。xb=0.3 m和xb=0.7 m對應(yīng)的曲線完全重合，這主要是因?yàn)檫@兩個(gè)位置關(guān)于儲(chǔ)箱的中軸線(x=0.5 m)對稱，與之對應(yīng)的晃動(dòng)頻率是相等的，相應(yīng)的晃動(dòng)模態(tài)也是關(guān)于中軸線是對稱的。

從圖10可以看出:當(dāng)xb=0.5 m和xb=0.7 m時(shí)，F(xiàn)max隨著h的增大單調(diào)遞減；當(dāng)xb=0.3 m時(shí)，F(xiàn)max先隨h的增大緩慢增加至最大值，然后再逐漸減小。隔板安裝在底部時(shí)，高度較小的隔板對晃動(dòng)的抑制效果不明顯，此時(shí)剛體速度勢是影響基底剪力的主要因素，這就造成了xb=0.3 m和xb=0.7 m對應(yīng)的曲線在開始時(shí)有較大的差異。隔板的抑制效果隨著高度的增加而增加，xb=0.3 m和xb=0.7 m對應(yīng)的曲線的差異也隨之減小，當(dāng)隔板高度大于0.63 m時(shí)，兩條曲線基本吻合。

圖11和圖12給出了基底剪力隨隔板距離左側(cè)壁面距離的變化規(guī)律，在此考慮了三個(gè)不同的隔板高度。

從圖11可以看出，隔板安裝在自由液面時(shí)，隨著xb的增加，F(xiàn)max逐漸減小到最小值后逐漸增大。且曲線關(guān)于x=0.5 m基本對稱。這是因?yàn)楦舭灏惭b在自由液面處，其晃動(dòng)抑制的效果非常顯著，此時(shí)攝動(dòng)速度勢是影響基底剪力的主要因素。從圖12中可以看出，隔板安裝在儲(chǔ)箱底部時(shí)，F(xiàn)max先隨著xb的增大逐漸減小到最小值，然后再隨之增大。

通過對圖9～圖12的分析可得，隔板安裝在自由液面比隔板安裝在底部對基地剪力的抑制效果更顯著。

6.3 傾覆力矩

將式(57)代入(54)可得傾覆力矩的穩(wěn)態(tài)解。圖13和圖14給出了傾覆力矩隨隔板高度的變化規(guī)律，在此考慮了三個(gè)不同的隔板位置。

圖13 隔板在自由液面，傾覆力矩隨隔板高度的變化圖Fig.13 The hydrodynamic moment varies with the height of baffle when the baffle is at free surface

圖14 隔板在底部，傾覆力矩隨隔板高度的變化圖Fig.14 The hydrodynamic moment varies with the height of baffle when the baffle is at bottom

從圖13可以看出，隔板在自由液面時(shí)，Mmax隨著h的增大呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢。對應(yīng)于三個(gè)不同的隔板位置，隔板高度分別為h=0.12 m，h=0.105 m，h=0.12 m時(shí)，傾覆力矩幅值達(dá)到最小值。除此之外，當(dāng)隔板高度大于0.4 m時(shí)，傾覆力矩幅值的變化趨于平緩，隔板高度的繼續(xù)增加對其影響不大。xb=0.3 m和xb=0.7 m對應(yīng)的曲線完全重合，圖9中對應(yīng)的基底剪力曲線也是重合的，其原因是一致的，說明安裝在自由液面處的豎向隔板對基底剪力和傾覆力矩同時(shí)具備較為顯著的抑制能力。

從圖14可以看出，Mmax隨著h的增大緩慢減小到最小值后出現(xiàn)短暫的緩慢增加。對應(yīng)于xb=0.3 m和xb=0.7 m的曲線之間的差異隨著隔板高度的增加而減小，當(dāng)隔板高度大于等于0.5 m后，兩條曲線基本吻合，這說明隔板對傾覆力矩的影響主要取決于其高度。

圖15和圖16給出了傾覆力矩隨隔板高度的變化規(guī)律，在此考慮了三個(gè)不同的隔板位置。從圖15可以看出隔板安裝在自由液面時(shí)，隨著xb的增加，Mmax逐漸減小到最小值后逐漸增大。且曲線關(guān)于x=0.5 m呈現(xiàn)一定的對稱性。這是因?yàn)楦舭灏惭b在自由液面處，其晃動(dòng)抑制的效果非常顯著，此時(shí)攝動(dòng)速度勢對傾覆力矩起主導(dǎo)作用。從圖16可以看出，Mmax都隨著xb的增大逐漸減小到最小值后逐漸增大。

圖15 隔板在自由液面，傾覆力矩幅值隨隔板高度的變化圖Fig.15 The hydrodynamic moment varies with the position of baffle when the baffle is at the free surface

圖16 隔板在底部，傾覆力矩幅值隨隔板位置的變化圖Fig.16 The hydrodynamic moment varies with the position of baffle when the baffle is at bottom

綜合分析圖13～圖16可以得到，隔板安裝在自由液面比隔板安裝在底部對傾覆力矩幅值的抑制效果更顯著。

6.4 不同流體深度下隔板高度對晃動(dòng)響應(yīng)的影響

為了研究在不同液體深度下豎向隔板的高度對晃動(dòng)響應(yīng)的影響，在此考慮三個(gè)不同的液體深度：H=0.6 m,H=0.8 m,H=1 m。當(dāng)液體深度取H=0.6 m時(shí)，隔板高度h不能超過0.6 m，為了便于分析，對于不同的液體深度，隔板高度h的取值范圍統(tǒng)一為：0.1 m≤h≤0.5 m。隔板水平位置固定在xb=0.5 m處。圖17～圖19分別給出了自由液面波高、基底剪力和傾覆力矩隨著隔板高度的變化趨勢。

圖17 隔板在自由液面，不同流體深度下，自由液面波高隨隔板高度變化圖Fig.17 The wave height varies with the height of baffle when the baffle is at free surface and the liquid depth is 0.8 m

圖18 隔板在自由液面，不同流體深度下，基底剪力隨隔板高度變化圖Fig.18 The hydrodynamic force varies with the height of baffle when the baffle is at free surface and the liquid depth is 0.8 m

圖19 隔板在自由液面，不同流體深度下，傾覆力矩隨隔板高度變化圖Fig.19 The hydrodynamic moment varies with the height of baffle when the baffle is at free surface and the liquid depth is 0.6 m

如圖17所示，為矩形儲(chǔ)箱內(nèi)液體深度分別為1 m，0.8 m和0.6 m時(shí)的自由液面波高的變化趨勢圖。顯而易見在不同流體深度下自由液面波高隨著隔板高度的變化趨勢是相同的。并且，在相同的外部激勵(lì)作用下，在波高幅值達(dá)到最小值之前，自由液面波高隨著流體深度的降低而降低；在波高幅值達(dá)到最小值之后，則與之前相反。

如圖18所示，不同流體深度下基底剪力的變化趨勢是相同的，隨著隔板高度的增大，基底剪力先迅速降低到最小值，然后呈現(xiàn)緩慢增大的趨勢。

如圖19所示，在液深為H=1 m,0.8 m時(shí)，傾覆力矩先隨著隔板高度的增大迅速下降到最小值，然后呈現(xiàn)緩慢的上升。在液深為H=0.6 m時(shí)，傾覆力矩隨著隔板高度的增大而緩慢增大。

7 結(jié) 論

本文通過半解析的方法研究了帶垂直隔板的二維矩形儲(chǔ)箱在水平激勵(lì)下的晃動(dòng)響應(yīng)。研究了垂直隔板的安裝位置、隔板的高度和隔板就離左側(cè)壁面的距離與自由液面波高、基底剪力和傾覆力矩的關(guān)系。得到了如下的結(jié)果：

(1)隔板安裝在自由液面時(shí)，隔板對自由液面波高、基底剪力、傾覆力矩同時(shí)具備較為顯著的抑制能力，并且可以通過調(diào)整隔板的高度和位置可以使自由液面波高幅值為零。

(2)隔板安裝在底部時(shí)，隔板必須具備一定的高度(h>0.5 m)才能對流體晃動(dòng)產(chǎn)生一定的影響。

(3)通過比較分析，當(dāng)隔板高度(h)和隔板位置(xb)完全相同的情況下，安裝在自由液面處隔板對流體晃動(dòng)控制效果要遠(yuǎn)好于安裝在儲(chǔ)箱底部的隔板。

附錄A