基于單光子探測器恢復(fù)時(shí)間的誤碼率分析

李曉亮，劉榮科，王 巖，王建軍，劉向南

（1 北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院 北京 100191；2 北京遙測技術(shù)研究所 北京 100094；3 中國人民解放軍63618部隊(duì) 庫爾勒 841000）

引言

單光子探測器憑借極高的探測靈敏度，在量子計(jì)數(shù)、量子通信、激光測距、激光雷達(dá)、天文觀測、激光通信、生物光子學(xué)和醫(yī)學(xué)光子學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1?6]。隨著人類對宇宙的探索，深空探測的距離越來越遠(yuǎn)，科學(xué)探測的內(nèi)容也越來越多，對數(shù)據(jù)回傳的速率要求也越來越高，現(xiàn)有的微波通信已難以滿足深空通信要求，而激光通信在深空探測中的應(yīng)用變得日益迫切。在深空激光通信中，采用單光子探測器和脈沖位置調(diào)制是提高通信靈敏度和通信速率的兩項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。

單光子探測器的恢復(fù)時(shí)間（死時(shí)間）是決定激光通信速率的關(guān)鍵指標(biāo)。單元探測器的恢復(fù)時(shí)間用計(jì)數(shù)率的倒數(shù)來衡量。對于常用的超導(dǎo)納米線單光子探測器（Superconducting Nanowire Single Photon Detector,SNSPD），當(dāng)處于低溫超導(dǎo)狀態(tài)的納米線接收到光子后，會(huì)形成“熱島”破壞了超導(dǎo)態(tài)進(jìn)入電阻態(tài)，超導(dǎo)材料的熱弛豫時(shí)間很短（～10 ps），在探測器兩端將產(chǎn)生一個(gè)快速電脈沖[7]。但由于電路中動(dòng)態(tài)電感的存在，電信號消失比較慢，一般在幾納秒到幾十納秒，因此超導(dǎo)納米線單光子探測器的計(jì)數(shù)率一般在100 MHz 以下。SNSPD 常采用減小超導(dǎo)納米線長度（接收面積）和多元拼接的方法來降低探測器的恢復(fù)時(shí)間。對于另一種常用的單光子探測器—蓋革模式的雪崩光電二極管（Avalanche Photo Diode，APD），后脈沖是影響計(jì)數(shù)率的關(guān)鍵因素。后脈沖是雪崩光電二極管接收到光子產(chǎn)生雪崩效應(yīng)，一部分雪崩電子被類似缺陷能級俘獲，在隨后一段時(shí)間內(nèi)釋放出來，引起新的雪崩現(xiàn)象而產(chǎn)生的脈沖信號。此時(shí)無法區(qū)分脈沖信號是由于新光子到來形成的，還是后脈沖產(chǎn)生的，從而導(dǎo)致計(jì)數(shù)錯(cuò)誤。APD 常采用門控方法和淬滅方法來降低死時(shí)間[8,9]。

為提高激光通信速率，在盡量降低探測器恢復(fù)時(shí)間（死時(shí)間）的同時(shí)，通常采用光學(xué)分集接收和多元單光子探測器探測方式。例如，美國月球大氣與粉塵環(huán)境探測器項(xiàng)目中的月球激光通信演示（Lunar Laser Communications Demon-stration，LLCD）系統(tǒng)[10]，采用四個(gè)400 mm望遠(yuǎn)鏡分集接收技術(shù)，并且每個(gè)望遠(yuǎn)鏡采用一個(gè)四單元超導(dǎo)納米線單光子探測器，實(shí)現(xiàn)了月地下行鏈路622 Mbps 的高速通信速率。

誤碼率是衡量激光通信質(zhì)量好壞的一個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)，它與探測器恢復(fù)時(shí)間、通信速率等參數(shù)密切相關(guān)。南京大學(xué)閆夏超等基于接收到的光子服從泊松分布模型，分析了采用超導(dǎo)納米線單光子探測器的深空激光通信的誤碼率[11]，但沒有考慮探測器恢復(fù)時(shí)間的影響；重慶郵電大學(xué)鄧晨輝等建立了單光子探測器陣列接收機(jī)的誤碼率模型并進(jìn)行了仿真，給出了恢復(fù)時(shí)間影響多個(gè)時(shí)隙情況下的光子探測陣列接收PPM 系統(tǒng)的誤碼性能[12]，但沒有對恢復(fù)時(shí)間超過一個(gè)符號時(shí)隙長度的情況進(jìn)行分析。

本文將從單光子探測器的恢復(fù)時(shí)間特性出發(fā)，推導(dǎo)出探測器單元探測概率和虛警概率。建立基于信號“或”硬判決和基于最大計(jì)數(shù)值硬判決的多元單光子探測器陣列誤碼率模型，并給出理論仿真結(jié)果，可為后續(xù)的工程設(shè)計(jì)提供技術(shù)參考。

1 探測概率與虛警概率

1.1 單光子探測器單元的探測概率

探測概率是發(fā)送信號為“1”時(shí)（簡稱信號時(shí)隙），正確檢測出來的概率。當(dāng)單光子探測器的恢復(fù)時(shí)間大于時(shí)隙寬度時(shí)，恢復(fù)時(shí)間內(nèi)的某個(gè)時(shí)隙發(fā)送信號“1”，此時(shí)系統(tǒng)無法正確判斷探測器輸出的信號是當(dāng)前信號時(shí)隙產(chǎn)生的，還是前一個(gè)信號時(shí)隙產(chǎn)生的。因此探測器單元的探測概率為

式中，p1work為該探測器可以正常工作的概率，即在光子達(dá)到前的恢復(fù)時(shí)間內(nèi)未探測到光子的概率；p(1|1)為探測器在正常情況下的探測率，與探測器的暗計(jì)數(shù)噪聲、到達(dá)探測器單元的平均信號光子數(shù)和平均背景光子數(shù)有關(guān)。

式中，ns為一個(gè)信號時(shí)隙內(nèi)到達(dá)單元探測器上平均信號光子數(shù)；nb為一個(gè)單元探測器在一個(gè)時(shí)隙內(nèi)的平均背景光子數(shù)；nc為一個(gè)單元探測器在一個(gè)時(shí)隙內(nèi)的暗計(jì)數(shù)；μ為探測器的量子效率。當(dāng)前發(fā)送信號為“1”，探測器可正常工作的概率為

其中，p′(0|0)為發(fā)送信號“1”到達(dá)之前的恢復(fù)時(shí)間長度內(nèi)未探測到背景光子的概率，p′(0|0)=exp[-(μ?nb+nc)d]；p′(0|1)為發(fā)送信號“1”到 達(dá)之前的恢復(fù)時(shí)間長度內(nèi)未探測到信號光子數(shù)的概率。在恢復(fù)時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)信號時(shí)隙的個(gè)數(shù)（稱為信號時(shí)隙數(shù)）與PPM 的階數(shù)M、恢復(fù)時(shí)間所占時(shí)隙數(shù)有關(guān)。

式中，d為恢復(fù)時(shí)間所占時(shí)隙數(shù)目；M為PPM 的階數(shù)（即每個(gè)符號所占時(shí)隙數(shù)目）；k為d/M的整數(shù)部分，r為d/M的余數(shù)部分。

當(dāng)前信號時(shí)隙出現(xiàn)的位置i不同，則信號時(shí)隙數(shù)也不同。當(dāng)1≤i≤r-1 時(shí)，如圖1 中的第①種情況，如果第k+1 個(gè)符號內(nèi)信號時(shí)隙出現(xiàn)在r-i區(qū)間，則信號時(shí)隙數(shù)為k+1，按照傳輸信息符號等概率分布考慮，則此時(shí)概率為(r-i)/M；如果第k+1 個(gè)符號內(nèi)信號時(shí)隙未出現(xiàn)在r-i區(qū)間，則信號時(shí)隙數(shù)為k，此時(shí)概率為(M-r+i)/M。同理，當(dāng)r≤i≤M時(shí)，如圖1 中的第②種情況，如果第k個(gè)符號內(nèi)信號時(shí)隙出現(xiàn)在(M+r-i)區(qū)間，則信號時(shí)隙數(shù)為k，此時(shí)概率為(M+r-i)/M；如果第k個(gè)符號內(nèi)信號時(shí)隙未出現(xiàn)在(M+r-i)區(qū)間，則信號時(shí)隙數(shù)為k-1，此時(shí)概率為(i-r)/M。因此，信號時(shí)隙數(shù)有k-1、k、k+1 這三種可能，出現(xiàn)的概率與當(dāng)前信號時(shí)隙位置關(guān)系如表1所示。

圖1 恢復(fù)時(shí)間與時(shí)隙位置示意圖Fig.1 Recovery time and slot position

表1 發(fā)送信號“1”時(shí)不同信號時(shí)隙數(shù)的概率Table 1 Probability of signal slot within sending signal “1”

因此，信號時(shí)隙前的恢復(fù)時(shí)間長度內(nèi)未探測到信號光子數(shù)的概率為

單光子探測器的探測概率為

1.2 單光子探測器單元的虛警概率

虛警概率是當(dāng)發(fā)送端發(fā)送信號為“0”（簡稱非信號時(shí)隙），探測器誤輸出脈沖信號的概率為

式中，p(1|0)為探測器在非信號時(shí)隙探測到光子的概率，表示為

p0work為在光子達(dá)到前的恢復(fù)時(shí)間長度內(nèi)未探測到光子的概率，即這段時(shí)間內(nèi)既沒有探測到信號光子和背景光子，也沒有暗計(jì)數(shù)產(chǎn)生，其計(jì)算公式如下：

當(dāng)d=k?M+r時(shí)，則信號時(shí)隙數(shù)有k－1、k、k+1、k+2 這四種可能，出現(xiàn)的概率與當(dāng)前信號時(shí)隙位置i有關(guān)，如表2所示。

表2 發(fā)送信號為“0”時(shí)不同信號時(shí)隙數(shù)的概率Table 2 Probability of signal slot within sending signal “0”

同理可推導(dǎo)：

因此，單光子探測器的虛警概率為

2 誤碼率模型

2.1 單光子探測器陣列的誤符號率

對于單光子探測器陣列接收機(jī)，信號的判決分為硬判決和軟判決兩種。硬判決在解調(diào)時(shí)根據(jù)接收機(jī)接收到的光子計(jì)數(shù)值直接判別信號時(shí)隙的位置，軟判決在解調(diào)時(shí)只是根據(jù)接收機(jī)接收到的光子計(jì)數(shù)值，對信號時(shí)隙的位置進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)，解碼時(shí)根據(jù)統(tǒng)計(jì)的概率進(jìn)行綜合判斷，給出信號時(shí)隙最可能出現(xiàn)的位置（最大似然估計(jì)）。由于軟判決的計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，一般采用硬判決。常見的硬判決有兩種：一種是采用信號“或”的方式，當(dāng)陣列接收機(jī)有一個(gè)探測器單元接收到信號，則認(rèn)為該時(shí)隙為信號時(shí)隙。這種方式適用于信號光弱、背景光與暗計(jì)數(shù)相當(dāng)?shù)偷那闆r；另一種是采用光子計(jì)數(shù)值最大的時(shí)隙作為信號時(shí)隙，這種方式可一定程度地減小背景光與暗計(jì)數(shù)的影響。

2.1.1 信號“或”方式硬判決的誤符號率

采用信號“或”方式，在任何一個(gè)時(shí)隙內(nèi)只要探測器陣列有一個(gè)探測器單元探測到信號，則認(rèn)為該時(shí)隙有可能為信號時(shí)隙。美國的月地激光通信鏈路中LLCD 采用4 個(gè)望遠(yuǎn)鏡分集接收方式，每個(gè)望遠(yuǎn)鏡接收到光信號通過多模光纖耦合到4單元的超導(dǎo)納米線單光子探測器陣列上，采用信號“或”的方式進(jìn)行硬判決，從而實(shí)現(xiàn)下行鏈路的622 Mbps 的遠(yuǎn)距離高速通信。這種方式誤符號的概率為

式（13）中等式右邊第二項(xiàng)表示為正確檢測到發(fā)射信號“1”的概率，信號時(shí)隙隨機(jī)出現(xiàn)在1～M時(shí)隙內(nèi)的任何位置i。當(dāng)前面i-1個(gè)位置都未檢測到信號，而第i個(gè)位置檢測到信號則認(rèn)為該位置為信號時(shí)隙位置（后面不再檢測和考慮）。此時(shí)正確檢測的概率為

式（13）中等式右邊第三項(xiàng)表示為在信號時(shí)隙和無信號時(shí)隙都未檢測到光子，從M個(gè)位置中隨機(jī)選取一個(gè)位置作為信號時(shí)隙的正確概率。

2.1.2 最大計(jì)數(shù)值硬判決的誤符號率

采用最大計(jì)數(shù)值進(jìn)行硬判決時(shí)，假設(shè)探測器陣列的單元數(shù)為N，則單光子探測器陣列的最大計(jì)數(shù)值的取值范圍為0～N。此時(shí)有三種情況能夠正確探測到信號時(shí)隙位置：一是在信號時(shí)隙有k個(gè)單元探測到光子，非信號時(shí)隙探測到光子的單元數(shù)小于k；二是在信號時(shí)隙有k個(gè)單元探測到光子，同時(shí)有m個(gè)非信號時(shí)隙也有k個(gè)單元探測到光子，則此時(shí)正確判決的概率為1/(m+1)。當(dāng)m=0 時(shí)，即為第一種情況。第三種情況是所有時(shí)隙均未探測到光子，此時(shí)正確判決的概率為1/M。接收機(jī)有k個(gè)單元接收到光子的概率分布函數(shù)為

因此采用最大計(jì)數(shù)值硬判決的誤符號率為

2.2 單光子探測器陣列的誤碼率

檢測出PPM 的符號后，每個(gè)符號通過編碼的逆映射到log2M個(gè)比特的串上。假設(shè)所有誤符號概率都相等，則誤碼率為

采用硬判決解碼，進(jìn)行符號判決后送到RS(n,k)解碼器，可糾正多種形式的錯(cuò)誤。當(dāng)信道狀態(tài)由符號擦除占主導(dǎo)時(shí)，RS 解碼器的性能會(huì)得到改善，擦除RS 解碼器不會(huì)產(chǎn)生未被發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤。當(dāng)接收碼字中擦除的數(shù)目為dmin=n-k+1 或更少時(shí)，此時(shí)碼字都能被正確解碼；當(dāng)接收碼字的擦除數(shù)目超過dmin時(shí)，解碼器會(huì)發(fā)出警報(bào)并且無法正確解碼。因此在擦除信道中，RS 編碼后的誤碼字率為

采用RS編碼解碼時(shí)系統(tǒng)的誤碼率近似為

3 仿真分析

從上述理論分析可以得到如下結(jié)論：無論是編碼前還是編碼后，無論是采用信號“或”硬判決還是采用最大計(jì)數(shù)值硬判決，系統(tǒng)的誤碼率均與時(shí)隙內(nèi)信號光子數(shù)、背景光子數(shù)、器件暗計(jì)數(shù)、通信速率、PPM 調(diào)制體制階數(shù)、接收陣列探測器單元數(shù)和恢復(fù)時(shí)間等參數(shù)有關(guān)。下面進(jìn)行仿真分析，并得到如圖2～圖10所示的仿真結(jié)果。

圖2 未編碼N=16時(shí)的誤碼率（信號“或”）Fig.2 BER with no coding in N=16(signal “or”)

圖3 編碼后N=16時(shí)的誤碼率（信號“或”）Fig.3 BER with coding in N=16(signal “or”)

圖4 編碼后N=4時(shí)的誤碼率（信號“或”）Fig.4 BER with coding in N=4(signal “or”)

圖5 編碼后N=9時(shí)的誤碼率（信號“或”）Fig.5 BER with coding in N=9(signal “or”)

當(dāng)采用信號“或”硬判決方式時(shí)，圖2給出了編碼前通信速率為1.22 Gbps、暗計(jì)數(shù)為100 cps、背景光子數(shù)為1 000 光子數(shù)/秒、16-PPM、接收陣列探測器單元數(shù)為16 時(shí)，未編碼時(shí)誤碼率在不同恢復(fù)時(shí)間、不同信號光子情況下的關(guān)系示意圖；若采用高效糾錯(cuò)的RS(15,8)編譯碼，則編碼后的誤碼率如圖3 所示。圖4～圖7 分別給出了接收陣列探測器單元數(shù)N=4、9、25、36，RS(15,8)編碼后的誤碼率曲線。

從圖3～圖7的仿真結(jié)果可以看出：采用多元探測器可有效克服探測器恢復(fù)時(shí)間的影響，降低系統(tǒng)的通信誤碼率。為滿足通信誤碼率優(yōu)于10-7的要求，當(dāng)接收機(jī)探測器單元數(shù)為4時(shí)，探測器恢復(fù)時(shí)間應(yīng)≤3.2 ns；當(dāng)接收機(jī)探測器單元數(shù)為9 時(shí)，探測器恢復(fù)時(shí)間應(yīng)≤4.8 ns；當(dāng)接收機(jī)探測器單元數(shù)為16 時(shí)，探測器恢復(fù)時(shí)間應(yīng)≤7.2 ns；當(dāng)接收機(jī)探測器單元數(shù)為25時(shí)，探測器恢復(fù)時(shí)間應(yīng)≤10 ns。

圖6 編碼后N=25時(shí)的誤碼率（信號“或”）Fig.6 BER with coding in N=25(signal “or”)

圖7 編碼后N=36時(shí)的誤碼率（信號“或”）Fig.7 BER with coding in N=36(signal “or”)

當(dāng)采用最大計(jì)數(shù)值硬判決時(shí)，圖8給出了采用RS(15,8)編碼，通信速率為1.22 Gbps、暗計(jì)數(shù)為100 cps、背景光子數(shù)為1 000 光子數(shù)/秒、16-PPM、接收陣列探測器單元數(shù)為16 時(shí)，誤碼率在不同恢復(fù)時(shí)間、不同信號光子情況下的曲線關(guān)系。對比圖3 與圖8，可以看出兩者變化曲線比較接近，但采用信號“或”硬判決更有利于降低通信誤碼率，這種情況適用于在背景光子數(shù)比較少的時(shí)候。隨著背景光子數(shù)的增加，采用最大計(jì)數(shù)值硬判決的優(yōu)勢逐漸越來越明顯，如圖9～圖10 所示。當(dāng)背景光子數(shù)增加到一定程度，如背景光子數(shù)超過109個(gè)/秒時(shí)，信號“或”硬判決方式已經(jīng)不再適用，無論探測器恢復(fù)時(shí)間再短也達(dá)到不到誤碼率優(yōu)于10-7的通信要求，此時(shí)采用最大計(jì)數(shù)值硬判決在探測器恢復(fù)時(shí)間較短時(shí)，還能滿足誤碼率優(yōu)于10-7的要求。

圖8 編碼后N=16時(shí)的誤碼率（最大計(jì)數(shù)）Fig.8 BER with coding in N=16(maximum count)

圖9 背景光子數(shù)為108光子/秒時(shí)的誤碼率曲線Fig.9 BER with 108/s photons in background

圖10 背景光子數(shù)為109光子/秒時(shí)的誤碼率曲線Fig.10 BER with 109/s photons in background

4 結(jié)束語

從單光子探測器的恢復(fù)時(shí)間特性出發(fā)，推導(dǎo)了探測器單元探測概率和虛警概率模型，建立了基于信號“或”硬判決和最大計(jì)數(shù)值硬判決的多元單光子探測器陣列誤碼率模型。仿真分析結(jié)果表明：在16-PPM 調(diào)制體制、RS（15,8）編碼下，為實(shí)現(xiàn)通信速率為1.22 Gbps、誤碼率優(yōu)于10-7，當(dāng)探測器單元數(shù)為4 時(shí)，探測器單元恢復(fù)時(shí)間應(yīng)≤3.2 ns；當(dāng)探測器單元數(shù)為25 時(shí)，探測器單元恢復(fù)時(shí)間應(yīng)≤10 ns。同時(shí)在背景光子數(shù)較少（如夜晚）的情況下，采用信號“或”硬判決可以降低系統(tǒng)誤碼率，在背景光子數(shù)較多（如白天）的情況下，必須采用最大計(jì)數(shù)值硬判決方式。