基于軸力權(quán)重的有側(cè)移鋼框架整體穩(wěn)定性的實(shí)用算法

蘭樹偉， 周東華， 陳 旭， 王春華

(1. 昆明學(xué)院 建筑工程學(xué)院，昆明 650214； 2. 昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，昆明 650500)

目前計(jì)算有側(cè)移鋼框架整體穩(wěn)定性主要采用計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)法[1-3]，該法利用GB 50017—2017《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》[4](簡(jiǎn)稱規(guī)范)提供的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)表格求得框架柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)，逐根構(gòu)件校核計(jì)算結(jié)構(gòu)的臨界承載力，而多層鋼框架通常構(gòu)件數(shù)量很多，構(gòu)件參數(shù)變化多，實(shí)際應(yīng)用多有不便；而且該法是在理想化假定下進(jìn)行求解，未能計(jì)入同層柱的柱間支援以及層與層的支援作用，對(duì)于得到支援的框架柱計(jì)算偏于保守，對(duì)于提供支援的框架柱計(jì)算又偏于不安全。文獻(xiàn)[5]研究了框架層與層之間的支援作用，從頂層和底層開始，分別往上和往下計(jì)算到薄弱層，把各層富裕的潛力收集到薄弱層的兩端，從而確定出薄弱層的框架柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)，該法計(jì)算過程繁雜。文獻(xiàn)[6-8]將框架柱逐根逐層進(jìn)行剛度組裝，利用有限元回歸擬合公式對(duì)多層有側(cè)移框架整體穩(wěn)定進(jìn)行計(jì)算。文獻(xiàn)[9]將各桿件剛度組裝成一個(gè)超越方程，提出了一種確定多層框架整體穩(wěn)定的算法，該法求解需借助計(jì)算機(jī)軟件迭代計(jì)算。文獻(xiàn)[10]以計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)法為基礎(chǔ)，建立了結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣，借助于計(jì)算機(jī)軟件求解非規(guī)則框架臨界力。本文通過分析軸向載荷和框架柱抗側(cè)剛度之間的關(guān)系通過結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換的辦法建立了框架結(jié)構(gòu)的平衡方程，采用框架樓層重復(fù)單元求解框架整體抗側(cè)剛度，避免了逐根求解的不便，并基于軸力權(quán)重計(jì)算有側(cè)移鋼框架整體穩(wěn)定承載力，無需迭代求解復(fù)雜的超越特征方程，也無需進(jìn)行有限元公式回歸計(jì)算。下面就基于軸力權(quán)重的有側(cè)移鋼框架整體穩(wěn)定臨界承載力的解析近似計(jì)算公式推導(dǎo)進(jìn)行介紹。

1 彈簧-搖擺柱模型

單層單跨框架(原結(jié)構(gòu))，如圖1(a)所示，精確求解其結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力需要迭代求解超越方程，能量法近似計(jì)算穩(wěn)定承載力需要建立總勢(shì)能方程，求解不便，特別是對(duì)于桿件較多的多層多跨框架結(jié)構(gòu)，平衡法所得穩(wěn)定超越方程更為復(fù)雜，能量法建立的總勢(shì)能方程也將更為冗長(zhǎng)，求解將更為困難，因此，有必要尋找便于求解的方法。搖擺柱自身無法保持穩(wěn)定，只有依附在穩(wěn)定結(jié)構(gòu)上方可承載，利用搖擺柱這種受力特點(diǎn)建立單層框架的擴(kuò)展結(jié)構(gòu)，如圖1(b)所示。擴(kuò)展結(jié)構(gòu)荷載僅作用在搖擺柱上而原結(jié)構(gòu)框架上無荷載，其臨界狀態(tài)方程為代數(shù)方程，求解極為方便。若能利用擴(kuò)展結(jié)構(gòu)求解原結(jié)構(gòu)的臨界承載力，那么將使得框架整體穩(wěn)定承載力的復(fù)雜二階計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)方程求解。

圖1 單層單跨框架及彈簧-搖擺柱模型Fig.1 Single-layer frame and spring-swing column model

(1)

式(1)物理意義為外荷載對(duì)彈簧剛度的削弱程度，當(dāng)處于臨界平衡時(shí)彈簧剛度被削弱至零，即有側(cè)移框架失穩(wěn)時(shí)，外荷載將框架抗側(cè)剛度削弱為零。

擴(kuò)展結(jié)構(gòu)中搖擺柱自身無法保持穩(wěn)定，靠所依附的原結(jié)構(gòu)提供剛度支持方可維持自身穩(wěn)定以承載，因此搖擺柱無法提供剛度，故擴(kuò)展結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)具有相同的抗側(cè)剛度，將擴(kuò)展結(jié)構(gòu)臨界力進(jìn)行如下變換

(2)

將式(1)和式(2)聯(lián)立可得如下臨界平衡方程

(3)

式中，P/h與K0量綱相同，稱為荷載剛度，用KP表示，因此，式(3)可視為臨界平衡方程用結(jié)構(gòu)抗側(cè)剛度和荷載剛度的表達(dá)形式，實(shí)現(xiàn)了利用擴(kuò)展結(jié)構(gòu)求解原結(jié)構(gòu)的臨界承載力的目的，只需要確定臨界剛度比系數(shù)α，就可以將臨界承載力計(jì)算復(fù)雜二階問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算結(jié)構(gòu)的一階抗側(cè)剛度。

2 有側(cè)移鋼框架整體抗側(cè)剛度和荷載剛度

若將彈簧-搖擺柱模型中彈簧替換為如圖2所示的有側(cè)移鋼框架，由式(3)可以看出，當(dāng)確定了框架的抗側(cè)剛度K0和臨界剛度比系數(shù)α后，可通過擴(kuò)展結(jié)構(gòu)確定有側(cè)移鋼框架(原結(jié)構(gòu))整體穩(wěn)定的臨界承載力。

圖2 多層鋼框架計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.2 Multi-layer steel frame calculation diagram

2.1 確定鋼框架整體抗側(cè)剛度

圖2(a)所示的多層鋼框架，假定第i層層間相對(duì)位移δi，層抗側(cè)剛度為ki，為求解鋼框架整體抗側(cè)剛度，如圖2(b)所示將每層抗側(cè)剛度視為一個(gè)彈簧，鋼框架整體抗側(cè)剛度可視為每個(gè)彈簧的串聯(lián)，因此，框架各層整體抗側(cè)剛度Ki與層抗側(cè)剛度之間的關(guān)系式為

(4)

式中：Ki為i層框架整體抗側(cè)剛度(1≤i≤n)；k1,k2,…,ki為各層的抗側(cè)剛度。

圖3 樓層重復(fù)單元的梁柱變形和邊界條件Fig.3 Deformation and boundary conditions of story repeating element

圖4 1/2對(duì)稱樓層重復(fù)單元彎矩圖Fig.4 Bending moment of 1/2 symmetry story repeating element

用圖乘法可求得樓層重復(fù)單元層間相對(duì)位移δ

(5)

由圖3樓層重復(fù)單元梁柱變形圖，可以看出荷載作用下產(chǎn)生的層間相對(duì)位移，使得框架柱變形后弦線與鉛垂線之間產(chǎn)生夾角γ，由該變形后的幾何關(guān)系可求得

(6)

(7)

對(duì)于框架底層由于下部為固定端約束，即梁剛度無窮大，假定柱反彎點(diǎn)在層高2/3[11]，按照前述圖乘法計(jì)算得到底層抗側(cè)剛度近似計(jì)算公式為

(8)

將式(7)和式(8)所求得的各樓層抗側(cè)剛度進(jìn)行剛度串聯(lián)，即代入式(4)可得出i層框架整體抗側(cè)剛度計(jì)算公式

(9)

式中：mi為第i層框架柱總根數(shù)；若同一樓層重復(fù)單元梁、柱截面慣性矩不相等且梁柱線剛度比0.3≤hIb/(lIc)≤5，可以取梁、柱的平均慣性矩；如果梁跨距不相等且相鄰跨差不大于3時(shí)，可取平均跨距。

2.2 確定鋼框架整體荷載剛度

利用分離柱法[12-13]將分析的局部柱(如圖2(a)填充示意框架柱)從整體框架結(jié)構(gòu)中分離出來，框架結(jié)構(gòu)的每根分離柱的柱端約束都可采用兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧來模擬，其轉(zhuǎn)動(dòng)剛度分別為c1和c2，如圖5(a)所示。定義R1=c1/6ic,R2=c2/6ic,ic為分離柱的線剛度。圖5(a)所示分離柱的穩(wěn)定平衡方程為

(36R1R2-ε2)sinε+6(R1+R2)εcosε=0

(10)

由于分離柱的穩(wěn)定平衡方程仍屬于多變量超越方程，直接解析求解較為困難，因此考慮采用結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換的方法進(jìn)行求解，即用兩彈簧分離柱替換彈簧-搖擺柱模型中的彈簧，建立分離柱的擴(kuò)展結(jié)構(gòu)如圖5(b)所示。由式(3)可求得任意單根分離柱的臨界方程

(11)

式中：αij為第i層(1≤i≤n)第j根(1≤j≤m)柱臨界剛度比系數(shù)；Nij為第i層第根柱軸力。

圖5 分離柱計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.5 Calculation diagram of separation column

∑FX=0,fAX=0; ∑FY=0,fAy=-T

(12)

將分離柱從任意截面m-n截開，取下段為研究對(duì)象，對(duì)m-n截面彎矩平衡得

fAxy-fAyx-Mmn-c2y′0=0

(13)

式中，Mmn=-EIy″。

(14)

分離柱的桿端存在邊界條件：x=0,y=0;x=h,EIy″+c1y′=0,y=δ。據(jù)此邊界條件可算得通解方程中的常數(shù)進(jìn)而求得分離柱的擴(kuò)展結(jié)構(gòu)臨界力

(15)

式中，R1和R2分別為柱上、下端橫梁線剛度之和與柱線剛度之比。

由式(10)可求得分離柱的臨界承載力為

(16)

由式(15)和式(16)求得鋼框架任意分離柱臨界剛度比系數(shù)

(17)

按照鋼框架整體抗側(cè)剛度的求法，可將鋼框架整體荷載剛度表示為

(18)

式中：KPi為i層鋼框架的整體荷載剛度(1≤i≤n)；kP1,kP2,…,kPi為各層的荷載剛度，按式(19)計(jì)算

(19)

式中，λi為第i層臨界因子。假定各柱的軸力均按比例加載，選取最小軸壓力Nmin作為公因子來計(jì)算，即：Nij=ξijNmin，其中ξij為比例系數(shù)。

將式(19)代入式(18)得各層整體荷載剛度

(20)

3 基于軸力權(quán)重的有側(cè)移鋼框架整體穩(wěn)定承載力計(jì)算

(21)

由式(21)可求出有側(cè)移鋼框架臨界承載力，所求各層的臨界因子λi相等，即各層同時(shí)發(fā)生失穩(wěn)而未發(fā)生相互支援作用，這種情況在實(shí)際工程中很少出現(xiàn)。若不考慮層與層的支援作用而直接按此計(jì)算有側(cè)移鋼框架臨界承載力，往往存在較大偏差，可能會(huì)造成不合理的設(shè)計(jì)。

3.1 軸力權(quán)重與臨界力的關(guān)系

由于結(jié)構(gòu)剛度屬于結(jié)構(gòu)的固有特性，結(jié)構(gòu)體系確定則其結(jié)構(gòu)剛度隨之確定。柱上不同的荷載布置引起的只是不同的剛度激活程度，而這種激活程度的大小主要體現(xiàn)在軸力權(quán)重比例的變化。

如圖6所示單跨雙層鋼框架，當(dāng)荷載N僅作用在上層柱頂部時(shí)，此時(shí)軸力圖見圖6(a)，軸力滿布于柱全高，此時(shí)結(jié)構(gòu)剛度完全被激活，即荷載剛度KP/Ki=1，無富裕剛度；當(dāng)柱中及柱頂分別作用集中荷載P1和P2，逐步變化上下層柱墩作用荷載P1和P2(存在P1+P2=N)，上下層柱軸力分布圖為圖6(b)～圖6(g)，有效剛度會(huì)隨上柱的軸力權(quán)重變化而變化，上層柱滿載(見圖6(a))，上半段的全部剛度激活；上層柱空載(見圖6(g))，上層柱的全部剛度未被激活，上層柱的側(cè)移完全來自于下層柱所引起的剛體移動(dòng)；介于兩者之間(見圖6(b)～圖6(f))則部分激活，上層柱的側(cè)移部分來自于下層柱所引起的剛體移動(dòng)，上層柱的剛度未完全激活。

為展示軸力權(quán)重比例變化與結(jié)構(gòu)臨界力之間的關(guān)系，圖6所示鋼框架假定橫梁線剛度無窮大，分別采用規(guī)范計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)法，有限元法與本文式(21)計(jì)算方法求得不同情況下結(jié)構(gòu)臨界力，計(jì)算結(jié)果列入表1。臨界力用無量綱形式表達(dá)，即：PE=π2EI/h2。

圖6 單跨雙層鋼框架軸力圖Fig.6 Axial force of single-span double-layer steel frame

表1 不同荷載分布柱臨界承載力對(duì)比分析Tab.1 Comparison of critical bearing capacity of columns with different load distributions

由表1可以看出：有限元ANSYS所求得各種荷載分布下雙層鋼框架一層臨界力相等，主要是橫梁剛度太大阻礙了二層對(duì)一層發(fā)生支援，一層未獲得二次的剛度支援；計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)法求得二層臨界力與一層臨界力相等，因?yàn)樵撍惴S著梁柱線剛度比確定而確定，未考慮荷載分布對(duì)剛度的影響，而軸力上下柱不同分布又引起不同的剛度激活，這種情況該方法不能考慮；式(21)將鋼框架層臨界力集合起來進(jìn)行層間分配求得，但也未考慮結(jié)構(gòu)剛度的激活程度，剛度較小樓層會(huì)獲得有富裕剛度樓層提供的剛度支援，臨界力會(huì)有所提高，各樓層最終同時(shí)失穩(wěn)，而激活程度的大小主要體現(xiàn)在軸力權(quán)重比例的變化，因此，考慮將層臨界因子λi按照軸力權(quán)重進(jìn)行修正以考慮結(jié)構(gòu)剛度的激活程度。

3.2 有側(cè)移鋼框架整體穩(wěn)定承載力計(jì)算

通過前述分析結(jié)構(gòu)剛度的激活程度，為了考慮這種由剛度激活程度不同引起的層與層之間的支援作用，對(duì)式(21)所求出的層臨界因子λi按照層軸力加權(quán)平均的方法求出結(jié)構(gòu)整體臨界因子λ，得到按照軸力權(quán)重修正的有側(cè)移鋼框架臨界承載力和計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)計(jì)算公式

(22a)

(22b)

(Nij)cr=ξij(λNmin)

(22c)

(22d)

式中：N1,N2,…,Nn為各層軸力之和；λ1,λ2,…,λn為鋼框架各層的臨界因子，由式(22a)求得；λ為鋼框架的整體臨界因子，由式(22b)求得；(Nij)cr為第i層第j根柱臨界力；μij和EIij分別為第i層第j柱的截面抗彎剛度和計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)。

式(22a)所求得鋼框架層臨界因子的最小值所在樓層為薄弱層，對(duì)于層臨界因子小于結(jié)構(gòu)整體臨界因子的樓層，表示這些樓層剛度耗盡，需要獲得剛度富裕樓層提供的剛度支援，得到支援的樓層臨界承載力有所提高，最終達(dá)到結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定臨界承載力而共同失穩(wěn)；對(duì)于層臨界因子大于結(jié)構(gòu)整體臨界因子的樓層，表示這些樓層存在剛度富裕，能夠?yàn)閭?cè)向剛度較小樓層提供剛度支援，提供剛度支援的樓層臨界力有所降低，最終框架各樓層共同失穩(wěn)。從層臨界因子與結(jié)構(gòu)整體臨界因子的相對(duì)大小及比例關(guān)系可以定量地分析鋼框架結(jié)構(gòu)層與層之間的支援作用。

4 算 例

選取兩個(gè)算例用有限元ANSYS進(jìn)行彈性屈曲分析，以便對(duì)本文方法和規(guī)范法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，ANSYS求解時(shí)梁柱均采用BEAM188單元，節(jié)點(diǎn)均為剛接。

4.1 算例1

單跨雙層鋼框架如圖7所示，用本文方法求解其臨界承載力以及計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)。

圖7 單跨雙層鋼框架及軸力、臨界剛度比系數(shù)Fig.7 Single-span two-story frame and axial force, the critical stiffness ratio coefficient of steel frame columns

由式(7)和式(8)求得鋼框架層抗側(cè)剛度

由式(9)求得鋼框架層整體抗側(cè)剛度

由式(17)可以求得雙層鋼框架上、下層柱的臨界剛度比系數(shù)分別為α1=1.155, α2=1.095；代入式(19)可求得鋼框架層荷載剛度分別為

由式(20)求得鋼框架層整體荷載剛度分別為

由式(22a)可求得鋼框架各層層臨界因子

λ1=0.158，λ2=0.271

表2 框架柱臨界承載力及計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)對(duì)比Tab.2 Comparison of critical bearing capacity and calculated length factor of columns

從表2可以看出，本文方法框架柱臨界承載力計(jì)算結(jié)果與ANSYS計(jì)算精確解的比值為0.990，計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)之比為1.005，吻合程度好，誤差很小，而規(guī)范計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)法計(jì)算結(jié)果偏差很大，如：二層柱臨界承載力比ANSYS大了194%，計(jì)算長(zhǎng)度比ANSYS小了42%，嚴(yán)重高估了該柱臨界承載力，存在安全隱患，這是由于計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)法無法考慮同層柱的柱間支援以及層與層的支援作用，也證明了本文方法能很好地考慮這兩種支援作用。

4.2 算例2

三跨六層鋼框架，如圖8所示，用本文方法求解結(jié)構(gòu)臨界承載力以及圖中填充框架柱的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)。

圖8 三跨六層鋼框架及軸力、臨界剛度比系數(shù)Fig.8 Three-span six-story steel frame and axial force, the critical stiffness ratio coefficient of frame columns

本文方法求解，具體步驟如下：

步驟1由式(7)和式(8)可求得鋼框架各層抗側(cè)剛度ki，根據(jù)式(9)求得鋼框架整體抗側(cè)剛度Ki。

步驟2由式(19)可求得各層荷載剛度kPi，由式(20)可求得各層整體荷載剛度KPi。

步驟3由式(22)計(jì)算整體結(jié)構(gòu)臨界因子λ，隨之確定框架柱臨界承載力Ncr和柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)，相關(guān)計(jì)算列入表3。

由表3可知：規(guī)范計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)法求得框架柱臨界承載力和計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)與有限元ANSYS計(jì)算結(jié)果相比偏差大，如二層柱臨界承載力比ANSYS計(jì)算結(jié)果小了22%，計(jì)算長(zhǎng)度比ANSYS大了13%；對(duì)于四層柱臨界承載力比ANSYS計(jì)算結(jié)果大了185%，計(jì)算長(zhǎng)度比ANSYS小了41%；這主要是由于傳統(tǒng)計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)法無法考慮同層柱的柱間支援以及層與層的支援作用，使得得到支援的框架柱臨界力計(jì)算偏于保守，對(duì)于提供支援的框架柱臨界力計(jì)算又偏于不安全，若采用計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)法可能會(huì)造成不合理的設(shè)計(jì)。本文計(jì)算框架柱臨界承載力與有限元計(jì)算結(jié)果之比約為1.053，計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)之比約為0.975，吻合程度好，表明充分考慮了兩種支援作用。

表3 框架柱臨界承載力及計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的計(jì)算過程與對(duì)比結(jié)果Tab.3 Calculation process and compare results of critical bearing capacity and calculated length factor of columns

由表3還可知：框架層臨界因子的最小值所在樓層為第二層，表明該層為結(jié)構(gòu)薄弱層，該層臨界因子為0.050，整體結(jié)構(gòu)臨界因子λ=0.060，該層從剛度富裕樓層獲得支援，提高了該層結(jié)構(gòu)臨界承載力，提高比例為20%；該結(jié)構(gòu)一層～三層層臨界因子均小于結(jié)構(gòu)整體臨界因子，表明該三層結(jié)構(gòu)無剛度富裕，需要?jiǎng)偠容^大樓層提供剛度支援，臨界承載力提升比例分別為15%，20%和11%；四層～六層層臨界因子大于結(jié)構(gòu)整體臨界因子，表明該三層結(jié)構(gòu)有剛度富裕，可為剛度較小樓層提供支援，臨界承載力有所降低，其中六層剛度富裕程度最高，但由于該層軸力小，剛度的激活程度低，對(duì)薄弱層的支援有限。

5 結(jié) 論

(1) 用彈簧搖擺柱模型揭示了有側(cè)移鋼框架整體穩(wěn)定的實(shí)質(zhì)，利用解析的方法推導(dǎo)了有側(cè)移鋼框架整體穩(wěn)定臨界承載力的計(jì)算公式，可很好地考慮同層柱的柱間支援以及層與層的支援作用，為校核有限元整體穩(wěn)定計(jì)算結(jié)果的可靠性提供了一種解析驗(yàn)證手段。

(2) 本文方法能夠定量計(jì)算鋼框架層與層之間的支援作用，判斷結(jié)構(gòu)薄弱層所在位置，可以定量地分析樓層臨界承載力的提高程度，為分析框架結(jié)構(gòu)層與層之間的支援作用提供了一種計(jì)算方法。