巧設(shè)變式 溯知本源
——2022年全國甲卷理科第20題的變式探究與思考*

游金鳳

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650504)

黃賽春

(云南省昆明市官渡區(qū)鐘英中學(xué) 650214)

劉冰楠

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650504)

1 試題再現(xiàn)

2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科第20題(以下簡稱“第20題”)表述如下：

設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，點D(p,0)，過F的直線交拋物線C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，MF=3．

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)直線MD，ND與拋物線C的另一個交點分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β，當α-β取得最大值時，求直線AB的方程．

評析該題綜合考查直線、拋物線、三角函數(shù)、均值不等式的基本概念和性質(zhì)，滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，著力考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).其中，第(1)問屬于圓錐曲線的常規(guī)題型，需根據(jù)已知條件列方程、解參數(shù)、得拋物線方程，注重基礎(chǔ)知識的考查；第(2)問涉及直線、拋物線、三角函數(shù)和均值不等式等基礎(chǔ)知識的綜合考查，要求考生在較為復(fù)雜的直線與拋物線的位置關(guān)系中，抓住解決問題的本質(zhì)，突出基礎(chǔ)知識內(nèi)在聯(lián)系和綜合運用的考查，對考生思維靈活性的要求較高，該題不僅利于數(shù)學(xué)高考選拔功能的發(fā)揮[1]，也利于檢驗學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力.

圖1

2 變式延伸

圓錐曲線的定點定值問題是高考數(shù)學(xué)的命題熱點，常以函數(shù)、方程、不等式等為知識背景，以圓錐曲線和直線為橋梁，深入考查學(xué)生的運算求解能力、邏輯思維能力等關(guān)鍵能力.圓錐曲線的定點定值問題考查知識點范圍廣、運算量大、綜合性強，但考查題型和解題方法有跡可循.因此，以“第20題”第(2)問為“生長點”，通過變式探究拋物線定點定值問題，既發(fā)揮一題多變的功效，也達成多題歸一的成效[2].

2.1 定點問題

定點問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是在動直線中找不動點，即定點.解決該類問題主要有兩種解題思路：一是找特殊值，根據(jù)題目已知條件尋找所求直線的特殊情況后猜想定點，或結(jié)合圖象的特點與性質(zhì)找定點，再進行推理論證；二是通過求出直線方程，根據(jù)方程中參數(shù)之間的關(guān)系找出定點.若直線方程為斜截式y(tǒng)=kx+b，則需根據(jù)已知條件找k與b之間的等量關(guān)系，進而得到定點；若直線方程為點斜式y(tǒng)-y1=k(x-x1)，根據(jù)直線方程表達式即可得出定點.在解題過程中，可通過巧設(shè)點和直線的方程來減少計算量，避免分類討論.本文不改變“第20題”題干中的已知條件，僅對第(2)問的題設(shè)和結(jié)論進行變式.

變式1設(shè)直線MD，ND與拋物線C的另一個交點分別為A，B，證明直線AB經(jīng)過定點．

圖2

變式2如圖2，設(shè)直線MD，ND與拋物線C的另一個交點分別為A，B，求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過定點O(坐標原點)．

[y-(y1+y2)]2=16(1+4m2)·(1+m2)，即[x-(8m2+4)]2+(y-4m)2=16(1+4m2)·(1+m2).

化簡得x2-(16m2+8)x+y2-8my=0，由方程可知，以AB為直徑的圓過定點(0,0)．

評析變式1和變式2是圓錐曲線定點問題的常規(guī)考法，根據(jù)題目已知條件設(shè)點和直線方程，再將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得出y1y2，y1+y2的值，根據(jù)直線斜率公式和巧設(shè)直線MD方程得出y3,y4分別與y2,y1之間的等量關(guān)系，進而得出A,B坐標，最后根據(jù)兩點式和兩點間的距離公式分別得到AB的直線方程(變式1)和AB的長度(變式2)，進而根據(jù)方程表達式即可判斷恒過的定點.兩道變式簡化了原試題，降低了運算量，是定點問題的常規(guī)模型；但變式2相較于變式1，是對定點問題的進一步拓展和延伸.在常規(guī)模型的基礎(chǔ)上適當聯(lián)結(jié)直線、拋物線、圓等多方面知識，豐富題型設(shè)置，這不僅利于學(xué)生體會該類問題的通性通法和知識間的內(nèi)部銜接，也利于數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的提升以及分析問題、解決問題能力的發(fā)展.

2.2 定值問題

定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，其問題的本質(zhì)是求出定值[2].常見的解題方法主要有兩種：一是將題目條件的特殊值作為切入點，求出定值，再驗證該值不受運動的影響；二是直接設(shè)點的參數(shù)或直線斜率的參數(shù)，通過消除變量簡化運算，進而得到定值.在不改變“第20題”題干中的已知條件，僅對第(2)問的題設(shè)和結(jié)論進行變式.

圖3

變式3如圖3，設(shè)直線MD，ND與拋物線C的另一個交點分別為A，B，求證：△DMN與△DAB的面積之比為定值．

圖4

變式4如圖4，設(shè)直線MD，ND與拋物線C的另一個交點分別為A，B，過點A，B分別作拋物線C的切線，兩切線交點為P，證明點P在定直線上.

評析變式3和變式4考查圓錐曲線定值問題中的面積比、定直線問題，其前部分的解題過程與變式1相同，不同點在于求得A，B坐標之后，變式3涉及直線、拋物線、三角形面積公式、點到直線的距離公式和兩點距離公式等基礎(chǔ)知識的綜合考查，既不失題型的基礎(chǔ)性，又凸顯壓軸題的綜合性；變式4是證明點在定直線的特殊定值問題，體現(xiàn)直線、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)等知識的橫縱聯(lián)系.該類型題目對學(xué)生思維的靈活性提出更高要求，能有效訓(xùn)練思維的敏捷性.對高考圓錐曲線試題進行“再創(chuàng)造”，進而探尋定值一類問題的解題思路與方法，回歸本源命題熱點，體會其中蘊含的數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，促進數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的提升.

3 教學(xué)建議

通過以上分析，對圓錐曲線常考題型——定點定值問題提出以下教學(xué)建議.

3.1 巧變題源，提升效能

著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“數(shù)學(xué)教育方法的核心是學(xué)生的再創(chuàng)造.”[3]而一類問題通性通法的學(xué)習(xí),利于從整體上培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科思維、能力、素養(yǎng)，是基本思想與活動經(jīng)驗的重要獲取途徑，是長久、可復(fù)制的學(xué)習(xí)經(jīng)驗[4].通過對高考圓錐曲線試題的再加工再創(chuàng)造，既能探尋拋物線定點定值問題的通解通法，幫助學(xué)生領(lǐng)悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，又能拓寬知識的網(wǎng)絡(luò)體系，體會知識的整體性.因此，教師在教學(xué)過程中針對高考試題進行拓展變式，延伸知識，能有效探尋其數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)知識的內(nèi)在聯(lián)系，也能發(fā)揮高考“引導(dǎo)教學(xué)”功能[5]28，提升高考的教育教學(xué)效能.

3.2 多向探析，回歸本源

高考試題命制強調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)性、綜合性[6]，同時也強調(diào)“不同層面知識的縱向融會貫通，體現(xiàn)知識之間具備的內(nèi)在邏輯聯(lián)系”[5]30.一道高考數(shù)學(xué)試題蘊含多個知識間的橫縱聯(lián)系,“找出知識的源頭、尋求正確的關(guān)聯(lián)點是解決問題的關(guān)鍵”[7].圓錐曲線定點定值問題是高考命題熱點，這類問題常被用來與直線、圓與方程、導(dǎo)數(shù)、不等式、三角函數(shù)等知識一起進行綜合考查，滲透多種數(shù)學(xué)思想與方法，能有效發(fā)揮數(shù)學(xué)高考的選拔功能.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)有意識對高考題進行深入剖析，以一題為知識的衍生點，多向探析與不同知識間的內(nèi)部聯(lián)系，既利于幫助學(xué)生回歸知識考查的數(shù)學(xué)本質(zhì)，淡化解題技巧，消除解題固化思維，也利于教師把握高考命制的方向，達成觸類旁通、舉一反三的教學(xué)成效.

3.3 以考促思，強化素養(yǎng)

2022年高考數(shù)學(xué)命題堅持學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向，注重基礎(chǔ)知識、關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)的考查，有效落實立德樹人根本任務(wù).“第20題”圓錐曲線問題融匯多個知識點間的綜合考查，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)均提出了更高要求.教學(xué)中教師應(yīng)深入剖析高考題的命制特點，“準確把握高考數(shù)學(xué)考查的內(nèi)容和要求，靈活分析和運用不同類型的試題情境”[8]，注重教學(xué)反思，把握高考試題命制新樣態(tài)，以此促進教與學(xué)的不斷“生長”.對高考題源進行變式延伸，探析知識考查的數(shù)學(xué)本質(zhì).這不僅利于“優(yōu)化思維品質(zhì)，發(fā)展創(chuàng)新能力”[9]，也利于強化數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).