寓數(shù)于形以形解數(shù)
——芻議小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合法

趙茹平

（廣東省東莞市東華小學(xué) 廣東東莞 523000）

就小學(xué)數(shù)學(xué)而言，數(shù)與形結(jié)合的主要研究課題包括數(shù)與形。這兩個部分也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最基本的技能。在具體條件和規(guī)律的研究中，數(shù)與形之間的聯(lián)系方式有很多種。這種聯(lián)系是數(shù)字和形狀的混合體。對于很多問題，數(shù)字與圖形相結(jié)合，有助于達到事半功倍的效果，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。所以說，數(shù)字和形狀的結(jié)合是每個中小學(xué)生都應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)思想之一[1]。

一、人教版小學(xué)六年級數(shù)形結(jié)合例題

1.簡便運算：1+3+5+7+9+11+13+……+199=

數(shù)形結(jié)合可以表示：

由以上圖形可以看出，幾個數(shù)相加就是幾個的平方，所以我們要算出1+3+5+7+9+11+13+……+199=只要知道1-199，這期間有多少個奇數(shù)就行了，而這1+3+5+7+9+11+13+……+199都是奇數(shù)相加，我們可以知道。1-200是200個數(shù)，其中有一半偶數(shù)，一半奇數(shù)，那么1-199則是100個奇數(shù)，所以1+3+5+7+9+11+13+……+199=一共是100個數(shù)，那么1+3+5+7+9+11+13+……+199就是100個數(shù)，則1002=10000

2.數(shù)形結(jié)合事半功倍

將一個正方形看成是單位“1”，則1/2就是圖形的一半，這樣的話，1/2+1/4+1/8就等于1-1/8=7/8，算式1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128就等于1-1/128=127/128

3.楊輝三角

楊輝三角是我國古代重要的數(shù)學(xué)突破之一。出現(xiàn)于北宋（約公元11世紀）年間。數(shù)學(xué)家賈憲研究三角圖中除“1”外的每一個數(shù)字都等于其肩上的兩個數(shù)字之和。

（1）這是由數(shù)字構(gòu)成的三角形圖，三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字“1”，而其余的數(shù)都等于他肩上的兩個數(shù)字相加。

（2）每一行的數(shù)字都具有對稱性，好比第8行的第二個數(shù)字為8，則其第8行倒數(shù)第二個數(shù)字也等于8。第三個數(shù)字是28，則倒數(shù)第二個數(shù)字也等于28；第四個數(shù)字是56，則倒數(shù)第四個數(shù)字也為56。

楊輝三角很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思維，也體現(xiàn)了我國古代人民的智慧。

二、數(shù)形結(jié)合的作用

數(shù)字和形狀的集合基本上是數(shù)字和形狀之間的一對一匹配。其本質(zhì)是抽象數(shù)學(xué)語言與直觀圖形的結(jié)合，抽象思維與具體形象的沖突。它實現(xiàn)了抽象概念、圖像和具體表達之間的關(guān)系和轉(zhuǎn)換。把困難的事情變成簡單的事情，把抽象的事情變成直觀的事情。換句話說，數(shù)字和形狀的組合不僅僅是一種關(guān)系，更是一種數(shù)學(xué)思想（方法）。數(shù)字和形狀是數(shù)學(xué)中最古老和最重要的兩種元素。它們之間存在著辯證關(guān)系。宇宙的形狀與其釋放到外太空之間的關(guān)系是無限的。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)字和形狀結(jié)合的想法有一個獨特的優(yōu)勢。首先，從編輯小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的角度來看，數(shù)字和形狀的內(nèi)容并沒有人為地分開。第二步是結(jié)合形狀。為了讓學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中數(shù)與形結(jié)合的思想，我需要在腦海中形成清晰抽象的數(shù)與形的概念。第三步，小學(xué)生的身心特點決定了基本教他們的特點帶圖形。在課堂教學(xué)中，教師使用數(shù)字形式，形狀和數(shù)字代數(shù)通常是數(shù)學(xué)中隱藏的幾何，以各種方式激發(fā)學(xué)生的思想。數(shù)字思維在小學(xué)被用作解釋為數(shù)字形式組的起點。尋找解決問題的方法，而不是數(shù)字和形狀的組合。在大局中解決數(shù)學(xué)問題時，您還需要使用數(shù)字和圖形的組合來找到問題的解決方案，而不是數(shù)字和形狀的組合。在解決某些數(shù)學(xué)問題時，還應(yīng)該使用數(shù)字和圖形的組合。從圖形開始，即幾何，結(jié)合公理圖形，抽象數(shù)學(xué)語言，視覺思維，抽象思維，具體形象。通過對數(shù)量關(guān)系的研究，將抽象和直覺轉(zhuǎn)化為抽象和解決問題。思想是有意識和自由地塑造和形成的?？梢造`活運用，是提高學(xué)習(xí)水平和鍛煉學(xué)習(xí)的好地方能力[2]。

三、數(shù)形結(jié)合的有效應(yīng)用

在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，解決問題的研究可以概括為兩個方面：數(shù)量和形式。貫穿小學(xué)和初中數(shù)學(xué)課本的兩條主線是數(shù)字和形狀。數(shù)字與形狀相結(jié)合的解題方法是引導(dǎo)學(xué)生通過小學(xué)數(shù)學(xué)教育解決問題的基本內(nèi)容。數(shù)字與形式的相互轉(zhuǎn)換體現(xiàn)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個重要思想，也是解決數(shù)學(xué)中基本問題和難點問題的重要途徑。比如，數(shù)字用代數(shù)表示，形狀用幾何表示，代數(shù)方法很抽象，但解題過程容易理解和熟悉，幾何方法直觀、生動、易懂、可操作性強。形狀組合是小學(xué)生學(xué)好小學(xué)數(shù)學(xué)的重要途徑。數(shù)字和形狀的組合有助于學(xué)生更好地理解。如何結(jié)合數(shù)字和形狀來解決問題重復(fù)使用使學(xué)生能夠靈活地整合和組合數(shù)字和形狀。這樣會加深學(xué)生對知識的記憶，使知識理解得更加透徹。

四、數(shù)形結(jié)合有助于理解抽象概念

在小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生不僅需要學(xué)會數(shù)學(xué)解題能力，還需要掌握數(shù)學(xué)思考能力。數(shù)學(xué)推理能力是指利用所獲得的數(shù)學(xué)知識將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。即根據(jù)已知的問題信息，生成相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識模型，利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識和方法解決問題。在教育背景下，教師培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，與學(xué)生互動，提出問題，幫助學(xué)生積極思考，拓展數(shù)學(xué)思維。我們以人教版六年級教材一道應(yīng)用題為例，一條馬路長200米，小亮和他的小狗分別以均勻的速度同時從馬路的起點出發(fā)。當小亮走到這條馬路一半的時候，小狗已經(jīng)到達馬路的終點。然后小狗返回與小亮相向而行，遇到小亮以后再跑向終點，到達終點以后再與小亮相向而行……直到小亮到達終點。小狗從出發(fā)開始，一共跑了多少米？這個問題和現(xiàn)實生活很接近，那么如何運用數(shù)學(xué)思維來解決這個問題呢？該問題具有分數(shù)的概念和已知的數(shù)字條件。解決問題的關(guān)鍵是建立兩者之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。學(xué)生可以用數(shù)字和形狀的組合來查看小亮和小狗在路上走過的距離。小狗走過的距離不清楚。因此，當學(xué)生再次遇到類似的問題時，我相信他們可以通過繪畫輕松解決。通過在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中引入數(shù)字和形狀的組合，可以將看似復(fù)雜的問題通過圖形分析直觀、簡單地簡化，學(xué)生可以很直觀地找到答案。只有通過不斷的學(xué)習(xí)和實踐，學(xué)生逐漸獲得了將數(shù)字和形狀結(jié)合起來的想法，提高了對知識的理解和記憶[3]。

小學(xué)階段學(xué)習(xí)的重點是正確理解和掌握數(shù)與形組合的概念，并有一個大致的了解。如果這些概念的性質(zhì)不清楚，要么以點概面、以偏概全，或者知一而不知全局，未來數(shù)學(xué)知識的擴展和應(yīng)用都會受到限制。事實上，數(shù)學(xué)課本中的很多數(shù)學(xué)概念都比較抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中往往很難理解這些概念。因此，教師首先要對課本的知識點進行分類，找出那些比較抽象的概念，把學(xué)生難以理解和掌握的概念弄明白。其次，在解釋這些概念時，用數(shù)字和形狀來簡化復(fù)雜的問題，加深學(xué)生對概念本質(zhì)含義的真實理解，增加他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并結(jié)合使用。以人教版小學(xué)六年級數(shù)學(xué)教材《數(shù)學(xué)廣角-數(shù)字與形狀》例題為例，小學(xué)生很難從字面上理解數(shù)字和形狀組合的概念。對此，教師可以用數(shù)字和形狀的組合來解釋這一知識點。小林、小強、小芳、小兵和小剛是五位棋手，每兩位棋手需要下棋。小林打4盤，強打3盤，小芳打2盤，小兵打了1盤。請問：小剛一共打了幾盤？和誰一起？結(jié)合數(shù)字和形狀可以輕松解決連接問題。你可以通過引導(dǎo)人物之間的關(guān)系、聯(lián)想課本中的知識點、建立圖形思維、積極思考概念的本質(zhì)等方式來加深對相關(guān)知識點的理解。

五、數(shù)形結(jié)合有助于學(xué)生解題思路的獲得

通過觀察例子，學(xué)生找到了相應(yīng)的規(guī)律。這是數(shù)字和形狀結(jié)合的另一個層次的研究。真實圖片與數(shù)字的結(jié)合，幫助學(xué)生突破思維盲點，將舊認知與新數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，提升知識體系和思維方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，教師需要緊跟核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)“指揮棒”，在日常教育活動中灌輸“數(shù)與形相結(jié)合的思想”。學(xué)生有不同的背景和思維方式，可以創(chuàng)造生動具體的教學(xué)情境，讓他們在舒適的環(huán)境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。充分利用教材提供的教育資源，利用多媒體教育課件，生動地展示學(xué)生照片，激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，在學(xué)生原創(chuàng)性的基礎(chǔ)上，體驗和促進學(xué)生的想象力和思維。自覺構(gòu)建知識體系，提高學(xué)生核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)[4]。

六、數(shù)形結(jié)合形成途徑及表現(xiàn)形式

數(shù)字和形狀的組合在小學(xué)數(shù)學(xué)中被廣泛使用，而如何將數(shù)字和形狀結(jié)合起來的本質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來。數(shù)學(xué)性質(zhì)的研究依賴于對“形狀”的操縱。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是學(xué)會運用具有規(guī)律性的東西，用一種更直觀的方式將其表示出來，數(shù)學(xué)規(guī)則的形成需要以“形”為材料。小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則主要是關(guān)于數(shù)字變化過程的具體實現(xiàn)以及運算規(guī)則研究。它是以鍛煉學(xué)生技能和思維形成為先導(dǎo)，闡明規(guī)則的合理性，讓學(xué)生理解派生過程的含義，不僅僅是理解數(shù)學(xué)，更重要的是學(xué)習(xí)和實現(xiàn)程序性目標。學(xué)生有自信和概括的能力，因為將數(shù)字和圖形相結(jié)合有助于解答更困難的問題。

新課標強調(diào)，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)本身就源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象及其關(guān)系；基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對研究對象的符號運算，形式推理，模型建構(gòu)等，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們認識、理解和表達現(xiàn)實世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。這段權(quán)威性的論述，更表明數(shù)學(xué)來源于生活并且最終服務(wù)于生活，對于小學(xué)生來說，他們的抽象思維正在萌芽階段，更需要在學(xué)習(xí)的過程中多一些結(jié)合實際生活經(jīng)驗和具象的圖形來幫助建立思維的模式，理解知識，進而能夠形成抽象化的數(shù)學(xué)模型?；诖?，我們在教學(xué)中一定要多一些把數(shù)與形有機結(jié)合，幫助學(xué)生形成主動地學(xué)習(xí)習(xí)慣，能夠在興趣的基礎(chǔ)上主動學(xué)習(xí)，認真聽講，獨立思考，多一些引發(fā)學(xué)生積極思考，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑問難，引導(dǎo)學(xué)生多一些在具體形象的情境中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，促進學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能。我們要通過自身對數(shù)學(xué)中數(shù)與形有機結(jié)合的深入思考，進一步引導(dǎo)孩子們通過對數(shù)形結(jié)合的理解，提高抽象能力，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力。在數(shù)形結(jié)合中，讓孩子感悟用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的意義，形成數(shù)學(xué)抽象力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

結(jié)語

小學(xué)數(shù)學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和理解數(shù)形結(jié)合思想的一門啟蒙課。在解釋數(shù)學(xué)概念時，教師可以靈活地使用數(shù)字和形狀的組合來向?qū)W生解釋抽象的數(shù)學(xué)問題。一是為了讓學(xué)生更好地理解，二是為了更好地培養(yǎng)學(xué)生結(jié)合數(shù)形的解題思維，從而讓學(xué)生更容易、更準確地理解和記住教科書的內(nèi)容，也便于解決一般性的數(shù)形結(jié)合問題，培養(yǎng)了學(xué)生將數(shù)字和形狀結(jié)合起來的想法，并為未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了堅實的基礎(chǔ)。數(shù)字和形狀的結(jié)合是為了提高教師課堂的效率，取得優(yōu)異教學(xué)效果的有效教學(xué)方法。綜上所述，數(shù)字和形狀組合適應(yīng)小學(xué)生的學(xué)習(xí)特點，拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。