數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”向“教育形態(tài)”的轉(zhuǎn)化*

冷 悅 陳惠汝 孔維娜

（黃岡師范學(xué)院 湖北黃岡 438000）

引言

函數(shù)概念是各個(gè)教育階段重要的知識(shí)點(diǎn)之一，是常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變的開始，函數(shù)思想貫穿整個(gè)高中教材的內(nèi)容，是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶。理解函數(shù)的基本概念及其表現(xiàn)出的函數(shù)基本思想，是整個(gè)高中階段每一位學(xué)生都應(yīng)掌握的技能之一[1]。

縱觀數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的發(fā)展史可知，函數(shù)的概念從無到有，從零散到完善，經(jīng)歷了300多年漫長(zhǎng)而曲折的過程。隨著時(shí)代的不斷發(fā)展，函數(shù)的概念不斷優(yōu)化并為人們所認(rèn)可，學(xué)習(xí)的范圍也越來越廣，融合的知識(shí)點(diǎn)越來越多。但在現(xiàn)如今函數(shù)的概念教學(xué)過程中，初中與高中關(guān)于函數(shù)基本概念的界定仍然存在著差異：初中通過學(xué)習(xí)函數(shù)之間的變量關(guān)系得到函數(shù)解析式。高中階段，函數(shù)概念的改變引起了學(xué)生的認(rèn)知沖突。學(xué)生在原來已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的影響下，已形成思維定式。若教師此時(shí)直接講授新的課程內(nèi)容，會(huì)使學(xué)生理解困難，對(duì)函數(shù)概念知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生混淆。事實(shí)上，從初中到高中，學(xué)生們所學(xué)習(xí)的函數(shù)概念并不是簡(jiǎn)單知識(shí)的深化，而是與歷史上函數(shù)概念的發(fā)展順序相類似。歷史上的函數(shù)概念的演變是來自多個(gè)方面：社會(huì)變遷、科學(xué)發(fā)展、人類進(jìn)步……在教學(xué)中，有許多問題需要通過知識(shí)的發(fā)展過程來闡釋。但在教學(xué)的過程中，教師因各種原因很少有機(jī)會(huì)能提到知識(shí)的發(fā)展，大部分教師都僅僅依據(jù)教材的內(nèi)容來進(jìn)行教學(xué)[2]。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》在教學(xué)建議中寫道：“在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)?！睌?shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的重要部分，它蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)素材，可以與教學(xué)內(nèi)容相融合，尤其數(shù)學(xué)概念教學(xué)，不僅有助于學(xué)生更好地理解知識(shí)的本質(zhì)特性，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。鑒于此，故分析基于數(shù)學(xué)史“函數(shù)的概念”教學(xué)案例，以引起教育碩士等未來教師的注意，更好地開展數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，提高教育碩士培養(yǎng)質(zhì)量[3]。

一、創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)引入

風(fēng)和日麗的清晨，L教師邁著輕快的腳步走進(jìn)了教室里，今天她要講的是人教版高中數(shù)學(xué)必修一第三章內(nèi)容函數(shù)的概念，她早早就做好了準(zhǔn)備工作，查閱了相關(guān)的數(shù)學(xué)文化史，準(zhǔn)備好了要用的教具等。

師：同學(xué)們，函數(shù)對(duì)于我們來說并不陌生，誰能告訴我，初中函數(shù)的定義是什么？

生：一般的，在某一個(gè)變化過程中如果有兩個(gè)變量x和y，對(duì)每一個(gè)確定的x值，都有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng)，我們就稱y是x的函數(shù)，其中x稱為自變量，y稱為因變量。

師：同學(xué)們的表述非常正確，依據(jù)之前所學(xué)的定義，同學(xué)們能判斷一下y=3是函數(shù)嗎？

生：(學(xué)生一臉疑惑的搖搖頭)

師：這就是我們高中還要繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的原因，因?yàn)槌踔泻瘮?shù)的定義并不完善，事實(shí)上，函數(shù)概念的發(fā)展經(jīng)歷了300多年漫長(zhǎng)的過程，同學(xué)們想知道歷史上都有哪些數(shù)學(xué)家為此作出了了不起的貢獻(xiàn)嗎？

教師活動(dòng)：教師接著通過PPT依次放映萊布尼茲、歐拉、狄利克雷、李善蘭四位著名數(shù)學(xué)家的圖片，并指出本節(jié)課將繼續(xù)沿著四位數(shù)學(xué)家的腳步，再次探究函數(shù)的概念，從而引入所學(xué)章節(jié)《函數(shù)的概念》。

二、基于歷史，探究新知

教師結(jié)合多媒體向?qū)W生講解早期函數(shù)發(fā)展來源，并向?qū)W生說明早期函數(shù)的作用，進(jìn)而基于歷史，讓學(xué)生了解函數(shù)發(fā)展的歷史淵源，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

探究1：引導(dǎo)學(xué)生從“解析式”說到“變量依賴關(guān)系”的轉(zhuǎn)變。

教師活動(dòng)：教師首先讓學(xué)生閱讀課本60頁和61頁的四個(gè)問題，教師和學(xué)生共同探究并依次解決這四個(gè)問題，通過問題1和問題2的探究，讓學(xué)生清楚函數(shù)關(guān)系是可以用解析式來表達(dá)的，并由此向?qū)W生介紹函數(shù)“解析式”定義的由來，是早在1748年瑞士數(shù)學(xué)家通過不斷探索后給出的，從而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)文化，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)；通過問題3中的空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖和問題4中的恩格爾系數(shù)表格的相關(guān)問題探究，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，意識(shí)到函數(shù)的解析式定義已經(jīng)不能夠解釋這類型的函數(shù)，從而引導(dǎo)學(xué)生要對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行進(jìn)一步的完善，最后實(shí)現(xiàn)從函數(shù)“解析式”定義向“變量依賴關(guān)系”定義的轉(zhuǎn)變，同時(shí)向?qū)W生介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史，指出歐拉也發(fā)現(xiàn)了解析式定義的局限性，并在1755年重新定義了函數(shù)的概念，即函數(shù)的變量依賴關(guān)系定義，讓學(xué)生體會(huì)以數(shù)學(xué)家的視角來探究函數(shù)的概念，更身臨其境[4]。

【教學(xué)片段】

師：我們一起來看問題4。表1是我國(guó)某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，設(shè)年份為，恩格爾系數(shù)為。

表1 我國(guó)某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察，表中的數(shù)據(jù)是否能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系？

生：能，因?yàn)橐粋€(gè)年份對(duì)應(yīng)一個(gè)恩格爾系數(shù)。

師：那表中的數(shù)據(jù)能用函數(shù)解析式來表示嗎？

生：不能用解析式表示。

師：也就是說，函數(shù)的解析式定義在這里已經(jīng)不適用了，那我們?cè)鯓咏鉀Q這個(gè)問題呢？

生：進(jìn)一步完善函數(shù)的概念。

教師活動(dòng)：教師肯定學(xué)生的說法，并向?qū)W生講解著名數(shù)學(xué)家歐拉在當(dāng)時(shí)也發(fā)現(xiàn)了解析式定義的不完善，并通過自己的不斷研究和探索，重新定義了函數(shù)的概念，也就是函數(shù)的“變量依賴說”定義，接著ppt展示該定義。

探究2：引導(dǎo)學(xué)生從“變量依賴關(guān)系”到“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”的轉(zhuǎn)變

例2：常數(shù)函數(shù)y=2(x∈R)。

例3：某市的照相館收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是，5張以內(nèi)收費(fèi)27.5元，超過5張，每張按2.5元收費(fèi)，請(qǐng)你計(jì)算張數(shù)分別為4張、5張、6張、7張時(shí)，需要支付的費(fèi)用元。

師：對(duì)于例2，請(qǐng)同學(xué)們思考，是否可以用變量依賴來定義函數(shù)呢？并說明原因。

生：不能。因?yàn)樽兞恳蕾囮P(guān)系是以存在兩個(gè)變量為前提的，而常數(shù)函數(shù)y=2(x∈R)只存在一個(gè)變量，不符合該定義。

師：也就是說，變量依賴并不能定義常數(shù)函數(shù)。那我們接著看例3，請(qǐng)同學(xué)們分別計(jì)算出支付的費(fèi)用，并思考能否用變量依賴關(guān)系來定義這個(gè)函數(shù)呢？

生：也不能。因?yàn)楫?dāng)x變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值并沒有都發(fā)生改變。

教師活動(dòng)：通過上述兩個(gè)例子，告訴學(xué)生“變量依賴關(guān)系”刻畫函數(shù)具有一定的局限性，且對(duì)于常數(shù)函數(shù)和兩個(gè)變量之間不存在依賴關(guān)系的函數(shù)不適用，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生們還需繼續(xù)完善函數(shù)的概念，使其適用范圍更廣[5]。

師：怎樣完善該定義呢？

生：把“依賴”換成“對(duì)應(yīng)”?！皩?duì)應(yīng)”包含的兩個(gè)變量中，當(dāng)一個(gè)變量變化時(shí)，另一個(gè)變量可以隨之變化，也可以保持不變。

師：看來同學(xué)們對(duì)于“依賴”和“對(duì)應(yīng)”已經(jīng)理解很透徹了，那么我們?nèi)绾螌?duì)之前的定義進(jìn)行修正呢？

師生活動(dòng)：師生共同探討并對(duì)函數(shù)的“變量依賴關(guān)系”定義進(jìn)行修改，同時(shí)教師在黑板上板書函數(shù)的修改后的定義——“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”定義，并指出該定義就是初中所學(xué)的函數(shù)的定義。

探究3：引導(dǎo)學(xué)生從“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”到“集合對(duì)應(yīng)關(guān)系”的轉(zhuǎn)變。

教師通過ppt向?qū)W生展示狄利克雷函數(shù)：

并根據(jù)該定義讓學(xué)生思考，狄利克雷函數(shù)是否能用“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”來解釋，激發(fā)學(xué)生探究的欲望，有利于教學(xué)進(jìn)一步開展。

生：對(duì)于狄利克雷函數(shù)，可以用“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”來解釋，也就是對(duì)于每一個(gè)x值，對(duì)應(yīng)的值都是唯一的。

師：（教師肯定）請(qǐng)同學(xué)們思考，能否用更簡(jiǎn)潔的語言來表達(dá)狄利克雷函數(shù)嗎？

生：可以用集合的相關(guān)知識(shí)來表達(dá)狄利克雷函數(shù)，把x的取值范圍用集合表示出來，同理把x所對(duì)應(yīng)的y的值也用集合表示出來。

師：這位同學(xué)的想法非常棒，那么集合中的元素有哪些呢？

生：集合中的元素分別有0和1。

師：看來集合語言的確可以使函數(shù)表示更簡(jiǎn)單。那么我們現(xiàn)在是否可以用集合和對(duì)應(yīng)的語言對(duì)函數(shù)的定義進(jìn)行重新改進(jìn)呢？

教師活動(dòng)：通過對(duì)于狄利克雷函數(shù)的探討，引導(dǎo)學(xué)生從“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”向“集合對(duì)應(yīng)關(guān)系”的轉(zhuǎn)變，最后師生共同探究總結(jié)出函數(shù)的“集合對(duì)應(yīng)關(guān)系”定義，教師在黑板上板書該定義。

三、基于歷史，辨析概念

通過函數(shù)的“集合對(duì)應(yīng)關(guān)系”定義，對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行深入剖析，包括強(qiáng)調(diào)f（x）所表示的含義，強(qiáng)調(diào)函數(shù)的三要素以及強(qiáng)調(diào)兩個(gè)函數(shù)相等的重要條件。

師：根據(jù)定義，我們可以看到，出現(xiàn)了新符號(hào)f（x），請(qǐng)問同學(xué)們f（x）有什么含義呢？我們各個(gè)小組之間可以交流一下。

組1：f（x）表示f乘以x的值。

組2：y。

師：學(xué)生要理解這個(gè)知識(shí)似乎確實(shí)很難，大家可以考慮從函數(shù)的歷史出發(fā)（PPT展示）。

函數(shù)一詞最早是德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出來的，函數(shù)的英文是function，表示“發(fā)揮作用”。而我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭將function翻譯為中文“函數(shù)”，這就是我國(guó)函數(shù)一詞的由來，并給出定義：“凡式中含天，為天之函數(shù)。凡此變數(shù)中函彼變數(shù)，則此為彼之函數(shù)。”其中“函”與“含”同義，“含”在此也有“起……作用”的意思。因此，f（）代表起一定作用的工具，當(dāng)對(duì)應(yīng)關(guān)系f作用到x值時(shí)，f（x）表示在值對(duì)應(yīng)下的函數(shù)值。

生：（學(xué)生緩緩點(diǎn)頭，表示理解）

師：那想一想f（a）和f（x）有沒有聯(lián)系？

生:f（x）是在任意x值對(duì)應(yīng)下的函數(shù)值，f（a）是在x=a值對(duì)應(yīng)下的函數(shù)值。

師:同學(xué)們似乎理解了f（x），f（x）是變量，而f（a）是常量，當(dāng)自變量為a時(shí)，對(duì)師：函數(shù)概念中的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域三者誰最重要呢？

生1：對(duì)應(yīng)關(guān)系。

生2：定義域。

師：其實(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域都是非常重要的，首先定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定了，那么值域也就確定了，那請(qǐng)同學(xué)考慮一下這個(gè)問題，f(x)=3x+1、t(a)=3a+1表示同一個(gè)函數(shù)嗎？

生：是的，因?yàn)槎x域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都是一樣的。

教師總結(jié)：也就是說，雖然函數(shù)常用f表示，但是也可以用其他字母（如h、t、g等）來表示，不同字母的表示不影響函數(shù)的本身，函數(shù)符號(hào)f（x）表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，不是f乘以x，而是一個(gè)數(shù)。如果函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則可以說這些函數(shù)是相等的。

生：（學(xué)生豁然開朗）

師：今天我們跟隨數(shù)學(xué)家們的腳步，體會(huì)了函數(shù)概念的演變過程，希望同學(xué)們也能像數(shù)學(xué)家那樣勇于探索、不懈努力，下一位作出如此貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家說不定就在我們同學(xué)之中。

結(jié)語

本節(jié)課是一所省示范高中的一堂有關(guān)于函數(shù)概念的數(shù)學(xué)課，本案例中的教師根據(jù)高中生對(duì)函數(shù)概念的理解與歷史上的數(shù)學(xué)家的理解具有一定的相似性。開展了基于數(shù)學(xué)史的“函數(shù)的概念”的教學(xué)。在教學(xué)過程中，教師根據(jù)函數(shù)概念的歷史演進(jìn)過程，重構(gòu)函數(shù)概念的發(fā)展歷史，設(shè)置相應(yīng)的問題，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)家“一次次提出概念、一次次推翻概念、一次次修正概念、一次次完善概念”的探究過程。這無疑告訴我們：數(shù)學(xué)史為掃清某些數(shù)學(xué)概念的教學(xué)和學(xué)習(xí)障礙開辟了一條新的思路。數(shù)學(xué)家是怎么發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析并解決問題的，這是我們?cè)谡n堂上應(yīng)該深入探討的，也是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探索欲望的“引子”，在課堂中這種思想和創(chuàng)造的過程是很有意義的。