數(shù)學跨學科學習資源開發(fā)的原則和路徑

帥建卓?顧廣林?潘小明

摘 要 跨學科學習是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的新要求，在跨學科學習資源開發(fā)原則上強調(diào)要“蘊含學科本質(zhì)問題”“導向?qū)W生綜合素養(yǎng)”“能夠豐富學習實踐”“能夠契合學生實際”“體現(xiàn)課程結(jié)構(gòu)化思想”，在跨學科學習資源開發(fā)路徑上強調(diào)注意“利用跨學科知識表征情境”“多學科融合應用”“從知識交叉處理解學科知識”“從其他學科應用中感悟數(shù)學知識”“用數(shù)學解決其他學科問題”，自覺地關注實踐中可能存在的困境和阻礙。

關 鍵 詞 數(shù)學教學 跨學科學習 課程標準 綜合素養(yǎng)

引用格式 帥建卓，顧廣林，潘小明.數(shù)學跨學科學習資源開發(fā)的原則和路徑[J].教學與管理，2023（04）：37-40.

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出在初中階段的“綜合與實踐”領域，可采用項目式的方式開展跨學科學習，以問題解決為導向，整合數(shù)學與其他學科的知識和思想方法，讓學生從數(shù)學的角度觀察與分析、思考與表達、解釋與闡釋社會生活以及科學技術中遇到的現(xiàn)實問題[1]。數(shù)學跨學科學習是以數(shù)學學科為核心，融合多門學科解決某一主題問題，打破了傳統(tǒng)的學科壁壘，突出了多學科的問題表征。在初中階段，強調(diào)以項目式學習展開跨學科學習，不僅有利于促進學生對知識的理解、建構(gòu)、整合，開拓視野和思維，基于真實的情境進行數(shù)學問題表征，于多學科知識深度融合中解決問題；而且有助于學生開展跨學科的活動交流、方法創(chuàng)新、經(jīng)驗反思，提升跨學科意識和跨學科綜合思維，增強運用跨學科知識解決綜合問題的能力，獲得高階性的知識與技能，掌握數(shù)學核心素養(yǎng)之外的一些必備能力。跨學科學習是對當前初中數(shù)學教學提出的一個新要求。本文結(jié)合多年的實踐經(jīng)驗，就初中數(shù)學教學中跨學科學習資源開發(fā)原則和路徑進行初步探討。

一、數(shù)學跨學科學習資源開發(fā)的原則

跨學科學習的關鍵是問題與問題解決，即從情境中發(fā)現(xiàn)真實問題，通過理解、分析、推理、實踐等體驗和探究活動尋找本質(zhì)關系，從而破解問題，形成研究成果（如圖1）?？鐚W科資源要體現(xiàn)學科的本質(zhì)問題（核心概念），問題和問題解決要體現(xiàn)一定的綜合性和開放性，需要學生經(jīng)歷學習實踐和運用高階認知策略。

1.蘊含學科本質(zhì)問題

跨學科學習資源要體現(xiàn)跨學科核心概念，為學生提供深層次的跨學科理解，做到知識、能力與素養(yǎng)兼得。情境要能夠抽象或聚合為指向核心概念的本質(zhì)問題，這樣的問題才有研究的價值。本質(zhì)問題體現(xiàn)多學科的共同本質(zhì)，需要跨學科才能解決這個本質(zhì)問題。將本質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為適合學情的、有一定挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性的驅(qū)動性問題，這樣學生才能積極投入，才能自覺運用高階認知策略和學習實踐進行深度探究。

2.導向?qū)W生綜合素養(yǎng)

跨學科學習是落實“綜合與實踐”領悟中“綜合”的重要學習方式?？鐚W科資源要將學科知識與學生的生活經(jīng)驗和社會熱點問題緊密聯(lián)系，體現(xiàn)綜合運用各學科知識解決問題，提升學生綜合素養(yǎng)。這個綜合要圍繞本質(zhì)問題突破學科邊界，通過核心概念整合跨學科知識，將零散的知識結(jié)構(gòu)化，具有不確定的綜合情境問題才具有挑戰(zhàn)性和開放性，問題解決的方案或成果才具有多樣性和創(chuàng)新性，才能夠培養(yǎng)學生綜合應用能力，發(fā)展綜合性思維，提高綜合素養(yǎng)。

3.豐富學生學習實踐

跨學科學習一般基于真實情境而開展項目化學習。真實情境要提供給學生豐富的實踐機會，而且只有經(jīng)歷學習實踐才能較好地解決情境問題。比如，學生經(jīng)歷測量、調(diào)查、設計和實驗探究等探究性、社會性和技術性等實踐，交流和發(fā)布成果需要學生優(yōu)化、策劃和制作等調(diào)控性和審美性實踐?？鐚W科學習需要重視學生的動手實踐和思維實踐，這樣才能體現(xiàn)活動的過程性，提高學生參與活動的興趣，豐富學生的情感體驗。

4.契合學生學習實際

跨學科學習資源開發(fā)雖然倡導學生通過合作解決真實、復雜的問題，但必須要充分考慮學生的數(shù)學現(xiàn)實。在創(chuàng)設真實問題情境中要考慮學生已有的知識基礎和數(shù)學活動經(jīng)驗，問題難度太大，超越學生已有數(shù)學活動經(jīng)驗，不利于“跳一跳，摘桃子”；問題太復雜，學生即使通過合作也沒法有效解決問題，不僅浪費時間、精力，而且影響數(shù)學學習的自信心、滿意度。跨學科學習的資源開發(fā)雖然要考慮非良構(gòu)的問題，但這種非良構(gòu)也要以學生的可探究為前提。

5.體現(xiàn)課程結(jié)構(gòu)化思想

跨學科學習資源并非將來自于不同學科的知識進行簡單性組合，而是讓源于多個學科的知識和方法基于項目化學習活動形成具有連貫性、組織性、多環(huán)節(jié)的跨學科的課程結(jié)構(gòu)。具體而言，要以課程結(jié)構(gòu)化思想引領跨學科學習的活動設計，既突出情境設計、問題驅(qū)動，又強調(diào)思維激發(fā)、實踐探究、創(chuàng)新思考和回顧反思。在具體的課題設計時，關注不同教學環(huán)節(jié)之間內(nèi)在的聯(lián)系和邏輯步驟，使基于數(shù)學的跨學科學習包容于環(huán)環(huán)相扣的學習活動之中。

二、數(shù)學跨學科學習資源開發(fā)路徑

1.利用跨學科知識表征情境

現(xiàn)實生活往往蘊含具有豐富的實踐性、跨學科性的真實情境，需要從不同學科視角審視和解決本質(zhì)問題，發(fā)現(xiàn)和提出不同的學科問題，產(chǎn)生不同的學習任務，以使學生通過學習活動解決問題。在協(xié)同知識解決問題的思維和做事的過程中，可以培養(yǎng)學生的跨學科綜合思維能力，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。數(shù)學的跨學科學習應該以數(shù)學思維解決問題為主，結(jié)構(gòu)如圖2。

比如，新型冠狀病毒引發(fā)的新冠疫情陰霾仍未散去，病毒已經(jīng)多次變異，給生命帶來極大的危害。對此現(xiàn)實情境，我們可以提煉出疫情與生命健康這個本質(zhì)問題，圍繞本質(zhì)問題從不同學科視角提出跨學科的問題，引導學生開展跨學科項目式學習。疫情與生命健康主題，可以探索怎樣正確面對疫情、怎樣直觀了解和預測疫情拐點等，形成研究報告。立足生命健康教育，探索病毒變異是什么？怎樣科學防疫？怎樣提高免疫力？學生可以收集相關資料，也可以邀請專業(yè)人員講解，最后以海報的形式展示和交流疫情防控的措施，提高學生生命保護意識。立足思政教育，探索面對疫情怎樣做到不傳謠不信謠？以演講會的形式感受全國各地支持疫情重災區(qū)抗疫的團結(jié)奉獻精神，學習疫情防控中先進人物的事跡，感悟偉大的抗疫精神，這種沉浸式學習能夠激發(fā)愛國熱情，增強社會責任。

基于數(shù)學的跨學科學習，應該重點關注數(shù)學主題的學習。比如，用統(tǒng)計圖表表達新聞報道中的每天確診人數(shù)、無癥狀感染人數(shù)、治愈人數(shù)、死亡人數(shù)等情況，直觀反映和表達信息，學會用數(shù)學的眼光觀察疫情。對“數(shù)”的感知意在培養(yǎng)學生的數(shù)感素養(yǎng)，數(shù)據(jù)采集需要學生自己查找資料，以利于養(yǎng)成調(diào)查研究的習慣。從統(tǒng)計圖可預測疫情發(fā)展趨勢，如以確診人數(shù)增長幅度作為判斷變化的依據(jù)，進一步對數(shù)據(jù)建模、推理，形成預測結(jié)論，并交流分享，這個過程就是在問題解決中發(fā)展學生核心素養(yǎng)。疫情初期，口罩成了緊俏商品，可以研究口罩供應問題，通過調(diào)查口罩生產(chǎn)效率，從規(guī)劃的角度提出問題，比如要在最短時間內(nèi)完成任務，應該如何安排生產(chǎn)等等，可以建立數(shù)學模型加以解決。

跨學科學習的一個重要目標就是培養(yǎng)學生的理性精神，讓學生在面對具體、真實和復雜的問題情境時，通過必要的合作，學會運用理性的思維方法分析、思考問題，運用具有不同學科特點的方法探究問題，通過實驗、觀察、調(diào)查等方法探尋問題答案，并通過有序的數(shù)學活動逐步學會如何更有效地獲取數(shù)據(jù)說明、分析問題，通過集思廣議提出具有理智性的問題解決方案。所有這些都離不開教師的指導與參與，跨學科學習資源開發(fā)應當倡導組建教師跨學科共同體以更好地實現(xiàn)共同開發(fā)，通過合作探索學科之間的深層次聯(lián)系和深度融合。

2.通過多學科融合發(fā)展綜合運用能力

現(xiàn)實生活存在需要融合多學科知識才能解決的問題，此類資源可以提高學生綜合運用知識解決問題的能力。

如圖3，我們觀看工人師傅在把貨物裝進貨廂時，為了省力，常常將貨物包裝箱沿坡面AB推到適當位置后再放進貨廂。

這個現(xiàn)象的本質(zhì)問題是理解輕松平放進貨廂，核心概念是物理和體育中的平衡和數(shù)學中的運算，再轉(zhuǎn)化為物理中的重心知識和數(shù)學中三角函數(shù)、解直角三角形和相似等知識。由此產(chǎn)生驅(qū)動性問題：（1）推到什么位置？情境中“適當位置”是關鍵詞，需要學生具有體育課程中平衡的經(jīng)驗，具有物理學科的重心知識儲備，再理解重心與“平衡”的關系，教學中建議開發(fā)學生實驗活動的工具，讓學生親身體驗和理解重心。也就是在正方體貨物推進貨廂過程中，只要將貨廂推到重力線經(jīng)過B點的位置，就能輕松平放（如圖4）。還可以根據(jù)杠桿原理進一步理解其原理，由于F動l動=F阻l阻，此時阻力就是重力，動力就是使貨物轉(zhuǎn)動的力，貨物繞B點轉(zhuǎn)動時，B是支點，由于重力作用線剛好沿CB落在支點處，所以助力臂l阻=0，根據(jù)杠桿原理，只要很小的F動

就能使杠桿轉(zhuǎn)動，就能將貨物“輕松”放進貨箱。這樣就將理論與實踐有機結(jié)合，提高了知識的應用能力。

（2）能否放進？讓學生嘗試發(fā)現(xiàn)與貨廂凈高、正方體貨物高度和坡度有關，給出其數(shù)據(jù)，只要最高點E到貨廂底部距離EH小于貨廂的凈高就能放進（如圖5），這樣就理解了實際問題的數(shù)學本質(zhì)。接下來就是構(gòu)造直角三角形，用三角函數(shù)、相似或中位線知識進行數(shù)學推理和運算解決問題。

這個活動涉及體育、數(shù)學、物理，具有較強的綜合性，能夠考查學生多學科知識綜合運用的能力，對如何發(fā)現(xiàn)生活問題的學科本質(zhì)也有指導意義，體現(xiàn)跨學科學習的育人價值。

3.從知識交叉處理解學科知識

不同學科存在共性或相互補充的知識點，利用不同學科的知識交叉和方法遷移理解或解決問題，能夠深刻認識知識的本質(zhì)，彌補單學科教學的不足。

比如，物理平面成像與數(shù)學“將軍飲馬”問題本質(zhì)都是對稱。老師講解后，學生能夠理解作對稱點，但是怎樣想到是困難的，為此，根據(jù)物理活動經(jīng)驗，聯(lián)想到物理上平面成像，找點光源A的像A′（像與物體相對鏡面對稱），連接像點與B點，與l交點就是入射點P（如圖6），這時可以借助幾何畫板進行驗證，發(fā)現(xiàn)這時光線路徑最短。由此得到啟發(fā)，只要運用軸對稱變換，作出其中一個點的對稱點，就能夠解決問題，可以任取一點P′進行數(shù)學論證（如圖7），因此，借助物理等學科知識有助于發(fā)現(xiàn)和解決相關問題，并且發(fā)現(xiàn)對稱的價值，形成對稱的觀念，問題的背后是對（對稱）美的追求，或者說是美的直覺。多學科的交叉融合，能夠用跨學科思維理解知識的本質(zhì)。

有些學科知識需要跨學科融合才能理解其本質(zhì)。比如，平衡點與最短距離問題。通過找三個定點的平衡點物理實驗，發(fā)現(xiàn)平衡點的特征，事實上，平衡點是物理力學上的特殊點，也是幾何上的特殊點“費馬點”，怎樣證明其特征？還具有什么性質(zhì)？怎樣作出平衡點（費馬點）？需要借助數(shù)學知識和方法進行探索和推理，進一步發(fā)現(xiàn)相關性質(zhì)。這種學習既是數(shù)學學科內(nèi)的綜合應用，也是跨學科知識應用，這種跨學科融合學習能夠理解知識的來龍去脈，學習方式既有實驗又有數(shù)學推理，更為重要的是通過不同學科互補，可以深刻認識學科知識的本質(zhì)。

4.從其他學科應用中感悟數(shù)學知識

每門學科均有學科特征的重要思想和方法，可以從其他學科應用中抽象數(shù)學模型，體驗數(shù)學方法，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，提高數(shù)學問題意識和跨學科應用的綜合素養(yǎng)。

比如，運用兩臂之長不等的天平稱量物重。將物體分別放在左右兩個托盤中，如圖8，設力臂長為l1、l2，由杠桿原理，得到G物·l1=G砝·l2，

G′砝·l1=G物·l2，兩式相乘G物·l1·G物·l2=G砝·l2·

G′砝·l1，得G物=√G砝·G′砝。也就是物體的真實重

量為兩次稱量結(jié)果的幾何平均數(shù)（積的算術平方根）。學生可以探索算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小關系，可以探索幾何平均數(shù)的模型，還可以讓學生收集其它平均數(shù)的相關知識，豐富和拓展自己的知識結(jié)構(gòu)。

這是一個物理學科為基礎的項目，探索過程中要注意從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，比如，探索過程中運用了“若a=b，c=d，那么ad=bc”的代數(shù)式恒等變形，怎么想到運用此變形解決問題，值得學生探索和反思其原理。事實上設定哪些參數(shù)將情境中的問題抽象，多個參數(shù)能否解決問題，怎樣去掉多余的量（參數(shù)），需要引導學生利用“ad=bc”消去參數(shù)l1、l2，這個抽象過程體現(xiàn)了學生代數(shù)思想的運用，體現(xiàn)和感悟參數(shù)的應用價值，感悟參數(shù)“設而不求”的妙用。這個深度學習充滿了分析、推理和創(chuàng)造，有利于感悟和理解數(shù)學知識。

5.用數(shù)學解決其他學科問題

新課程標準強調(diào)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，數(shù)學作為基礎性學科，有著廣泛的應用，學生在運用數(shù)學解決其他學科問題中，可以樹立學習信心，認識數(shù)學價值。

比如，為了真實感受香煙有害健康，設計香煙浸出液對種子發(fā)芽的影響的項目學習。學生通過實驗觀察濃度不同的香煙浸出液中綠豆的出芽數(shù)目，想要從數(shù)據(jù)得到結(jié)論，需要用不同的統(tǒng)計量和統(tǒng)計圖表分析數(shù)據(jù)，在比較中真正理解統(tǒng)計量和統(tǒng)計圖表的內(nèi)涵，培養(yǎng)學生運用知識的靈活性，發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，形成科學態(tài)度和理性精神。在這個實踐過程中，學生學到了種子發(fā)芽的生物學知識，學會了如何用數(shù)據(jù)分析對現(xiàn)象進行解釋，養(yǎng)成健康生活習慣。匯報時采用視頻和墻報展示研究過程和成果，提高了學生信息技術和美術學科的技能。課后要求學生寫科學實驗小論文，表達研究成果，感受科學研究的一般方法，既鍛煉了學生寫作能力，又提高了學生的科學素養(yǎng)，對學生的心智成長有較大意義。項目融合了勞動、生物、信息技術、美術和數(shù)學等學科，提高了學生多（跨）學科應用能力。

再如，學校數(shù)學活動室要重新設計照明，為了節(jié)約能源，我們可以研究怎樣安排最少的照明燈，讓活動室既美觀又光線充足，還可以從電能消耗、成本和電費等方面研究如何選擇不同類型的照明設施。此類問題的解決需要運用數(shù)學學科的綜合知識，并且與物理知識融合，有助于培養(yǎng)學生優(yōu)化設計的意識和社會實踐能力。

綜上，跨學科學習融合多種學科資源，以學生發(fā)展為目標，多角度尋求解決復雜問題的最優(yōu)方案。如何開發(fā)和設計跨學科資源，需要一線教師正視可能存在的困境和阻礙[2]，加強合作、加強研究、開闊視野、求實創(chuàng)新，共同探索符合初中數(shù)學新課標本真性要求的跨學科學習。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：77.

[2] 董艷，孫巍，徐唱.信息技術融合下的跨學科學習研究[J].電化教育研究，2019，40（11）：70-77.

【責任編輯 郭振玲】

*該文為2020年江蘇省基礎教育前瞻性教學改革實驗培育項目“初中‘數(shù)學活動’育人的教學實踐”（2020JSQZ0149）、江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃課題“初中‘數(shù)學活動’育人路徑的研究”（C-c/2021/02/172）、江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃課題“新時代農(nóng)村數(shù)學教師專業(yè)核心素養(yǎng)培養(yǎng)研究”（D/2020/01/15）的研究成果