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    巧設(shè)變式 溯知本源
    ——2022年全國(guó)甲卷理科第20題的變式探究與思考*

    2023-01-24 05:49:04游金鳳
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年12期
    關(guān)鍵詞:定值拋物線定點(diǎn)

    游金鳳

    (云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650504)

    黃賽春

    (云南省昆明市官渡區(qū)鐘英中學(xué) 650214)

    劉冰楠

    (云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650504)

    1 試題再現(xiàn)

    2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷理科第20題(以下簡(jiǎn)稱“第20題”)表述如下:

    設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過(guò)F的直線交拋物線C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),MF=3.

    (1)求拋物線C的方程;

    (2)設(shè)直線MD,ND與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β,當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線AB的方程.

    評(píng)析該題綜合考查直線、拋物線、三角函數(shù)、均值不等式的基本概念和性質(zhì),滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法,著力考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).其中,第(1)問(wèn)屬于圓錐曲線的常規(guī)題型,需根據(jù)已知條件列方程、解參數(shù)、得拋物線方程,注重基礎(chǔ)知識(shí)的考查;第(2)問(wèn)涉及直線、拋物線、三角函數(shù)和均值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合考查,要求考生在較為復(fù)雜的直線與拋物線的位置關(guān)系中,抓住解決問(wèn)題的本質(zhì),突出基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系和綜合運(yùn)用的考查,對(duì)考生思維靈活性的要求較高,該題不僅利于數(shù)學(xué)高考選拔功能的發(fā)揮[1],也利于檢驗(yàn)學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力.

    圖1

    2 變式延伸

    圓錐曲線的定點(diǎn)定值問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)的命題熱點(diǎn),常以函數(shù)、方程、不等式等為知識(shí)背景,以圓錐曲線和直線為橋梁,深入考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力等關(guān)鍵能力.圓錐曲線的定點(diǎn)定值問(wèn)題考查知識(shí)點(diǎn)范圍廣、運(yùn)算量大、綜合性強(qiáng),但考查題型和解題方法有跡可循.因此,以“第20題”第(2)問(wèn)為“生長(zhǎng)點(diǎn)”,通過(guò)變式探究拋物線定點(diǎn)定值問(wèn)題,既發(fā)揮一題多變的功效,也達(dá)成多題歸一的成效[2].

    2.1 定點(diǎn)問(wèn)題

    定點(diǎn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是在動(dòng)直線中找不動(dòng)點(diǎn),即定點(diǎn).解決該類問(wèn)題主要有兩種解題思路:一是找特殊值,根據(jù)題目已知條件尋找所求直線的特殊情況后猜想定點(diǎn),或結(jié)合圖象的特點(diǎn)與性質(zhì)找定點(diǎn),再進(jìn)行推理論證;二是通過(guò)求出直線方程,根據(jù)方程中參數(shù)之間的關(guān)系找出定點(diǎn).若直線方程為斜截式y(tǒng)=kx+b,則需根據(jù)已知條件找k與b之間的等量關(guān)系,進(jìn)而得到定點(diǎn);若直線方程為點(diǎn)斜式y(tǒng)-y1=k(x-x1),根據(jù)直線方程表達(dá)式即可得出定點(diǎn).在解題過(guò)程中,可通過(guò)巧設(shè)點(diǎn)和直線的方程來(lái)減少計(jì)算量,避免分類討論.本文不改變“第20題”題干中的已知條件,僅對(duì)第(2)問(wèn)的題設(shè)和結(jié)論進(jìn)行變式.

    變式1設(shè)直線MD,ND與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,證明直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

    圖2

    變式2如圖2,設(shè)直線MD,ND與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)O(坐標(biāo)原點(diǎn)).

    [y-(y1+y2)]2=16(1+4m2)·(1+m2),即[x-(8m2+4)]2+(y-4m)2=16(1+4m2)·(1+m2).

    化簡(jiǎn)得x2-(16m2+8)x+y2-8my=0,由方程可知,以AB為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(0,0).

    評(píng)析變式1和變式2是圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題的常規(guī)考法,根據(jù)題目已知條件設(shè)點(diǎn)和直線方程,再將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得出y1y2,y1+y2的值,根據(jù)直線斜率公式和巧設(shè)直線MD方程得出y3,y4分別與y2,y1之間的等量關(guān)系,進(jìn)而得出A,B坐標(biāo),最后根據(jù)兩點(diǎn)式和兩點(diǎn)間的距離公式分別得到AB的直線方程(變式1)和AB的長(zhǎng)度(變式2),進(jìn)而根據(jù)方程表達(dá)式即可判斷恒過(guò)的定點(diǎn).兩道變式簡(jiǎn)化了原試題,降低了運(yùn)算量,是定點(diǎn)問(wèn)題的常規(guī)模型;但變式2相較于變式1,是對(duì)定點(diǎn)問(wèn)題的進(jìn)一步拓展和延伸.在常規(guī)模型的基礎(chǔ)上適當(dāng)聯(lián)結(jié)直線、拋物線、圓等多方面知識(shí),豐富題型設(shè)置,這不僅利于學(xué)生體會(huì)該類問(wèn)題的通性通法和知識(shí)間的內(nèi)部銜接,也利于數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的提升以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的發(fā)展.

    2.2 定值問(wèn)題

    定值問(wèn)題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問(wèn)題,其問(wèn)題的本質(zhì)是求出定值[2].常見(jiàn)的解題方法主要有兩種:一是將題目條件的特殊值作為切入點(diǎn),求出定值,再驗(yàn)證該值不受運(yùn)動(dòng)的影響;二是直接設(shè)點(diǎn)的參數(shù)或直線斜率的參數(shù),通過(guò)消除變量簡(jiǎn)化運(yùn)算,進(jìn)而得到定值.在不改變“第20題”題干中的已知條件,僅對(duì)第(2)問(wèn)的題設(shè)和結(jié)論進(jìn)行變式.

    圖3

    變式3如圖3,設(shè)直線MD,ND與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,求證:△DMN與△DAB的面積之比為定值.

    圖4

    變式4如圖4,設(shè)直線MD,ND與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,過(guò)點(diǎn)A,B分別作拋物線C的切線,兩切線交點(diǎn)為P,證明點(diǎn)P在定直線上.

    評(píng)析變式3和變式4考查圓錐曲線定值問(wèn)題中的面積比、定直線問(wèn)題,其前部分的解題過(guò)程與變式1相同,不同點(diǎn)在于求得A,B坐標(biāo)之后,變式3涉及直線、拋物線、三角形面積公式、點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合考查,既不失題型的基礎(chǔ)性,又凸顯壓軸題的綜合性;變式4是證明點(diǎn)在定直線的特殊定值問(wèn)題,體現(xiàn)直線、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的橫縱聯(lián)系.該類型題目對(duì)學(xué)生思維的靈活性提出更高要求,能有效訓(xùn)練思維的敏捷性.對(duì)高考圓錐曲線試題進(jìn)行“再創(chuàng)造”,進(jìn)而探尋定值一類問(wèn)題的解題思路與方法,回歸本源命題熱點(diǎn),體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想,促進(jìn)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的提升.

    3 教學(xué)建議

    通過(guò)以上分析,對(duì)圓錐曲線??碱}型——定點(diǎn)定值問(wèn)題提出以下教學(xué)建議.

    3.1 巧變題源,提升效能

    著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出:“數(shù)學(xué)教育方法的核心是學(xué)生的再創(chuàng)造.”[3]而一類問(wèn)題通性通法的學(xué)習(xí),利于從整體上培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科思維、能力、素養(yǎng),是基本思想與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要獲取途徑,是長(zhǎng)久、可復(fù)制的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)[4].通過(guò)對(duì)高考圓錐曲線試題的再加工再創(chuàng)造,既能探尋拋物線定點(diǎn)定值問(wèn)題的通解通法,幫助學(xué)生領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng),又能拓寬知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)體系,體會(huì)知識(shí)的整體性.因此,教師在教學(xué)過(guò)程中針對(duì)高考試題進(jìn)行拓展變式,延伸知識(shí),能有效探尋其數(shù)學(xué)本質(zhì),發(fā)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,也能發(fā)揮高考“引導(dǎo)教學(xué)”功能[5]28,提升高考的教育教學(xué)效能.

    3.2 多向探析,回歸本源

    高考試題命制強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)性、綜合性[6],同時(shí)也強(qiáng)調(diào)“不同層面知識(shí)的縱向融會(huì)貫通,體現(xiàn)知識(shí)之間具備的內(nèi)在邏輯聯(lián)系”[5]30.一道高考數(shù)學(xué)試題蘊(yùn)含多個(gè)知識(shí)間的橫縱聯(lián)系,“找出知識(shí)的源頭、尋求正確的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵”[7].圓錐曲線定點(diǎn)定值問(wèn)題是高考命題熱點(diǎn),這類問(wèn)題常被用來(lái)與直線、圓與方程、導(dǎo)數(shù)、不等式、三角函數(shù)等知識(shí)一起進(jìn)行綜合考查,滲透多種數(shù)學(xué)思想與方法,能有效發(fā)揮數(shù)學(xué)高考的選拔功能.因此,教師在教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)對(duì)高考題進(jìn)行深入剖析,以一題為知識(shí)的衍生點(diǎn),多向探析與不同知識(shí)間的內(nèi)部聯(lián)系,既利于幫助學(xué)生回歸知識(shí)考查的數(shù)學(xué)本質(zhì),淡化解題技巧,消除解題固化思維,也利于教師把握高考命制的方向,達(dá)成觸類旁通、舉一反三的教學(xué)成效.

    3.3 以考促思,強(qiáng)化素養(yǎng)

    2022年高考數(shù)學(xué)命題堅(jiān)持學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向,注重基礎(chǔ)知識(shí)、關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)的考查,有效落實(shí)立德樹人根本任務(wù).“第20題”圓錐曲線問(wèn)題融匯多個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的綜合考查,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)均提出了更高要求.教學(xué)中教師應(yīng)深入剖析高考題的命制特點(diǎn),“準(zhǔn)確把握高考數(shù)學(xué)考查的內(nèi)容和要求,靈活分析和運(yùn)用不同類型的試題情境”[8],注重教學(xué)反思,把握高考試題命制新樣態(tài),以此促進(jìn)教與學(xué)的不斷“生長(zhǎng)”.對(duì)高考題源進(jìn)行變式延伸,探析知識(shí)考查的數(shù)學(xué)本質(zhì).這不僅利于“優(yōu)化思維品質(zhì),發(fā)展創(chuàng)新能力”[9],也利于強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

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