基于Treloar 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的超彈性材料完全本構(gòu)關(guān)系研究1)

韓磊 王新彤 李錄賢

(西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院,機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,飛行器環(huán)境與控制陜西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)

引言

橡膠材料等彈性體因其卓越的減震性、柔韌性及密封性等,已廣泛應(yīng)用于輪胎、密封件或振動(dòng)支座等各類橡膠制造行業(yè)[1-3].這些材料的超彈性力學(xué)行為,通?；趹?yīng)變能密度函數(shù)(簡(jiǎn)稱應(yīng)變能函數(shù))來(lái)研究.近幾十年來(lái),人們已經(jīng)提出大量模型來(lái)預(yù)測(cè)材料的超彈性行為[4-9].例如文獻(xiàn)[5],基于遺傳算法利用多目標(biāo)優(yōu)化程序,提出了一種參數(shù)識(shí)別方法,比較研究了44 種超彈性本構(gòu)模型對(duì)多種變形模式下實(shí)驗(yàn)曲線的擬合精度.彭向峰等[10]從不同體積變化形式、多變形模式和全范圍變形程度3 方面對(duì)超彈性本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行總結(jié)分析,并提出了超彈性材料完全本構(gòu)關(guān)系的構(gòu)造步驟及研究方法.隨著計(jì)算能力和非線性數(shù)值模擬技術(shù)的快速發(fā)展,有限元分析已成功應(yīng)用于大變形復(fù)雜橡膠構(gòu)件的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和可靠性分析[11-12],但是,若沒(méi)有采用準(zhǔn)確的超彈性本構(gòu)模型,就無(wú)法獲得高精度的應(yīng)變和/或應(yīng)力分布的數(shù)值結(jié)果.

目前,大多數(shù)本構(gòu)模型可對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行高精度的預(yù)測(cè),尤其是針對(duì)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).Destrade等[13]采用多種形式的應(yīng)變能函數(shù)對(duì)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)的全變形范圍進(jìn)行了參數(shù)識(shí)別,但該模型對(duì)等雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)曲線的預(yù)測(cè)效果較差.Han等[14]采用(I1-3)m和(I2-3)m型應(yīng)變能函數(shù)分階段逐步對(duì)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別,得到了令人滿意的預(yù)測(cè)曲線,并保持了材料的初始剪切模量,但對(duì)等雙軸和純剪實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)效果卻不盡人意.魏志剛等[15]基于平面應(yīng)力變形狀態(tài),構(gòu)建了一類依賴于第一和第二主伸長(zhǎng)比的本構(gòu)模型形式,可使用單類實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)識(shí)別得到可靠的模型參數(shù),但其單軸拉伸變形范圍僅有400%.Steinmann等[6]和Hossian等[16]發(fā)現(xiàn)僅用一種變形模式得到的模型參數(shù)并不能有效預(yù)測(cè)其它變形模式的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,即使可很好描述單軸和純剪切變形模式的八鏈模型[17],對(duì)等雙軸載荷響應(yīng)的預(yù)測(cè)也不能令人滿意.

理論上,材料的本構(gòu)模型并不因變形模式而不同,且最佳模型能夠用最少數(shù)量的材料參數(shù)描述超彈性體的完整行為[18].鑒于此,Bien-Aimé等[19]提出了一種新的類橡膠材料模型,運(yùn)用遺傳算法,通過(guò)預(yù)測(cè)Treloar(3 種變形模式)和Nunes(簡(jiǎn)單剪切)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),建立了材料的本構(gòu)模型.Blaise等[20]基于Hart-Smith 模型和Gornet 修正模型,提出一種不可壓縮超彈性模型,很好預(yù)測(cè)了橡膠材料在多種變形模式下的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng).考慮到超彈性材料在各種載荷下均表現(xiàn)出了S 形的應(yīng)力曲線,指數(shù)型函數(shù)[21-23]也是應(yīng)變能函數(shù)的一個(gè)很好選擇.Darijani等[21]的工作表明,指數(shù)型應(yīng)變能函數(shù)也可準(zhǔn)確預(yù)測(cè)可壓和不可壓橡膠材料的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).基于文獻(xiàn)[21]的框架,Mansouri等[22]構(gòu)造了一組新的應(yīng)變能函數(shù),對(duì)大變形條件下具有J 形和S 形力學(xué)行為的彈性體和軟組織材料均具有良好的預(yù)測(cè)能力.然而,對(duì)一般超彈性材料,指數(shù)型應(yīng)變能函數(shù)的適用性仍是一個(gè)需要解決的問(wèn)題.

隨著超彈性材料斷裂問(wèn)題的研究與應(yīng)用,為了預(yù)測(cè)較大變形范圍和復(fù)雜變形模式,冪函數(shù)型應(yīng)變能函數(shù)的指數(shù)也會(huì)出現(xiàn)小于1 的情形,此時(shí),以(I1-3)和(I2-3)為底的冪函數(shù)(例如文獻(xiàn)[8,19-20,24-25]),雖可提高大變形階段的預(yù)測(cè)精度,但在初始狀態(tài)的小變形階段,面臨更大的應(yīng)力奇異問(wèn)題.鑒于此,Carroll[26]建議以I1和I2為底,提出了3 參數(shù)冪類應(yīng)變能函數(shù),依次通過(guò)單軸和等雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別,所得本構(gòu)模型對(duì)純剪變形模式也給出了令人滿意的預(yù)測(cè)效果.該模型克服了初始狀態(tài)時(shí)會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力偏差大的局限,但預(yù)先指定的冪指數(shù),限制了模型的預(yù)測(cè)精度.一些學(xué)者也采用其它技術(shù)來(lái)提高本構(gòu)模型的預(yù)測(cè)效果和穩(wěn)定性.徐中明等[27]提出超靜定方程方法來(lái)識(shí)別橡膠的材料參數(shù),預(yù)測(cè)效果顯示了該方法的有效性和可靠性.肖銳等[28]在熵彈性模型的基礎(chǔ)上引入纏結(jié)約束效應(yīng),其本構(gòu)模型能準(zhǔn)確描述不同變形模式的應(yīng)力響應(yīng),并揭示了纏結(jié)約束效應(yīng)對(duì)超彈性材料宏觀力學(xué)行為的影響.

本文基于Treloar 的單軸拉伸、等雙軸拉伸和純剪切3 種不同變形模式的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),采用和兩類非指定指數(shù)的冪函數(shù)型應(yīng)變能函數(shù),建立超彈性材料的完全本構(gòu)模型.第1 節(jié)首先對(duì)3 種基本實(shí)驗(yàn)曲線的特點(diǎn)進(jìn)行分析;接著,基于共有的應(yīng)力條件,推導(dǎo)單軸、等雙軸拉伸和純剪切3 種基本變形模式的本構(gòu)關(guān)系;最后,對(duì)3 種變形模式下和兩類基本應(yīng)變能函數(shù)的本構(gòu)特性進(jìn)行討論.第2 節(jié)提出一種新的模型參數(shù)識(shí)別方法,以3 種實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型預(yù)測(cè)的總體誤差泛函最小為目標(biāo),對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行識(shí)別,構(gòu)建滿足3 種基本變形模式、適合全程大變形范圍的完全本構(gòu)關(guān)系.第3 節(jié)將本文結(jié)果與已有文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行比較.第4 節(jié)總結(jié)全文工作并給出結(jié)論.

1 基本理論

1.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

Treloar 對(duì)含8%硫的硫化橡膠分別開(kāi)展了單軸拉伸(簡(jiǎn)稱ST)、等雙軸拉伸(簡(jiǎn)稱ET)和純剪切(簡(jiǎn)稱PS) 3 種變形模式的實(shí)驗(yàn)測(cè)試,所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1～ 表3 所列[6,14],其應(yīng)力隨伸長(zhǎng)比的變化關(guān)系如圖1 所示.

表1 單軸拉伸變形模式的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 1 Experimental data of the ST deformation mode

表2 等雙軸拉伸變形模式的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 2 Experimental data of the ET deformation mode

表3 純剪切變形模式的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 3 Experimental data of the PS deformation mode

從圖1 可以看出,這3 組實(shí)驗(yàn)曲線均表現(xiàn)出高度的非線性.單軸拉伸和純剪切曲線在伸長(zhǎng)比為1～5 之間的變化規(guī)律基本一致,等雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)曲線則更為陡峭.

圖1 ST,ET和PS 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)匯總Fig.1 Collection of experimental data under ST,ET and PS states

1.2 本構(gòu)理論

超彈性材料的力學(xué)特性可以用它的應(yīng)變能函數(shù)W予以描述.一般地,應(yīng)變能函數(shù)可表示為變形梯度張量F的函數(shù)W(F),考慮到材料性能的客觀性,應(yīng)變能函數(shù)又可表示為右拉伸張量U的函數(shù)W(U).在大變形分析中,右Cauchy-Green 張量C=U2=FTF是描述物體變形(例如Green 應(yīng)變)的一個(gè)重要物理量,為此,與大多數(shù)文獻(xiàn)(例如文獻(xiàn)[1,5,23])所采用的等價(jià)方式一樣,本文假定應(yīng)變能函數(shù)W為右Cauchy-Green 張量C的3 個(gè)不變量I1,I2和I3的函數(shù)W(I1,I2,I3),3 個(gè)不變量的含義為

其中,λ1,λ2和λ3為拉伸張量U(或變形梯度張量F)的3 個(gè)特征值,在物理上解釋為物體的3 個(gè)主伸長(zhǎng)比.

材料的體積變形比J=λ1λ2λ3=.對(duì)于不可壓材料,有J=1,此時(shí),用第一Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量P表示的本構(gòu)關(guān)系為

其中,p是與不可壓約束相關(guān)的靜水壓力.對(duì)于主方向的應(yīng)力ti(i=1,2,3),式(2)又可表示為

對(duì)于單軸拉伸、等雙軸拉伸以及純剪切3 種基本變形模式,都具有t3=0的相同應(yīng)力條件,因而,其本構(gòu)特性在主應(yīng)力空間均可表征為加載方向的應(yīng)力T與該方向上主伸長(zhǎng)比 λ 間的關(guān)系式,下面推導(dǎo)這3 種基本模式的具體本構(gòu)關(guān)系.

(1) 單軸拉伸模式的本構(gòu)關(guān)系

對(duì)于單軸拉伸模式,除了t3=0的應(yīng)力條件外,還具有 λ1=λ和λ2=λ3=λ-1/2的變形特征,將其代入式(6),得出單軸拉伸時(shí)的本構(gòu)關(guān)系為

(2) 等雙軸拉伸模式的本構(gòu)關(guān)系

對(duì)于等雙軸拉伸模式,除了t3=0的應(yīng)力條件外,還具有 λ1=λ2=λ和λ3=λ-2的變形特征,將其代入式(6),得出等雙軸拉伸時(shí)的本構(gòu)關(guān)系為

(3) 純剪模式的本構(gòu)關(guān)系

與簡(jiǎn)單剪切變形時(shí)應(yīng)變主軸在加載過(guò)程中不斷旋轉(zhuǎn)變化不同,純剪變形的應(yīng)變主軸在加載過(guò)程中保持空間方向不變.這樣,純剪變形可通過(guò)如圖2 所示的寬高比b/h0足夠大的薄橡膠板拉伸試驗(yàn)來(lái)實(shí)現(xiàn).

圖2 純剪試件示意圖Fig.2 Schematic of pure shear specimen

于是,對(duì)于純剪變形模式,除了t3=0的應(yīng)力條件外,將具有 λ1=λ,λ2=1 以及 λ3=λ-1這樣一個(gè)極為特殊的雙軸拉伸變形特征[29],將其代入式(6),得出純剪時(shí)的本構(gòu)關(guān)系為

1.3 基本應(yīng)變能函數(shù)的本構(gòu)特性

在1.2 節(jié)中,簡(jiǎn)單拉伸、等雙軸拉伸以及純剪3 種變形模式的本構(gòu)關(guān)系都表示成了T與主伸長(zhǎng)比λ之間的關(guān)系.下面研究應(yīng)變能函數(shù)分別為W1=I1m和W2=I2m兩種基本冪函數(shù)形式時(shí)材料的不同本構(gòu)特性.根據(jù)式(1),I1和I2恒大于等于3,所以,以兩者為底時(shí)指數(shù)m可允許取小于1 的正實(shí)數(shù).

對(duì)于應(yīng)變能函數(shù)為W1=I1m的情形,根據(jù)式(7)～式(9),得到其應(yīng)力T1的表達(dá)式為

對(duì)于應(yīng)變能函數(shù)為W2=I2m的情形,根據(jù)式(7)～式(9),得到其應(yīng)力T2的表達(dá)式為

典型m取值時(shí)式(10)和式(11)所表示的不同變形模式的本構(gòu)規(guī)律分別如圖3和圖4 所示.

由圖3 可以看出,對(duì)于W1=I1m型基本應(yīng)變能函數(shù),3 種變形模式的規(guī)律基本一致.當(dāng)m<1 時(shí),應(yīng)力在伸長(zhǎng)比較小時(shí)變化非常陡峭,隨著伸長(zhǎng)比的增大,應(yīng)力變化逐漸趨于平緩;當(dāng)m>1 時(shí),應(yīng)力隨伸長(zhǎng)比的變化與m<1 時(shí)呈相反趨勢(shì),即先平后陡的增長(zhǎng)變化;3 種變形模式應(yīng)力大小的次序不隨m發(fā)生變化,均依次為等雙軸最大、純剪次之、單軸最小.

圖3 典型m 取值時(shí) W1=I1m對(duì)3 種變形模式的本構(gòu)描述Fig.3 Constitutive behavior of three deformation modes described by W1=I1mfor typical values of m

對(duì)于圖4 表示的W2=I2m型基本應(yīng)變能函數(shù),情形則有所不同,3 種變形模式下以及不同m取值時(shí),應(yīng)力的變化都表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性行為.

圖4 典型m 取值時(shí) W2=I2m所表征的三種變形模式本構(gòu)特性Fig.4 Constitutive behavior of three deformation modes described by W2=I2mfor typical values of m

2 完全本構(gòu)關(guān)系的建立

超彈性材料的非線性及其多樣性,決定了材料本構(gòu)模型的形式及其參數(shù)取值需要多種變形模式及全變形范圍的實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證.例如,僅運(yùn)用單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定的本構(gòu)關(guān)系及其參數(shù),一般并不能很好預(yù)測(cè)等雙軸和純剪兩種變形模式時(shí)的應(yīng)力變化特性(參考文獻(xiàn)[22]及3.2 節(jié)的討論).為了同時(shí)兼顧不同模式下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),采用3 種變形模式實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)本構(gòu)參數(shù)進(jìn)行同步識(shí)別的思想,以實(shí)現(xiàn)本構(gòu)模型對(duì)不同變形模式同時(shí)達(dá)到最佳預(yù)測(cè)精度的目標(biāo).

2.1 初始階段本構(gòu)關(guān)系的建立

如圖1 所示,超彈性材料較小變形的初始階段,除了具有因不同物理機(jī)制決定的復(fù)雜變化關(guān)系外,它還是獲取超彈性材料基本材料參數(shù)(例如初始剪切模量[14])的重要依據(jù).因而,對(duì)該區(qū)域的劃分及預(yù)測(cè)精度就顯得尤為重要.

理論上,初始階段選取的變形范圍越小越好,但考慮到該階段是實(shí)驗(yàn)的初始階段,數(shù)據(jù)分散性較大[6],經(jīng)分析3 種模式的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),我們確定取伸長(zhǎng)比不超過(guò)1.12 的6 組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為初始階段,具體如表4所示.利用最小二乘法,通過(guò)尋求該階段所有實(shí)驗(yàn)點(diǎn)處預(yù)測(cè)的總體誤差泛函最小,以獲取最佳模型參數(shù).

表4 初始階段數(shù)據(jù)及其對(duì)應(yīng)變形模式Table 4 Data in the initial regime and the associated deformation modes

眾所周知,在非常小變形情形下,超彈性材料都服從neo-Hookean 模型[30],即WI=A1I1,也就是說(shuō),式(10)中的m=1.

根據(jù)式(10),并結(jié)合表4 的數(shù)據(jù),得到6 組數(shù)據(jù)的誤差分別為

定義該階段的總體誤差泛函為

通過(guò)對(duì)總體誤差泛函Err(A1) 關(guān)于本構(gòu)參數(shù)A1求變分,解析得到A1=0.206 7,進(jìn)而獲得材料的初始剪切模量[14]G=2A1=0.413 4 MPa.

2.2 全變形范圍本構(gòu)關(guān)系的建立

借鑒Carroll[26]將單軸拉伸全變形范圍分為兩個(gè)階段的做法,本文將3 種變形模式實(shí)驗(yàn)曲線除初始階段的剩余部分作為第2 階段進(jìn)行統(tǒng)一處理.考慮到2.1 節(jié)已得到材料在初始階段的本構(gòu)特性,通過(guò)TU-E=TE-TI,將得到圖5 所示的3 種模式全變形范圍的更新實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)TU-E.

圖5 3 種變形模式的更新實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.5 Updated experimental data of three deformation modes

經(jīng)分析圖3和圖4 基本應(yīng)變能函數(shù)所表征的本構(gòu)特性,圖5 的高度非線性變化很難采用單一基本應(yīng)變能函數(shù)予以表征,為此,本文假設(shè)應(yīng)變能函數(shù)為

其中兩個(gè)不同指數(shù)項(xiàng)I1的引入是為了后續(xù)與文獻(xiàn)[26]結(jié)果進(jìn)行比較.

根據(jù)式(7)～式(9),針對(duì)式(14)的應(yīng)變能函數(shù),得到不同模式的本構(gòu)關(guān)系為

結(jié)合圖5 的更新數(shù)據(jù),先計(jì)算各模式的偏差,再仿式(13)構(gòu)造3 種模式的總體誤差泛函,最后運(yùn)用1stOpt 軟件,在Err=0.163 2 時(shí)識(shí)別得到模型參數(shù)為

采用式(15)的本構(gòu)關(guān)系和式(16)的模型參數(shù),對(duì)更新數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)效果如圖6 所示.

圖6 對(duì)3 種變形模式更新實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)效果Fig.6 Predicted effect for the updated experimental data of three deformation modes

2.3 完全本構(gòu)關(guān)系的建立

根據(jù)2.1 節(jié)和2.2 節(jié)的分析,我們得到該材料的總體應(yīng)變能函數(shù)為

由于式(17)應(yīng)變能函數(shù)的選取及其參數(shù)識(shí)別同時(shí)考慮了3 種不同變形模式以及全變形范圍,我們將式(17)代入式(2)后得到的本構(gòu)關(guān)系,稱之為該材料的完全本構(gòu)關(guān)系,其退化形式可以是主應(yīng)力形式的式(3),或單軸拉伸變形模式的式(7)、等雙軸拉伸變形模式的式(8)和純剪切變形模式的式(9).

完全本構(gòu)關(guān)系對(duì)實(shí)驗(yàn)曲線的預(yù)測(cè)效果如圖7 所示,單軸拉伸時(shí)的最小二乘誤差LSE為2.51%、等雙軸拉伸時(shí)LSE為2.76%、純剪切時(shí)LSE為2.45%,對(duì)3 種模式實(shí)驗(yàn)均具有滿意的整體預(yù)測(cè)精度.

圖7 完全本構(gòu)關(guān)系對(duì)3 種不同模式實(shí)驗(yàn)曲線的預(yù)測(cè)效果Fig.7 Predicted effect of complete constitutive relation for the three different modes

依據(jù)式(17)及文獻(xiàn)[14],得到該材料初始剪切模量為

可以看出,初始模量不再保持為初始階段確定的 2C1=0.413 4 MPa,降低了約17%,可認(rèn)為是同時(shí)兼顧3 種變形模式實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)后對(duì)材料初始剪切模量的有效修正.

3 比較與討論

3.1 與文獻(xiàn)[26]結(jié)果的比較與討論

Carroll[26]將兩種不同模式的實(shí)驗(yàn)曲線分成兩段,通過(guò)分析各段的變化特征,采用指定指數(shù)的冪函數(shù)形式,將應(yīng)變能函數(shù)表示為

運(yùn)用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),Carroll[26]識(shí)別得到的模型參數(shù)為

式(19)和式(20)對(duì)3 種變形模式實(shí)驗(yàn)曲線的預(yù)測(cè)精度如表5 所示.可以看出,對(duì)于3 種變形模式實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),本文得到的式(17)的預(yù)測(cè)精度均優(yōu)于式(19).

表5 不同本構(gòu)模型的預(yù)測(cè)精度比較Table 5 Comparison of prediction accuracy of different constitutive models

分析式(16)中的指數(shù)取值發(fā)現(xiàn),Carroll 模型[26]碰巧是一種與本文非整數(shù)指數(shù)接近的可選整數(shù)指數(shù)(例如m2=1和m3=4) 或半整數(shù)指數(shù)(例如m4=0.5)模型.實(shí)際上,如若假定本文模型中m2=1為給定指數(shù),可進(jìn)而識(shí)別得到

最終得到一種可選模型為

值得注意的是,此時(shí)累加得到的I1項(xiàng)系數(shù)0.149 6與Carroll 模型[26]中的系數(shù)0.15(參考式(20))非常吻合.式(22)模型的預(yù)測(cè)精度也列于表5,可以看出,由于仍具有兩個(gè)非指定的指數(shù)m3和m4,模型預(yù)測(cè)的總體誤差泛函雖稍遜于式(17),但仍明顯優(yōu)于Carroll 模型的式(19).

3.2 與Destrade 工作的比較與討論

針對(duì)單軸拉伸全變形區(qū)域,Destrade等[13]提出了多個(gè)超彈性材料模型.單純從對(duì)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)的效果看,Destrade 模型的誤差泛函在0.06907～0.107 2 之間,優(yōu)于本文模型對(duì)單軸拉伸模式的最佳誤差泛函0.137 1.但當(dāng)Destrade 模型用于等雙軸拉伸或純剪變形兩種與單軸拉伸區(qū)別較大的模式時(shí),其預(yù)測(cè)精度卻差強(qiáng)人意.以文獻(xiàn)[13]中最好的W1-GT和W2-GT兩種模型為例,參考圖8,二者對(duì)純剪模式的誤差泛函分別為0.0104和0.026 4,與本文模型和Carroll 模型(參考表5)基本相當(dāng);但對(duì)等雙軸拉伸模式的誤差泛函已達(dá)0.435 8和0.438 8,偏差太大;然而,本文模型對(duì)等雙軸模式仍能表現(xiàn)出強(qiáng)健的預(yù)測(cè)能力.

圖8 典型Destrade 模型對(duì)不同變形模式實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)效果Fig.8 Predicted effect of typical Destrade models for experimental data of different deformation modes

3.3 與文獻(xiàn)[22]工作的比較與討論

Mansouri等[22]根據(jù)第1和第2 應(yīng)變不變量構(gòu)造了指數(shù)型應(yīng)變能密度函數(shù),對(duì)多種類橡膠材料以及生物軟組織材料進(jìn)行預(yù)測(cè),其本構(gòu)關(guān)系具有普遍性.考慮到本文工作均基于Treloar 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),文獻(xiàn)[22]中針對(duì)該數(shù)據(jù)得到的本構(gòu)模型為

由于文獻(xiàn)[22]中的單軸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與本文不一致*實(shí)際上,與其他多個(gè)文獻(xiàn)(如文獻(xiàn)[6,13])也不一致,此處只比較等雙軸拉伸和純剪兩種變形模式,其結(jié)果如圖9 所示.經(jīng)計(jì)算,式(23)對(duì)等雙軸拉伸和純剪變形預(yù)測(cè)的誤差泛函分別為0.4607和0.082 62,最小二乘誤差分別為L(zhǎng)SE=15.78%和LSE=8.22%,均明顯大于本文模型的預(yù)測(cè)誤差(參考表5).

圖9 Mansouri 模型對(duì)不同變形模式實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)效果Fig.9 Predicted effect of the Mansouri model for experimental data of different deformation modes

圖9 Mansouri 模型對(duì)不同變形模式實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)效果(續(xù))Fig.9 Predicted effect of the Mansouri model for experimental data of different deformation modes(continued)

4 結(jié)論

本文基于Treloar 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),開(kāi)展了超彈性材料的完全本構(gòu)關(guān)系研究.首先研究了單軸拉伸、等雙軸拉伸和純剪切3 種變形模式的本構(gòu)理論,再采用以I1和I2為底的非指定指數(shù)冪函數(shù)作為基本應(yīng)變能函數(shù),通過(guò)3 種模式下全范圍實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的總體誤差泛函尋優(yōu),識(shí)別得到相應(yīng)的本構(gòu)參數(shù),預(yù)測(cè)精度比已有工作更高.

本文所采用的應(yīng)變能函數(shù)形式及其參數(shù)識(shí)別方法具有一般性,因而適用于其他超彈性材料(例如n-苯基-2-萘胺硫化橡膠,參考附錄)完全本構(gòu)關(guān)系的建立.我們的實(shí)踐還表明,本文提出的基于多變形模式實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及其兩階段的研究策略,也適用于采用Ogden 型等其他函數(shù)類型建立超彈性材料的完全本構(gòu)關(guān)系.

附錄 n-苯基-2-萘胺硫化橡膠的完全本構(gòu)關(guān)系

根據(jù)文獻(xiàn)[26,31]中的實(shí)驗(yàn)曲線,提取得到n-苯基-2-萘胺硫化橡膠的單軸拉伸(ST)和純剪切(PS)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),分別如附表1和附表2 所示.

附表1 單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Table A1 Experimental data under the ST state

附表2 純剪切實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Table A2 Experimental under the PS state

根據(jù)本文提出的方法,可以確定伸長(zhǎng)比不超過(guò)1.2 的7 組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為初始階段.

在非常小變形情形下,超彈性材料都服從neo-Hookean模型,即

根據(jù)式(10),并結(jié)合初始階段數(shù)據(jù),得到7 個(gè)數(shù)據(jù)的誤差分別為

定義該階段的總體誤差泛函為

通過(guò)對(duì)總體誤差泛函Err() 關(guān)于本構(gòu)參數(shù)求變分,解析得到=0.178 2,進(jìn)而得到初始剪切模量[14]G=2=0.356 5 MPa.

將兩種變形模式實(shí)驗(yàn)曲線除初始階段的剩余部分作為第2 階段進(jìn)行統(tǒng)一處理.考慮到已得到材料在初始階段的本構(gòu)特性,通過(guò)得到兩種模式全變形范圍的更新實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)TU-E′.

接下來(lái),依據(jù)TU-E′數(shù)據(jù),研究剩余階段的本構(gòu)特性,為此,假設(shè)應(yīng)變能函數(shù)為

根據(jù)單軸拉伸和純剪切的本構(gòu)關(guān)系,針對(duì)式(A3)的應(yīng)變能函數(shù),得到不同模式的本構(gòu)關(guān)系為構(gòu)造兩種模式的總體誤差泛函,最后運(yùn)用1stOpt 軟件,在總體誤差泛函為Err=0.031 44 時(shí)識(shí)別得到模型參數(shù)為

于是得到該材料的總體應(yīng)變能函數(shù)為

僅為0.03144 的總體誤差泛函表明,利用本文方法建立的完全本構(gòu)關(guān)系,反映了n-苯基-2-萘胺硫化橡膠材料的實(shí)際變形特性.