基于尾流振子模型的套管渦激振動(dòng)響應(yīng)研究

趙翔，譚明

西南石油大學(xué)土木工程與測(cè)繪學(xué)院，四川成都610500

引言

PIP（Pipe In Pipe）系統(tǒng)（套管）作為一種海洋立管，主要連接海洋懸浮平臺(tái)和海底井口，為海洋油氣資源的開(kāi)采輸送提供便利。因其具有較好的減振效果，近年來(lái)得到了廣泛的應(yīng)用。PIP 系統(tǒng)通常是由外部管道、內(nèi)部管道以及中間連接層3 部分構(gòu)成[1]。

目前，有許多研究者通過(guò)分析或?qū)嶒?yàn)的方式研究了套管的靜態(tài)特性和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。Alrsai 等[2]研究了套管的屈曲行為，并提出了每種模式的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式；Li 等[3]開(kāi)發(fā)了一種非線性有限元方法以用于確定內(nèi)管和外管的碰撞位置；Doan 等[4]利用了有限差分法和尾流振子模型法對(duì)柔性立管的渦激振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出了一種可以提供高效和穩(wěn)定計(jì)算的數(shù)值模擬方法；Bi 等[5]利用了套管的特殊結(jié)構(gòu)布局，設(shè)計(jì)了非常規(guī)結(jié)構(gòu)TMD 系統(tǒng)，將優(yōu)化后的彈簧和減震器安裝在內(nèi)外管道之間的環(huán)形空間，能夠在不增加任何附加質(zhì)量的情況下顯著地降低內(nèi)部管道的振動(dòng)；Li[6]提出了一種適用于套管的非線性有限元方法，即一種新的內(nèi)外管道碰撞屈曲分析算法；Wang 等[7]發(fā)現(xiàn)采用超輕質(zhì)水泥復(fù)合材料填充系統(tǒng)表現(xiàn)出了非常好的沖擊性能，并且可以有效限制局部壓痕的擴(kuò)展；Orynyak 等[8]提出了一種用能量法來(lái)確定海洋立管受到輸送流體作用的強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率，并通過(guò)實(shí)例證實(shí)了方法的有效性；Shahali 等[9]以歐拉-伯努利理論為基礎(chǔ)，研究了均勻外流作用下黏彈性輸流管道的非線性動(dòng)力響應(yīng)。研究中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)發(fā)生鎖定現(xiàn)象時(shí)，內(nèi)部流體速度和黏彈性阻尼對(duì)管道的振幅和鎖定區(qū)域范圍有重要影響；Mitsuishi等[10]考慮催化轉(zhuǎn)化器中的傳熱增強(qiáng)作用，在數(shù)值模擬中發(fā)現(xiàn)，雙渦流在增強(qiáng)傳熱方面起主導(dǎo)作用。

套管在受到海洋流體作用時(shí)，會(huì)在其兩側(cè)產(chǎn)生交替脫落的旋渦，從而引起套管發(fā)生周期性的振動(dòng)，即渦激振動(dòng)。當(dāng)套管的振動(dòng)頻率接近其固有頻率時(shí)，便會(huì)發(fā)生共振，產(chǎn)生較大振幅的渦激振動(dòng)響應(yīng)，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷，降低其工作安全性。現(xiàn)有的渦激振動(dòng)研究方法通常分為實(shí)驗(yàn)法[11-13]、計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)方法以及經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ头╗14-17]。實(shí)驗(yàn)方法具有數(shù)據(jù)可靠、現(xiàn)象明顯易觀察等優(yōu)點(diǎn)，但其研究成本較高，并不適用于所有研究；在現(xiàn)有水平下，CFD方法對(duì)于模擬這種大尺寸的模型是比較困難的；經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ头ㄒ灿袕V泛的應(yīng)用，其中，基于加速度模型來(lái)描述立管尾部流場(chǎng)的尾流振子模型受到國(guó)內(nèi)外許多研究者的認(rèn)可[18]。

本文對(duì)海洋立管的研究以橫向振動(dòng)為主，基于Euler-Bernoulli 雙梁理論建立了套管結(jié)構(gòu)振動(dòng)模型，結(jié)合尾流振子模型，建立了套管在海洋流體作用下的PIP 流固耦合振動(dòng)模型，并利用諧波平衡法進(jìn)行求解，得到了該耦合模型中套管渦激振動(dòng)的位移響應(yīng)解析表達(dá)式。通過(guò)與現(xiàn)有研究結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文計(jì)算模型的正確性，并分析了不同無(wú)因次波數(shù)、直徑比、連接層剛度以及張力對(duì)套管響應(yīng)特性的影響規(guī)律。

1 模型分析

1.1 套管系統(tǒng)的振動(dòng)模型

圖1 給出了套管系統(tǒng)示意圖。套管通常具有很高的細(xì)長(zhǎng)比[19-21]，從而采用Euler-Bernoulli 雙梁模型，并且將中間鏈接層視為線性彈簧，見(jiàn)圖2。

圖1 套管系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of casing system

圖2 雙梁系統(tǒng)Fig.2 Double-beam system

計(jì)算中忽略了海洋立管的阻尼和中間連接層的阻尼與質(zhì)量，考慮渦激振動(dòng)下海洋立管的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，建立套管的振動(dòng)方程[22-23]

1.2 尾流振子模型

采用改進(jìn)的Van der pol 方程來(lái)描述套管系統(tǒng)尾跡的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題[24-27]，其表達(dá)式為

1.3 套管和尾流振子耦合

為了方便后面計(jì)算以及分析，引入一些無(wú)因次參數(shù)

將式（7）代入式（1）、式（2）和式（6）中，得到無(wú)因次方程組

為了分析上述流固耦合問(wèn)題，采用諧波平衡法進(jìn)行計(jì)算，假設(shè)式（8）的解為

計(jì)算時(shí)，根據(jù)式（10）先求出ω 的值，結(jié)合式（11）就可計(jì)算出套管內(nèi)、外管道的振動(dòng)位移。

1.4 數(shù)值模型驗(yàn)證

驗(yàn)證過(guò)程中選取了文獻(xiàn)[24]中的參數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析，設(shè)置中間連接層剛度為零，從而可以將本文模型退化成單管道模型，可以與文獻(xiàn)中的剪切流實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，見(jiàn)圖3。

計(jì)算的主要相關(guān)參數(shù)為：斯特勞哈爾數(shù)St=0.2；細(xì)長(zhǎng)比L/D=781；質(zhì)量比μ=1.75；外部管道的無(wú)因次剛度a1=0；中間連接層的剛度k=0。從圖3 中可以看出，本文計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果吻合度較好，從而驗(yàn)證了本文模型的正確性。

圖3 計(jì)算外部管道位移與文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比Fig.3 Displacement of outer pipes compared with the results of references

2 分析與討論

分析中，為了方便分析，在沒(méi)有說(shuō)明的情況下，一些重要參數(shù)取值為：細(xì)長(zhǎng)比L/D=781；外、內(nèi)部管道的彈性模量相等（E1=E2）；質(zhì)量比μ=1.785；內(nèi)部管道的直徑與海洋立管的直徑比d/D=0.8；外部管道的無(wú)因次張力c1=4.0；內(nèi)部管道的無(wú)因次張力c2=3.2；外部管道無(wú)因次剛度a1=1 000；與外部管道質(zhì)量相關(guān)的無(wú)因次連接層剛度a2=10；內(nèi)部管道無(wú)因次剛度b1=640；與內(nèi)部管道質(zhì)量相關(guān)的無(wú)因次連接層剛度b2=6.4。

2.1 無(wú)因次波數(shù)的影響

無(wú)因次波數(shù)n與無(wú)因次波數(shù)系數(shù)m成正比，因此，以m的變化關(guān)系來(lái)確定無(wú)因次波數(shù)n和套管頻率比的關(guān)系圖，如圖4 所示。圖4 中，計(jì)算使用的無(wú)因次管道剛度和與外部管道質(zhì)量相關(guān)的無(wú)因次連接層剛度均取2。

圖4 不同m 的頻率比Fig.4 Frequency ratio under the action of different dimensionless wave numbers coefficient

從圖4 中可以看出，m不超過(guò)6.0 時(shí)，套管在同一條件下存在多個(gè)頻率，即存在多頻共存的情況，從而導(dǎo)致套管的振動(dòng)不穩(wěn)定；當(dāng)m大于6.0 時(shí)，套管的頻率出現(xiàn)唯一值，此時(shí)套管的振動(dòng)表現(xiàn)為單一振動(dòng)形態(tài)。

圖5 中展示了在不同m時(shí)升力振子的幅值q0變化情況。

圖5 不同m 的升力振子幅值Fig.5 Amplitude of lift oscillator under the action of different dimensionless wave numbers coefficient

當(dāng)m在不超過(guò)6.0 時(shí)，即低頻區(qū)域，隨著m的增大，無(wú)因次波數(shù)增大，升力振子的幅值q0呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)；當(dāng)m大于6.0 時(shí)，即高頻區(qū)域，隨著無(wú)因次波數(shù)系數(shù)的增大，升力振子的幅值q0呈現(xiàn)逐漸減小趨勢(shì)。

圖6 展示了在不同m作用下套管位移幅值變化情況。

從圖6 中可以看出，m的變化對(duì)內(nèi)、外管道的影響趨勢(shì)基本一致。在低頻區(qū)域，隨著無(wú)因次波數(shù)系數(shù)的增大，管道位移幅值的絕對(duì)值呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)；在高頻區(qū)域，隨著無(wú)因次波數(shù)系數(shù)的增大，管道位移幅值的絕對(duì)值呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì)。

圖6 不同m 作用下的套管位移幅值Fig.6 Amplitude of PIP displacement under the action of different dimensionless wave numbers coefficient

2.2 直徑比的影響

分析時(shí)，無(wú)因次管道剛度和無(wú)因次連接層剛度取2，外部管道和內(nèi)部管道無(wú)因次張力均取43.1，其余參數(shù)與驗(yàn)證部分相同。這里選取的直徑比分別為0.650、0.675、0.700、0.750、0.800 和0.850，研究直徑比對(duì)外管道和內(nèi)管道的影響（圖7，圖8）。

圖7 外部管道在不同直徑比下的響應(yīng)Fig.7 Response of outer pipes at different diameter ratios

由直徑比對(duì)外部管道響應(yīng)圖（圖7）可見(jiàn)，當(dāng)外部管道的振動(dòng)模態(tài)不同時(shí)，內(nèi)外管道的直徑比對(duì)其相應(yīng)的影響規(guī)律不盡相同。當(dāng)振動(dòng)為一階模態(tài)時(shí)，隨著內(nèi)外管道直徑比的增大，外部管道的響應(yīng)呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，在直徑比0.700 時(shí)出現(xiàn)最小值；當(dāng)振動(dòng)為二階模態(tài)時(shí)，隨著內(nèi)外管道直徑比的增大，外部管道的響應(yīng)呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢(shì)，在直徑比0.650 時(shí)出現(xiàn)最小值；當(dāng)振動(dòng)為三階模態(tài)時(shí)，隨著內(nèi)外管道直徑比的增大，外部管道的響應(yīng)呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)，在直徑比0.650 時(shí)出現(xiàn)最小值；當(dāng)振動(dòng)為四階模態(tài)時(shí)，隨著內(nèi)外管道直徑比的增大，外部管道的響應(yīng)呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì)，在直徑比0.700～0.850 時(shí)產(chǎn)生的變化較小。

圖8 給出了不同直徑比對(duì)內(nèi)部管道響應(yīng)的影響關(guān)系圖。可以看出，當(dāng)內(nèi)部管道的振動(dòng)模態(tài)不同時(shí)，直徑比對(duì)其相應(yīng)的影響規(guī)律基本一致。隨著直徑比的增大，內(nèi)部管道的響應(yīng)呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì)，減小的趨勢(shì)不隨著模態(tài)的改變發(fā)生改變。

圖8 內(nèi)部管道在不同直徑比下的響應(yīng)Fig.8 Response of inner pipes at different diameter ratios

圖9 分別展示了套管外部管道、內(nèi)部管道在不同直徑比下響應(yīng)的變化情況。

圖9 套管在不同直徑比下的響應(yīng)Fig.9 Response of PIP at different diameter ratios

由圖9 可見(jiàn)，隨著直徑比的增大，外部管道的振動(dòng)幅值先增大后迅速減小，接著小幅度增加，逐漸趨于穩(wěn)定的趨勢(shì)。當(dāng)直徑比0.750 時(shí)，產(chǎn)生最小的外部管道振動(dòng)位移幅值。隨著直徑比的增大，內(nèi)部管道的振動(dòng)幅值呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)。此外，當(dāng)直徑比大于0.750 時(shí)，直徑比的變化對(duì)內(nèi)部管道的位移幅值影響減弱。因此，在相同件下，直徑比為0.750 左右的套管具有較好的抗振性能。

2.3 連接層剛度的影響

圖10 給出了不同無(wú)因次連接層剛度作用下外部管道的振動(dòng)均方根位移，其余參數(shù)均與上述相同，直徑比取0.800，分析了無(wú)因次連接層剛度取5、10、15、20、25 和30 時(shí)外部管道的變化情況。由圖10 可以發(fā)現(xiàn)，外部管道的振動(dòng)均方根位移的變化規(guī)律具有一致性，隨著無(wú)因次連接層剛度的增大，外部管道在每個(gè)振動(dòng)模態(tài)下的位移均呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)，并且逐漸趨于穩(wěn)定。

圖10 外部管道在不同無(wú)因次連接層剛度下的位移Fig.10 Displacement of outer pipes at different dimensionless connection layer stiffnesses

相比于外部管道的位移變化，內(nèi)部管道受到無(wú)因次連接層剛度的影響相對(duì)較小，產(chǎn)生的位移變化不大，如圖11 所示。

圖11 內(nèi)部管道在不同無(wú)因次連接層剛度下的位移Fig.11 Displacement of inner pipes at different dimensionless connection layer stiffness

從圖11 可以看出，隨著無(wú)因次連接層剛度的增大，內(nèi)部管道的位移呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)，增幅較小?？梢酝茢?，當(dāng)振動(dòng)模態(tài)大于等于三階時(shí)，無(wú)因次連接層剛度對(duì)內(nèi)部管道的位移影響更小。

圖12 給出了內(nèi)、外管道在七階模態(tài)下隨無(wú)因次連接層剛度變化的均方根位移變化圖，即在高頻區(qū)域的變化情況。隨著無(wú)因次連接層剛度的增大，外部管道的位移呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，并且逐漸趨于穩(wěn)定，在無(wú)因次連接層剛度取10 時(shí)，外部管道的振動(dòng)位移幅值最小（圖12a）；而內(nèi)部管道變化趨勢(shì)與外部管道的變化趨勢(shì)基本一致，但變化幅度存在一定差異（圖12b）。

圖12 套管在不同無(wú)因次連接層剛度下的位移Fig.12 Displacement of PIP at different dimensionless connection layer stiffness

2.4 張力的影響

內(nèi)外管道的無(wú)因次張力存在一定差距，為方便處理，假設(shè)施加在外部管道和內(nèi)部管道上的無(wú)因次張力相同，分析張力對(duì)外部和內(nèi)部管道響應(yīng)的影響。圖13 為考慮了無(wú)因次張力取33.1、38.1、43.1、48.1 和53.1 時(shí)的外部管道無(wú)因次位移。

圖13 外部管道在不同無(wú)因次張力下的位移Fig.13 Displacement of outer pipes under different dimensionless tensions

從圖13 可以看出，隨著無(wú)因次張力的增大，外部管道的位移呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)，不隨模態(tài)的改變而發(fā)生變化。

圖14 中展示了內(nèi)部管道在不同無(wú)因次張力作用下的位移。不難發(fā)現(xiàn)，隨著無(wú)因次張力的增大，內(nèi)部管道的位移呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢(shì)，但變化的幅度較小。此外，隨著模態(tài)的增加，張力對(duì)內(nèi)部管道位移的影響逐漸增大，變化幅度逐漸增大。

圖14 內(nèi)部管道在不同無(wú)因次張力下的位移Fig.14 Displacement of inner pipes under different dimensionless tensions

圖15 給出了套管在高階模態(tài)下的均方根位移變化圖。

圖15 套管在不同無(wú)因次張力下的位移Fig.15 Displacement of PIP under different dimensionless tensions

圖15a 展示了外部管道的均方根位移變化情況，從圖中可以看出，當(dāng)無(wú)因次張力在33.1～38.1時(shí)，外部管道的位移呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)；當(dāng)無(wú)因次張力在38.1～43.1 時(shí)，呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)；當(dāng)無(wú)因次張力大于43.1 時(shí)，外部管道位移呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)；圖15b展示了內(nèi)部管道的均方根位移變化情況，從圖中可以看出，隨著無(wú)因次張力的增大，內(nèi)部管道的位移呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì)。

圖16 中給出了在不同無(wú)因次張力作用下套管各階模態(tài)的頻率比變化情況。從圖中可以看出，當(dāng)模態(tài)小于3 時(shí)，隨著無(wú)因次張力的不斷增大，頻率比呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，從而導(dǎo)致套管的各個(gè)管道位移減小，但影響相對(duì)較小。當(dāng)模態(tài)大于3 時(shí)，無(wú)因次張力對(duì)頻率的影響逐漸增大。在三階模態(tài)下，隨著無(wú)因次張力的增大，頻率比呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)；在四階模態(tài)下，隨著無(wú)因次張力的增大，頻率比呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢(shì)，套管的渦激振動(dòng)常表現(xiàn)出高階模態(tài)振動(dòng)以及多模態(tài)共存的狀態(tài)，因此，張力對(duì)套管中內(nèi)、外管道的振動(dòng)具有較明顯的影響，在工程中產(chǎn)生的影響不能忽視。。

圖16 套管在不同無(wú)因次張力下的頻率比Fig.16 Frequency ratio of PIP at different dimensionless tensors

3 結(jié)論

（1）在不同無(wú)因次波數(shù)系數(shù)的作用下，套管的振動(dòng)存在不穩(wěn)定現(xiàn)象，在低階模態(tài)下，存在3 個(gè)頻率共存的現(xiàn)象，從而使得管道的振動(dòng)不穩(wěn)定。當(dāng)模態(tài)達(dá)到七階時(shí)，管道的振動(dòng)便會(huì)出現(xiàn)單一頻率的振動(dòng)現(xiàn)象。

（2）當(dāng)直徑比達(dá)到0.750 時(shí)，產(chǎn)生最小的外部管道振動(dòng)位移幅值。隨著直徑比的增大，內(nèi)部管道的振動(dòng)幅值呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)。此外，當(dāng)直徑比大于0.750 時(shí)，直徑比的變化對(duì)內(nèi)部管道的位移幅值影響減弱。

（3）在低頻率比區(qū)域，無(wú)因次連接層剛度對(duì)管道的位移影響相對(duì)較小。在高頻區(qū)域，隨著無(wú)因次連接層剛度的增大，內(nèi)、外部管道的位移均呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，并且逐漸趨于穩(wěn)定。

（4）在低頻率比區(qū)域，隨著張力的增大，外部管道的位移呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)，內(nèi)部管道的位移呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)；在高頻率比區(qū)域，外部管道變化復(fù)雜，內(nèi)部管道的位移呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)。

符號(hào)說(shuō)明