切蛋糕切出來的三角形中位線*

劉 健

（黑龍江省大慶市教師發(fā)展學(xué)院 黑龍江大慶 163000）

三角形的中位線是平面幾何中一條非常重要的線段。如何引入三角形的中位線，讓學(xué)生感受三角形中位線的再創(chuàng)造過程一直是教學(xué)難點(diǎn)。教材中有多種引課，北師版教材采用的是在折紙中發(fā)現(xiàn)三角形的中位線，有的教材則直接給出問題讓學(xué)生完成證明，這兩種引課一個實(shí)際操作太難，另一個不能體現(xiàn)知識的再現(xiàn)。為了突破這個難點(diǎn)，能夠自然引入三角形的中位線，筆者經(jīng)過多次嘗試最終在切蛋糕過程中產(chǎn)生了靈感，找到了一種能讓學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)三角形中位線的方法。本文將呈現(xiàn)“三角形的中位線”的教學(xué)設(shè)計(jì)，供大家研討（參考北師大版教材）。

一、教材分析

根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022版），本節(jié)課要求學(xué)生探索并證明三角形的中位線。三角形中位線是繼三角形的“三線”（角平分線、中線、高線）后的第四種重要線段，但又不同于“三線”。教材從知識的整體性和聯(lián)系性考慮，將本節(jié)課放在平行四邊形之后。教材的設(shè)計(jì)力圖通過探索三角形中位線的過程，讓學(xué)生感受三角形和四邊形之間的相互轉(zhuǎn)化和知識間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，體會知識間的相互勾連，同時為學(xué)生面對一個新的數(shù)學(xué)問題提供研究思路。三角形中位線定理為判定兩直線的位置關(guān)系和論證線段倍分關(guān)系提供了新的方法和依據(jù)，也為后續(xù)學(xué)習(xí)相似三角形奠定了基礎(chǔ)。如何發(fā)現(xiàn)三角形的中位線，按照教材的設(shè)計(jì)在實(shí)際教學(xué)中操作難度太大，因此引課做了一些改動，重新設(shè)計(jì)了一個問題情境，從特殊的等邊三角形出發(fā)，然后拓展到一般，在這個過程中向?qū)W生隱性滲透從特殊到一般的研究思路，使得學(xué)生在獲得顯性知識的同時也有隱性的收獲。三角形中位線定理的得出是平行四邊形判定定理與性質(zhì)定理的直接應(yīng)用，前面運(yùn)用連接對角線，把平行四邊形劃歸為兩個全等的三角形研究平行四邊形的性質(zhì)，反之通過添加輔助線將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)研究三角形的有關(guān)問題，在這個學(xué)習(xí)過程中讓學(xué)生充分感受化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，從而進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.在切蛋糕的過程中，發(fā)現(xiàn)一條不同于三角形中線的線段——三角形的中位線，引發(fā)思考，進(jìn)而開展研究。

2.能想到將三角形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形解決問題，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，理解教材的設(shè)計(jì)意圖。

教學(xué)重點(diǎn)：證明三角形中位線定理。

教學(xué)難點(diǎn)：1.如何引導(dǎo)學(xué)生在切蛋糕的過程中發(fā)現(xiàn)三角形的中位線？

2.如何驗(yàn)證三角形中位線定理？

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.情境導(dǎo)入

7月9日是二年級小學(xué)生尚希的生日（圖1-1），尚希邀請了班級里的3個小朋友來到家里（圖1-2），尚希的爸爸端上來生日蛋糕如（圖2-1），蛋糕的水平截面是等邊三角形，生日蛋糕怎么平分?。紤]到蛋糕表層有奶油和巧克力，所以只能豎直切刀）？

圖1-1 尚希的生日

圖1-2 分享

圖2-1 怎么分

2.質(zhì)疑探究

活動1：發(fā)現(xiàn)三角形的中位線。

問題1：如何切蛋糕讓4個小朋友都滿意呢？如何將這塊蛋糕平均分成4份呢（圖2-1）？.

思考：如圖2-2，圖2-3所示，這兩種分法哪一種能讓小朋友都滿意呢？

圖2-2 分法一

圖2-3 分法二

問題2：尚希先切了一塊蛋糕給爸爸、媽媽，蛋糕的水平截面不再是等邊三角形了？還能平均分成4份嗎？

處理方式：問題1、2都是先讓學(xué)生自己切，然后再組內(nèi)交流，重點(diǎn)交流你是怎么切的，是怎么想到這樣切的。

設(shè)計(jì)意圖：預(yù)設(shè)學(xué)生首先會想到利用中線的性質(zhì)平均分得4塊，但是這種分法對于二年級的小朋友無法解釋4塊蛋糕大小相同，所以考慮其他的分法，既要平均分成4份，又要形狀相同，目的是引出三角形的中位線相關(guān)知識。

問題3：如圖3-1，圖3-2所示，是小朋友都滿意的切法，請你選擇其中一條線段描述這條線段的特征？

圖3-1

圖3-2

三角形中位線定義：____________________________。

問題4：①在三角形中，有幾條這樣的線段？②請你說出三角形中位線和中線的區(qū)別。

設(shè)計(jì)意圖：問題3完成具體到抽象的過程，得出三角形中位線的定義。問題4進(jìn)一步明晰三角形中位線的特征。

活動2.猜想并證明三角形中位線定理。

猜想：問題5：已知線段DE為△ABC的中位線，觀察圖4，類比我們以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為我們應(yīng)該如何研究這條線段？

圖4

問題6：觀察圖4，你認(rèn)為DE和△ABC的哪一條邊有關(guān)系？有什么關(guān)系？說一說你的猜想。

處理方式：讓學(xué)生通過觀察猜想DE與BC的關(guān)系，進(jìn)行大膽猜想。

設(shè)計(jì)意圖：問題5讓學(xué)生體會研究問題的思路，研究三角形中位線的性質(zhì)就是研究中位線與三角形組成元素之間的關(guān)系（位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系）；問題6是讓學(xué)生是自己發(fā)現(xiàn)DE與第三邊的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力。

3.驗(yàn)證猜想

（1）測量

（2）信息技術(shù)檢驗(yàn)

處理方式：用GeoGebra（圖形計(jì)算器）軟件在白板上讓學(xué)生操作驗(yàn)證猜想的正確性。

設(shè)計(jì)意圖：利用信息技術(shù)，讓學(xué)生直觀地感受猜想的正確性，獲得成就感。

（3）演繹推理證明

問題7：如圖5所示，你能用幾何推理證明上述結(jié)論嗎？觀察切完的蛋糕，你有什么想法？先獨(dú)立思考再小組交流。重點(diǎn)交流你怎么想的，怎么想到的？

圖5

設(shè)計(jì)意圖：添加輔助線將三角形轉(zhuǎn)換成平行四邊形學(xué)是教學(xué)難點(diǎn)，為了突破難點(diǎn)。首先讓學(xué)生觀察操作后得到的圖形，然后進(jìn)行獨(dú)立思考、小組交流，目的是在交流中有思維的碰撞，找到轉(zhuǎn)化的方法，揭示問題本質(zhì)。

預(yù)設(shè)學(xué)生有可能添加的輔助線：如圖6-1，6-2，6-3所示。

圖6-1

圖6-2

圖6-3

結(jié)論：

三角形中位線定理______________________________ 。

定理兩方面的含義：位置關(guān)系——平行，數(shù)量關(guān)系——倍分。

符號語言：______________________。

問題8.請你總結(jié)一下，我們是如何證明三角形中位線的。設(shè)計(jì)意圖：內(nèi)化轉(zhuǎn)化的思想方法。

4.解決問題

（1）解決引課問題：教學(xué)處理：如圖7所示，回到引入中的“分蛋糕問題”。

圖7 體會三塊蛋糕一樣大

設(shè)計(jì)意圖：肯定實(shí)踐操作的正確性，達(dá)到教學(xué)問題設(shè)計(jì)的前后呼應(yīng)。

（2）例題

ΔA1B1C1如圖8中的（1）所示，在△ABC中，A1，B1，C1分別是邊BC，AC，AB的中點(diǎn)，（1）如果AB=12，BC=10，AC=8，求的周長。圖（2）A2，B2，C2分別是B1C1，A1C1，A1B1的 中 點(diǎn)，A3，B3，C3分 別 是B2C2，A2C2，A2B2的 中點(diǎn)，依此類推圖（3）.若△ABC的周長為a，面積為S，則ΔAnBnCn的周長為________，面積為________。

圖8

處理方式：（1）學(xué)生在黑板板書；（2）口答。

設(shè)計(jì)意圖：三角形中位線定理的直接應(yīng)用。

（3）鞏固練習(xí)

如圖9所示，任意一個四邊形，以四邊形的中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個新四邊形，試猜想這個新四邊形的形狀？并證明你的猜想。

圖9

5.課堂小結(jié)

①敘述三角形中位線定理的內(nèi)容。②你們是如何發(fā)現(xiàn)三角形的中位線的？說一說發(fā)現(xiàn)過程？你有什么感悟。③我們是如何證明這個定理的？在方法上，你有什么收獲？④你還有什么收獲？

結(jié)語

為了呈現(xiàn)一個自然、本質(zhì)、樸實(shí)的課堂，筆者設(shè)計(jì)了一個貼近學(xué)生生活的問題情境，即分蛋糕的問題。在問題情境設(shè)計(jì)中的一個小細(xì)節(jié)就是選擇，小學(xué)低年級的小朋友，雖然利用三角形中線的性質(zhì)可以平分蛋糕，但是形狀不同，怎么分才能不引起小朋友之間的矛盾呢？學(xué)生通過動腦、動手，相互合作交流、探究等多種學(xué)習(xí)途徑，發(fā)現(xiàn)三角形還有一條特殊的線段——三角形中位線，體現(xiàn)“再創(chuàng)造”的過程，進(jìn)而產(chǎn)生研究這條線段的想法。整個教學(xué)過程自然、生動，達(dá)到了讓體會學(xué)生知識“再創(chuàng)造”的效果，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力。