基于梯度折射率光子晶體可調(diào)諧亞波長聚焦特性的研究

黃 燕，梁斌明

（上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093）

引 言

1987年，John[1]和Yablonovitch[2]分別獨立提出光子晶體這一概念。光子晶體的主要特征就是存在光子禁帶[3]，即當電磁波落在光子帶隙內(nèi)時將不能繼續(xù)傳播下去。隨后Luo等[4]發(fā)現(xiàn)二維光子晶體具有負折射效應，并且在此基礎上探究得出光子晶體具有亞波長聚焦能力。除此之外，光子晶體還可以表現(xiàn)出一些突出特性，如成像特性[5]、成像測量[6]、可調(diào)諧光束[7]、自準直效應[8]。人們根據(jù)這些特性設計出了諸多光學元件，例如超棱鏡[9]、波導[10]等。

隨著對光子晶體研究的深入，人們提出了一種新型光子晶體——梯度折射率光子晶體。這一概念最早在2005年由Centeno等[11]提出。研究表明，通過適當?shù)卣{(diào)整光子晶體中的參數(shù)，如填充因子的結(jié)構(gòu)、晶格常數(shù)，可以得到折射率梯度漸變的光子晶體。這一發(fā)現(xiàn)為控制電磁波在光子晶體中的傳播過程開辟了一種新途徑，后續(xù)的很多光子晶體結(jié)構(gòu)都受到這一理念的啟發(fā)。人們對梯度折射率光子晶體進一步研究，發(fā)現(xiàn)了許多梯度折射率光子晶體的應用。例如，Singh等[12]通過改變梯度折射率光子晶體的結(jié)構(gòu)參數(shù)，在選定的頻率范圍內(nèi)可以控制和實現(xiàn)理想的光子帶。Zhu等[13]發(fā)現(xiàn)梯度折射率光子晶體可以很好地改善由于晶體厚度增加而引起的光輸出急劇下降的問題。

利用梯度折射率光子晶體實現(xiàn)超分辨聚焦現(xiàn)在已成為一個重要的研究領域。Li等[14]通過在光子晶體的中心引入一個空氣孔，實現(xiàn)了在二維光子晶體中加入點缺陷的結(jié)構(gòu)。結(jié)果表明，在透鏡的亞表面和頂表面可以得到較好的聚焦光斑。但由于焦點位置的局限性，使得該結(jié)構(gòu)在實際運用中比較困難。隨后，Rezaei等[15]提出了一種基于液晶的梯度折射率光子晶體，通過向液晶施加外部靜態(tài)電場來調(diào)節(jié)光子晶體的折射率，實現(xiàn)光子晶體折射率的梯度漸變。設計出的調(diào)焦系統(tǒng)可以實現(xiàn)焦距在0.255λ內(nèi)的可調(diào)節(jié)。

本文繼續(xù)研究梯度折射率光子晶體的亞波長聚焦。設計的光子晶體背景為硅，介質(zhì)柱為圓形空氣孔。通過改變光子晶體中空氣孔的結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)折射率的梯度漸變。運用平面波展開方法分析能帶圖，利用二維時域有限差分（finite-different time-domain, FDTD）方法仿真光在光子晶體中的傳播路徑，探究影響梯度折射率光子晶體聚焦效果的因素。數(shù)值模擬分析證明，設計出的梯度折射率光子晶體可在其外部得到一個較小的聚焦光斑。同時，采用改變梯度折射率光子晶體背景溫度的方法設計了一個調(diào)焦系統(tǒng)，該系統(tǒng)可實現(xiàn)焦距在1.5λ內(nèi)的可調(diào)節(jié)。

1 梯 度 折 射 率 光 子 晶體的設計和原理

本文選用的是由圓形空氣孔和硅構(gòu)成的正六角形平行平板結(jié)構(gòu)。光子晶體的結(jié)構(gòu)如圖1（a）所示，光子晶體的背景為硅（折射率為3.42），圓形介質(zhì)柱為空氣（折射率為1），晶格常數(shù)為a（a=482 nm），空氣孔半徑為r（r=0.365a）。在該結(jié)構(gòu)下，選用入射波長λ=3.344a（1 612 nm）時，具有較好的實驗結(jié)果。對光子晶體中的負折射效應和聚焦效果的研究，通常是從研究其光子帶結(jié)構(gòu)和等頻表面輪廓開始的。圖1（b）為通過Rsoft中的光子晶體能帶結(jié)構(gòu)模擬分析設計軟件BandSOLVE仿真出的光子晶體第一能帶的等頻圖。圖中顯示由里向外頻率w的值逐漸減小，此時群速度和相速度相反，這意味著該入射波長在光子晶體中可以實現(xiàn)負折射現(xiàn)象。同時，當波長λ=3.344a時，歸一化角頻率w0=a/λ =0.299，由圖1（b）可得，此時波矢k=3.843 8 μm-1。根據(jù)折射率公式n=kλ / ( 2π) 得出對應的光子晶體折射率n=-0.984 7。研究表明，當?shù)刃д凵渎式咏?1時，光子晶體具有亞波長的聚焦能力。

圖 1 二維光子晶體結(jié)構(gòu)圖與光子晶體第一能帶等頻圖Fig. 1 The structure of photonic crystals and several EFS contours in the first TE-polarized photonic band of the PC

當改變光子晶體中空氣孔半徑大小時，等頻圖中的波矢k的值也相應改變。由公式n=kλ/(2π)可知，若入射波長λ不變，則波矢k與光子晶體折射率n成正比。由此可得，光子晶體中的空氣孔結(jié)構(gòu)大小與光子晶體的折射率呈一一對應的關系。整體改變光子晶體中空氣孔半徑，令r′=mr，通過多組數(shù)據(jù)，得出m與其對應折射率n的關系為m=-0.21n2-0.85n+0.36，如圖2（a）所示（其中橫坐標為光子晶體折射率n，縱坐標為空氣孔半徑相對于r變化的倍數(shù)m）。由圖可以看出，空氣孔半徑越大，光子晶體的等效折射率越小。

二維光子晶體可以被認為是離散介質(zhì)，其中的每一列介質(zhì)都是離散且均勻的。結(jié)合上述得到的空氣孔半徑與折射率的關系，可以通過調(diào)整光子晶體中每一列空氣孔的半徑，來獲得折射率在橫向上梯度漸變的光子晶體。根據(jù)斯涅耳定律[16]，近軸光束會逐漸向折射率高的方向彎曲。因此本文設計的梯度折射率光子晶體中心折射率最高，從內(nèi)向外折射率逐漸減小。該梯度折射率光子晶體的結(jié)構(gòu)如圖2（b）所示。

圖 2 光子晶體中空心孔半徑與折射率的關系與二維梯度折射率光子晶體的結(jié)構(gòu)設計圖Fig. 2 The relationship between hollow pore radius and refractive index in photonic crystals and the structural design of two-dimensional graded index photonic crystal

設置每一列的空氣孔半徑相同，且由里向外空氣孔的半徑依次增加，當平行光從光子晶體的正下方入射時，經(jīng)光子晶體折射后，匯聚在光子晶體外，從而實現(xiàn)平行光的聚焦。

2 仿真數(shù)據(jù)和結(jié)果討論

2.1 光子晶體折射率梯度漸變的原理

如圖3（a）所示，通過改變光子晶體中空氣孔的尺寸（中間的空氣孔尺寸最小，兩邊空氣孔尺寸依次遞增），設計了一個二維的梯度折射率光子晶體。對于一塊厚度為h的光子晶體，為了實現(xiàn)平行光在焦距為y處的聚焦，則需要設計折射率在x軸方向漸變。假設中心一列的光子晶體的折射率為n0，距離中心距離為x處的光子晶體的折射率為nx。由于平行光實現(xiàn)聚焦必須滿足入射面到聚焦點的光程差相同，即n0h+y=nxh+則由于在此之前討論過光子晶體的折射率與空氣孔半徑的關系，因此可根據(jù)nx的值得出該列空氣孔的半徑。通過空氣孔半徑的改變從而實現(xiàn)光子晶體折射率的梯度漸變，且該折射率分布滿足光程差的要求，在理論上可以實現(xiàn)完美聚焦。在Rsoft軟件中利用FDTD算法，模擬仿真光在光子晶體中的聚焦過程，設置入射光源為高斯光束的平行光。圖3（b）和圖3（c）為根據(jù)理論折射率nx設計的光子晶體的聚焦效果和聚焦光斑的半寬圖，在該圖中半寬為0.705 4λ，聚焦效果較差。而且此時的聚焦屬于小光瞳聚焦，對于不同孔徑x，產(chǎn)生的負球差[17]也不同，可通過改變光程與該孔徑產(chǎn)生的負球差相抵消，從而優(yōu)化聚焦效果。在下面的設計中將對其一起進行修正。

圖 3 梯度折射率光子晶體亞波長成像原理Fig. 3 Schematic diagram of sub-wavelength imaging realized by gradient index PC

2.2 光程差的修正

圖 4 不同 的光子晶體的聚焦半寬Fig. 4 The half-width of focal spot after modifying the refractive index of the PC

2.3 焦距對聚焦效果的影響

為了獲得更佳的聚焦效果，分析了焦距改變對聚焦光斑的影響。設計4種結(jié)構(gòu)的光子晶體（b=0.9、b=1.0、b=1.1、b=1.2）。改 變 焦 距y（y在1.833 2～9.833 2 μm范圍內(nèi)變化），仿真結(jié)果見圖5?？梢钥闯?，在這4種b值對應的光子晶體中，半寬值隨焦距的變化趨勢基本相同，當厚度為9.64 μm時，均在焦距為3.8 μm附近取得最小半寬。并且根據(jù)研究，取得最小半寬的焦距與光子晶體的厚度成正比。

圖 5 4種b值的光子晶體在不同焦距下的聚焦半寬Fig. 5 For the four structure of PCs, the relationship between the focal length and the half-width

2.4 中心空氣孔半徑對聚焦效果的影響

考慮到中心一列空氣孔的半徑也會對聚焦效果有一些影響，設計了4種結(jié)構(gòu)的光子晶體（b=0.9、b=1.0、b=1.1、b=1.2），統(tǒng)一設置焦距y=3.833 2 μm。改變光子晶體的中心列空氣孔半徑r′=mr（m在0.852 1～1.040 9范圍內(nèi)變化）進行模擬光路。中心列空氣孔半徑與聚焦半寬的關系如圖6（a）所示。圖中4種結(jié)構(gòu)的光子晶體的焦斑半寬隨中心空氣孔結(jié)構(gòu)的變化趨勢基本相同，均在m=0.95附近取得最佳半寬。綜合多個因素的聚焦效果，b=0.9的光子晶體結(jié)構(gòu)在m=0.954 9時取得最小半寬。綜合以上數(shù)據(jù)，設計的梯度折射率光子晶體的參數(shù)如下：在光程差公 式中，h=9.64 μm，0.36），修正后的折射率此時的仿真光路傳播圖及聚焦半寬如圖6（b）所示，對應的焦斑半寬值為0.344 7λ，焦距y=1.45λ。

圖 6 4種結(jié)構(gòu)的梯度折射率光子晶體的聚焦效果Fig. 6 The results of the focal spot of the four gradient index PC structures

2.5 基于光子晶體結(jié)構(gòu)設計的變焦系統(tǒng)

隨著半寬越來越窄，焦深也越來越窄，這使得對焦比較困難?；谝陨系墓庾泳w的結(jié)構(gòu)，設計了一個變焦系統(tǒng)。通過溫度控制，可以更好地對焦距進行調(diào)節(jié)，使得該光子晶體在實際應用中更加方便。由于光子晶體是由硅材料和空氣構(gòu)成，而硅材料具有熱光效應[18]。在光子晶體工作溫度范圍（0～260 ℃）內(nèi)，溫度變化量與介質(zhì)折射率的變化量之間的關系為：Δn= α1nΔT。其中 α1為 介 質(zhì) 的 熱 光 系 數(shù), （硅 的 熱 光 系 數(shù) α1=1.86× 1 0-4/℃）, Δn為介質(zhì)折射率的變化量，ΔT為溫度變化量。通過半導體制冷片改變光子晶體的溫度。在圖3（a）中，中心一列溫度為C0，邊緣一列溫度為C1，設置每一列的溫度相同，溫度由中心向邊緣漸變，溫度差ΔC=C1-C0。當ΔC在-120～260 ℃范圍內(nèi)變化時，溫差與焦

距、半寬的關系如圖7(a)所示。圖中隨著ΔC值的增大，聚焦光斑的焦距整體呈上升趨勢，焦距y在1.137 4 λ～2.626 4 λ范圍內(nèi)變化，同時聚焦光斑的半寬都小于0.4λ。圖7(b)為ΔC=-80 ℃和120 ℃的光線傳播圖，半寬均小于0.37λ。因此所設計的焦距可調(diào)諧梯度折射率光子晶體，在具有較大的調(diào)焦范圍的同時，也具備較好的聚焦效果。

圖 7 溫度與焦距和半寬的關系及光路傳播圖Fig. 7 The focal length and half-width of PCs at different temperatures and the optical path propagation diagram

3 結(jié) 論

通過調(diào)整梯度折射率光子晶體中空氣孔的結(jié)構(gòu)大小，設計了一個由圓形空氣孔構(gòu)成的梯度折射率光子晶體結(jié)構(gòu)。通過調(diào)整光子晶體中折射率的分布，優(yōu)化了聚焦效果。最終得出當修正系數(shù)在0.9左右，中心空氣孔半徑為0.95r時，焦斑的半寬值最佳可達到0.344 7λ，焦距為1.45λ。為了便于使用，對梯度折射率光子晶體透鏡的焦距調(diào)諧進行了研究，設計了一個動態(tài)亞波長的調(diào)焦系統(tǒng)。通過改變光子晶體的溫度，獲得了1.137 4 λ～2.626 4λ的焦點調(diào)諧范圍，同時焦斑半寬均小于0.4λ。從而解決了隨著焦點半寬越來越窄，焦深也越來越小帶來的調(diào)焦困難的問題。該新型聚焦結(jié)構(gòu)，適合應用在納米光刻領域，因其較好的亞波長聚焦特性和自動調(diào)節(jié)焦距的功能，使得微器件高度集成，結(jié)構(gòu)更加緊密，降低了加工成本，使得微型儀器成為可能。雖然國內(nèi)目前因為實驗室條件的限制，光子晶體的制備較為困難，但由于光子晶體在光通訊領域具有深遠的影響，研究亞微米光子晶體仍然具有重大的意義。