兩種OFDM信號的雷達探測性能研究

宋 瑤， 唐裕峰， 武浩正， 靳 標

(江蘇科技大學，江蘇 鎮(zhèn)江 212000)

0 引言

OFDM信號具有抗干擾、低截獲等性能優(yōu)勢，是雷達通信一體化系統(tǒng)常用的發(fā)射波形之一[1]。但是，OFDM信號存在兩大缺陷：第一，峰值平均功率比(Peak-to-Average Ratio，PAR)較高，當雷達發(fā)射機工作在非線性區(qū)域時，信號會產(chǎn)生非線性失真和諧波，造成明顯的頻譜擴展和帶內(nèi)信號畸變，導致射頻放大器功放的效率降低;第二，大多數(shù)OFDM信號的模糊函數(shù)呈圖釘狀，為“多普勒敏感”信號，當匹配濾波器存在細微多普勒失配，將會導致濾波器性能迅速下降。研究表明，選擇適當?shù)妮d波調(diào)制序列是解決這兩個問題的關鍵[2-5]。

ZC序列(Zadoff-Chu序列)具有良好的自相關特性和呈“斜刀刃”型的模糊函數(shù)特性。文獻[6]將ZC序列作為同步訓練序列，有效降低了水聲信道產(chǎn)生的載波頻率頻移，從而消除來自不同方向的噪聲對信道產(chǎn)生的干擾；文獻[7]利用ZC序列對多徑衰落信道進行估計，解決了殘留頻偏的問題，提高了高速移動寬帶通信系統(tǒng)的定時準確率;文獻[8]通過比較 ZC-OFDM信號和Gold-OFDM信號在不同信噪比條件下的通信誤碼率發(fā)現(xiàn)，ZC序列可以通過對數(shù)據(jù)符號進行編碼提高通信性能。

Oppermann序列同樣具有良好的自相關特性和互相關特性，是擴頻通信中常用的一種序列。文獻[9]將加權脈沖序列與Oppermann序列作為權值，對給定的系統(tǒng)約束進行特定的多目標優(yōu)化，實現(xiàn)了通信系統(tǒng)中的多址訪問；文獻[10]給出了Oppermann序列與加權脈沖序列的交叉模糊函數(shù)的解析表達式，推導了自模糊函數(shù)表達式，并證明了兩種模糊函數(shù)的差異性。

基于ZC序列和Oppermann序列的一些優(yōu)秀特性，本文通過對ZC序列和Oppermann序列調(diào)制的OFDM信號的自相關、循環(huán)自相關、峰均比、模糊函數(shù)和多普勒容限等特性進行比較，分析了兩種信號作為雷達通信一體化發(fā)射波形的可行性。

1 序列的定義及其性質(zhì)

1.1 兩種序列的定義

1.1.1 ZC序列的定義

ZC序列屬于恒包絡零自相關序列 (Constant Amplitude Zero Auto-Correlation，CAZAC)，其定義為

(1)

式中:k=0,1,2,…,N-1；u∈N+，為序列的根序列;N為序列的長度;對于任意ZC序列，在長度N和根序數(shù)u的取值確定的情況下，便可確定根序列;u的取值需要與N互質(zhì)，且在N確定以后，u能夠唯一確定一個ZC序列。一般情況下為方便計算，q取值為0，可改寫為

Zu(k)=exp[-jπuk(k+c+2q)/N]

(2)

式中：k=0,1,2,…,N-1；c=Nmod 2。

1.1.2 Oppermann序列的定義

一個碼長為N的Oppermann序列為uk=[uk(0)，uk(1)，…，uk(N-1)]，其中的每個元素滿足

(3)

式中:1≤k≤N-1，0≤i≤N-1，i與N互質(zhì)，N為質(zhì)數(shù)；m，n，p為序列的3個參數(shù)，且均為實數(shù)。

1.2 兩種序列的性質(zhì)對比

1.2.1 自相關特性

離散時間序列的自相關函數(shù)定義為

(4)

式中：b(k)為調(diào)制序列;b*(k+n)為b(k)時延信號的共軛。

將式(2)代入式(4)可得，ZC序列的自相關函數(shù)為

(5)

由式(3)可知，當m，n和p為固定值時，所有序列具有相同的自相關函數(shù)。當p=1時，Oppermann序列自相關函數(shù)的大小僅取決于n，其定義為

(6)

式中，l為序列的離散循環(huán)移位。為了控制參數(shù)數(shù)量，一般情況下取p=1。

圖1給出了N=61，u=1時的ZC序列與N=61，m=1，p=1，n=2.007 2時的Oppermann序列的自相關函數(shù)。

圖1 兩種序列的自相關函數(shù)Fig.1 Autocorrelation function of two sequences

從仿真結果可以看出，兩種序列都具有集中的主瓣，但ZC序列的第一副瓣高于Oppermann序列。

1.2.2 循環(huán)自相關特性

大部分雷達信號都具有循環(huán)平穩(wěn)特性，這種循環(huán)平穩(wěn)特性通常用循環(huán)自相關函數(shù)來表示。

(7)

ZC序列的循環(huán)自相關函數(shù)可表示為[11]

(8)

式(8)經(jīng)推導得[12]

(9)

Oppermann序列的循環(huán)自相關函數(shù)可表示為

(10)

圖2給出了N=60，u=1的ZC序列與N=60，m=1，p=1，n=2.007 2的Oppermann序列的循環(huán)自相關函數(shù)。從仿真結果可以看出，ZC序列具有良好的循環(huán)自相關特性且自相關峰值尖銳，對于任意ZC序列與其循環(huán)移位a位后的序列互不相關(a≠0)；Oppermann序列在長度N=50時具有較好的自相關性，但互相關性較差。通過對比分析可得，ZC序列的循環(huán)自相關性優(yōu)于Oppermann序列。

圖2 兩種序列的循環(huán)自相關函數(shù)Fig.2 Cyclic autocorrelation function of two sequences

1.2.3 峰均比特性

峰值平均功率比(Peak-to-Average Ratio，PAR)，簡稱峰均比。一般情況下，峰均比指最大瞬時功率與平均功率的比值，定義為

(11)

離散序列的實部和虛部的峰均比分別為

(12)

(13)

式中：RPAR(real)為峰均比實部;RPAR(imag)為峰均比虛部。

將式(1)用歐拉公式展開可得

Zu(k)=exp[-jπuk(k+c+2q)/N]=cos[πuk(k+

c+2q)/N]-jsin[πuk(k+c+2q)/N]。

(14)

ZC序列的實部和虛部的峰均比分別為

(15)

(16)

將式(3)用歐拉公式展開，可得

(17)

Oppermann序列的實部和虛部的峰均比分別為

(18)

(19)

當k為奇數(shù)，i為偶數(shù)時，Oppermann序列實、虛部的峰均比可分別表示為

(20)

其他情況時，Oppermann序列實、虛部的峰均比可分別表示為

(21)

圖3給出了N=10 000，u=1的ZC序列與N=10 000，m=1，p=1，n=2.007 2的Oppermann序列的峰均比特性。

圖3 兩種序列的峰均比特性比較Fig.3 Comparison of peak to averageratio characteristics of two sequences

由圖3可知，隨著序列長度的增加，ZC序列實部的峰均比值逐漸增大，最大值接近于2，虛部峰均比值逐漸減小，最后趨近于1.82;但Oppermann序列實部峰均比值和虛部峰均比值都逐漸增大，實部峰均比值趨近于6，虛部峰均比值趨近于5.7。因此，ZC序列的峰均比特性優(yōu)于Oppermann序列，更有利于雷達功率放大器工作在飽和區(qū)域。

2 兩種信號的雷達探測特性研究

為了充分驗證兩種序列調(diào)制的OFDM信號的探測性能，本文將ZC-OFDM信號和Oppermann-OFDM信號的模糊函數(shù)、多普勒容限特性進行對比，驗證了兩種信號作為雷達探測信號的可行性。

2.1 模糊函數(shù)分析

OFDM信號提供了一種在頻域上設計波形、時域上輸出波形的DFT數(shù)字調(diào)制方式。

OFDM信號的數(shù)學表達式為

(22)

式中:bk是調(diào)制序列，為第k路子信道中的復輸入數(shù)據(jù);fk=f0+kΔf，f0為起始頻率，Δf為頻率間隔。

由式(22)可知，雷達脈沖序列的復包絡可表示為

(23)

在雷達接收端，回波信號相對發(fā)射信號會引起時延和多普勒頻移。假設信號波形的時延為τ，多普勒頻移為fd，信號在傳播過程中衰減為原來的A倍，則信號的回波信號可表示為

(24)

模糊函數(shù)是雷達探測波形分析的重要工具，通過對信號波形的模糊函數(shù)分析，可以得到信號波形的距離分辨率、多普勒分辨率及多普勒容限特性。模糊函數(shù)的定義為

(25)

式中，E為信號的總能量。

式(25)一般表示連續(xù)時間信號的模糊函數(shù)，離散時間序列的模糊函數(shù)表示為

(26)

由于ZC序列是離散序列，由式(26)可知ZC-OFDM信號的模糊函數(shù)為

(27)

因為Oppermann序列和ZC序列同為離散序列，所以由式(26)知Oppermann-OFDM信號的模糊函數(shù)可表示為

(28)

圖4所示為ZC-OFDM和Oppermann-OFDM信號的模糊函數(shù)。由圖4可知，ZC-OFDM信號的模糊函數(shù)和Oppermann-OFDM信號的模糊函數(shù)類似，呈現(xiàn)出角度不同的“斜刀刃”特性，但ZC-OFDM信號的模糊函數(shù)具有較低的旁瓣，因此具有更好的探測性能。兩種信號的模糊函數(shù)切面對比分析如圖5所示。由圖5可知，ZC-OFDM信號模糊函數(shù)的多普勒切片和時延切片具有相對較窄的主瓣寬度，具有更高的時延和多普勒分辨性能。

圖4 兩種OFDM信號的模糊函數(shù)Fig.4 Ambiguity functions of two OFDM signals

圖5 兩種OFDM信號的模糊函數(shù)特性Fig.5 Ambiguity function characteristics of two OFDM signals

2.2 多普勒容限特性研究

在相同脈寬條件下，回波信號的脈壓增益下降到最低容許程度時的多普勒頻移稱為多普勒容限特性。多普勒容限檢測函數(shù)為

(29)

式中，B為信號帶寬。

對式(29)兩邊以Ts(1/fs)為間隔周期進行采樣，令t=nTs，則有

(30)

可得離散多普勒容限檢測函數(shù)R(m)為

(31)

由式(31)得ZC-OFDM信號的多普勒容限檢測函數(shù)為

(32)

同理，由式(31)得Oppermann-OFDM信號的多普勒容限檢測函數(shù)為

(33)

根據(jù)式(32)和式(33)，在同等采樣率fs=20 MHz，帶寬B=10 MHz，時寬長度t=10 μs的條件下，兩種OFDM信號的多普勒容限特性如圖6所示。

圖6 兩種OFDM信號的多普勒容限特性Fig.6 Doppler tolerance characteristics of two OFDM signals

由圖6可知，ZC-OFDM信號和Oppermann-OFDM信號具有相似的多普勒容限特性，但ZC-OFDM信號的多普勒容限特性曲線比較平滑，即ZC-OFDM信號具有更好的多普勒容限特性。

3 結論

通過對ZC序列和Oppermann序列調(diào)制的OFDM信號波形特性的對比分析表明ZC-OFDM信號比Oppermann-OFDM信號具有低峰均比特性和更好的多普勒容限特性，ZC-OFDM信號和Oppermann-OFDM信號具有相同的“斜刀刃”型的模糊函數(shù)特性、較好的速度分辨率特性和距離分辨率特性，但是ZC-OFDM信號的模糊函數(shù)特性及多普勒容限特性相比于Oppermann-OFDM信號具有更好的探測性能。但是，由于兩種OFDM信號具有相同的“斜刀刃”型的模糊函數(shù)特性，因此兩種信號都存在距離和多普勒頻移耦合的現(xiàn)象。