利用惠更斯作圖法解釋渥拉斯頓棱鏡的工作原理

吳許強(qiáng)

（安徽大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，安徽合肥 230601）

自然光可利用偏振片（二向色性）、布氏角反射、玻璃堆透射、晶體雙折射偏振器等原理與器件實現(xiàn)起偏[1]，其中晶體雙折射器件使用光學(xué)純的晶體，雖然價格昂貴，但因其出色的消光比、很高的激光損傷閾值，在光學(xué)調(diào)Q[2]、光譜學(xué)[3-4]、偏振成像[5-6]等領(lǐng)域中應(yīng)用較多。其中，渥拉斯頓棱鏡工作波長范圍寬，是常用的晶體雙折射偏振器之一。在趙凱華版《新概念物理教程光學(xué)》教材中，僅給出了渥拉斯頓棱鏡的基礎(chǔ)工作光路，并未對其結(jié)構(gòu)、工作原理及其應(yīng)用進(jìn)行深入講解，更未說明分離角和棱鏡結(jié)構(gòu)參數(shù)的量化關(guān)系，此章節(jié)學(xué)生常常難以理解，更勿提開展設(shè)計與應(yīng)用。本文將使用惠更斯作圖法，闡述尋常光（o光）、非尋常光（e 光）在晶體的走離機(jī)制與過程，解釋渥拉斯頓棱鏡的工作原理。

1 渥拉斯頓棱鏡的結(jié)構(gòu)

渥拉斯頓棱鏡可以由兩個同種材質(zhì)的石英（SiO2）、方解石（CaCO3）或釩酸釔（YVO4）棱鏡膠粘在一起制成，也可以有兩個同種材質(zhì)的氟化鎂（MgF2）或偏硼酸鋇（α-BBO）直接光學(xué)接觸在一起制成[7-8]。直接光學(xué)接觸比膠粘棱鏡光學(xué)結(jié)構(gòu)簡單，且具有更高的損傷閾值，在超快激光中應(yīng)用前景良好。圖1為索雷博（Thorlabs）公司官網(wǎng)上封裝前后渥拉斯頓棱實物圖[8]。

圖1 封裝前后渥拉斯頓棱鏡實物圖

圖2展示了渥拉斯頓棱鏡的結(jié)構(gòu)及光軸方向。渥拉斯頓棱鏡第一塊三棱鏡光軸方向平行于入射界面，第二塊三棱鏡光軸方向垂直于入射光線和第一塊三棱鏡光軸構(gòu)成的平面。以直接接觸型渥拉斯頓棱鏡進(jìn)行分析，以負(fù)晶體（no＞ne,或ve＞vo）為例，采用惠更斯作圖法，分析偏振光在棱鏡內(nèi)的傳播規(guī)律。

2 在第一塊三棱鏡中光線的傳播

假設(shè)有一束自然光（用上下兩束平行光線表示）沿水平方向，垂直入射到第一塊三棱鏡，由于光軸方向平行于界面，會發(fā)生雙折射，以下分別就o光和e光單獨(dú)分析。

2.1 o光的波面、傳播方向與偏振方向

由于o 光各向同性，其次波面為半球面，且經(jīng)一定時間上下兩根光線的半球型次波面半徑相等，故其包絡(luò)面為平行于界面的平面，連接次波源中心和切點并延長，得到o 光的傳播方向，仍然沿水平方向沒有改變。事實上，上述結(jié)果也可以由o光遵從普通的折射定律得到：入射角等于0，則折射角也等于0，光線正透射。根據(jù)主平面定義：o 光傳播方向和光軸方向構(gòu)成的面為o 光主平面，故此時紙面即為o 光主平面，又因為o 為線偏振光，且偏振方向垂直于o 光主平面，故o 光的偏振方向垂直于紙面，在圖中用小圓點表示，也稱為s偏振光。其次波面和偏振方向利用惠更斯作圖法得到的結(jié)果如圖2所示。

圖2 第一塊三棱鏡中o光的傳播

2.2 e光的波面、傳播方向與偏振方向

e光在光軸方向（圖示豎直方向）和o光的傳播速度一致，在與光軸垂直的方向（圖示水平方向）上傳播速度為ve=，其次波面如圖3所示的橢球面，豎直方向上與o光次波面相切，水平方向偏離最大。由于上下兩根光線的次波面完全相同，故其包絡(luò)面也為平行于界面的平面，故e光出射方向與o光一致，亦為水平出射。但由于是負(fù)晶體ve＞vo，e光的次波面較o光次波面超前。偏振方向方面，e 光傳播方向和光軸方向構(gòu)成的e光主平面，也為紙面。根據(jù)e光主平面性質(zhì)，e光偏振方向平行于其主平面，故為平行偏振，稱作p偏振光，在圖上用垂直于光線方向的短線段表示。

圖3 第一塊三棱鏡中e光的傳播

綜上，當(dāng)光線正入射到第一塊三棱鏡，由于光軸方向平行于界面，偏振光傳播規(guī)律與波片類似：o 光和e光傳播方向一致、不分開，但傳播速度不一樣，整體傳播光路如圖4所示。

圖4 第一塊三棱鏡中偏振光的整體傳播

3 在第二塊三棱鏡中光線的傳播

無論是第一塊三棱鏡中的s 偏振光還是p 偏振光，其光線方向均垂直于波面，即同時到達(dá)如圖5 所示的AC 平面。第二塊三棱鏡的光軸方向垂直于紙面。由圖可知，上光線先行達(dá)到兩三棱鏡交匯的棱邊，即A 點，下光線還需傳播幾何長度方才到達(dá)棱邊B 點。根據(jù)惠更斯原理，上光線達(dá)到A 時，先行發(fā)射球面次波。由于光軸方向垂直于紙面，故在紙面上，o 光、e 光的次波面均為圓形。

3.1 o光的波面、傳播方向與偏振方向

對于第二塊三棱鏡中的o光，由于是負(fù)晶體其傳播速度較小，球面次波的半徑小于或者等于，可初步畫出圖5 中的半圓形次波面，過B 點作半圓的切線，設(shè)切點為D，BD 即代表第二塊三棱鏡中的o 光的次波面的包絡(luò)面，即為新的波面。連接A、D 并延長，即為上光線o 光的出射方向。過B 點作AD 平行線，即為下光線o 光的出射方向。由于為o 光，其偏振方向應(yīng)該垂直于其主平面（此時為通過BD，且垂直于紙面的面），故此時的o光為p偏振光，傳播速度為vo。而p 偏振光在第一塊三棱鏡內(nèi)表現(xiàn)為e 光，傳播速度為ve，對負(fù)晶體，ve＞vo，故現(xiàn)可以確定o 光次波面半徑應(yīng)為小于而不是等于，此時的p 偏振光向上偏折。根據(jù)作圖過程（含幾何關(guān)系、波速與折射率的關(guān)系），有

圖5 第二塊三棱鏡中o光的傳播

其中α代表三棱鏡的頂角，亦為此時的入射角，β代表與界面法向的夾角，即出射角。出射光線與水平方向夾角為α-β。

3.2 e光的波面、傳播方向與偏振方向

由于是負(fù)晶體ve＞vo，故在第二塊三棱鏡內(nèi)，e光傳播快，A點發(fā)出的次波波面的半徑將大于或者等于，可初步畫出圖6中的半圓形次波面。類似地，過B 點作半圓的切線，設(shè)切點為E，BE 即代表第二塊三棱鏡中的e 光的次波面的包絡(luò)面，即為新的波面。連接A、E 并延長，即得上光線e 光的出射方向。過B點作AE 平行線，即為下光線e 光的出射方向。同3.1，可以分析出第二塊三棱鏡中的e 光為s 偏振光，而s偏振光在第一塊三棱鏡中體現(xiàn)為o光。根據(jù)作圖過程，有：

圖6 第二塊三棱鏡中e光的傳播

其中γ代表出射e 光與界面法向的夾角，即出射角。出射光線與水平方向夾角為γ-α。

綜上，如果入射到晶體的為自然光，同時含有s和p 兩個本征偏振態(tài)，進(jìn)入晶體后即使發(fā)生了雙折射，這兩個本振偏振態(tài)不會互相串?dāng)_：s 線偏光在第一塊三棱鏡中體現(xiàn)為o光的傳播規(guī)律，在第二塊三棱鏡中體現(xiàn)為e 光的傳播規(guī)律；而p 線偏光在第一塊三棱鏡中體現(xiàn)為e光的傳播規(guī)律，在第二塊三棱鏡中體現(xiàn)為o光的傳播規(guī)律。本征偏振態(tài)的概念，對理解雙折射至關(guān)重要，而該教材中對此鮮有表述。此外，從圖7 可以看出，進(jìn)入第二塊三棱鏡后，p 線偏光和s線偏光分別朝上和朝下走離。

圖7 第二塊三棱鏡中偏振光的整體傳播

4 光從渥拉斯頓棱鏡出射

假設(shè)渥拉斯頓棱鏡外為空氣等各向同性介質(zhì)，折射率為n0。一般情況下，n0＜no,ne。

4.1 p偏振光的波面、傳播方向與偏振方向

在第二塊三棱鏡中，o 光為p 偏振線偏光，波線垂直于波面。如圖8 所示，假設(shè)下光線、上光線分別與出射界面交匯于B'點和F 點，過B’作BD 的平行線，交上光線與D'。B'D'亦為o 光的波面。當(dāng)下光線到達(dá)界面B'點時，上光線需傳播的幾何長度才能到達(dá)界面。根據(jù)假設(shè)，渥拉斯頓棱鏡外光傳播速度快且各向同性，故以B'點為次波源中心的球面次波半徑大于，過F 點作此半球面的切線，設(shè)切點為G。連接B'和G，并延長，即得到下光線的出射方向，過F 作B'G 的平行線，即得到出射的上光線。

圖8 從渥拉斯頓棱鏡出射的p偏振光

考慮到p 偏振為本征偏振態(tài)，出射的光線仍為p 偏振光。但由于最終出射光已經(jīng)是在各向同性紙介質(zhì)中，不再有o 光和e 光說法。根據(jù)作圖過程，有：

其中α-β為此次折射的入射角，n0為棱鏡外介質(zhì)折射率，β'為出射角。由于no＞n0,光線進(jìn)一步向上走離。

4.2 s偏振光的波面、傳播方向與偏振方向

在第二塊三棱鏡中，s 線偏光為e 光，波線垂直于波面。如圖9 所示，假設(shè)上光線、下光線分別與出射界面交匯于E'點和H 點，過E'作EB 的平行線，交下光線與B'。E'B'亦為e 光的波面。當(dāng)上光線到達(dá)界面E'點時，下光線需傳播的幾何長度才能到達(dá)界面。根據(jù)假設(shè)，渥拉斯頓棱鏡外光傳播速度快且各向同性，故以E'點為次波源中心的球面次波半徑大于，過H 點作此半球面的切線，設(shè)切點為I。連接E'和I，并延長，即得到上光線的出射方向，過H 作E'I 的平行線，即得到出射的下光線?？紤]到s 偏振為本征偏振態(tài)，出射的光線仍為s 偏振光。但由于最終出射光已經(jīng)是在各向同性紙介質(zhì)中，同理不再有o 光和e 光說法。根據(jù)作圖過程，有：

圖9 從渥拉斯頓棱鏡出射的s偏振光

其中γ-α為入射角，γ'為出射角。由于ne＞n0,光線進(jìn)一步向下走離。

根據(jù)式（1）～（4），可以計算出最終出射的s 偏振光和p偏振光的分離角：

由式5 可知，當(dāng)光線垂直入射到渥拉斯頓棱鏡時，在已知棱鏡頂角α、o光折射率no、e光折射率ne及渥拉斯頓棱鏡外介質(zhì)折射率n0等參數(shù)前提下，最終分離角可以唯一確定。

5 小結(jié)

通過惠更斯作圖法，以負(fù)晶體為例，詳細(xì)闡明偏振光在渥拉斯頓棱鏡中的傳播過程，分析了偏振光的走離機(jī)制和原因，特別是光線從第一塊三棱鏡入射到第二塊三棱鏡o光變e光，e光變o光的過程，得到了光線的最終出射角與棱鏡頂角α、o光折射率no、e光折射率ne等參數(shù)的定量計算關(guān)系式。相關(guān)過程和結(jié)果可為正在從事相關(guān)思考的師生、科研人員提供一定參考。