加權(quán)源偽拋物型方程解的爆破時(shí)間的上下界

伍日廣，鐘延生

(福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 福州 350117)

本文研究了以下初始邊值問(wèn)題解的爆破時(shí)間的上下界估計(jì)

(1)

眾所周知，非線性偽拋物型方程常見(jiàn)于對(duì)流體動(dòng)力學(xué)、熱力學(xué)和過(guò)濾理論等各種問(wèn)題的研究中，文獻(xiàn)[1]研究了方程

ut-△ut-△u=a(x)f(u)，

(2)

在狄利克雷(或諾伊曼)邊界條件下的爆破時(shí)間與爆破速率的上下界估計(jì).此類方程具有廣泛的物理背景和豐富的理論內(nèi)涵，并且可以看作是通過(guò)添加色散項(xiàng)△ut的加權(quán)源半線性熱方程的正則化.文獻(xiàn)[2]則考慮了下列問(wèn)題

(3)

同樣也對(duì)其相應(yīng)的爆破界進(jìn)行了估計(jì).本文的研究受文獻(xiàn)[1]啟發(fā)，在非線性擴(kuò)散、非線性反應(yīng)和非線性吸收的多重作用下，將估計(jì)問(wèn)題(1)解的爆破時(shí)間上下界.關(guān)于拋物型方程解的爆破時(shí)間界的問(wèn)題，可參考文獻(xiàn)[1-9].

1 爆破時(shí)間的上界估計(jì)

在本節(jié)中，將分別建立關(guān)于狄利克雷邊界條件和諾伊曼邊界條件下問(wèn)題(1)解的爆破時(shí)間上界的一些估計(jì).

1.1 狄利克雷邊界條件

為了得到本小節(jié)的結(jié)果，首先假設(shè):

然后，定義輔助函數(shù)

(4)

定理1假設(shè)條件a1(或a2)、f1、f2、g1成立，u是狄利克雷邊界條件下問(wèn)題(1)的解.則解u在t=t*時(shí)以H1范數(shù)爆破，并給出了爆破時(shí)間t*的一個(gè)上界

(5)

證明 首先對(duì)輔助函數(shù)(4)關(guān)于變量t求偏導(dǎo)，再利用(1)中的第一個(gè)式子，則可得

(6)

(7)

(8)

再利用施瓦茲不等式和楊氏不等式，可得

(9)

(10)

(11)

將式(9)-(11)代入式(8)中可得

(12)

因此，上述式(12)意味著

(13)

(14)

則對(duì)于式(12)，有

(15)

再對(duì)式(15)在0到t進(jìn)行積分，可得

(16)

因?yàn)棣贰?t)>Φ1(t)，所以

(17)

同樣對(duì)式(17)在0到t進(jìn)行積分，可得

(18)

顯然，式(18)不可能在所有時(shí)刻都成立.因此，u的H1范數(shù)在某一有限時(shí)間t*爆破且

(19)

則定理得證.

1.2 諾伊曼邊界條件

在本節(jié)中，將建立關(guān)于諾伊曼邊界條件下問(wèn)題(1)解的爆破時(shí)間上界的一些估計(jì).為了得到本小節(jié)的結(jié)果，首先定義輔助函數(shù)

(20)

定理2假設(shè)條件a1(或a2)成立，u是諾伊曼邊界條件下問(wèn)題(1)的非負(fù)解.則u在t=t*時(shí),以L1范數(shù)爆破，并給出了爆破時(shí)間t*的一個(gè)上界

(21)

證明 首先對(duì)輔助函數(shù)(20)關(guān)于變量t求偏導(dǎo)，并利用問(wèn)題(1)中的第一個(gè)式子，可得

(22)

則由楊氏不等式

(23)

(24)

再利用霍爾德不等式，可得

(25)

對(duì)式(25)進(jìn)行0到t*上的積分，則爆破時(shí)間的上界為

(26)

2 爆破時(shí)間的下界估計(jì)

在本節(jié)中，將建立關(guān)于狄利克雷(或諾伊曼)邊界條件下問(wèn)題(1) 解的爆破時(shí)間下界的估計(jì).為了得到本小節(jié)的結(jié)果，首先定義輔助函數(shù)

(27)

定理3假設(shè)條件a1(或a2)成立，u是狄利克雷(或諾伊曼)邊界條件下問(wèn)題(1)的非負(fù)解.則解u在t=t*時(shí),以H1范數(shù)爆破，并給出了爆破時(shí)間t*的一個(gè)下界

(28)

證明 首先對(duì)輔助函數(shù)(27)關(guān)于變量t求偏導(dǎo)，并利用問(wèn)題(1)中的第一個(gè)式子，可得

(29)

再利用霍爾德不等式，可得

Ψ′(t)≤K2Ψ(t)q-K3Ψl,

(30)

其中

(31)

最后在0到t*上對(duì)式(30)進(jìn)行積分，可得

(32)

則式(32)為爆破時(shí)間的下界.