一類含有p-Laplacian算子的半正分?jǐn)?shù)階微分方程脈沖邊值問題正解的存在性

褚麗敏, 胡衛(wèi)敏, 蘇有慧

(1.伊犁師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 伊犁 835000； 2.徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江蘇 徐州 221018；3.伊犁師范大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,新疆 伊犁 835000)

分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題是微分方程理論的重要分支. 脈沖微分方程能夠充分考慮到突變對狀態(tài)的影響, 所以具有脈沖條件的分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性引起了許多學(xué)者的關(guān)注[1-2]. 特別是最近幾年，有學(xué)者致力于研究具有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程的脈沖邊值解的存在性, 并取得了一些研究成果[3-7].例如,文獻(xiàn)[7]中研究了一類具有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題多重正解的存在性:

其中1

然而，文獻(xiàn)[7]中沒有研究帶有脈沖邊值條件的半正分?jǐn)?shù)階微分方程,文獻(xiàn)[8]中沒有研究具有p-Laplacian算子的半正分?jǐn)?shù)階微分方程. 當(dāng)方程的非線性項(xiàng)可以取負(fù)值時(shí), 研究的邊值問題稱為半正問題[9]. 半正問題在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用, 如機(jī)械系統(tǒng)的屈曲、懸索橋的設(shè)計(jì)、 化學(xué)反應(yīng)和自然資源管理等[10]. 近十幾年, 很多文獻(xiàn)研究了半正問題正解的存在性,而研究具有p-Laplacian算子且?guī)в忻}沖邊值條件的半正分?jǐn)?shù)階微分方程具有一定難度.

受文獻(xiàn)[7-8]啟發(fā), 本文研究具p-Laplacian算子的半正分?jǐn)?shù)階微分方程脈沖邊值問題正解的存在性:

1 預(yù)備知識(shí)

在這一節(jié), 我們給出一些定義、相關(guān)引理及邊值問題(1)的Green函數(shù).

PC(J,R)=

{u:J→R|u∈C(Jk),k=0,1,…,m},

PC1(J,R)=

{u:J→R|u∈C1(Jk),k=0,1,…,m},

其范數(shù)定義為

定義1[11]令α>0, 函數(shù)f:[0,+∞)→R的分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中右邊是在[0，+∞)逐點(diǎn)定義的.

定義2[11]令α>0, 函數(shù)f:[0,+∞)→R的分?jǐn)?shù)階微分定義為

引理2[13]設(shè)E是Banach空間，T:E→E是全連續(xù)算子，且V={u∈E|u=μTu,0<μ<1}有界，則T在E有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

引理4若1<α≤2,則分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

(2)

的解是

其中

G(t,s)=

證明由引理1知, 當(dāng)t∈J0時(shí), 存在常數(shù)c0,c1∈R, 使得

c0+c1t,

(3)

(4)

當(dāng)t∈J1時(shí)，存在常數(shù)d0,d1∈R,使得

d0+d1(t-t1),

從而

c0+c1t1,

c0+c1t1+I1(u(t1)),

c1+Q1(u(t1)).

因此

(t-t1)Q1(u(t1))+c0+c1(2t-t1),t∈J1.

同理可知, 當(dāng)t∈Jk,k=1,2,…,m時(shí), 有

(5)

由邊值條件u(0)=u′(1)=0, 得

c0=0,

將c0,c1代入(3)式和(5)式可得(6)式(見附錄),其中k=1,2,…,m.

2 主要結(jié)果

在這一節(jié), 我們利用不動(dòng)點(diǎn)定理得到邊值問題(1)正解的存在性結(jié)論.

定義算子T:PC(J,R)→PC(J,R)如下：

把研究問題(1)解的存在性轉(zhuǎn)化成研究算子T不動(dòng)點(diǎn)的存在性.

引理5算子T:PC(J,R)→PC(J,R)是全連續(xù)的.

|(Tu)(t2)-(Tu)(t1)|≤

故T在Jk上是等度連續(xù)的, 其中k=1,2,…,m.由Arzela-Ascoli定理知算子T是全連續(xù)的.

定理1假設(shè)存在正數(shù)Li>0(i=1,2,3), 使得|φq(f(t,u,u′))|≤L1,|Ik(u)|≤L2,|Qk(u)|≤L3，k=1,2,…,m,則對于任意u∈Ω,t∈J,問題(1)至少存在一個(gè)正解.

(10)

定理3設(shè)存在正數(shù)Ki>0(i=1,2,3),使得

|φq(f(t,u(t),u′(t)))-φq(f(t,v(t),v′(t)))|≤

K1|u-v|,|Ik(u)-Ik(v)|≤K2|u-v|,|Qk(u)-Qk(v)|≤K3|u-v|,

其中t∈J,u,v∈C([0,1],R),k=1,2,…,m.若

則問題(1)有唯一解.

3 應(yīng)用舉例

在這一節(jié), 舉例驗(yàn)證本文得到的結(jié)論.

例1考慮非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題：

(12)

證明

再取δi(i=1,2,3)滿足(10)式，即

由定理2可知問題(12)至少有一個(gè)正解.

附錄：

(6)

(7)

(8)

(9)

(11)