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    基于“大概念”的高三復(fù)習(xí)課探索
    ——以“隱形圓問題”為例

    2023-01-24 05:49:04馮宇斌翟榮俊
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年12期
    關(guān)鍵詞:大概念變式高三

    馮宇斌 翟榮俊

    (江蘇省無錫市洛社高級(jí)中學(xué) 214187)

    1 背景描述

    單元教學(xué)是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑.其中,“大概念”起到引領(lǐng)的作用.所謂“大概念”,是指能將眾多數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)成一個(gè)整體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)核心,它可以是一個(gè)具體的上位概念、重要命題或原理,也可以是一個(gè)數(shù)學(xué)主題、觀點(diǎn)或思想方法.例如,平面向量是一類重要的數(shù)學(xué)對(duì)象,溝通了幾何與代數(shù),是解決問題的有力工具,可以視作知識(shí)型大概念;換元法是代數(shù)變形的常用方法,起到簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)、突出實(shí)質(zhì)的作用,在函數(shù)、數(shù)列、不等式中都有體現(xiàn),可以視作方法型大概念;轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)解題的依據(jù)和導(dǎo)向,同時(shí)也是重要的數(shù)學(xué)思想方法,可以視作思想型大概念.

    圖3

    點(diǎn)評(píng)具體破解時(shí),可以從“數(shù)”的性質(zhì)角度,通過坐標(biāo)法來分析;或從“形”的特征角度,通過幾何法來處理.

    高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課,要依據(jù)高考復(fù)習(xí)背景與試卷講評(píng)的課型特征和學(xué)生實(shí)際,選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略,提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力,優(yōu)化應(yīng)試策略,為情境而教、為素養(yǎng)而教.

    2 教學(xué)設(shè)計(jì)

    例1已知Rt△ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0).

    (1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為;

    (2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程為.

    解(1)設(shè)AB中點(diǎn)為D(1,0),則CD=2,故C的軌跡是以D為圓心、2為半徑的圓(不含A,B),方程為(x-1)2+y2=4(y≠0).

    (2)設(shè)DB中點(diǎn)為N(2,0),則MN=1,故M的軌跡是以N為圓心、1為半徑的圓(不含D,B),方程為(x-2)2+y2=1(y≠0).

    (也可以設(shè)M(x,y),則C(2x-3,2y),代入(1)中的方程,同樣得出結(jié)果,注意不含D,B)

    小結(jié) ①定點(diǎn)(圓心)和定長(zhǎng)(半徑)是確定圓的兩個(gè)幾何要素;②根據(jù)具體問題,舍去一些不符合條件的點(diǎn).

    變式 (多選題)已知圓C的方程為x2+y2-4x=0.若直線y=k(x+1)上存在一點(diǎn)P,使過點(diǎn)P所作的圓的兩條切線相互垂直,則實(shí)數(shù)k的可能取值是( ).

    A.1 B.2 C.3 D.4

    設(shè)計(jì)意圖學(xué)會(huì)通過幾何分析,確定定點(diǎn)和定長(zhǎng)找出隱形圓.同時(shí)注意“增點(diǎn)”問題,加深對(duì)曲線方程這一概念的理解.

    思考 ①確定圓的幾何要素,除了圓心和半徑,還可以是什么?(CA⊥CB,或者說AB是圓的直徑)

    ②已知A(x1,y1),B(x2,y2)是圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn),求圓方程.

    該方程稱為圓的直徑式方程,簡(jiǎn)稱直徑圓方程.

    例2已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)均在圓C:(x-3)2+(y-4)2=r2外,且圓C上存在唯一一點(diǎn)P滿足AP⊥BP,那么半徑r的值為.

    小結(jié) 垂直這一幾何條件,往往隱含直徑圓.

    小結(jié) 本題從幾何角度難以直接得出點(diǎn)P的軌跡,通過設(shè)點(diǎn)用代數(shù)方法求出P的方程.并且有如下結(jié)論:平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比是定值(不等于0,1)的點(diǎn)的軌跡是圓,稱為阿波羅尼斯圓.

    變式1 已知兩定點(diǎn)A(-3,0),B(1,0), 若直線l:x+ay-2=0上一點(diǎn)M滿足MA2+MB2=16,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

    設(shè)計(jì)意圖例3及其變式的處理方法都是設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn),這是求軌跡方程的一般方法.同時(shí)學(xué)生意識(shí)到背景條件雖有變化,背后都是隱形圓,軌跡意識(shí)得到強(qiáng)化.

    例4(拓展)已知圓O:x2+y2=1,C:(x+1)2+y2=9,直線l與圓O相切,與圓C相交于A,B兩點(diǎn),分別以點(diǎn)A,B為切點(diǎn)作圓C的切線l1,l2,設(shè)直線l1,l2的交點(diǎn)為P,則OP的最小值為.

    設(shè)計(jì)意圖例4及其變式可視作隱形圓問題的延伸.例4是綜合問題,不僅要求學(xué)生具備較強(qiáng)的“動(dòng)點(diǎn)找軌跡”意識(shí),同時(shí)要熟悉基本模型;變式可以用常規(guī)解三角形的方法去做,較繁瑣.抓住條件CA+CB=3c=12>AB,本質(zhì)上是一個(gè)隱橢圓問題,從而建立坐標(biāo)系巧妙求解.

    課堂小結(jié),如圖1所示.

    圖1

    3 教學(xué)反思

    “大概念”組織高三復(fù)習(xí)課,更容易揭示知識(shí)間的聯(lián)系,提高學(xué)生解決綜合問題的能力.對(duì)于高一、高二的新授課,我們常提到單元教學(xué)、大概念……而對(duì)于高三復(fù)習(xí),筆者認(rèn)為更應(yīng)當(dāng)去強(qiáng)化、去落實(shí).高三學(xué)生具備了相當(dāng)多的知識(shí),積累了一定的方法和經(jīng)驗(yàn),但缺乏整體性的認(rèn)識(shí),高三復(fù)習(xí)需要解決知識(shí)、方法的孤立問題.先確定大概念,再精心選擇內(nèi)容相近、方法類似、本質(zhì)相同的問題,學(xué)生的數(shù)學(xué)視野一旦打開,能力、素養(yǎng)也會(huì)得到相應(yīng)的發(fā)展.例如,以多變量問題作為大概念去組織素材,消元、固元、基本不等式、函數(shù)思想等都可以容納進(jìn)去.

    “大概念”組織高三復(fù)習(xí)課,有助于解題方法的優(yōu)化和取舍,提升思維的深刻性.一題多解是高三復(fù)習(xí)課常采用的方式,能夠幫助學(xué)生打開思路.實(shí)際操作過程中,有一個(gè)問題常被忽視,就是如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)多種解法進(jìn)行評(píng)價(jià)、選擇、優(yōu)化,甚至取舍.同時(shí)也并不是所有問題都應(yīng)當(dāng)或值得去追求多解的.用“大概念”的觀點(diǎn)看待這個(gè)問題,就是要區(qū)分該方法是否是一般方法,其適用范圍是否廣泛.有了這樣的認(rèn)識(shí),我們才可能做到善于選擇,大膽舍棄,而不是刻意尋求多種解法,降低課堂效率的同時(shí)浪費(fèi)寶貴的時(shí)間.

    編者按為密切編輯部與中學(xué)的聯(lián)系,本刊編委第28次“走進(jìn)課堂”,于2022年9月15日赴江蘇省句容高級(jí)中學(xué)觀課議課.江蘇省句容高級(jí)中學(xué)由句容文化名人丁宣孝先生創(chuàng)建于1926年,建校以來,雖歷經(jīng)風(fēng)雨滌蕩,幾易校名,但終能弦歌不輟,薪火相續(xù).近百年砥礪風(fēng)雨,學(xué)校積淀了豐富而深厚的文化底蘊(yùn).學(xué)校秉承“誠(chéng)·毅”校訓(xùn),大力打造“誠(chéng)毅果行,守正出新”的精神文化,形成了“愛國(guó)、守紀(jì)、勤奮、健美”的校風(fēng),“敬業(yè)、奉獻(xiàn)、求實(shí)、創(chuàng)新”的教風(fēng)和“奮發(fā)、探索、團(tuán)結(jié)、進(jìn)取”的學(xué)風(fēng).學(xué)校曾獲“江蘇省文明單位”“江蘇省實(shí)施素質(zhì)教育先進(jìn)學(xué)?!钡榷囗?xiàng)省部級(jí)集體榮譽(yù).近幾年來,承載著創(chuàng)建“高品質(zhì)示范高中”的夢(mèng)想,全校上下立足新起點(diǎn),瞄準(zhǔn)高目標(biāo),堅(jiān)持“以人為本,立德為先,民主和諧,全面發(fā)展”的辦學(xué)理念,著眼于校園文化建設(shè),在努力使所有學(xué)生得到充分發(fā)展的同時(shí),積極促進(jìn)教師素質(zhì)的全面提升,爭(zhēng)取大幅度提高教育教學(xué)質(zhì)量,以期使學(xué)校綜合辦學(xué)績(jī)效獲得社會(huì)的更廣泛認(rèn)可.

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