基于課程思政理念下概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革與實(shí)踐探索

徐旭華，趙春燕，李玲，王妍，鐘琴，陳相兵，李亮

（1.四川大學(xué)錦江學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610207；2.安徽理工大學(xué) 力學(xué)與光電物理學(xué)院，安徽 淮南 232001）

為深入貫徹落實(shí)習(xí)近平總書記關(guān)于教育的重要論述和全國教育大會(huì)精神，教育部印發(fā)關(guān)于《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》的通知，要求各高校根據(jù)具體課程、具體情況制定好切實(shí)有效的教學(xué)改革計(jì)劃，把專業(yè)知識(shí)與育人目標(biāo)統(tǒng)一起來。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程蘊(yùn)藏了豐富的哲學(xué)思想及數(shù)學(xué)文化，可以與馬克思主義的基本觀點(diǎn)有效結(jié)合起來，通過合理的教學(xué)案例，使學(xué)生的科學(xué)精神、思辨思維與倫理意識(shí)得到培養(yǎng)，增強(qiáng)他們立志報(bào)國、為民服務(wù)的責(zé)任感。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程思政教學(xué)改革的目的是希望利用教學(xué)實(shí)踐的陣地，將大思政教育理念布局到教學(xué)的全過程，將知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)和思想引領(lǐng)有機(jī)統(tǒng)一起來。張艷等從教學(xué)實(shí)踐的角度出發(fā)，提出了課程思政的案例專題研究原則［1］；黃昱等從時(shí)代意義上說明了課程思政的重大意義及其規(guī)范性［2］；吳紅艷等從方法途徑方面延伸了課程思政的內(nèi)涵［3］；彭丹等從現(xiàn)實(shí)背景中找觸點(diǎn)［4］，將典型思政案例整合到教材知識(shí)點(diǎn)中。對(duì)于思政資源的挖掘，目前的研究僅停留在某一章節(jié)的某一知識(shí)點(diǎn)上，缺乏系統(tǒng)性的提煉、梳理、研究與創(chuàng)新。文章嘗試在宏觀層面，基于知識(shí)間的邏輯性、相合性與統(tǒng)一性，對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中所涉及的思政資源進(jìn)行整合與分類，進(jìn)一步擴(kuò)大育人面的廣度和深度。

1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中蘊(yùn)藏的思政內(nèi)涵

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程共有26個(gè)主要知識(shí)點(diǎn)，其中，和思政元素或數(shù)學(xué)文化有關(guān)聯(lián)的有12個(gè)，大約占比46%.只注重知識(shí)傳播的傳統(tǒng)教學(xué)方式無法適應(yīng)新時(shí)期的學(xué)生成長需求，迫切需要將冷冰冰的知識(shí)轉(zhuǎn)化成有溫度的價(jià)值能力，這就要求教育工作者深挖課程中的思政資源。

1.1 弘揚(yáng)愛國精神，傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化

在講解第一章序言部分時(shí)，可以介紹數(shù)學(xué)家許寶騄舉世公認(rèn)的學(xué)術(shù)成就，他勉勵(lì)學(xué)生潛心鉆研知識(shí)，以嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)的態(tài)度樹立偉大理想，為實(shí)現(xiàn)中國夢［5］添磚加瓦。在中國長達(dá)五千年的文化進(jìn)程中，很早就孕育了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想，它們以詩歌、諺語等形式流傳至今，如唐代·佚名《菩薩蠻·敦煌曲子詞》中“枕前發(fā)盡千般愿，要休且待青山爛。水面上秤錘浮，直待黃河徹底枯。白日參辰現(xiàn)，北斗回南面。休即未能休，且待三更見日頭”。這首古詩描繪了隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件等?！俺Ｔ诤舆呑?，哪有不濕鞋”則是小概率事件的原理。在知識(shí)引入的過程中，可以使用諸如這樣的中華符號(hào)讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)自身文化血脈的認(rèn)同和自信。

1.2 踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀——法治

《法句經(jīng)》里記載“莫輕小惡，以為無殃，水滴雖微，漸盈大器，凡罪充滿，從小積成”。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門課程是小概率事件應(yīng)用的范例。例如，一個(gè)小偷偷東西，假設(shè)每次盜竊的行為是獨(dú)立的，如果每次他行竊時(shí)被抓住的概率為0.05，那么隨著偷竊行為次數(shù)的增加，小偷至少被抓住一次的概率是多少？

設(shè)事件A表示小偷至少被抓住一次，Ak(k=1,2,...,n)表示小偷第k次偷竊被抓住，則

表1 偷竊次數(shù)的分布律

由表1可以看到，第75次時(shí)，小偷被抓住的可能性已經(jīng)很大了。通過這個(gè)案例教育學(xué)生在校時(shí)要遵守校規(guī)校紀(jì)，走上社會(huì)更要遵紀(jì)守法，懲惡揚(yáng)善，最終通過小概率事件原理將法治理念悄無聲息地引入到學(xué)生的意識(shí)形態(tài)中。對(duì)于教師而言，要自覺踐行教師法，以教師十項(xiàng)行為準(zhǔn)則為行動(dòng)指南，懂得“法”與“治”的道理。作為一般公民要積小法，成大法，為社會(huì)主義和諧社會(huì)貢獻(xiàn)自己的力量。

1.3 堅(jiān)持社會(huì)主義道路，堅(jiān)定制度自信

以新冠肺炎疫情為例，一些國家選擇了寄希望于全民免疫的“躺平”政策，致使國家的病毒感染人數(shù)急劇上升，嚴(yán)重地危害了人民的健康，人們連最基本的生存權(quán)無法得到保證。而中國政府根據(jù)不同階段的情況，選擇不同的管控方式，始終把人民的生活福祉放在首位，那么該采取什么樣的核酸檢測策略呢？這其實(shí)是期望和假設(shè)檢驗(yàn)在實(shí)際生活的應(yīng)用［6］。假設(shè)某地區(qū)共有5000人參加核酸檢測，已知每人檢測呈陽性的概率是0.001，現(xiàn)有單獨(dú)檢驗(yàn)和分組檢驗(yàn)兩種策略，哪種策略最優(yōu)？

策略一：采用逐一化驗(yàn)，則檢驗(yàn)次數(shù)為5000次；

策略二：采用10人為一組的分組檢驗(yàn)，如果檢驗(yàn)呈陰性則一次通過，如果呈陽性，再逐一檢驗(yàn)。設(shè)隨機(jī)變量Xi(i=1,2…,500)為第i組檢驗(yàn)所需的檢驗(yàn)次數(shù)，那么Xi的可能取值要么為1（全陰性），要么為11（陽性逐一化驗(yàn)），其概率值分別為Xi=1意味著第i組10人全陰性，一個(gè)人呈陰性的概率為0.999，10個(gè)人呈陰性的概率為0.99910，Xi=11意味著第i組至少有1人陽性，也就是全為陰性的逆事件，則其概率為1-0.99910，那么每組需要的平均檢驗(yàn)次數(shù)為

設(shè)策略二總檢驗(yàn)次數(shù)為Z，則Z=X1+X2+…+X500，有

因此，策略二比策略一更高效。

通過核酸檢測案例，引導(dǎo)學(xué)生從親身經(jīng)歷的新冠肺炎疫情出發(fā)，理性看待新冠肺炎疫情以及各項(xiàng)防疫措施，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到中國智慧和中國速度，增強(qiáng)制度認(rèn)同感，把個(gè)人的成長融入偉大民族復(fù)興的進(jìn)程中，以一種只爭朝夕的精神狀態(tài)去迎接生活的饋贈(zèng)。

1.4 從量變到質(zhì)變，培養(yǎng)批判性的科學(xué)精神

黑格爾在《邏輯學(xué)》的“存在論”中，闡述了質(zhì)量互變思想，中心極限定理反映了從量變到質(zhì)變的思想。棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理指出，當(dāng)隨機(jī)變量越來越多時(shí)，二項(xiàng)分布變成了正態(tài)分布，獨(dú)立同分布中心極限定理說明如果隨機(jī)變量是由許多隨機(jī)變量的和組成，構(gòu)成這些隨機(jī)變量的因素都是微小的、沒有一個(gè)因素起到?jīng)Q定性的作用，則這個(gè)數(shù)量指標(biāo)近似地服從正態(tài)分布［7］，由此可以引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物變化都是由量變到質(zhì)變的。以評(píng)估體育鍛煉為例，設(shè)Xi(i=1,2,…,365)表示第i天進(jìn)行了鍛煉，Xi為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，E(Xi)表示第i天鍛煉的綜合效果，表現(xiàn)如體質(zhì)增強(qiáng)等，D(Xi)表示為第i天鍛煉后的感受差異程度，表現(xiàn)如過度疲勞等，假設(shè)E(Xi)=65.6,D(Xi)=28.282，X表示一年的體育鍛煉效果，則

上述結(jié)論表明，堅(jiān)持鍛煉的效果很明顯，體現(xiàn)在均值較大，而方差較大，說明需要改進(jìn)鍛煉的方式技巧。教育學(xué)生不要輕視小問題，不要蔑視小成就，要重視日常積累，養(yǎng)成良好的生活學(xué)習(xí)習(xí)慣。

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展進(jìn)程中，從古典概率到幾何概率，統(tǒng)計(jì)概率再到概率的公理化定義，提供了理解概率收斂的理論基礎(chǔ)。在概率論的公理化體系建立以后，大數(shù)定律可在理論上進(jìn)行嚴(yán)格的證明而成為意義明確的定理，尤其在1733年到1937年間，從De Moivre首次得出了一個(gè)特殊版本的中心極限定理到Feller和Levy給出中心極限定理的充要條件，例如：

該定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)歷史上第一個(gè)中心極限定理，由棣莫弗于1730年給出的特殊情況，幾十年后經(jīng)拉普拉斯推廣到0＜p＜1的一般情形。無數(shù)偉大的數(shù)學(xué)家、統(tǒng)計(jì)學(xué)家經(jīng)過一場跨越兩百年的探索，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)才發(fā)展成一門獨(dú)立學(xué)科。這場偉大實(shí)踐處處體現(xiàn)了對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律、量變質(zhì)變規(guī)律、否定之否定規(guī)律，彰顯了科學(xué)精神的精髓實(shí)質(zhì)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)獨(dú)特的嚴(yán)謹(jǐn)之美，培養(yǎng)他們縝密、批判、務(wù)實(shí)的邏輯思維。

1.5 感知唯物主義辯證法，從偶然性到必然性

隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來。如在實(shí)踐中人們認(rèn)識(shí)到大量測量值的算術(shù)平均值具有穩(wěn)定性，大數(shù)定律表達(dá)并證明了這種規(guī)律性［8］，即隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果不再受個(gè)別事件的影響，而是呈現(xiàn)出某種規(guī)律性。例如，拋擲硬幣，設(shè)n表示實(shí)驗(yàn)次數(shù)，nH表示正面出現(xiàn)的次數(shù)，f表示頻率，當(dāng)拋擲次數(shù)較少的時(shí)候，正反兩面出現(xiàn)的次數(shù)會(huì)有明顯的差異，這是偶然性，但當(dāng)拋擲次數(shù)很多的時(shí)候，正反兩面出現(xiàn)的次數(shù)就“幾乎”一樣，這是必然性，如表2所示。教育學(xué)生堅(jiān)持必然與偶然的辯證統(tǒng)一，不被暫時(shí)的挫折打倒，不被眼前的榮譽(yù)迷惑，要堅(jiān)定信念，勤奮學(xué)習(xí)，最終會(huì)學(xué)有所成，成為對(duì)社會(huì)有貢獻(xiàn)的人［9］。

表2 頻率的波動(dòng)性

1.6 培養(yǎng)馬克思主義的基本觀點(diǎn)，矛盾的普遍性與特殊性，共性和個(gè)性統(tǒng)一

利用矛盾分析法講解隨機(jī)變量。首先，隨機(jī)變量一般分為離散型和連續(xù)型，它們是對(duì)立統(tǒng)一的，“離散和連續(xù)的矛盾，正是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的矛盾之一?！痹谙嗷マD(zhuǎn)化過程中，綻放出了一種思辨之美，讓學(xué)生更加深刻地了解它們各自存在的條件，培養(yǎng)了同學(xué)們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維［10］。其次，隨機(jī)變量是一個(gè)函數(shù)，但它與普通的函數(shù)具有本質(zhì)的差別，普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的，隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的，這其實(shí)是同一個(gè)問題的兩個(gè)方面，體現(xiàn)了共性和個(gè)性的統(tǒng)一。最后，從隨機(jī)事件與隨機(jī)變量的關(guān)系來看，它們都是研究隨機(jī)現(xiàn)象的手段，隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象。在求解連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布時(shí)，利用分布函數(shù)求導(dǎo)，得到概率密度是普遍性的思路，而當(dāng)函數(shù)處處可導(dǎo)，且嚴(yán)格單調(diào)時(shí)，利用公式法求概率密度則是特殊性的方法，這是事物特殊性與普遍性的辯證關(guān)系。

1.7 提倡合作共贏，培育集體主義價(jià)值觀

“一個(gè)籬笆三個(gè)樁，一個(gè)好漢三個(gè)幫”“三個(gè)臭皮匠，頂個(gè)諸葛亮”“人心齊、泰山移”等這些諺語所反映的思想在事件的獨(dú)立性，泊松分布均有體現(xiàn)［11］。例如，維護(hù)80臺(tái)同類型設(shè)備，故障率為0.01，有兩種維修方案，方案一是4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)，方案二是由3人共同維護(hù)。哪種方案更加合理？

方案一：以Ai(i=1,2,3,4)表示事件“第i人維護(hù)的20臺(tái)中發(fā)生事故不能及時(shí)維修”，X表示“第1人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”，則

方案二：設(shè)Y表示同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則有Y～B(80,0.01)，λ=np=0.8，則不能及時(shí)維修的概率為

可以看出第二種方案，雖然配備的人員少，但由于團(tuán)隊(duì)協(xié)作，發(fā)生故障后需要等待的概率反而更低。通過此案例引導(dǎo)同學(xué)們要培育團(tuán)隊(duì)精神，學(xué)會(huì)依靠集體的力量，讓他們體會(huì)到團(tuán)隊(duì)力量的強(qiáng)大。

1.8 注重隱私，把握敏感性問題的工作方法

全概率公式的基本思想是把一個(gè)未知的復(fù)雜事件分解成一個(gè)個(gè)已知的簡單事件再求解，這種思想在解決敏感性問題的調(diào)查時(shí)比較適用，如學(xué)生作弊、疾病的感染等。

保密問題：在一個(gè)無人的房間里有一個(gè)紙箱，假設(shè)箱里裝有30個(gè)球，其中20個(gè)紅球10個(gè)白球；被測試者事先被告知，從這個(gè)箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，看過顏色后放回。

如果學(xué)生取的是白球，回答問題A：“你的生日是在10月1日之前嗎？”

如果學(xué)生取的是紅球，回答問題B：“你期末考試作弊了嗎？”

學(xué)生將結(jié)果勾在一張只有“是”與“否”的答卷上，每一位學(xué)生都參與了這次測試?；厥?200份答卷，如果其中400份答卷回答“是”，那么該校期末考試學(xué)生的作弊實(shí)際比例是多少呢？對(duì)于任意一個(gè)被調(diào)查者，由于調(diào)查者不知道他抽到的是何種顏色的球，所以不會(huì)知道他回答的到底是問題A還是問題B，這樣就有效保護(hù)了被調(diào)查者的個(gè)人隱私。于是，被調(diào)查者可以放心地給出真實(shí)答案。

設(shè)事件C=“回答“是”，B1=“學(xué)生取到了紅球”，B2=“學(xué)生取到了白球”。由全概率公式，有：

2 優(yōu)化課程設(shè)計(jì)，深挖思政資源

重點(diǎn)圍繞知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、育人目標(biāo)開展教學(xué)設(shè)計(jì)活動(dòng)，以生活案例［12］或者歷史典故為切入點(diǎn)，引發(fā)情感共鳴，從而更加有效地挖掘大思政資源，將恰當(dāng)?shù)摹霸攸c(diǎn)”分享給同學(xué)，最終達(dá)到將知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)與價(jià)值引領(lǐng)有機(jī)融合的教學(xué)目的。下面以貝葉斯公式為例，詳細(xì)說明。

（1）引入“烽火戲諸侯”“狼來了”典故，說明了什么哲理？這和這門課程有什么關(guān)系呢？

（2）實(shí)例教學(xué)，“狼來了”寓言中，小孩的誠信度是如何變化的？記A={小孩說謊}，B={小孩可信}，假設(shè)p(B)=0.8，根據(jù)貝葉斯公式得

說明村民第一次受騙后，小孩的可信度由原來的0.8下降為0.444，再次使用貝葉斯公式，可計(jì)算出小孩第二、三次撒謊后，村民對(duì)他的信任度。即：第一次村民對(duì)小孩的信任度由0.8下降到0.444.村民第二次聽到“狼來了”，發(fā)現(xiàn)又被騙后，小孩的信任度由0.444下降到0.138，最后小孩的信任度由0.138下降到0.013（表3）。

表3 可信度變化率

提煉思政元素：社會(huì)主義核心價(jià)值觀“誠信”，“言必行行必果”，村民對(duì)小孩的信任度急劇下降，下降的幅度越來越大。

如果小孩認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤，他怎么做才能再次取得村民的信任？在此基礎(chǔ)上，再用貝葉斯公式來計(jì)算，即這個(gè)小孩第三次說謊以后，村民對(duì)他的可信程度0.013，如果小孩認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤并改正：

這表明村民經(jīng)過三次上當(dāng)，對(duì)這個(gè)小孩的可信度變?yōu)?.013后，小孩第一次誠實(shí)，人們對(duì)他的可信度變?yōu)?.0232.用同樣的方法，再用貝葉斯公式來計(jì)算，村民對(duì)他的可信程度0.0232，如果小孩第二次守信，可信度變化為0.04.用同樣的方法得到下面數(shù)據(jù)：

表4 可信度變化率

由表4可知，小孩3次說謊，幾乎將誠信度消耗殆盡，但是想要返回到以前，起碼需要10次守信。生活中，“第一印象壞了，就很難扭轉(zhuǎn)過來”，培養(yǎng)學(xué)生樹立正確的價(jià)值觀，珍惜當(dāng)下，失去很容易，但是再想恢復(fù)到以前就很難了。這就是對(duì)社會(huì)主義核心價(jià)值觀“誠信”的教育實(shí)踐，力爭做到知識(shí)、情感、價(jià)值觀的協(xié)調(diào)共生［13］。

3 教學(xué)實(shí)踐探索

在課程思政教學(xué)實(shí)踐中，以“立德樹人”為使命，以“思政育人”為責(zé)任，在課程48個(gè)學(xué)時(shí)的教學(xué)時(shí)間里，將課程中所涉及的思政元素進(jìn)行了分類處理，并給出了理論課與實(shí)踐課的建議學(xué)時(shí)（表5）。

表5 課程思政元素設(shè)計(jì)與挖掘

利用學(xué)校的交互課堂，選擇部分班級(jí)進(jìn)行試驗(yàn)，實(shí)行混合式教學(xué)［14］。立足于課程內(nèi)容，教學(xué)方法，課程思政建設(shè)模式等方面，并在以下幾個(gè)方面進(jìn)行了改革探索。

（1）使用體現(xiàn)課程思政的新教材。新教材最大的特點(diǎn)是在各個(gè)環(huán)節(jié)加入了思政元素與數(shù)學(xué)文化，廣泛使用案例教學(xué)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和積極性。參加課程思政試驗(yàn)教學(xué)探索的班級(jí)以新編寫的教材作為參考，在教學(xué)過程中將思政元素有效提煉出來，達(dá)到潤物無聲的效果，自然生動(dòng)地觸發(fā)學(xué)生思想奇點(diǎn)。聯(lián)系一位思政類的教學(xué)名師，參與課件與習(xí)題冊(cè)的設(shè)計(jì)制作，進(jìn)行教學(xué)試點(diǎn)以后，啟用體現(xiàn)課程思政理念的新課件。

（2）開展翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自己思考，感悟?qū)W科中的相關(guān)思政理念。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)共有48個(gè)學(xué)時(shí)，選擇12個(gè)學(xué)時(shí)進(jìn)行適度翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)實(shí)踐。教師有針對(duì)性地講解重點(diǎn)、難點(diǎn)、補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生提出問題，以學(xué)生討論為主，教師引導(dǎo)為輔。在這部分教學(xué)實(shí)踐中，課堂借助超星學(xué)習(xí)通，“雨課堂”平臺(tái)來輔助課上教學(xué)，在課堂中教師會(huì)根據(jù)教學(xué)需要發(fā)布搶答、評(píng)分等指令，進(jìn)一步活躍課堂氣氛，加強(qiáng)師生互動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)中來，以提高課堂教學(xué)效果。

（3）妥善處理好“課前、課中、課后”的關(guān)系。課前學(xué)生需要進(jìn)行線上自主預(yù)習(xí)，帶著自己的問題和感悟進(jìn)行課堂線下學(xué)習(xí)。課前教師需要給學(xué)生推送學(xué)習(xí)視頻［15］，在視頻的選擇上不是為了傳導(dǎo)知識(shí)，而是以提高學(xué)生興趣為主，如利用貝葉斯公式尋找馬航MH370，課后要布置適當(dāng)作業(yè)，可以嘗試布置一些無標(biāo)準(zhǔn)答案的題型，提倡同學(xué)們從不同角度思考解決。