高校數(shù)學(xué)課程教學(xué)的改革與思考
——以圖論課程教學(xué)改革為例

◎劉長(zhǎng)春

(吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

一、引 言

圖論是離散數(shù)學(xué)的重要分支，也是綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課.隨著大數(shù)據(jù)和互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，圖論受到廣泛的重視，它在計(jì)算機(jī)科學(xué)、通信工程、金融與管理等方面都有著廣泛的應(yīng)用.它不同于微積分、常微分方程、實(shí)變函數(shù)、數(shù)學(xué)物理方程等課程，它主要訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維能力、離散數(shù)學(xué)方面的思維能力.另一方面，許多圖論問(wèn)題都具有實(shí)際背景，能夠培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力.圖論課程內(nèi)容非常多，并且不同于分析性質(zhì)的課程，環(huán)環(huán)相扣，承上啟下，它的各部分內(nèi)容可能毫不相關(guān)，概念多，解決問(wèn)題的方法似乎雜亂無(wú)章，不能統(tǒng)一概括，課堂上需要不斷引入新概念、新結(jié)論，學(xué)生思考的時(shí)間少，師生互動(dòng)少，學(xué)生經(jīng)常感到該門課程抽象、難以理解和接受，甚至對(duì)該門課程產(chǎn)生厭倦心理.近年來(lái)，許多學(xué)者已經(jīng)開(kāi)始重視圖論教學(xué)的改革[1-4].我們也一直在對(duì)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生圖論課程的理論教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行改革與實(shí)踐.我們希望通過(guò)進(jìn)一步系統(tǒng)、深入、全面地進(jìn)行圖論課程的教學(xué)改革與實(shí)踐，爭(zhēng)取達(dá)到學(xué)生在教師講解后能自主學(xué)習(xí)，促進(jìn)科學(xué)研究、當(dāng)今科研領(lǐng)域前沿?zé)狳c(diǎn)與教學(xué)的緊密結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，完善素質(zhì)教育模式.

二、教學(xué)中某些改革嘗試

圖論課程的特點(diǎn)是理論性強(qiáng)、邏輯思維強(qiáng)、證明的技巧性強(qiáng)、抽象難懂.盡管圖論問(wèn)題來(lái)源于實(shí)際，具有深刻的背景，本應(yīng)該成為學(xué)生喜愛(ài)的課程，但目前圖論課程教學(xué)方法單一，重理論輕應(yīng)用，理論顯得抽象、空洞.這些情況，使得學(xué)生學(xué)習(xí)圖論的熱情不高，缺乏學(xué)習(xí)興趣.板書式的經(jīng)典教學(xué)模式難以直接反映圖論學(xué)科發(fā)展的特點(diǎn)，傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容陳舊很難跟上學(xué)科發(fā)展的前沿，課堂教學(xué)學(xué)時(shí)少，教學(xué)內(nèi)容少，各種應(yīng)用很強(qiáng)的算法少，學(xué)習(xí)層次較淺.傳統(tǒng)的教學(xué)方式側(cè)重于基礎(chǔ)知識(shí)、基本定義的講解，重要定理和理論的邏輯推導(dǎo)，缺乏基本概念引入的實(shí)際背景介紹.對(duì)于定理的講解主要是給出詳細(xì)的證明過(guò)程和認(rèn)真細(xì)致的推導(dǎo)，缺少對(duì)學(xué)生觀察分析能力的培養(yǎng)，缺失對(duì)學(xué)生抽象思維和定理證明思想的訓(xùn)練.傳統(tǒng)的教學(xué)方式和教學(xué)內(nèi)容很難適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的需要.探求提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，改變理論課教學(xué)的被動(dòng)局面，以研促教，科教融合以及加強(qiáng)學(xué)生的思政教育等適應(yīng)信息時(shí)代發(fā)展的教學(xué)方法和手段勢(shì)在必行.為此，我們要探究新時(shí)代下圖論課程創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式，并通過(guò)實(shí)踐來(lái)探索新時(shí)代下圖論課程的改革與實(shí)踐.我們通過(guò)教學(xué)總結(jié)出以下幾點(diǎn).

1.通過(guò)有趣的例子講解復(fù)雜的理論，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情

圖論課程邏輯思維較強(qiáng)，一些理論、概念比較抽象難懂，學(xué)生很難短時(shí)間理解和掌握.在講授過(guò)程中，我們將抽象理論與有趣的例子相結(jié)合，通過(guò)實(shí)際例子讓學(xué)生易于理解和容易接受復(fù)雜的理論等.如：可以將Konigsberg七橋問(wèn)題抽象成具體的圖論的頂點(diǎn)和邊的關(guān)系問(wèn)題.講Euler環(huán)游一節(jié)時(shí)的重要結(jié)論“一個(gè)非空連通圖是Euler圖當(dāng)且僅當(dāng)它沒(méi)有奇點(diǎn)”的證明復(fù)雜難懂，讓大多數(shù)學(xué)生聚精會(huì)神聽(tīng)完證明很難，如把它和一筆畫等有趣問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生會(huì)非常感興趣.其他如地圖著色問(wèn)題、最短路問(wèn)題、Ramsey 數(shù)、Hamilton 環(huán)球旅行游戲[5，6]等有趣而實(shí)際的例子可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，進(jìn)而喜歡圖論課程.同時(shí)，在講解復(fù)雜定理的證明時(shí)，首先讓學(xué)生能馬上理解我們的證明思路，避免由于證明過(guò)程冗長(zhǎng)和復(fù)雜運(yùn)算掩蓋和模糊了推理的精神實(shí)質(zhì).將問(wèn)題進(jìn)行了合理的簡(jiǎn)化處理，突出主要特點(diǎn)和主要理論，避免繁復(fù)的計(jì)算和推導(dǎo)而忽視了問(wèn)題的本質(zhì).

2.訓(xùn)練學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題變成圖論問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)理論和實(shí)踐的完美結(jié)合

圖論教學(xué)不僅要求學(xué)生掌握?qǐng)D論基本概念和理論，更重要的是訓(xùn)練學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題抽象成為圖論問(wèn)題，并利用圖論的相關(guān)理論來(lái)求解實(shí)際問(wèn)題的能力.而這樣的解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是需要通過(guò)圖論教學(xué)循序漸進(jìn)地培養(yǎng)的，因此在講授的內(nèi)容能與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合時(shí)，教師要提前去發(fā)掘相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題去訓(xùn)練學(xué)生.如在講授頂點(diǎn)的度一節(jié)時(shí)，可以把“人群中總有兩人具有相同的朋友數(shù)”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單圖中，存在度相等的兩個(gè)頂點(diǎn)”問(wèn)題.其他如信息傳輸問(wèn)題、交通網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化成圖論問(wèn)題.這樣學(xué)生增加了學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)學(xué)生的建模能力也進(jìn)一步得到提高，達(dá)到訓(xùn)練本科生利用圖論解決問(wèn)題的目的.數(shù)學(xué)建模是實(shí)現(xiàn)把圖論理論應(yīng)用到實(shí)際的重要方式，現(xiàn)在越來(lái)越多的教學(xué)科研人員逐漸重視圖論在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[7].通過(guò)數(shù)學(xué)建模，把實(shí)際問(wèn)題變成圖論問(wèn)題，這樣學(xué)生即學(xué)會(huì)了相關(guān)的圖論理論，又能把所學(xué)重要結(jié)論在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)理論和實(shí)踐的完美結(jié)合，達(dá)到新時(shí)代圖論人才培養(yǎng)的目標(biāo).

3.引入當(dāng)今科學(xué)研究前沿，簡(jiǎn)介學(xué)科新成就，以研促教，科教融合

綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)教育的目標(biāo)是培養(yǎng)勝任相關(guān)專業(yè)及能夠從事科研工作的人才.因此，在牢固地掌握理論知識(shí)的同時(shí)，又要為從事科學(xué)研究培養(yǎng)初步能力.結(jié)合專業(yè)課學(xué)習(xí)進(jìn)行科研興趣和能力的培養(yǎng).本科生的創(chuàng)造性在全面性基礎(chǔ)上具有專業(yè)性特點(diǎn)，學(xué)生有大量的時(shí)間與專業(yè)課教師接觸，大量的專業(yè)問(wèn)題等待去解決，教師充分利用這個(gè)陣地，傳播科學(xué)知識(shí)與科研精神，幫助學(xué)生確定選題，讓學(xué)生利用該門課程所學(xué)的知識(shí)去解決問(wèn)題.這樣既能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)該門課程的主動(dòng)性和積極性，改變教學(xué)的被動(dòng)局面，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的科研興趣.在理論知識(shí)的講解中，注意科學(xué)前沿和最新科研成果的介紹.如介紹在信息科學(xué)、生命科學(xué)等領(lǐng)域的超圖(Hypergraph)的進(jìn)展，以及我國(guó)在超圖方面取得的進(jìn)展.另一方面，可以給有能力和對(duì)圖論感興趣的同學(xué)一些小的科研問(wèn)題，鼓勵(lì)組成學(xué)習(xí)小組進(jìn)行討論，讓同學(xué)們?nèi)ゲ檎蚁嚓P(guān)資料，了解問(wèn)題研究的歷史和現(xiàn)狀，然后能否通過(guò)課堂學(xué)的內(nèi)容解決問(wèn)題，達(dá)到對(duì)本科生進(jìn)行科研訓(xùn)練的目的.

4.講解相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件，培養(yǎng)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的能力

傳統(tǒng)的基礎(chǔ)教學(xué)注重理論性，缺乏實(shí)際應(yīng)用，對(duì)后續(xù)的其他專業(yè)課程幫助不大.我們要在授課中突出知識(shí)的應(yīng)用思想，重視基礎(chǔ)、鼓勵(lì)創(chuàng)新.圖論中有大量算法如最短路問(wèn)題的Dijkstra 算法、最大流問(wèn)題的標(biāo)號(hào)算法、最小生成樹(shù)問(wèn)題的Kruskal 算法、最大匹配的匈牙利算法等等.圖論中的這些算法是教學(xué)中非常重要的內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的興趣和運(yùn)用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的能力是非常有益的.近年來(lái)，許多學(xué)者開(kāi)始探討計(jì)算機(jī)在圖論教學(xué)中的重要應(yīng)用[8].教學(xué)中注重講解相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件如Matlab等，培養(yǎng)學(xué)生利用電腦解決實(shí)際問(wèn)題的能力，利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)這些算法.圖論中的許多問(wèn)題都能轉(zhuǎn)化成優(yōu)化問(wèn)題.因此，我們?cè)谑谡n時(shí)將數(shù)學(xué)軟件作為輔助教學(xué)的工具，將理論教學(xué)和軟件使用融為一體，使學(xué)生更加深刻地理解相關(guān)理論和算法，提高課堂教學(xué)效率.在圖論教學(xué)中使用數(shù)學(xué)軟件，有助于加深學(xué)生對(duì)抽象理論與算法的理解，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，提高學(xué)生應(yīng)用軟件解決問(wèn)題的能力.通過(guò)圖論的學(xué)習(xí)，可以促進(jìn)學(xué)生其他課程的學(xué)習(xí)和理解如計(jì)算方法課程、C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)等.

5.有選擇性并及時(shí)講解典型習(xí)題，提高學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解

圖論課后習(xí)題對(duì)于鞏固學(xué)習(xí)的新知識(shí)、檢驗(yàn)學(xué)習(xí)的效果、提升思考能力具有重要作用.圖論的課后習(xí)題具有很強(qiáng)的針對(duì)性，有的甚至是課堂內(nèi)容的補(bǔ)充和推廣.習(xí)題的講解能讓學(xué)生更好地掌握和鞏固所學(xué)的理論知識(shí)，促進(jìn)對(duì)新的內(nèi)容的理解和學(xué)習(xí).圖論課程邏輯思維強(qiáng)，習(xí)題難度較大.首先，講課時(shí)要指出本章的典型題目，便于學(xué)生理解和掌握該章重點(diǎn).其次，講解習(xí)題時(shí)要有所側(cè)重，由簡(jiǎn)入繁，進(jìn)而選擇綜合性題目.圖論的一些習(xí)題是對(duì)課堂所講內(nèi)容的完善和補(bǔ)充.對(duì)習(xí)題及時(shí)講解既能增強(qiáng)對(duì)所學(xué)理論的理解更能進(jìn)一步增加新的理論和知識(shí)，使學(xué)生的相關(guān)思維能力得到提升.

6.適當(dāng)介紹一些數(shù)學(xué)家的事跡，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的勵(lì)志教育

授課教師把重心集中于專業(yè)知識(shí)的傳授，往往忽略了對(duì)學(xué)生理想信念的教育，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)課程頂層設(shè)計(jì)，開(kāi)展專業(yè)課程理論知識(shí)和理想信念相結(jié)合的教育方式.增強(qiáng)理想信念教育元素，將育人放在教學(xué)的首位，通過(guò)梳理其中所蘊(yùn)含的理想信念教育元素和所承載的思想教育功能，通過(guò)打破專業(yè)教育壁壘，把理想信念教育自然地滲透到教學(xué)內(nèi)容當(dāng)中.Euler、Cayley、Hamilton、管梅谷等數(shù)學(xué)家在圖論方面做出了重要貢獻(xiàn)，在教學(xué)中，適當(dāng)介紹他們的一些事跡，可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行勵(lì)志教育.如在介紹Konigsberg七橋問(wèn)題時(shí)，介紹數(shù)學(xué)家Euler的事跡；講四色問(wèn)題時(shí)可以介紹英國(guó)數(shù)學(xué)家Cayley；講授中國(guó)郵遞員問(wèn)題時(shí)，可以介紹管梅谷教授的事跡.通過(guò)這些數(shù)學(xué)家的介紹，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到做科研要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真，促進(jìn)行為思政教育.培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立刻苦鉆研、思維嚴(yán)謹(jǐn)、工作求實(shí)的作風(fēng).同時(shí)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到科研絕不是一朝一夕的投機(jī)取巧，需要付出艱辛的努力和孜孜不倦的探索，從本科階段培養(yǎng)獻(xiàn)身科研，拼搏進(jìn)取的基本精神.

7.建立多種考核方法，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

在本科教學(xué)中，學(xué)生非常注重成績(jī)，教學(xué)中的各種改革都需要與成績(jī)密切相關(guān)，否則可能根本達(dá)不到目的.利用綜合作業(yè)、小組合作學(xué)習(xí)和專題小論文等體現(xiàn)結(jié)果的形式進(jìn)行評(píng)價(jià).建立注重基礎(chǔ)和能力、注重交流和創(chuàng)新的考核方式，形成“作業(yè)與報(bào)告相結(jié)合，考試與討論相結(jié)合，實(shí)踐與科研相結(jié)合”的綜合考核方式.針對(duì)圖論課程內(nèi)容多、概念多且各部分互不關(guān)聯(lián)的特點(diǎn)，通過(guò)合理安排階段學(xué)習(xí)，利用過(guò)程性評(píng)價(jià)等考核方式，讓學(xué)生完成基本知識(shí)的學(xué)習(xí)，利用翻轉(zhuǎn)課堂可以讓學(xué)生講解簡(jiǎn)單的基本定理和結(jié)論，然后教師做出評(píng)價(jià)給分等考核.

8.利用在線課程的資源，在線學(xué)習(xí)有關(guān)課程內(nèi)容，提高教學(xué)效果

由于線下學(xué)時(shí)有限，網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)為拓展教學(xué)內(nèi)容范圍提供了條件.現(xiàn)在網(wǎng)上資源非常豐富，為實(shí)現(xiàn)深層次學(xué)習(xí)提供了足夠的資源.教師提前將授課相關(guān)的資料上傳至微信群供學(xué)生學(xué)習(xí)；借助微信群在混合式教學(xué)中將更進(jìn)一步的理論知識(shí)等春風(fēng)化雨潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地融入教學(xué)全過(guò)程.混合式教學(xué)將在線教學(xué)和傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)結(jié)合起來(lái)的一種“線上”+“線下”的教學(xué)，把學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)由淺到深地引向深度學(xué)習(xí)，同時(shí)還要充分利用MOOC、翻轉(zhuǎn)課堂、資源共享課等資源，達(dá)到提高教學(xué)效果，豐富學(xué)生的知識(shí)體系，幫助學(xué)生更好地了解圖論的研究背景和發(fā)展?fàn)顩r的目的.教師在利用網(wǎng)絡(luò)資源豐富同學(xué)視野的同時(shí)，也應(yīng)該提出一些相關(guān)問(wèn)題，讓學(xué)生帶著問(wèn)題去思考、去查資料，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)更深入的知識(shí).隨著網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的深入，教師應(yīng)適時(shí)地根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、知識(shí)儲(chǔ)備等對(duì)學(xué)生進(jìn)行個(gè)性化指導(dǎo).根據(jù)大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目的特點(diǎn)、全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模和美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模的題型、畢業(yè)論文的要求等把合適的專業(yè)資料推薦給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入地、有目標(biāo)地學(xué)習(xí)，從而達(dá)到學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、主動(dòng)思考、勤于查資料的目的.

9.建立課外興趣小組，達(dá)到學(xué)以致用的目的

讓對(duì)圖論感興趣的同學(xué)組成興趣小組，在課下可以討論相關(guān)問(wèn)題.強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主參與，自愿組合，充分發(fā)揮學(xué)生的個(gè)性.學(xué)生的主體作用得到充分發(fā)揮，所學(xué)知識(shí)得到運(yùn)用，學(xué)生的獨(dú)立性、責(zé)任心得到進(jìn)一步發(fā)展.興趣小組的學(xué)生在學(xué)習(xí)一段時(shí)間以后，教師可以與市內(nèi)交警隊(duì)建立聯(lián)系，讓學(xué)生利用所學(xué)線性規(guī)劃和圖論知識(shí)考慮市內(nèi)交通流，紅綠燈控制等問(wèn)題，以及與市內(nèi)各大醫(yī)院聯(lián)系考慮患者排隊(duì)問(wèn)題等，讓學(xué)生真正體會(huì)到知識(shí)的用處，促進(jìn)學(xué)習(xí).

10.發(fā)揮教師的個(gè)人學(xué)術(shù)能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性

課堂生動(dòng)有趣、精彩高效是每名教師都追求的夢(mèng)想.教師經(jīng)常通過(guò)改變教學(xué)方法，采取各種靈活多樣的方式吸引學(xué)生的注意力、調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性.更重要的是教師自身也要注意提高個(gè)人的學(xué)術(shù)水平，如發(fā)表一些這方面的科研論文，介紹一些自己的研究成果，達(dá)到讓學(xué)生敬慕，進(jìn)而讓學(xué)生喜歡上該門課程的目的.教師同時(shí)應(yīng)該提高教學(xué)水平、豐富圖論方面的知識(shí)，讓學(xué)生感覺(jué)到教師知識(shí)淵博，感覺(jué)到該門課程前景遠(yuǎn)大，進(jìn)而能主動(dòng)學(xué)習(xí)，積極向教師請(qǐng)教問(wèn)題.教師在課堂教學(xué)中所表現(xiàn)出來(lái)的個(gè)人魅力、學(xué)術(shù)水平等對(duì)學(xué)生具有極大的影響.教師積極的言傳身教有利于提升學(xué)生對(duì)圖論的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)能激發(fā)教師的教學(xué)熱情，達(dá)到教學(xué)相長(zhǎng)的良好氛圍.

三、結(jié) 語(yǔ)

上面所總結(jié)的幾條在教學(xué)過(guò)程中活躍了課堂氣氛，促進(jìn)了學(xué)生知識(shí)的增長(zhǎng)，培養(yǎng)了學(xué)生樹(shù)立刻苦鉆研、思維嚴(yán)謹(jǐn)、工作求實(shí)的作風(fēng)，能夠達(dá)到思政教育的目的，在學(xué)生參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模和美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽、大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃等實(shí)際問(wèn)題中具有一定的促進(jìn)作用.以研促教、科教融合的措施對(duì)于研究生期間從事圖論研究的學(xué)生來(lái)說(shuō)，能夠起到承上啟下的作用.