數(shù)形結(jié)合思想下小學(xué)生解決問題能力提升的思考與實(shí)踐

李承慧

（南師附中仙林學(xué)校小學(xué)部南郵校區(qū) 江蘇南京 210000）

數(shù)形結(jié)合思想既是數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想，也是解決問題時有效的數(shù)學(xué)方法。在小學(xué)階段，將數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)思想有很多，數(shù)形結(jié)合就是其中之一。數(shù)形結(jié)合指的是，借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖，通過數(shù)和形之間的對應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。數(shù)形結(jié)合可以使抽象的問題數(shù)學(xué)化、繁難的問題簡潔化，有利于小學(xué)生抽象和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展。教師利用數(shù)形結(jié)合思想可以幫助小學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念、原理和方法，解決現(xiàn)實(shí)世界中與數(shù)量、圖形有關(guān)的問題，不斷提高自身發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。

一、利用數(shù)形結(jié)合思想，加強(qiáng)算法算理的融合

小學(xué)階段需要提升的解決問題能力之一就是數(shù)學(xué)計算與推理。當(dāng)下的計算教學(xué)，很多老師將教學(xué)著力點(diǎn)放在“如何算”上，而忽略“為什么這樣算”，未能準(zhǔn)確地把握計算教學(xué)中“知其然，知其所以然”的必要性，忽視了算理的理解對于學(xué)生計算能力提升所起到的重要作用。所以，在計算教學(xué)中要加強(qiáng)對算理的理解。算理是比較抽象的，對于偏形象思維的小學(xué)生來講，他們更容易接受“數(shù)”“形”相結(jié)合的算理。所以，在進(jìn)行計算教學(xué)時，要努力利用數(shù)形結(jié)合的思想，將無形的數(shù)與有形的形結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)算法與算理的融合，從而不斷地提高學(xué)生的理解能力和計算水平。

1.動手做

在教學(xué)蘇教版二年級下冊的“有余數(shù)除法”時，教師先創(chuàng)設(shè)情境再提出問題：把10支鉛筆分給小朋友，每人分2支，可以分給幾人？每人分3支、4支、5支呢？先動手分一分，再記錄在表格里，并在小組里說說你的發(fā)現(xiàn)。學(xué)生通過擺一擺，獲得了如下操作結(jié)果：

學(xué)生在動手操作后，有了對小棒圖的觀察和分析，很容易和下面的幾道算式一一對應(yīng)：

10÷2＝5（人）

10÷3＝3（人）……1（支）

10÷4＝2（人）……2（支）

10÷5＝2（人）

學(xué)生對著形象的操作結(jié)果以及幾道除法算式，進(jìn)一步理解了有余數(shù)除法的本質(zhì)含義、算式的各部分名稱以及計算方法，對于學(xué)生牢固地掌握有余數(shù)除法，并解決相關(guān)問題有著積極的意義。

2.看圖說

對于蘇教版三年級上冊的“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”，學(xué)生必須要牢固掌握算法及算理，才能為后續(xù)的更復(fù)雜的整數(shù)乘除法以及小數(shù)乘除法的學(xué)習(xí)打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。

根據(jù)圖意，學(xué)生不難列出乘法算式：12×3。在學(xué)生準(zhǔn)確說出這道乘法算式的含義后，放手讓學(xué)生獨(dú)立計算12×3。有的學(xué)生結(jié)合之前的操作經(jīng)驗(yàn)，利用學(xué)具輔助對計算結(jié)果的探究：

根據(jù)這個小棒圖，有的學(xué)生聯(lián)系乘法意義，一下子想到12×3＝12+12+12＝36；有的學(xué)生利用數(shù)的組成來拆分計算，3個10是30，3個2是6，合起來就是36；還有的學(xué)生直接計算，3×10＝30，3×2＝6，30+6＝36。學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上充分表達(dá)了自己的算法。其實(shí)，學(xué)生在表達(dá)算法的同時，也準(zhǔn)確地表達(dá)出了對12×3算理的理解，進(jìn)一步地鞏固了兩位數(shù)乘一位數(shù)的算法，這也為后續(xù)的兩位數(shù)乘一位數(shù)的豎式計算做好了鋪墊。

利用數(shù)形結(jié)合去融合理解算法與算理，尊重了小學(xué)生形象思維為主導(dǎo)的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，既能夠幫助學(xué)生理解算理掌握算法，又能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)思維，不斷提高計算水平和問題解決能力。

二、利用數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)空間觀念的形成

空間觀念是2022版課程標(biāo)準(zhǔn)中小學(xué)與初中階段的重要核心素養(yǎng)之一。它的形成與否決定了學(xué)生能否“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”。空間觀念的形成，有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，是形成空間想象力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。但小學(xué)生以形象思維為主，而空間觀念培養(yǎng)需要小學(xué)生具備一定的抽象思維能力，對于抽象思維能力較弱的小學(xué)生來說，在學(xué)習(xí)過程中會感到枯燥無味，且難以在講授中獲取空間概念。因此，培養(yǎng)小學(xué)生空間觀念又是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一。

蘇教版五年級上冊的“多邊形的面積”，主要教學(xué)平行四邊形、三角形以及梯形的面積。在實(shí)際的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常會混淆面積計算公式。特別是三角形和梯形的面積計算時，學(xué)生經(jīng)常會忘記除以2。不少老師認(rèn)為是學(xué)生對這些平面圖形的面積計算公式掌握不牢導(dǎo)致的。究其原因，是學(xué)生對這些平面圖形的面積計算公式推導(dǎo)過程掌握得不扎實(shí)。所以，在教學(xué)時，我引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的推進(jìn)適時地繪制脈絡(luò)式平面圖形面積公式的推導(dǎo)圖，用圖文結(jié)合的方式，幫助自己進(jìn)一步理解平面圖形的面積公式。

在一步一步地完善過程中，及時引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析所繪制的推導(dǎo)圖，找到平面圖形面積公式推導(dǎo)過程中的聯(lián)系與區(qū)別、相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。學(xué)生集思廣益，能從不同的角度發(fā)現(xiàn)知識，總結(jié)規(guī)律。例如長方形面積公式是其他平面圖形面積公式的推導(dǎo)基礎(chǔ)；平行四邊形、三角形、梯形面積公式推導(dǎo)時都利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；平行四邊形的面積公式又是三角形和梯形面積公式的推導(dǎo)基礎(chǔ)；三角形、梯形的面積公式推導(dǎo)時都是利用兩個完全相同的圖形拼成平行四邊形進(jìn)行的，所以，三角形、梯形的面積公式最后都要除以2等。有了這樣的深度思維過程，學(xué)生對面積公式的本質(zhì)理解更深入了，相關(guān)問題就能迎刃而解了。

可見，數(shù)形結(jié)合的方法能夠“以圖解形”“以形助圖”，能幫助學(xué)生具體問題具體對待，靈活轉(zhuǎn)變思維模式，將形象思維與抽象思維有機(jī)結(jié)合起來，力爭用淺顯易懂的方法解決復(fù)雜、陌生的問題，不斷地優(yōu)化解決問題的方式，提高思維的深度和廣度，從而提高解決問題的能力。

三、利用數(shù)形結(jié)合思想，輔助數(shù)學(xué)信息的梳理。

在教學(xué)中經(jīng)常會遇到這樣一種情況，對于數(shù)學(xué)信息較多、較復(fù)雜、較難理解的問題，不少學(xué)生會束手無策，解決問題時思維較混亂，導(dǎo)致結(jié)果出錯。數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，需要學(xué)生有清晰的邏輯思維能力，能夠有較強(qiáng)的數(shù)感去直觀把握量與量之間的關(guān)系等。而對于這方面能力比較欠缺的學(xué)生而言，數(shù)學(xué)信息在其意識中是無序的、繁雜的，即便是幫助他們就題解題，遇到其他類型的問題依舊會出現(xiàn)類似的學(xué)習(xí)現(xiàn)象。所以，有條理地整理題目中較復(fù)雜的數(shù)學(xué)信息，是能夠正確解決相關(guān)問題的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵。

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，不僅可以幫學(xué)生整理數(shù)學(xué)信息，理清解題思路，找到準(zhǔn)確的解題方法，更重要的是由于形象、抽象思維的協(xié)調(diào)運(yùn)用，進(jìn)一步地拓寬了解題的思維寬度，提升了思維的靈活性和創(chuàng)新性，也進(jìn)一步提高了解決問題的能力。

四、利用數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)數(shù)量關(guān)系的確立。

在解決數(shù)學(xué)問題過程中，學(xué)生數(shù)感的強(qiáng)弱直接影響到他們能否快速、準(zhǔn)確地利用題目中相關(guān)聯(lián)的條件找出數(shù)量關(guān)系并列式解答。對于數(shù)感及抽象思維都較弱的學(xué)生而言，借助圖形找出數(shù)量關(guān)系，就顯得尤為重要了。

在蘇教版四年級上冊“解決問題的策略”單元有這樣一道思考題：

變化的是倒入水的杯數(shù)和總質(zhì)量，不變的是空杯的質(zhì)量。但有的學(xué)生就是想不到這個不變量，導(dǎo)致解題時無從下手。這時，我引導(dǎo)孩子們畫出這樣的示意圖：

在經(jīng)歷了畫示意圖表示數(shù)學(xué)信息的過程后，學(xué)生就能夠很直觀地看出其中的變化關(guān)系，也就是（980-740）克對應(yīng)的是（5-3）杯水，而和空杯子本身的質(zhì)量是無關(guān)的，所以就能夠準(zhǔn)確地找到解決本題的數(shù)量關(guān)系：（變化后總質(zhì)量-變化前總質(zhì)量）÷（變化后的杯數(shù)-變化前杯數(shù)）＝每杯水的質(zhì)量，列出算式就是：（980-740）÷（5-3）＝120（克）。

還有這樣一道題：甲、乙、丙三人一共有圖書125本，乙比甲多10本，丙的本數(shù)是甲的3倍還多15本，請問甲、乙、丙各有多少本圖書？很顯然，這道題的數(shù)量關(guān)系是比較復(fù)雜的，需要學(xué)生畫圖整理數(shù)學(xué)信息，并從中尋找數(shù)量關(guān)系。

學(xué)生畫出線段圖后，進(jìn)行集體交流：和之前學(xué)過的哪種類型題目像？（倍數(shù)問題）感到困難的地方在哪里？（乙和丙的本數(shù)都不是甲的整倍數(shù)）對于多出來的10本、15本，怎么解決？在這樣的引導(dǎo)下，學(xué)生就會再次結(jié)合形象的線段圖思考圖形與數(shù)量之間的關(guān)系，而且積極地尋找到解題的突破口。學(xué)生很容易想到（125-10-15）本對應(yīng)的是線段圖中甲的本數(shù)的（1+1+3）倍，從而順利求出甲的本數(shù)：（125-10-15）÷（1+1+3）＝甲的本數(shù)的5倍，即（125-10-15）÷（1+1+3）＝20（本），求出甲的本數(shù)后再對著線段圖中所展現(xiàn)出來的數(shù)量關(guān)系，順利求出乙的本數(shù)：20+10＝30（本），還有丙的本數(shù)：20×3+15＝75（本）。

可見，在解決稍復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，教師引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)和形結(jié)合起來思考，根據(jù)問題的具體情形，把圖形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的問題，能夠使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，進(jìn)一步地提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！薄皵?shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性，數(shù)形結(jié)合通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，加強(qiáng)抽象思維與形象思維的有機(jī)融合，能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑、提高解決問題能力的目的。